Phương pháp hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân

62 Danh möc cæng tr¼nh khoa håc cõa nghi¶n cùu sinh li¶n... Lþ thuy¸t tèi ÷u a möc ti¶u ÷ñc sûdöng trong b i to¡n x§p x¿ vector Vector Approximation Problem, lþthuy¸t trá chìi Game Theor

VINH - 2010

VINH - 2010

Möc löc i

1 L½ do chån · t i 2

2 Möc ½ch nghi¶n cùu 5

3 èi t÷ñng nghi¶n cùu 6

4 Ph¤m vi nghi¶n cùu 6

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu 6

6 Þ ngh¾a khoa håc v thüc ti¹n 7

7 Têng quan v c§u tróc luªn ¡n 7

1 H m ph¤t cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 11 1.1 C¡c k¸t qu£ v· sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 12

1.2 Ph²p chi¸u v mèi quan h» vîi b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n 13 1.3 Ph÷ìng ph¡p chi¸u 17

1.4 Ph÷ìng ph¡p h m ph¤t 19

ii

1.5 Ph÷ìng ph¡p k¸t hñp ph¤t-chi¸u gi£i b i to¡n b§t ¯ng

thùc bi¸n ph¥n 22

1.6 V½ dö 25

K¸t luªn Ch÷ìng 1 35

2 H m ph¤t cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vector y¸u 36 2.1 i·u ki»n õ cho sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vector y¸u 38

2.2 B i to¡n ph¤t 39

2.3 C¡c ành lþ hëi tö 44

K¸t luªn Ch÷ìng 2 50

3 H m ph¤t cho b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u 51 3.1 i·u ki»n õ cho sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u 52

3.2 B i to¡n ph¤t 54

3.3 C¡c ành lþ hëi tö 55 K¸t luªn Ch÷ìng 3 61

K¸t luªn v ki¸n nghà 62 1 K¸t luªn 62

2 Ki¸n nghà 62

Danh möc cæng tr¼nh khoa håc cõa nghi¶n cùu sinh li¶n

Tæi xin cam oan ¥y l cæng tr¼nh nghi¶n cùu cõa ri¶ng tæi, c¡ck¸t qu£ tr¼nh b y trong luªn ¡n l ho n to n trung thüc, ÷ñc c¡c çngt¡c gi£ cho ph²p sû döng v luªn ¡n ho n to n khæng tròng l°p vîi b§tk¼ t i li»u n o kh¡c

ªu Xu¥n L÷ìng

LÍI CƒM ÌN

Luªn ¡n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n cõa GS TSKH L¶ DôngM÷u v PGS TS Tr¦n V«n …n T¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u s-cnh§t tîi c¡c Th¦y, nhúng ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n, gióp ï t¡c gi£trong c£ qu¡ tr¼nh håc tªp, nghi¶n cùu v vi¸t b£n luªn ¡n n y

T¡c gi£ công xin ch¥n th nh c£m ìn L¢nh ¤o tr÷íng ¤i håc Vinh, l

¢nh ¤o khoa To¡n håc, Khoa Sau ¤i håc Tr÷íng ¤i håc Vinh; L¢nh

¤o Vi»n To¡n håc, còng tªp thº GS v c¡c Th¦y, Cæ cõa Tr÷íng ¤ihåc Vinh v Vi»n To¡n håc ¢ ëng vi¶n gióp ï t¤o nhi·u i·u ki»n thuªnlñi trong thíi gian t¡c gi£ håc tªp v nghi¶n cùu

T¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tîi c¡c nh khoa håc v c¡c Th¦y, Cæthuëc Tê Gi£i t½ch cõa Khoa To¡n håc Tr÷íng ¤i håc Vinh ¢ d nhthíi gian åc luªn ¡n v cho nhúng þ ki¸n nhªn x²t quþ b¡u

T¡c gi£ xin gûi líi c£m ìn tîi Tr÷íng Cao ¯ng S÷ ph¤m Qu£ngNinh v Khoa Tü nhi¶n thuëc Tr÷íng Cao ¯ng S÷ ph¤m Qu£ngNinh, ng÷íi th¥n v b¤n b± v¼ nhúng gâp þ, õng hë v ëng vi¶n v·tinh th¦n công nh÷ vªt ch§t cho t¡c gi£

ªu Xu¥n L÷ìng

1 L½ do chån · t i

1.1 Lþ thuy¸t b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ra íi v o nhúng n«m 60 ([50, 20,

b¬ng Cho ¸n nay, nhúng b i to¡n ÷ñc quy v· c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùcbi¸n ph¥n gçm câ: b i to¡n c¥n b¬ng m¤ng giao thæng (Traffic NetworkEquilibrium Problem) v b i to¡n g¦n vîi nâ l b i to¡n c¥n b¬ng gi¡ khænggian (Spatial Price Equilibrium Problem) (tham kh£o ch¯ng h¤n [8, 47,

9, 42, 41]), c¡c b i to¡n c¥n b¬ng t i ch½nh (Financial EquilibriumProblem), c¥n b¬ng nhªp c÷ (Migration Equilibrium Prob-lem), h»thèng mæi tr÷íng (Environmental Network Problem) v m¤ng ki¸n thùc(Knowledge Network Problem) ([11, 25, 26, 10, 40, 41, 29])

Ph÷ìng ph¡p h m ph¤t l mët trong c¡c ph÷ìng ph¡p quan trång ºgi£i c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (tham kh£o ch¯ng h¤n [38,

