Luận văn Thạc sĩ Toán Giải Tích Phương pháp hàm phạt cho bài toán cực trị có điều kiện

Phương pháp hàm phạt là một phương pháp được dùng để tìm nghiệm cho bài toán cực trị có điều kiện. Ý tưởng chính của phương pháp là chuyển việc giải bài toán cực trị có điều kiện thông qua việc giải các bài toán cực trị tự do. Các loại hàm phạt thường dùng là hàm phạt điểm ngoài, hàm phạt điểm trong, hàm phạt Lagrange. Trong chương trình toán đại học, phương pháp này hầu như chưa được giới thiệu. Hơn nữa, hầu hết các giáo trình tiếng Việt, chưa trình bày một cách đầy đủ về cơ sở lý thuyết của phương pháp hàm phạt. Các bài toán dạng này thường xuất hiện trong các tài liệu, giáo trình dành cho học viên cao học. Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết về bài toán cực trị có điều kiện và các phương pháp giải là cần thiết cho học viên, giúp học viên có cái nhìn tổng quan và mạch lạc hơn đối với vấn đề cực trị của hàm nhiều biến. Việc nắm chắc cở sở lý thuyết về bài toán cực trị có điều kiện và các phương pháp giải cũng giúp cho học viên có khả năng giải và sáng tạo ra các bài toán mới. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Trong chương này, trình bày một số kí hiệu, định nghĩa, định lí liên quan đến luận văn. Cụ thể, định nghĩa tập mở, tập đóng, tập compact, tập lồi; định lí hàm ẩn, định lí giá trị trung bình và sự mở rộng của chuỗi Taylor. Chương 2: Chương này trình bày một số bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình và bất phương trình. Chương 3: Trình bày phương pháp hàm phạt, nêu các hàm phạt khả vi, không khả vi của bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình và bất phương trình. Link download file LaTex của luận văn tại: https://files.pw/cig15dq92x2t

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

TS Phan A

ĐÀ NẴNG - NĂM 2018

Ký hiệu Tên tiếng Anh Ý nghĩa

Rn n-dimensional vectors không gian các vector n chiều

λi real eigenvalues các giá trị riêng thực

ei real eigenvectors các vector riêng thực

| · | standard Euclidean norm chuẩn Euclide

∂f (x)/∂xi partial derivative các đạo hàm riêng theo biến xi

Từ viết tắt Thuật ngữ tiếng Anh Thuật ngữ tiếng Việt

CP constrained programming bài toán có điều kiện

ECP equality constrained bài toán có điều kiện cho bởi

ICP inequality constrained bài toán có điều kiện cho bởi

NLP nonlinear programming bài toán phi tuyến tính

NDP nondifferentiable problem bài toán không khả vi

K-T Kuhn-Tucker Condition điều kiện K - T

QP quadratic programming quy hoạch toàn phương

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các sốliệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được ai công

bố trong bất kỳ công trình nghiên cứu nào khác

Tác giả

Đinh Thị H

Lời đầu tiên của luận văn tác giả xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầygiáo hướng dẫn TS Phạm Quý Mười đã tận tình hướng dẫn tác giả trongsuốt quá trình thực hiện để tác giả có thể hoàn thành được luận văn này.Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến tất cả các thầy

cô giáo đã tận tình dạy bảo tác giả trong suốt thời gian học tập củakhóa học

Đồng thời, tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn đến các anh chị em tronglớp Toán giải tích K32 đã nhiệt tình giúp đỡ tác giả trong quá trình họctập tại lớp

Tác giả

Đinh Thị H

MỞ ĐẦU 1

CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3

1.1 Các kí hiệu đại số 3

1.2 Các kí hiệu tôpô 5

1.3 Tập mở, tập đóng và tập compact 6

1.4 Hàm liên tục 7

1.5 Hàm khả vi 7

1.6 Định lý giá trị trung bình và sự mở rộng của dãy Taylor 9

1.7 Định lí hàm ẩn 9

1.8 Tập lồi 10

CHƯƠNG 2 BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ ĐIỀU KIỆN CHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH 12

2.1 Tổng quan bài toán tối ưu có điều kiện 12

2.2 Bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình 13

2.3 Bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình và bất phương trình 17

2.4 Điều kiện tối ưu của bài toán (ICP) nhận được thông qua bài toán (ECP) 18

CHƯƠNG 3 PHƯƠNG PHÁP HÀM PHẠT 23

3.1 Hàm phạt khả vi cho bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình 23

3.2 Hàm phạt không khả vi cho bài toán phi tuyến tính (ICP) 28

Kết luận 39

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Phương pháp hàm phạt là một phương pháp được dùng để tìm nghiệmcho bài toán cực trị có điều kiện Ý tưởng chính của phương pháp là chuyểnviệc giải bài toán cực trị có điều kiện thông qua việc giải các bài toán cựctrị tự do Các loại hàm phạt thường dùng là hàm phạt điểm ngoài, hàmphạt điểm trong, hàm phạt Lagrange Trong chương trình toán đại học,phương pháp này hầu như chưa được giới thiệu Hơn nữa, hầu hết các giáotrình tiếng Việt, chưa trình bày một cách đầy đủ về cơ sở lý thuyết củaphương pháp hàm phạt

