Phương pháp hàm phạt điểm trong giải bài toán cân bằng giả đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCDƯƠNG HỒNG PHÚC PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 1Số hóa bở

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

DƯƠNG HỒNG PHÚC

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THÁI NGUYÊN - NĂM 2010

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

DƯƠNG HỒNG PHÚC

PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT ĐIỂM TRONG GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰNG GIẢ ĐƠN ĐIỆU

Chuyên ngành: TOÁN ỨNG DỤNG

Mã số: 60.46.36

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS PHẠM NGỌC ANH

Thái Nguyên - Năm 2010

Mục lục

Một số kí hiệu và chữ viết tắt iv

1.1 Các kiến thức cơ bản 2

1.1.1 Tập lồi và các phép toán về tập lồi 2

1.1.2 Hàm lồi và dưới vi phân 5

1.2 Bài toán cân bằng 10

1.2.1 Phát biểu bài toán 10

1.2.2 Sự tồn tại nghiệm 13

2 Phương pháp hàm phạt điểm trong 15 2.1 Phương pháp hàm phạt điểm trong ([2]) 15

2.1.1 Ý tưởng chính 15

2.1.2 Phương pháp hàm phạt điểm trong 16

2.2 Hàm toàn phương logarit ([3]) 19

2.3 Mô tả thuật toán và sự hội tụ ([3]) 23

2.4 Thuật toán bỏ qua điều kiện Lipschitz ([3]) 30

3 Một số ứng dụng 36 3.1 Bài toán bất đẳng thức biến phân ([3]) 36

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3.2.4 Áp dụng thuật toán ánh xạ co Banach cho (M V I) 50

Danh mục các công trình có liên quan đến luận văn 54

Lời cảm ơn

Luận văn này được hoàn thành tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới thầy TS.Phạm Ngọc Anh (Học viện Công nghệ Bưu chính Viễn thông), thầy đã trực tiếphướng dẫn tận tình và động viên tác giả trong suốt thời gian nghiên cứu và viếtluận văn vừa qua

Xin chân thành cảm ơn các thầy, cô giáo trong Bộ môn Toán-Tin, PhòngĐào tạo khoa học và Quan hệ quốc tế, các bạn học viên lớp Cao học Toán K2trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và các bạn đồng nghiệp đã tạođiều kiện thuận lợi, động viên tác giả trong quá trình học tập và nghiên cứu tạitrường

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới gia đình và người thân đãluôn khuyến khích và động viên tác giả trong suốt quá trình học cao học và viếtluận văn này

Mặc dù có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu xót vàhạn chế Tác giả mong nhận được những ý kiến đóng góp của các thầy cô và cácbạn đọc để luận văn được hoàn thiện hơn Xin chân thành cảm ơn

Một số kí hiệu và chữ viết tắt

Rn không gian Euclide n-chiều

|β| trị tuyệt đối của số thực β

x := y x được định nghĩa bằng y

∀x với mọi x

∃x tồn tại x

k x k chuẩn của véc tơ x

hx, yi tích vô hướng của hai véc tơ x, y

xk → x dãy {x k } hội tụ mạnh tới x

V IP bài toán bất đẳng thức biến phân đơn trị

M V I bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị

EP bài toán cân bằng

t.ư tương ứng

Lời nói đầu

Bài toán cân bằng, viết tắt là (EP), là bài toán tổng quát hóa của nhiều bàitoán khác nhau như: Bài toán tối ưu, bài toán bất đẳng thức biến phân, bàitoán bù phi tuyến, bài toán Nash trong trò chơi hợp tác, · · · Bài toán này córất nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật, kinh tế, viễn thông, vật lý, · · ·

Do vậy, bài toán cân bằng đang được rất nhiều tác giả quan tâm, nghiên cứu về

lý thuyết tồn tại nghiệm cũng như các thuật toán để giải nó

Luận văn này nhằm giới thiệu về bài toán cân bằng và trình bày phươngpháp hàm phạt điểm trong để giải bài toán (EP) với giả thiết hàm f giả đơnđiệu trên tập lồi đa diện C và một ứng dụng với bài toán bất đẳng thức biếnphân đa trị Luận văn gồm mục lục, ba chương, phần kết luận và tài liệu thamkhảo