23,

39, 1, 51]) Nhí v o ph÷ìng ph¡p n y, mët b i to¡n vîi mi·n

r ng buëc phùc t¤p câ thº ÷ñc chuyºn v· mët d¢y c¡c b i to¡n khæng

r ng buëc ho°c vîi r ng buëc ìn gi£n hìn Trong khi â, ph÷ìng ph¡pchi¸u l mët lîp ph÷ìng ph¡p ìn gi£n v hi»u qu£, °c bi»t èi vîi c¡c

b i to¡n thäa m¢n i·u ki»n ìn i»u Nh÷ñc iºm duy nh§t cõa ph÷ìngph¡p n y l ta ph£i t½nh h¼nh chi¸u cõa mët iºm l¶n mët mi·n lçi b§t

ký, v â l mët b i to¡n r§t khâ trong tr÷íng hñp têng qu¡t, khi m mi·n âkhæng câ h¼nh d¤ng °c bi»t Do â, k¸t hñp ph÷ìng ph¡p h m ph¤t

v ph÷ìng ph¡p chi¸u s³ kh-c phöc ÷ñc nh÷ñc iºm n y cõa ph÷ìng ph¡p chi¸u.

1.2 Kh¡i ni»m b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vector ÷ñc giîi thi»u bði

Giannessi [16] Tø â tîi nay, ng÷íi ta ¢ t¼m ÷ñc nhi·u ùng döng cõa

b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vector (Vector Variational InequalityProblem, vi¸t t-t l VVIP) v b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vector y¸u(Weak Vector Variational Inequality Problem, vi¸t t-t l WVVIP) trong

b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u (Multiobjective Optimization Problem, vi¸t t-t l MOP) (tham kh£o ch¯ng h¤n [16, 2, 4, 53, 18], trong b i to¡n x§p x¿ vector (Vector Approximation Problem) ([54]), v trong b i to¡n c¥n b¬ng giao thæng vector (Vector Traffic Equilibrium Problem) ([55]) Sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vector y¸u công ÷ñc nghi¶n cùu trong nhi·u cæng tr¼nh (tham kh£o ch¯ng h¤n [6, 4, 3, 31, 12])

º câ thº ùng döng b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vector y¸u v othüc ti¹n, ái häi ph£i câ c¡c thuªt to¡n gi£i sè hi»u qu£ cho b i to¡n n

y Tuy nhi¶n, theo hiºu bi¸t cõa chóng tæi, cho tîi nay ch¿ câ mët v

i cæng tr¼nh nghi¶n cùu v· c¡c thuªt to¡n º gi£i b i to¡n b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n vector y¸u ([18, 19]) Tø r§t l¥u, ph÷ìng ph¡p h mph¤t ¢ ÷ñc ¡p döng º gi£i c¡c b i to¡n tèi ÷u v c¡c b i to¡n b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n d¤ng th÷íng, ÷a mët b i to¡n vîi mi·n r ng buëc phùct¤p v· mët d¢y c¡c b i to¡n câ r ng buëc ìn gi£n hìn ho°c khæng câ

r ng buëc Tuy nhi¶n, cho tîi nay ch÷a câ b§t cù cæng tr¼nh n onghi¶n cùu ¡p döng ph÷ìng ph¡p n y cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸nph¥n vector y¸u m chóng tæi ÷ñc bi¸t

1.3 Kh¡i ni»m nghi»m tèi ÷u Pareto (m trong luªn ¡n n y chóng tæigåi l nghi»m Pareto) cõa b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u xu§t hi»n ¦u ti¶ntrong c¡c cæng tr¼nh cõa Edgeworth [13] v Pareto [44] Mët iºm x ÷ñcgåi l nghi»m Pareto cõa b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u vîi h m möc ti¶u

f = (f1; : : : ; fk) (k möc ti¶u) n¸u khæng câ mët iºm n o kh¡c tèt hìn

iºm â, ngh¾a l khæng tçn t¤i mët iºm y 6= x sao cho fi(y) fi(x) vîimåi i = 1; : : : ; k, v fj(y) < fj(x) vîi mët ch¿ sè j n o â iºm x ÷ñc gåi lnghi»m Pareto y¸u cõa b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u n¸u khæng câ mëtiºm n o kh¡c tèt hìn iºm â x²t tr¶n t§t c£ c¡c möc ti¶u, ngh¾a lkhæng tçn t¤i y sao cho fi(y) < fi(x) vîi måi i = 1; : : : ; k

B i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u câ ùng döng rëng r¢i trong r§t nhi·u l¾nhvüc, trong c£ khoa håc v cuëc sèng Lþ thuy¸t tèi ÷u a möc ti¶u ÷ñc sûdöng trong b i to¡n x§p x¿ vector (Vector Approximation Problem), lþthuy¸t trá chìi (Game Theory), c¡c b i to¡n qu£n lþ v ho¤ch ành t inguy¶n (Resource Planning and Management), lþ thuy¸t phóc lñi(Welfare Theory), c¡c b i to¡n trong kÿ thuªt nh÷ i·u khiºn phi cì, c¡c h»thèng cì kh½ ch½nh x¡c, v.v (tham kh£o ch¯ng h¤n [48, 49, 33, 24])

Ph÷ìng ph¡p h m ph¤t ¡p döng cho b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u ¢

÷ñc nghi¶n cùu trong mët v i cæng tr¼nh g¦n ¥y (tham kh£o [52,

21, 22, 34]) Trong [34], Liu v Feng nghi¶n cùu nghi»m Pareto y¸ucõa b i to¡n MOP(D; f) sû döng mët h m ph¤t mô Liu v Feng ¢chùng minh r¬ng n¸u x l mët iºm giîi h¤n cõa mët d¢y c¡c nghi»mPareto y¸u cõa c¡c b i to¡n ph¤t v x ch§p nhªn ÷ñc (ngh¾a l x 2 D),th¼ x l mët nghi»m Pareto y¸u cõa b i to¡n ban ¦u Nh÷ vªy, c¡cành lþ hëi tö cõa hå düa tr¶n gi£ thi¸t r¬ng iºm giîi h¤n x cõa d¢yc¡c nghi»m Pareto y¸u cõa c¡c b i to¡n ph¤t n¬m trong mi·n r ngbuëc D Gi£ thi¸t n y l mët iºm b§t lñi trong c¡ch ti¸p cªn b i to¡n tèi