Các bài toán dạng này thường xuất hiện trong các tài liệu, giáo trìnhdành cho học viên cao học Vì vậy, việc nắm vững lý thuyết về bài toáncực trị có điều kiện và các phương pháp giải là cần thiết cho học viên, giúphọc viên có cái nhìn tổng quan và mạch lạc hơn đối với vấn đề cực trị củahàm nhiều biến Việc nắm chắc cở sở lý thuyết về bài toán cực trị có điềukiện và các phương pháp giải cũng giúp cho học viên có khả năng giải vàsáng tạo ra các bài toán mới

Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về bài toán cực trị có điều kiện, cũngnhư các phương pháp hàm phạt để giải các bài toán đó; được sự đồng ýhướng dẫn của thầy giáo TS Phạm Quý Mười, em đã chọn đề tài: “Phươngpháp hàm phạt cho bài toán cực trị có điều kiện” cho luận văn thạc sĩ củamình

2 Mục đích nghiên cứu

- Nắm được bài toán cực trị có điều kiện, định nghĩa và điều kiện cần

và đủ của cực trị

- Phương pháp hàm phạt và ứng dụng để giải bài toán cực trị

- Sáng tạo được bài toán mới vận dụng phương pháp này

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Phương pháp hàm phạt giải bài toán cực trị trong hình học và đại sốtrong chương trình toán ở cấp đại học và trong một số ứng dụng

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài, bao gồm các tài liệu trong

và nước ngoài Tham khảo, trao đổi với cán bộ hướng dẫn

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Tổng hợp tài liệu để có một báo cáo tổng quan khá đầy đủ về phươngpháp hàm phạt cho bài toán cực trị có điều kiên cũng như phương phápgiải các bài toán đó

6 Cấu trúc luận văn

Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Trong chương này, trình bày một số kí hiệu, định nghĩa,định lí liên quan đến luận văn Cụ thể, định nghĩa tập mở, tập đóng, tậpcompact, tập lồi; định lí hàm ẩn, định lí giá trị trung bình và sự mở rộngcủa chuỗi Taylor

Chương 2: Chương này trình bày một số bài toán tối ưu có điều kiệncho bởi phương trình và bất phương trình

Chương 3: Trình bày phương pháp hàm phạt, nêu các hàm phạt khả

vi, không khả vi của bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình vàbất phương trình

CHƯƠNG1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, trình bày một số kí hiệu, định nghĩa tập mở, tập đóng,tập compact, tập lồi; định lí hàm ẩn, định lí giá trị trung bình và sự mởrộng của chuỗi Taylor

được xem như một ma trận cỡ n × 1, và do đó x0 là một ma trận cỡ 1 × n

hoặc vector hàng Nếu x1, , xn là các tọa độ của vector x ∈ Rn, ta viết

x = (x1, x2, , xn)T Chúng ta cũng viết

x ≥ 0 nếu xi ≥ 0, ∀i = 1, , n,

x ≤ 0 nếu xi ≤ 0, ∀i = 1, , n

Một ma trận đối xứng A cỡ n × n được gọi là nửa xác định dương nếu

x0Ax ≥ 0, ∀x ∈Rn Trong trường hợp này chúng ta viết

ta có

γx0x ≤ x0Ax ≤ Γx0x, ∀x ∈Rn, (1.1)trong đó

NếuAxác định dương thì tồn tại duy nhất một ma trận xác định dương

có bình phương bằng A Đây là ma trận có cùng các vector riêng như matrận A và có giá trị riêng bằng căn bậc hai giá trị riêng của A Chúng ta

1.2 Các kí hiệu tôpô

Chúng ta sẽ sử dụng chuẩn Euclide trong không gian Rn và được kí hiệu

là | · |; tức là, đối với một vector x ∈ Rn, chúng ta viết

Nếu ma trận A là đối xứng, và λ1, , λn là các giá trị riêng (thực) của

A, thì các giá trị riêng của A2 là λ21, , λ2n, và chúng ta thu được

|A| = max{|λ1|, , |λn|}

Một dãy các vectơx0, x1, , xk, ,trong Rn, được kí hiệu là{xk}, đượcgọi là hội tụ đến một vector x nếu |xk − x| → 0 khi k → ∞ (có nghĩa là,nếu cho  > 0, có một N sao cho với mọi k ≥ N chúng ta có |xk− x| < ).Nếu {xk} hội tụ đến x, chúng ta viết xk → x hoặc lim

k→∞xk = x Tương

tự, cho một dãy các ma trận {Ak} cỡ m × n, chúng ta viết Ak → A hoặc

lim

k→∞Ak = A nếu |Ak − A| → 0 khi k → ∞ Sự hội tụ của cả dãy vector

và ma trận tương đương với sự hội tụ của mỗi dãy của các tọa độ hoặc cácphần tử của chúng

