tóm tắt luận án tiến sĩ phương pháp hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân

Cho đến nay, những bài toán được quy về các bài toán bấtđẳng thức biến phân gồm có: bài toán cân bằng mạng giao thông Traf-fic Network Equilibrium Problem và bài toán gần với nó là bài t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC VINH

ĐẬU XUÂN LƯƠNG

Người hướng dẫn khoa học: GS TSKH Lê Dũng Mưu

PGS TS Trần Văn Ân

Phản biện 1: PGS TS Nguyễn Hữu Điển

Phản biện 2: PGS TS Phan Nhật Tĩnh

Phản biện 3: PGS TS Bùi Thế Tâm

Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng chấm luận án cấp trường họp tạiTrường Đại học Vinh vào hồi giờ ngày tháng năm

Có thể tìm hiểu luận án tại:

- Thư viện Quốc gia

- Trung tâm thông tin thư viện Nguyễn Thúc Hào - Trường Đại họcVinh

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Lý thuyết bất đẳng thức biến phân ra đời vào những năm 60 pacchia (1964), Hartman và Stampacchia (1966), Lions và Stampacchia(1967)), là một công cụ mạnh và thống nhất để nghiên cứu các bài toáncân bằng Cho đến nay, những bài toán được quy về các bài toán bấtđẳng thức biến phân gồm có: bài toán cân bằng mạng giao thông (Traf-fic Network Equilibrium Problem) và bài toán gần với nó là bài toán cânbằng giá không gian (Spatial Price Equilibrium Problem), các bài toáncân bằng tài chính (Financial Equilibrium Problem), cân bằng nhập cư(Migration Equilibrium Problem), hệ thống môi trường (EnvironmentalNetwork Problem) và mạng kiến thức (Knowledge Network Problem).Phương pháp hàm phạt là một trong các phương pháp quan trọng đểgiải các bài toán bất đẳng thức biến phân (tham khảo chẳng hạn L D Muu(1986, 1992), Ito và Kunisch (1990), Alber (1995), Tang và Liu (2010)).Nhờ vào phương pháp này, một bài toán với miền ràng buộc phức tạp cóthể được chuyển về một dãy các bài toán không ràng buộc hoặc với ràngbuộc đơn giản hơn Trong khi đó, phương pháp chiếu là một lớp phươngpháp đơn giản và hiệu quả, đặc biệt đối với các bài toán thỏa mãn điềukiện đơn điệu Nhược điểm duy nhất của phương pháp này là ta phải tínhhình chiếu của một điểm lên một miền lồi bất kỳ, và đó là một bài toánrất khó trong trường hợp tổng quát, khi mà miền đó không có hình dạngđặc biệt Do đó, kết hợp phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu sẽkhắc phục được nhược điểm này của phương pháp chiếu

(Stam-1.2 Khái niệm bất đẳng thức biến phân vector được giới thiệu bởi

Giannessi (1980) Từ đó tới nay, người ta đã tìm được nhiều ứng dụng củabài toán bất đẳng thức biến phân vector (Vector Variational InequalityProblem, viết tắt là VVIP) và bài toán bất đẳng thức biến phân vectoryếu (Weak Vector Variational Inequality Problem, viết tắt là WVVIP)trong bài toán tối ưu đa mục tiêu (Multiobjective Optimization Problem,viết tắt là MOP), trong bài toán xấp xỉ vector (Vector ApproximationProblem) và trong bài toán cân bằng giao thông vector (Vector TrafficEquilibrium Problem) Sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biếnphân vector yếu cũng được nghiên cứu trong nhiều công trình (tham khảochẳng hạn Chen và Yang (1990), Chen và Craven (1990), Chen (1992), Lee(1993), Daniilidis (1996)).