÷u a möc ti¶u vîi h m ph¤t mô cõa Liu v Feng Tø â n£y sinh y¶uc¦u ph£i câ mët mæ h¼nh h m ph¤t cho c¡c k¸t qu£ hëi tö tèt hìn,kh-c phöc ÷ñc nh÷ñc iºm cõa mæ h¼nh · xu§t trong [34]

Vîi c¡c l½ do n¶u tr¶n, chóng tæi chån · t i Ph÷ìng ph¡p h mph¤t cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n l m · t i luªn ¡n ti¸n s¾ · t itªp trung nghi¶n cùu nhúng v§n · sau

(1) K¸t hñp ph÷ìng ph¡p h m ph¤t v ph÷ìng ph¡p chi¸u º câ mët

thuªt to¡n ho n ch¿nh gi£i c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n d¤ngVIP(D; f), vîi D lçi âng kh¡c réng v f ìn i»u, li¶n töc Lipschitz B¬ngc¡ch n y, ta kh-c phöc ÷ñc trð ng¤i lîn nh§t cõa ph÷ìng ph¡p chi¸u l

sü khâ kh«n khi t½nh to¡n h¼nh chi¸u cõa mët iºm l¶n mët mi·n lçib§t ký

(2) •p döng ph÷ìng ph¡p h m ph¤t º chuyºn mët b i to¡n b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n vector y¸u vîi r ng buëc tr¶n mët mi·n D lçi âng b§t

ký v· mët d¢y c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vector y¸u vîi mi·n

r ng buëc K D ìn gi£n hìn, gåi l c¡c b i to¡n ph¤t Ta câ thº chån

K = Rk, ngh¾a l c¡c b i to¡n ph¤t s³ khæng câ r ng buëc

(3) •p döng ph÷ìng ph¡p h m ph¤t º chuyºn mët b i to¡n tèi ÷u amöc ti¶u vîi r ng buëc tr¶n mët mi·n D lçi âng b§t ký v· mët d¢y c¡c

b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u vîi mi·n r ng buëc K D ìn gi£n hìn, gåi lc¡c b i to¡n ph¤t Ta câ thº chån K = Rk, ngh¾a l c¡c b i to¡n ph¤ts³ khæng câ r ng buëc B¬ng c¡ch sû döng h m ph¤t ngo i, chóngtæi thu ÷ñc c¡c k¸t qu£ hëi tö tèt hìn so vîi c¡c k¸t qu£ n¶u trong

[34] Ngo i ra, chóng tæi cán ch¿ ra i·u ki»n õ º c¡c b i to¡n ph¤t ·u

câ nghi»m Pareto y¸u, çng thíi d¢y c¡c nghi»m â câ ½t nh§t mëtiºm giîi h¤n v â ch½nh l mët nghi»m cõa b i to¡n ban ¦u

2 Möc ½ch nghi¶n cùu

Luªn ¡n nh¬m möc ½ch nghi¶n cùu ¡p döng ph÷ìng ph¡p h mph¤t cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸nph¥n vector y¸u v b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u, trong â b i to¡n cuèicòng trong mët sè tr÷íng hñp °c bi»t l t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n vector y¸u Qua â, luªn ¡n ÷a ra nhúng thuªt to¡n mîicho c¡c b i to¡n vøa n¶u ð tr¶n

3 èi t÷ñng nghi¶n cùu

Ph÷ìng ph¡p h m ph¤t, b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n d¤ng th÷íng v d¤ng vector y¸u, b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u

4 Ph¤m vi nghi¶n cùu

Luªn ¡n nghi¶n cùu b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, b i to¡n b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n vector y¸u v b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u trongkhæng gian Euclide húu h¤n chi·u Rk

5 Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu

Chóng tæi sû döng ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu l½ thuy¸t trong khi thüchi»n · t i Trong ch÷ìng thù nh§t, b¬ng vi»c k¸t hñp lñi th¸ cõa ph÷ìngph¡p h m ph¤t v ph÷ìng ph¡p chi¸u, chóng tæi ¢ kh-c phöc ÷ñc trð ng¤ilîn nh§t cõa ph÷ìng ph¡p chi¸u l khâ kh«n trong vi»c t½nh h¼nh chi¸ucõa mët iºm l¶n mët mi·n lçi b§t ký Trong ch÷ìng thù hai, chóng tæinghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p h m ph¤t ¡p döng cho b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥nvector y¸u, sû döng c¡c kÿ thuªt chùng minh truy·n thèng trong lþ thuy¸t

h m ph¤t cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n v cho b i to¡n tèi ÷u ºchùng minh t½nh hëi tö cõa thuªt to¡n iºm kh¡c vîi c¡c cæng tr¼nhnghi¶n cùu v· b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (d¤ng th÷íng) tr÷îc â lchóng tæi êi và tr½ cõa tham sè ph¤t khi x¥y düng b i to¡n ph¤t Nhí ât½nh hëi tö cõa thuªt to¡n ÷ñc chùng minh Trong ch÷ìng thù ba, thayv¼ ¡p döng h m ph¤t mô nh÷ trong [34], chóng tæi sû döng h m ph¤tngo i v ¡p döng kÿ thuªt chùng minh trong [38], nhí â thu ÷ñc c¡c k¸t qu£hëi tö tèt hìn c¡c k¸t qu£ n¶u trong [34]