Chương 1 có tiêu đề là "Bài toán cân bằng" Chương này sẽ nhắc lại các kiếnthức cơ bản nhất của tập lồi và hàm lồi, mà các kết quả này sẽ được sử dụng ởcác chương sau Phần cuối của chương sẽ giới thiệu về bài toán cân bằng, một

số ví dụ và sự tồn tại nghiệm của bài toán cân bằng

Chương 2 gồm hai phần chính: Phần đầu trình bày phương pháp hàm phạtđiểm trong giải bài toán cân bằng bằng cách sử dụng hàm toàn phương logaritkết hợp với điều kiện Lipschitz đã biết Để tránh điều kiện Lipschitz, phần haitrình bày phương pháp hàm phạt điểm trong giải bài toán cân bằng bằng cáchkết hợp hàm toàn phương logarit với kỹ thuật tìm kiếm theo tia

Chương 3 là phần ứng dụng Phần này trình bày một kết quả nghiên cứumới về bài toán bất đẳng thức biến phân và một số kết quả tính toán

7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Cho x = (x1, x2, · · · , xn)T và y = (y1, y2, · · · , yn)T là hai véc tơ trong Rn, tích

vô hướng của x và y được xác định bởi

và kí hiệu ||x|| là chuẩn Euclide của x, nghĩa là ||x|| = phx, xi

Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng trong Rn, khoảng cách từ x tớitập C ⊆ Rn, kí hiệu d(x, C), được xác định bởi

d(x, C) :=inf{||y − x|| : y ∈ C}.

1.1.1 Tập lồi và các phép toán về tập lồi

Phần này nhắc lại một số kiến thức cơ bản về giải tích lồi sẽ được sử dụngtrong các chương tiếp theo

Định nghĩa 1.1 ([8]) Cho a, b ∈ Rn

(i) Tập hợp điểm {x := λa + (1 − λ)b : 0 ≤ λ ≤ 1} được gọi là đoạn nối haiđiểm a và b, kí hiệu là [a, b]

(i) A ∩ B := {x : x ∈ A, x ∈ B},

(ii) αA + βB := {x = αa + βb : a ∈ A, b ∈ B}

Một tập C ⊂ Rn được gọi là một tập lồi đa diện (xem, [8]) nếu nó là giaocủa một họ hữu hạn các nửa không gian đóng Nói cụ thể hơn, tập lồi đa diện

là tập nghiệm của một họ hữu hạn các bất phương trình tuyến tính dạng

hai, xi ≤ bi, i = 1, · · · , m (1.1)hoặc dưới dạng ma trận

Ax ≤ b, (1.2)trong đó A là ma trận cỡ m × n có các hàng ai và b ∈ Rm

Vì một phương trình tuyến tính có thể biểu diễn thành hai bất phương trìnhtuyến tính nên một tập lồi đa diện cũng là tập nghiệm của một hệ phương trình

và bất phương trình tuyến tính dạng

ha i , xi = bi, i = 1, · · · , m1

haj, xi ≤ bj, j = m1+ 1, · · · , m. (1.3)Hạng của hệ bất phương trình tuyến tính (1.2) được định nghĩa là hạng của

ma trận A

Định nghĩa 1.2 ([3]) Cho C là một tập lồi, đóng, khác rỗng trong Rn, và cho

f : C × C → R ∪ {+∞} Song hàm f được gọi là

(i) đơn điệu mạnh trên C với hằng số τ > 0 nếu với mỗi x, y ∈ C, ta có

f (x, y) ≥ 0 kéo theo f (y, x) ≤ 0.

Từ định nghĩa trên ta có mối quan hệ sau: Nếu hàm f đơn điệu mạnh ⇒

f đơn điệu chặt ⇒ f đơn điệu ⇒ f giả đơn điệu Trong trường hợp tổng quát,chiều ngược lại có thể không đúng

Ví dụ 1.1 Trong không gian R2 xét hàm số

f : R + × R + −→ R (x, y) 7−→ f (x, y) = −x2+ xy.

Khi đó f là hàm đơn điệu mạnh với hằng số 0 < τ ≤ 1

Thật vậy, vì f (y, x) = −y2+ xy, nên ta có

f (x, y) + f (y, x) = −(x − y)2 ≤ −τ (x − y)2,

do đó f là hàm đơn điệu mạnh với hằng số0 < τ ≤ 1

Tính đơn điệu chặt, đơn điệu, giả đơn điệu dễ dàng kiểm tra bằng định nghĩa

Định nghĩa 1.3 Tập con C ⊆ Rn gọi là nón, nếu

NC(x0) := {p ∈ Rn : hp, x − x0i ≤ 0 ∀x ∈ C}.

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

read

data error !!! can't not

read

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read