Để có thể ứng dụng bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu vàothực tiễn, đòi hỏi phải có các thuật toán giải số hiệu quả cho bài toán này.Tuy nhiên, theo hiểu biết của chúng tôi, cho tới nay chỉ có một vài côngtrình nghiên cứu về các thuật toán để giải bài toán bất đẳng thức biếnphân vector yếu (Goh và Yang (1999, 2000)) Từ rất lâu, phương pháphàm phạt đã được áp dụng để giải các bài toán tối ưu và các bài toánbất đẳng thức biến phân vô hướng Tuy nhiên, cho tới nay chưa có bất

cứ công trình nào nghiên cứu áp dụng phương pháp này cho bài toán bấtđẳng thức biến phân vector yếu mà chúng tôi được biết

1.3 Khái niệm nghiệm tối ưu Pareto (mà trong luận án này chúng tôigọi là nghiệm Pareto) của bài toán tối ưu đa mục tiêu xuất hiện đầu tiêntrong các công trình của Edgeworth (1881) và Pareto (1906) Một điểm x

được gọi là nghiệm Pareto của bài toán tối ưu đa mục tiêu với hàm mụctiêu f = (f1, , fk) (k mục tiêu) nếu không có một điểm nào khác tốthơn điểm đó, nghĩa là không tồn tại một điểmy 6= x sao chofi(y) ≤ fi(x)

với mọi i = 1, , k, và fj(y) < fj(x) với một chỉ số j nào đó Điểm x

được gọi là nghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu nếu không

có một điểm nào khác tốt hơn điểm đó xét trên tất cả các mục tiêu, nghĩa

là không tồn tại y sao cho fi(y) < fi(x) với mọi i = 1, , k

Bài toán tối ưu đa mục tiêu có ứng dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnhvực, trong cả khoa học và cuộc sống Lý thuyết tối ưu đa mục tiêu được

sử dụng trong bài toán xấp xỉ vector (Vector Approximation Problem), lýthuyết trò chơi (Game Theory), các bài toán quản lý và hoạch định tàinguyên (Resource Planning and Management), lý thuyết phúc lợi (WelfareTheory), các bài toán trong kỹ thuật như điều khiển phi cơ, các hệ thống

cơ khí chính xác, v.v

Phương pháp hàm phạt áp dụng cho bài toán tối ưu đa mục tiêu đãđược nghiên cứu trong một vài công trình gần đây (tham khảo White(1984), Huang và Yang (2001), Huang, Yang và Teo (2006), Liu và Feng(2009)) Liu và Feng (2009) nghiên cứu nghiệm Pareto yếu của bài toánMOP(D, f ) sử dụng một hàm phạt mũ Liu và Feng đã chứng minh rằngnếu x là một điểm giới hạn của một dãy các nghiệm Pareto yếu của cácbài toán phạt vàx chấp nhận được (nghĩa là x ∈ D), thì x là một nghiệmPareto yếu của bài toán ban đầu Như vậy, các định lý hội tụ của họ dựatrên giả thiết rằng điểm giới hạnx của dãy các nghiệm Pareto yếu của cácbài toán phạt nằm trong miền ràng buộc D Giả thiết này là một điểmbất lợi trong cách tiếp cận bài toán tối ưu đa mục tiêu với hàm phạt mũcủa Liu và Feng Từ đó nảy sinh yêu cầu phải có một mô hình hàm phạtcho các kết quả hội tụ tốt hơn, khắc phục được nhược điểm của mô hình

đề xuất bởi Liu và Feng (2009)

Với các lí do nêu trên, chúng tôi chọn đề tài “Phương pháp hàm phạtcho bài toán bất đẳng thức biến phân” làm đề tài luận án tiến sĩ Đềtài tập trung nghiên cứu những vấn đề sau

(1) Kết hợp phương pháp hàm phạt và phương pháp chiếu để có mộtthuật toán hoàn chỉnh giải các bài toán bất đẳng thức biến phân dạngVIP(D, f ), với D lồi đóng khác rỗng và f đơn điệu, liên tục Lipschitz.Bằng cách này, ta khắc phục được trở ngại lớn nhất của phương phápchiếu là sự khó khăn khi tính toán hình chiếu của một điểm lên một miềnlồi bất kỳ

(2) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển một bài toán bất đẳngthức biến phân vector yếu với ràng buộc trên một miền D lồi đóng bất

kỳ về một dãy các bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu với miềnràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọi là các bài toán phạt Ta có thể chọn