6 Þ ngh¾a khoa håc v thüc ti¹n

K¸t qu£ cõa luªn ¡n gâp ph¦n gi£i quy¸t v§n · gi£i sè c¡c b i to¡nb§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n d¤ng th÷íng v d¤ng vector y¸u v b i to¡n tèi

÷u a möc ti¶u

Luªn ¡n l t i li»u tham kh£o cho sinh vi¶n, håc vi¶n cao håc vnghi¶n cùu sinh chuy¶n ng nh To¡n gi£i t½ch

7 Têng quan v c§u tróc luªn ¡n

7.1 Têng quan luªn ¡n

Trong luªn ¡n n y, chóng tæi nghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p h m ph¤tcho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n (d¤ng th÷íng), b i to¡n b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n vector v b i to¡n li¶n quan vîi nâ l b i to¡n tèi ÷u amöc ti¶u

Ch÷ìng 1 nghi¶n cùu v§n · k¸t hñp ph÷ìng ph¡p h m ph¤t v ph÷ìngph¡p chi¸u º gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n Chóng tæi nh-c l¤imët sè ành ngh¾a v k¸t qu£ cì b£n v· sü tçn t¤i v duy nh§t nghi»mcõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n Ph÷ìng ph¡p chi¸u v ph÷ìng ph¡p

h m ph¤t cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n ÷ñc tr¼nh b y t÷ìng ùngtrong c¡c möc 1.3 v 1.4 K¸t qu£ ch½nh cõa ch÷ìng n y ÷ñc tr¼nh b ytrong möc 1.5 Trong möc n y, chóng tæi ÷a ra Thuªt to¡n 3, k¸t hñpc¡c ph÷ìng ph¡p h m ph¤t v ph÷ìng ph¡p chi¸u º gi£i b i to¡n b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n Thuªt to¡n n y tr÷îc h¸t chuyºn mët b i to¡n b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n r ng buëc tr¶n mët mi·n lçi âng D b§t ký v· mët d¢yc¡c b i to¡n ph¤t vîi r ng buëc ìn gi£n hìn, sau â gi£i méi b i to¡n ph¤t

n y b¬ng ph÷ìng ph¡p chi¸u V¼ c¡c b i to¡n ph¤t câ mi·n r ng buëc ìngi£n, vi»c t½nh h¼nh chi¸u cõa mët iºm b§t ký l¶n

mi·n r ng buëc â trð n¶n d¹ d ng hìn Do â ph÷ìng ph¡p chi¸u câ thºgi£i c¡c b i to¡n ph¤t mët c¡ch hi»u qu£ Chóng tæi minh håa Thuªtto¡n 3 trong ba v½ dö 1.6.1, 1.6.2, v 1.6.3, gi£i sè b i to¡n b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n trong tr÷íng hñp hai chi·u v nhi·u chi·u, trong âtr÷íng hñp nhi·u chi·u l§y theo mæ h¼nh Nash ([28]) K¸t qu£ cõaCh÷ìng 1 ÷ñc cæng bè trong [37]

Trong Ch÷ìng 2, chóng tæi nghi¶n cùu ph÷ìng ph¡p h m ph¤t ¡p döng cho b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vector y¸u WVVIP(D; F ) K¸t qu£ cì b£n v· sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vector y¸u m chóng tæi sû döng trong ch÷ìng n y l ành lþ 2.1.3 ([6]) Trong

ành lþ n y, t½nh ch§t cì b£n m ¡nh x¤ F c¦n ph£i tho£ m¢n l t½nh

bùc y¸u tr¶n D trong tr÷íng hñp mi·n D khæng bà ch°n Chóng tæi

÷a ra kh¡i ni»m D-bùc tr¶n K Vîi ¡nh x¤ F thäa m¢n i·u ki»n D-bùctr¶n K, sü tçn t¤i nghi»m cõa c¡c b i to¡n ph¤t WVVIP(K; F (t)) vîi t >

0 ÷ñc £m b£o K¸t qu£ n y ÷ñc chùng minh trong Bê · 2.2.5 Trong

ph¤t Tr÷îc h¸t, vîi Bê · 2.3.1, chóng tæi chùng minh r¬ng mët iºm giîih¤n b§t ký cõa mët d¢y c¡c nghi»m cõa b i to¡n ph¤t l mët iºm ch§pnhªn ÷ñc, ngh¾a l nâ thuëc v o mi·n r ng buëc cõa b i to¡n b§t ¯ngthùc bi¸n ph¥n vector y¸u ban ¦u Ti¸p theo, vîi gi£ thi¸t v· t½nh li¶ntöc cõa ¡nh x¤ F , trong ành lþ 2.3.2 chóng tæi chùng minh r¬ng mëtiºm giîi h¤n b§t ký cõa mët d¢y c¡c nghi»m cõa c¡c b i to¡n ph¤tWVVIP(K; F (t)) khi tham sè ph¤t t ti¸n ra væ còng s³ l mët nghi»mcõa b i to¡n ban ¦u WVVIP(D; F ) Chóng tæi ÷a ra mët t½nh ch§tm¤nh hìn t½nh ch§t D-bùc tr¶n K, â l t½nh ch§t D-bùc m¤nh tr¶n Kcõa ¡nh x¤ F : Rk ! Rr k ành lþ 2.3.4 chùng minh r¬ng n¸u F l mët ¡nhx¤ li¶n töc, ìn i»u, thäa m¢n i·u ki»n D-bùc m¤nh tr¶n K, th¼

(2) mët d¢y nghi»m b§t ký cõa c¡c b i to¡n ph¤t luæn bà ch°n v

do â câ ½t nh§t mët iºm giîi h¤n;

(3) mët iºm giîi h¤n b§t ký cõa d¢y c¡c nghi»m cõa c¡c b i to¡nph¤t s³ l nghi»m cõa b i to¡n ban ¦u

K¸t qu£ cõa Ch÷ìng 2 ÷ñc cæng bè trong [35].

Trong Ch÷ìng 3, chóng tæi ¡p döng ph÷ìng ph¡p h m ph¤t cho b

i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u MOP(D; f) Sû döng c¡c k¸t qu£ v· sü tçn t¤inghi»m Pareto y¸u cõa b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u ([30]) v sü tçn t¤inghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vector y¸u ([6]), trong

Bê · 3.2.1 chóng tæi ÷a ra i·u ki»n õ cho sü tçn t¤i nghi»m cõa c¡c

b i to¡n ph¤t MOP(K; f(t)) vîi t > 0 C¡c k¸t qu£ ch½nh v· sü hëi töcõa thuªt to¡n ph¤t ÷ñc tr¼nh b y trong möc 3.3 Bê · 3.3.1 chùngminh t½nh ch§p nhªn ÷ñc cõa mët iºm giîi h¤n cõa mët d¢y b§t kýc¡c nghi»m Pareto y¸u cõa c¡c b i to¡n ph¤t MOP(K; f(t)) khi t ti¸n ra

væ còng Düa v o bê · n y, ành lþ 3.3.2 chùng tä r¬ng mët iºm giîih¤n b§t ký cõa mët d¢y c¡c nghi»m Pareto y¸u cõa c¡c b i to¡nph¤t MOP(K; f(t)) khi t ti¸n ra væ còng l mët nghi»m Pareto y¸u cõa

b i to¡n ban ¦u MOP(D; f) Dòng kÿ thuªt bao nghi»m Pareto y¸ucõa c¡c b i to¡n ph¤t bði mët h¼nh c¦u, trong ành lþ 3.3.3 chóngtæi ÷a ra mët i·u ki»n õ º

(1) c¡c b i to¡n ph¤t luæn câ ½t nh§t mët nghi»m;

(2) mët d¢y nghi»m b§t ký cõa c¡c b i to¡n ph¤t luæn bà ch°n v

do â câ ½t nh§t mët iºm giîi h¤n;

(3) mët iºm giîi h¤n b§t ký cõa d¢y c¡c nghi»m cõa c¡c b i to¡nph¤t s³ l nghi»m cõa b i to¡n ban ¦u

7.2 C§u tróc luªn ¡n

Nëi dung ch½nh cõa luªn ¡n ÷ñc tr¼nh b y trong 3 ch÷ìng Ngo

i ra, luªn ¡n câ Líi cam oan, Líi c£m ìn, Möc löc, ph¦n Mð ¦u, ph¦nK¸t luªn v ki¸n nghà, Danh möc cæng tr¼nh khoa håc cõa nghi¶ncùu sinh li¶n quan ¸n luªn ¡n, v T i li»u tham kh£o

Ch÷ìng 1 tr¼nh b y v· sü k¸t hñp giúa ph÷ìng ph¡p h m ph¤t vph÷ìng ph¡p chi¸u º gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, bao gçm 6möc Möc 1.1 tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ cì b£n v· sü tçn t¤i v duy nh§tnghi»m cõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, Möc 1.2 tr¼nh b yph²p chi¸u v mèi quan h» vîi b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, Möc

1.3 tr¼nh b y v· ph÷ìng ph¡p chi¸u, Möc 1.4 tr¼nh b y v· ph÷ìngph¡p h m ph¤t, Möc 1.5 tr¼nh b y v· ph÷ìng ph¡p k¸t hñp gi£i b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, Möc 1.6 tr¼nh b y c¡c v½ dö

Ch÷ìng 2 tr¼nh b y v· ph÷ìng ph¡p h m ph¤t ¡p döng cho b ito¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vector y¸u, bao gçm 3 möc Möc 2.1

tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ c¦n dòng v· sü tçn t¤i nghi»m cõa b i to¡n b§t

¯ng thùc bi¸n ph¥n vector y¸u, Möc 2.2 tr¼nh b y v· b i to¡n ph¤t vi·u ki»n câ nghi»m cõa b i to¡n ph¤t, Möc 2.3 tr¼nh b y c¡c ành lþhëi tö cõa ph÷ìng ph¡p

Ch÷ìng 3 tr¼nh b y v· ph÷ìng ph¡p h m ph¤t ¡p döng cho b i to¡ntèi ÷u a möc ti¶u, bao gçm 3 möc Möc 3.1 tr¼nh b y c¡c k¸t qu£ c¦ndòng v· sü tçn t¤i nghi»m Pareto y¸u cõa b i to¡n tèi ÷u a möc ti¶u,Möc 3.2 tr¼nh b y v· b i to¡n ph¤t v i·u ki»n câ nghi»m cõa b i to¡nph¤t, Möc 3.3 tr¼nh b y c¡c ành lþ hëi tö cõa ph÷ìng ph¡p

VIP(D; f) : T¼m x 2 D; sao cho hf(x); y xi 0; vîi måi y 2 D:Tªp nghi»m cõa VIP(D; f) ÷ñc k½ hi»u l S Tªp D ÷ñc gåi l mi·n r

ng buëc cõa b i to¡n; f ÷ñc gåi l ¡nh x¤ gi¡ cõa b i to¡n

N¸u f l gradient cõa mët ¡nh x¤ lçi g th¼ VIP(D; f) t÷ìng ÷ìng vîi

b i to¡n t¼m cüc tiºu cõa g tr¶n D Tuy nhi¶n, khæng ph£i b i to¡nb§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n n o công t÷ìng ÷ìng vîi mët b i to¡n quyho¤ch lçi