K =Rk, nghĩa là các bài toán phạt sẽ không có ràng buộc

(3) Áp dụng phương pháp hàm phạt để chuyển một bài toán tối ưu đamục tiêu với ràng buộc trên một miền D lồi đóng bất kỳ về một dãy cácbài toán tối ưu đa mục tiêu với miền ràng buộc K ⊃ D đơn giản hơn, gọi

là các bài toán phạt Ta có thể chọn K = Rk, nghĩa là các bài toán phạt

sẽ không có ràng buộc Bằng cách sử dụng hàm phạt ngoài, chúng tôi thuđược các kết quả hội tụ tốt hơn so với các kết quả mà Liu và Feng (2009)đưa ra Ngoài ra, chúng tôi còn chỉ ra điều kiện đủ để các bài toán phạtđều có nghiệm Pareto yếu, đồng thời dãy các nghiệm đó có ít nhất mộtđiểm giới hạn và đó chính là một nghiệm của bài toán ban đầu

2 Mục đích nghiên cứu

Luận án nhằm mục đích nghiên cứu áp dụng phương pháp hàm phạtcho bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toán bất đẳng thức biến phânvector yếu và bài toán tối ưu đa mục tiêu, trong đó bài toán cuối cùngtrong một số trường hợp đặc biệt là tương đương với bài toán bất đẳngthức biến phân vector yếu Qua đó, luận án đưa ra những thuật toán mớicho các bài toán vừa nêu ở trên

3 Đối tượng nghiên cứu

Phương pháp hàm phạt, bài toán bất đẳng thức biến phân dạngthường và dạng vector yếu, bài toán tối ưu đa mục tiêu

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu bài toán bất đẳng thức biến phân, bài toánbất đẳng thức biến phân vector yếu và bài toán tối ưu đa mục tiêu trongkhông gian Euclide hữu hạn chiều Rk

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng phương pháp nghiên cứu lí thuyết trong khi thực

hiện đề tài Trong chương thứ nhất, bằng việc kết hợp lợi thế của phươngpháp hàm phạt và phương pháp chiếu, chúng tôi đã khắc phục được trởngại lớn nhất của phương pháp chiếu là khó khăn trong việc tính hìnhchiếu của một điểm lên một miền lồi bất kỳ Trong chương thứ hai, chúngtôi nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụng cho bất đẳng thức biếnphân vector yếu, sử dụng các kỹ thuật chứng minh truyền thống trong lýthuyết hàm phạt cho bài toán bất đẳng thức biến phân và cho bài toántối ưu để chứng minh tính hội tụ của thuật toán Điểm khác với các côngtrình nghiên cứu về bài toán bất đẳng thức biến phân (dạng thường) trước

đó là chúng tôi đổi vị trí của tham số phạt khi xây dựng bài toán phạt.Nhờ đó tính hội tụ của thuật toán được chứng minh Trong chương thứ

ba, thay vì áp dụng hàm phạt mũ như trong Liu và Feng (2009), chúngtôi sử dụng hàm phạt ngoài và áp dụng kỹ thuật chứng minh của L D.Muu (1986), nhờ đó thu được các kết quả hội tụ tốt hơn các kết quả chứngminh bởi Liu và Feng (2009)

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Kết quả của luận án góp phần giải quyết vấn đề giải số các bài toánbất đẳng thức biến phân dạng thường và dạng vector yếu và bài toán tối

ưu đa mục tiêu

Luận án là tài liệu tham khảo cho sinh viên, học viên cao học và nghiêncứu sinh chuyên ngành Toán giải tích

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan luận án

Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu phương pháp hàm phạt chobài toán bất đẳng thức biến phân (dạng thường), bài toán bất đẳng thứcbiến phân vector và bài toán liên quan với nó là bài toán tối ưu đa mụctiêu

Chương 1 nghiên cứu vấn đề kết hợp phương pháp hàm phạt và phươngpháp chiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân Kết quả chính củachương này được trình bày trong mục 1.5 Trong mục này, chúng tôi đưa

ra Thuật toán 3, kết hợp các phương pháp hàm phạt và phương phápchiếu để giải bài toán bất đẳng thức biến phân Thuật toán này trước hếtchuyển một bài toán bất đẳng thức biến phân ràng buộc trên một miềnlồi đóng D bất kỳ về một dãy các bài toán phạt với ràng buộc đơn giảnhơn, sau đó giải mỗi bài toán phạt này bằng phương pháp chiếu Vì cácbài toán phạt có miền ràng buộc đơn giản, việc tính hình chiếu của mộtđiểm bất kỳ lên miền ràng buộc đó trở nên dễ dàng hơn Do đó phươngpháp chiếu có thể giải các bài toán phạt một cách hiệu quả Chúng tôiminh họa Thuật toán 3 trong ba ví dụ 1.6.1, 1.6.2 và 1.6.3, giải số bài toánbất đẳng thức biến phân trong trường hợp hai chiều và nhiều chiều, trong