Ph÷ìng ph¡p chi¸u (tham kh£o [15], Ch÷ìng 12) l mët lîp ph÷ìngph¡p ìn gi£n v hi»u qu£ º gi£i c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n vîigi£ thi¸t tèi thiºu f gi£ ìn i»u v li¶n töc Trð ng¤i ch½nh trong ph÷ìngph¡p n y l vi»c t½nh to¡n h¼nh chi¸u l¶n mët tªp lçi b§t ký khæng h·

ìn gi£n â l mët b i to¡n qui ho¤ch to n ph÷ìng vîi mi·n x¡c ành lçi N¸u

D khæng câ h¼nh d¤ng °c bi»t th¼ vi»c x¡c ành h¼nh chi¸u l¶n

D l mët b i to¡n khâ gi£i

Trong khi â, ph÷ìng ph¡p h m ph¤t (xem [38]) cho ph²p ÷a b i to¡n

b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n mi·n lçi âng (bà ch°n) b§t ký v· mët d

¢y c¡c b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n tr¶n mët mi·n b§t ký baomi·n lçi ban ¦u Þ t÷ðng cõa chóng tæi l : èi vîi VIP(D; f) trong â D lmët mi·n lçi âng b§t ký, tr÷îc ti¶n dòng ph÷ìng ph¡p h m ph¤t º ÷a

nâ v· mët d¢y c¡c b i to¡n tr¶n mët mi·n K bao D, sau â dòngph÷ìng ph¡p chi¸u º gi£i méi b i to¡n tr¶n K Mi·n K ÷ñc x¡c ành saocho vi»c t½nh to¡n h¼nh chi¸u cõa mët iºm l¶n K l d¹ d ng Trongtr÷íng hñp K l h¼nh hëp, h¼nh c¦u hay khæng gian con, v¼ ph²pchi¸u cõa mët iºm l¶n K câ cæng thùc hiºn ìn gi£n n¶n trð ng¤ich½nh cõa ph÷ìng ph¡p chi¸u ÷ñc kh-c phöc

1.1 C¡c k¸t qu£ v· sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t nghi»m cõa

vîi x 2 D n o â, th¼ VIP(D; f) câ ½t nh§t mët nghi»m

1.1.2 ành ngh¾a ([15], ành ngh¾a 2.3.1) •nh x¤ f : D ! Rn ÷ñc gåil

(i) ìn i»u tr¶n D n¸u

(iv) li¶n töc Lipschitz tr¶n D n¸u tçn t¤i h¬ng sè L > 0 sao

cho jjf(x) f(y)jj Ljjx yjj; 8x; y 2 D;

(v) gi£ ìn i»u tr¶n D t÷ìng ùng vîi S n¸u S 6= ? v

(ii) N¸u f ìn i»u m¤nh tr¶n D th¼ VIP(D; f) câ nghi»m duy nh§t

1.2 Ph²p chi¸u v mèi quan h» vîi b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

1.2.1 ành ngh¾a Gi£ sû D l mët tªp con lçi âng kh¡c réng cõa Rn Vîi måi vector x 2 Rn, ta ành ngh¾a

d(D; x) = inf jjx yjj:

y2D

H m d(D; :) ÷ñc gåi l h m kho£ng c¡ch t÷ìng ùng vîi chu©n Euclidecõa x tîi D N¸u tçn t¤i y 2 D sao cho d(D; x) = jjx yjj th¼ y ÷ñc gåi lh¼nh chi¸u vuæng gâc hay h¼nh chi¸u Euclide cõa x l¶n D (gåi t-t

l h¼nh chi¸u cõa x l¶n D), v ÷ñc kþ hi»u bði PD(x)

M»nh · sau mæ t£ mèi quan h» giúa ph²p chi¸u v tªp nghi»m Scõa b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n

1.2.2 M»nh · ([15], Möc 12.1.1) Cho D Rn l mët tªp con lçiâng kh¡c réng v f : Rn ! Rn l mët ¡nh x¤ b§t ký Khi â vîi

A H¼nh chi¸u cõa mët iºm l¶n mët h¼nh hëp

Gi£ sû r¬ng

K = fx = (x1; x2; :::; xn)T 2 Rn : ai xi bi; i = 1; 2; :::; ng;

a = (a1; a2; :::; an)T ; b = (b1; b2; :::; bn)T 2 Rn:Khi â h¼nh chi¸u cõa x l¶n K ÷ñc x¡c ành nh÷ sau

:

B H¼nh chi¸u cõa mët iºm l¶n mët h¼nh c¦u

Gi£ sû

x = (x1; x2; :::; xn)T 2 Rn;

v C l mët h¼nh c¦u b¡n k½nh R t¥m

A = (a1; a2; :::; an)T 2 Rn;x¡c ành bði

i =a

i + (x

i a

i ) ( Pn (x i a i ) 2 ) 1=2 ; i = 1; 2; : : : ; n:

i=1

C H¼nh chi¸u cõa mët iºm l¶n mët khæng gian con

Gi£ sû L Rn l mët khæng gian con k chi·u vîi mët cì sð

B = f 1; 2; : : : ; kg:

Gi£ sû

x 2 Rn;v

vîi måi j = 1; 2; : : : ; k (ta s³ t¼m y thäa m¢n i·u ki»n n y sau) Khi

â y l h¼nh chi¸u cõa x l¶n L Thªt vªy, v¼ w trüc giao vîi måi vectortrong cì sð cõa L n¶n nâ công trüc giao vîi måi vector cõa L Do â,vîi z 2 L,

jjx zjj2 = hx y + y z; x y + y zi

= hx y; x yi + hy z; y zi + 2hw; y zi

= jjx yjj2 + jjy zjj2jjx yjj2:

V¼ vªy y l h¼nh chi¸u cõa x l¶n L B¥y gií ta t¼m vector y nh÷ th¸.Vîi måi i = 1; 2; : : : ; k, ta câ

hx y; ii = 0:

Nâi c¡ch kh¡c, vîi måi i = 1; 2; : : : ; k ta câ

k X

h i; jiyj = hx; ii: (1.2)

j=1

Vîi 1 i; j k °t

aij = h i; ji;

mët khi ta bi¸t yi, ta x¡c ành ÷ñc y N¸u B ÷ñc chån l mët cì sð trüc chu©n cõa L, ngh¾a l

ph÷ìng ph¡p chi¸u mët l¦n câ thº khæng hëi tö ngay c£ khi f l ìn i»u.Hìn núa, khi D câ h¼nh d¤ng °c bi»t th¼ khèi l÷ñng t½nh to¡ntrong méi b÷îc l°p l nhä nh§t so vîi c¡c ph÷ìng ph¡p chi¸u kh¡c (v§n

· ph¥n lo¤i c¡c ph÷ìng ph¡p chi¸u câ thº tham kh£o trong [15]).Thuªt to¡n chi¸u ÷ñc mæ t£ d÷îi ¥y

Thuªt to¡n 1 ([15], Möc 12.1.2)

Dú li»u: x(0) 2 D v > 0:

B÷îc 0: °t k = 0

B÷îc 1: N¸u x(k) 2 S, ngh¾a l x(k) = PD(xk f(x(k))), døng v tr£ ra x(k) lmët nghi»m

1.3.1 ành l½ ([15], Bê · 12.1.10, ành lþ 12.1.11) Cho D Rn l mëttªp lçi âng kh¡c réng v f : D ! Rn l mët ¡nh x¤ gi£ ìn i»u tr¶n D t÷ìngùng vîi S v li¶n töc Lipschitz tr¶n D vîi h¬ng sè

¥m t¤i c¡c iºm thuëc D èi vîi mët h m ph¤t P thæng th÷íng, ta câ

P (x) = 0 vîi måi x 2 D i·u n y câ ngh¾a l÷ñng ph¤t s³ l 0

èi vîimåi ph÷ìng ¡n thuëc D Trong khi â lo¤i h m th÷ðng-ph¤t l÷ñngph¤t s³ kh¡c nhau èi vîi méi ph÷ìng ¡n thuëc D N¸u P (x) < 0, cângh¾a l÷ñng ph¤t l ¥m (tùc l th÷ðng) N¸u

D¹ th§y vîi x > 0 ta câ 0(x) = 2x v vîi x < 0 ta câ 0(x) = 0 T¤i x = 0,

¤o h m b¶n ph£i cõa b¬ng 0

VIP(K; f(t)) : T¼m x(t) 2 K sao cho hf(t)(x(t)); x x(t)i 0 ; 8x 2 K;trong â K D l mët tªp lçi âng bao D sao cho h¼nh chi¸u cõa mëtiºm b§t ký cõa Rn l¶n K câ thº ÷ñc x¡c ành d¹ d ng, thªm ch½ l bðimët cæng thùc hiºn (v½ dö K l mët h¼nh hëp, mët h¼nh c¦u haymët khæng gian con)

K½ hi»u S(t) l tªp nghi»m cõa VIP(K; f(t)) v °t

t = supft 0 : S(t) Dg:

1.4.1 Bê · ([38]) Gi£ sû f l ¡nh x¤ ìn i»u tr¶n K, P l mët

h m ph¤t lçi, kh£ vi, thäa m¢n (1.3) v bà ch°n d÷îi Khi â

(i) S(t) \ D = ? n¸u t > t ,

(ii) S(t) D n¸u 0 < t < t ,

(iii) S(t ) n¬m trong tªp nghi»m cõa b i to¡n ban ¦u VIP(D; f) n¸u 0 <

t < 1 v ¡nh x¤ S( ) nûa li¶n töc d÷îi t¤i t ,

(iv) N¸u t = 1 th¼ b§t ký d¢y fx(k)g n o vîi x(k) 2 S(tk) v vîi tk ! t câmët iºm giîi h¤n v b§t ký iºm giîi h¤n n o cõa fx(k)g ·u l mëtnghi»m cõa VIP(D; f),

(v) N¸u t = 0 v S(0) 6= ? th¼ mët iºm giîi h¤n b§t ký cõa d¢y fx(k)gvîi x(k) 2 S(tk) v vîi tk ! t ·u l mët nghi»m cõa

VIP(D; f)

H m P cho bði (1.4) bà ch°n d÷îi bði 0, do â lªp tùc thäa m¢n c¡c y¶u c¦u cõa bê · tr¶n

Thuªt to¡n 2 ([38])

X¥y düng mët h m ph¤t P thäa m¢n c¡c i·u ki»n cõa Bê · 1.4.1

L§y mët sè d÷ìng tòy þ t0 > 0 °t a = 0, b = 1 v chuyºn sang B÷îc k vîi k = 0

B֔c k (k = 0; 1; : : :):

Gi£i b i to¡n VIP(K; f(tk )) thu ÷ñc nghi»m x(k) a)

N¸u x(k) 2 D, °t a := tk v

tk+1 = 8

quay l¤i b÷îc k

1.4.2 ành l½ ([38]) Gi£ sû f l ¡nh x¤ ìn i»u tr¶n K v fx(k)g

l d¢y thu ÷ñc tø thuªt to¡n tr¶n Vîi c¡c gi£ thi¸t cõa Bê · 1.4.1,

ta câ

(i) N¸u x(k) 2 D vîi k n o â th¼ d¢y fx(k)g câ mët d¢y con hëi tö,trong â t§t c£ c¡c ph¦n tû cõa d¢y con â l ch§p nhªn ÷ñc (tùc lthuëc D) v mët iºm giîi h¤n b§t ký cõa fx(k)g l nghi»m cõa b ito¡n ban ¦u VIP(D; f).