đó trường hợp nhiều chiều lấy theo mô hình Nash (Konnov (2001))

Trong Chương 2, chúng tôi nghiên cứu phương pháp hàm phạt áp dụngcho bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu WVVIP(D, F ) Kết quả

cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vectoryếu mà chúng tôi sử dụng trong chương này là một định lý đưa ra bởiChen và Yang (1990)) Trong định lý này, tính chất cơ bản mà ánh xạ F

cần phải thoả mãn là tính bức yếu trên D trong trường hợp miền D không

bị chặn Chúng tôi đưa ra khái niệm D-bức trên K Với ánh xạ F thỏamãn điều kiện D-bức trên K, sự tồn tại nghiệm của các bài toán phạtWVVIP(K, F(t)) với t > 0 được đảm bảo Kết quả này được chứng minhtrong Bổ đề 2.2.5 Trong mục 2.3, chúng tôi trình bày các định lý hội tụcho mô hình hàm phạt Trước hết, với Bổ đề 2.3.1, chúng tôi chứng minhrằng một điểm giới hạn bất kỳ của một dãy các nghiệm của bài toán phạt

là một điểm chấp nhận được, nghĩa là nó thuộc vào miền ràng buộc củabài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu ban đầu Tiếp theo, với giảthiết về tính liên tục của ánh xạ F, trong Định lý 2.3.2 chúng tôi chứngminh rằng một điểm giới hạn bất kỳ của một dãy các nghiệm của các bàitoán phạt WVVIP(K, F(t)) khi tham số phạt t tiến ra vô cùng sẽ là mộtnghiệm của bài toán ban đầu WVVIP(D, F ) Chúng tôi đưa ra một tínhchất mạnh hơn tính chất D-bức trên K, đó là tính chất D-bức mạnh trên

K của ánh xạ F : Rk → Rr×k Định lý 2.3.4 chứng minh rằng nếu F làmột ánh xạ liên tục, đơn điệu, thỏa mãn điều kiện D-bức mạnh trên K,thì

(1) các bài toán phạt luôn có ít nhất một nghiệm;

(2) một dãy nghiệm bất kỳ của các bài toán phạt luôn bị chặn và do đó

có ít nhất một điểm giới hạn;

(3) một điểm giới hạn bất kỳ của dãy các nghiệm của các bài toán phạt

sẽ là nghiệm của bài toán ban đầu

Trong Chương 3, chúng tôi áp dụng phương pháp hàm phạt cho bàitoán tối ưu đa mục tiêu MOP(D, f ) Sử dụng các kết quả về sự tồn tạinghiệm Pareto yếu của bài toán tối ưu đa mục tiêu (Lee và Kim (1998)) và

sự tồn tại nghiệm của bài toán bất đẳng thức biến phân vector yếu (Chen

và Yang (1990)), trong Bổ đề 3.2.1 chúng tôi đưa ra điều kiện đủ cho sựtồn tại nghiệm của các bài toán phạt MOP(K, f(t)) với t > 0 Các kết quảchính về sự hội tụ của thuật toán phạt được trình bày trong mục 3.3 Bổ

đề 3.3.1 chứng minh tính chấp nhận được của một điểm giới hạn của mộtdãy bất kỳ các nghiệm Pareto yếu của các bài toán phạt MOP(K, f(t))

khi t tiến ra vô cùng Dựa vào bổ đề này, Định lý 3.3.2 chứng tỏ rằng mộtđiểm giới hạn bất kỳ của một dãy các nghiệm Pareto yếu của các bài toánphạt MOP(K, f(t)) khi t tiến ra vô cùng là một nghiệm Pareto yếu củabài toán ban đầu MOP(D, f ) Dùng kỹ thuật bao nghiệm Pareto yếu củacác bài toán phạt bởi một hình cầu, trong Định lý 3.3.3 chúng tôi đưa ramột điều kiện đủ để

(1) các bài toán phạt luôn có ít nhất một nghiệm;

(2) một dãy nghiệm bất kỳ của các bài toán phạt luôn bị chặn và do đó

có ít nhất một điểm giới hạn;

(3) một điểm giới hạn bất kỳ của dãy các nghiệm của các bài toán phạt

sẽ là nghiệm của bài toán ban đầu

Kết quả chính của luận án được công bố trong các bài báo liệt kê trongDanh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinh liên quan tới luận án.7.2 Cấu trúc luận án

Nội dung chính của luận án được trình bày trong 3 chương Ngoài

ra, luận án có Lời cam đoan, Lời cảm ơn, Mục lục, phần Mở đầu, phầnKết luận và kiến nghị, Danh mục công trình khoa học của nghiên cứu sinhliên quan đến luận án và Tài liệu tham khảo

CHƯƠNG 1HÀM PHẠT CHO BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN

VIP(D, f ) : Tìm x ∈ D, sao cho hf (x), y − xi ≥ 0, với mọi y ∈ D

Tập nghiệm của VIP(D, f ) được kí hiệu là S Tập D được gọi là miềnràng buộc của bài toán; f được gọi là ánh xạ giá của bài toán

1.1 Các kết quả về sự tồn tại và tính duy nhất nghiệm của bàitoán bất đẳng thức biến phân

Mục này nhắc lại các kết quả cơ bản về sự tồn tại nghiệm của bài toánbất đẳng thức biến phân, trong đó các khái niệm về ánh đơn điệu và ánh

xạ thỏa mãn điều kiện bức đóng vai trò quan trọng trong các điều kiện đủ

để bài toán có nghiệm

1.2 Phép chiếu và mối quan hệ với bất đẳng thức biến phân

Mục này trình bày mối quan hệ giữa tập nghiệm S của bài toán bất đẳngthức biến phân và phép chiếu Euclide Chú ý rằng nếuK là một hình hộp,hình cầu, hay một không gian con thì tính hình chiếu của một điểm lênK

rất dễ dàng

Bây giờ ta xây dựng bài toán phạt sử dụng hàm phạt vừa định nghĩa

ở trên Với mỗi t > 0, đặt f(t) = tf + ∇P Dễ thấy rằng f(t) là đơn điệuvới mọit > 0 nếu f là đơn điệu Ta xét bài toán bất đẳng thức biến phânứng với tham số phạt t, ký hiệu

VIP(K, f(t)) : Tìm x(t) ∈ K sao cho hf(t)(x(t)), x − x(t)i ≥ 0 , ∀x ∈ K

Nội dung chính của mục này là nhắc lại thuật toán phạt cho bài toán bấtđẳng thức biến phân vô hướng đưa ra bởi L D Muu (1986)

1.5 Phương pháp kết hợp phạt-chiếu giải bài toán bất đẳngthức biến phân

Trong thuật toán phạt (L D Muu (1986)), tại bước lặp thứ k ta giảibài toán biến phân VIP(K, f(tk )) Nếu miền ràng buộc K của bài toánnày có hình dạng đặc biệt, ta có thể giải nó bằng cách sử dụng các phươngpháp chiếu Ta cần đặt thêm các giả thiết về tính liên tục Lipschitz của f

và ∇P Chọn các tham số tk một cách thích hợp ở mỗi bước, dãy nghiệmcủa các bài toán phạt VIP(K, f(tk )) sẽ hội tụ về một nghiệm của bài toánban đầu VIP(D, f ) khi tk → t∗ Đây là ý tưởng cơ bản của thuật toán mô

tả dưới đây

Đặt j := 0, chọn điểm xuất pháty0 ∈ K.

• Bước k1:

a) Nếu ||y(j) − PK(y(j)− λf(tk )(y(j)))|| ≤ εk, đặt x(k) := y(j) Xéthai trường hợp sau

a1) Nếu x(k) ∈ D, đặt a := tk và

tk+1 :=



(a + b)/2, b < ∞,2a, b = ∞

Chuyển sang Bước k với k := k + 1.a2) Nếu x(k) ∈ D/ , đặt b := tk và tk := (a + b)/2 Đặt k := k + 1

và quay lại Bước k.b) Nếu ||y(j)− PK(y(j)− λf(tk )

(y(j)))|| > εk, chuyển sang Bước k2

Gán j := j + 1 và quay lại Bước k1

Trên đây PK(x) là hình chiếu Euclide của x lên K Khi K có hìnhdạng đặc biệt, ta có thể tính PK(x) dễ dàng nhờ vào một công thức hiển