(ii) Tr¡i l¤i, mët iºm giîi h¤n b§t ký cõa d¢y fx(k)g l mët nghi»m cõa

b i to¡n ban ¦u VIP(D; f)

Chó þ r¬ng n¸u P (x) 0 vîi måi x 2 D v x(k) l mët nghi»m cõaVIP(K; f(tk )) thäa m¢n x(k) 2 D, khi â x(k) công l mët nghi»m cõa b ito¡n ban ¦u VIP(D; f)

1.5 Ph÷ìng ph¡p k¸t hñp ph¤t-chi¸u gi£i b i to¡n b§t ¯ng

thùc bi¸n ph¥n

Trong ph¦n n y chóng tæi k¸t hñp ph÷ìng ph¡p h m ph¤t vph÷ìng ph¡p chi¸u º gi£i b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n, nhí â kh-cphöc ÷ñc trð ng¤i cì b£n trong ph÷ìng ph¡p chi¸u l sü khâ kh«n khiph£i t½nh h¼nh chi¸u cõa mët iºm l¶n mët mi·n lçi b§t ký

Trong Thuªt to¡n 2, t¤i b÷îc l°p thù k ta gi£i b i to¡n bi¸n ph¥n VIP(K;

f(tk )) V¼ mi·n r ng buëc cõa b i to¡n n y câ h¼nh d¤ng °c bi»t, ta câ thºgi£i nâ b¬ng c¡ch sû döng c¡c ph÷ìng ph¡p chi¸u, ch¯ng h¤n, sû döngph÷ìng ph¡p chi¸u hai l¦n ¢ giîi thi»u ð tr¶n Chån c¡c tham sè tk mëtc¡ch th½ch hñp ð méi b÷îc, d¢y nghi»m cõa c¡c b i to¡n ph¤t VIP(K;

f(tk )) s³ hëi tö v· mët nghi»m cõa b i to¡n ban ¦u VIP(D; f) khi tk ! t ¥y l þt÷ðng cì b£n cõa thuªt to¡n mæ t£ d÷îi ¥y

X²t b i to¡n b§t ¯ng thùc bi¸n ph¥n VIP(D; f) vîi D l tªp con lçiâng kh¡c réng cõa Rn Gi£ sû f l mët ¡nh x¤ li¶n töc v ìn i»u tr¶nmët mi·n lçi âng K D Thuªt to¡n k¸t hñp bao gçm hai b÷îc ch½nh

Thuªt to¡n 3

X¥y düng mët tªp lçi âng K D câ h¼nh d¤ng °c bi»t (ch¯ng h¤n,h¼nh hëp, h¼nh c¦u, ho°c khæng gian con) v mët h m ph¤t lçi Pthäa m¢n c¡c i·u ki»n trong Bê · 1.4.1

L§y mët sè d÷ìng tòy þ t0 > 0 Chån "k > 0, sao cho "k ! 0 khi k ! 1

°t a = 0, b = 1 v chuyºn sang B÷îc k vîi k = 0

Tø ành lþ 1.3.1 v ành lþ 1.4.2, v¼ "k ! 0, ta câ k¸t qu£ sau

1.5.1 ành l½ Gi£ sû f l mët ¡nh x¤ ìn i»u tr¶n mi·n lçi âng

K D, P l mët h m ph¤t lçi kh£ vi cõa D Hìn núa gi£ sû P bà ch°nd÷îi tr¶n K, f v rP li¶n töc Lipschitz tr¶n K Gåi fx(k)g l d¢y sinh bðiThuªt to¡n 3 Khi â, mët iºm giîi h¤n b§t ký cõa fx(k)g l nghi»m cõa

b i to¡n ban ¦u VIP(D; f)

Chùng minh Khæng gi£m têng qu¡t, v¼ n¸u c¦n cho qua d¢y con,

ta câ thº gi£ sû

x(k) ! x ;

v

x(k) ! x;

khi k ! +1 Theo ành lþ 1.4.2 ta câ x l mët nghi»m cõa b i to¡n ban

¦u VIP(D; f) M°t kh¡c, theo ph÷ìng ph¡p chi¸u hai l¦n v do

"k > 0 n¶n váng l°p j s³ k¸t thóc sau mët sè húu h¤n b÷îc v t¤i b÷îc l°p cuèi còng cõa váng l°p j, ta câ

y(j) = x(k)

thäa m¢n

kx(k) x(k)k "k:Qua giîi h¤n, do x(k) ! x , x(k) ! x, v "k ! 0, ta ÷ñc

Tø â suy ra x = x Do x l nghi»m cõa VIP(D; f), x công l mët

nghi»m cõa VIP(D; f)

D¹ th§y g(x) l mët h m lçi tr¶n Rn Chån h m P (x) g(x) tr¶n Rn.Khi â,

Ta câ f chån nh÷ tr¶n l ¡nh x¤ ìn i»u (tham kh£o [28]) Ngo i ra, fli¶n töc Lipschitz vîi h¬ng sè Lipschitz

p

Ln = 2( 2 + 4n2 2);

trong â

= max i:

i