Cho dãy {xk}, dãy con {xk|k ∈ K} tương ứng với một tập chỉ số vôhạn K được kí hiệu {xk}K Một vector x được gọi là một điểm giới hạncủa dãy {xk} nếu có một dãy con {xk}K hội tụ đến x

Mọi dãy các số thực {rk} là đơn điệu tăng, tức là thỏa mãn rk ≤

rk+1 (rk ≥ rk+1) với mọi k, phải hội tụ đến một số thực hoặc +∞ (−∞)

(nữa dãy không bị chặn trên (dưới)) Trong trường hợp sau cùng chúng taviết lim

k→∞rk = +∞ ( lim

k→∞rk = −∞) Cho bất kì dãy số thực bị chặn {rk},chúng ta xét dãy {sk} trong đó sk = sup{ri|i ≥ k} Vì dãy này đơn điệu

giảm và bị chặn, nên nó có một giới hạn, được gọi là giới hạn trên của {rk}

và được kí hiệu bởilim sup

Cho một vector x ∈ Rn và một số thực  > 0, chúng ta kí hiệu hình cầu

mở với tâm tại x với bán kính  > 0 bởi S(x; ); tức là,

Định nghĩa 1.3.2 Một tập S được gọi là tập đóng nếu và chỉ nếu phần

bù của nó trong Rn là tập mở

Phát biểu một cách tương đương khác: S được gọi là tập đóng nếu vàchỉ nếu mọi dãy hội tụ xk, với các phần tử trong S, hội tụ đến một điểmthuộc về S

Nói một cách khác: Một tập S là tập compact nếu và chỉ nếu mọi dãy

{xk} với các phần tử trong S có ít nhất một điểm giới hạn thuộc về S.Định nghĩa 1.3.3 Một tập con S của Rn được gọi là tập compact nếu

và chỉ nếu nó là tập đóng và bị chặn (tức là, nó là tập đóng và tồn tại một

số M > 0 sao cho |x| ≤ M, ∀x ∈ S)

Một kết quả quan trọng nữa là nếu S0, S1, , Sk, là một dãy các tập

compact khác rỗng trong Rn sao cho Sk ⊃ Sk+1 với mọi k thì giao

S2 ⊂ Rm, được kí hiệu bởi f : S1 → S2 Hàm f được gọi là liên tục tại

x ∈ S1, nếu f (xk) → f (x) với mọi dãy xk → x Một cách phát biểu kháctương đương f liên tục tại x nếu với mọi  > 0 luôn tồn tại δ > 0 sao chovới mọi y thỏa mãn |y − x| < δ và y ∈ S1 ta có |f (y) − f (x)| < 

Hàm f được gọi là liên tục trên S1 (hoặc đơn giản là liên tục) nếu nóliên tục tại mỗi điểm x ∈ S1 Nếu S1, S2, và S3 là các tập khác rỗng và

f1 : S1 → S2 và f2 : S2 → S3 là các hàm, thì hàm f2 ◦ f1 : S1 → S3 đượcxác định bởi (f2 ◦ f1)(x) = f2[f1(x)] được gọi là hàm hợp của f1 và f2.Nếu f1 : Rn → Rm và f2 : Rm → Rp là liên tục, khi đó f2 ◦ f1 cũng liêntục

1.5 Hàm khả vi

Một hàm giá trị thực f : X → R trong đó X ⊂ Rn là một tập mở đượcgoị là khả vi liên tục nếu các đạo hàm riêng ∂f (x)/∂x1, , ∂f (x)/∂xn tồntại, với x ∈ X và là các hàm liên tục tại x

Trong trường hợp này chúng ta viết f ∈ C1 trên X Một cách tổngquát, chúng ta viết f ∈ Cp trên X cho một hàm f : X → R, trong đó

X ⊂ Rn là một tập mở, nếu tất cả các đạo hàm riêng của f bậc p tồntại và liên tục trên X Nếu f ∈ Cp trên Rn, thì chúng ta viết đơn giản

là f ∈ Cp Nếu f ∈ C1 trên X, gradient của f tại một điểm x ∈ X đượcđịnh nghĩa là vector cột

Nếu f : Rn+r → R là một hàm giá trị thực của (x, y) trong đó x =(x1, , xn) ∈ Rn, y = (y1, , yr) ∈Rr, chúng ta viết

f (x) = h[g(x)]

Khi đó nếu h ∈ Cp và g ∈ Cp, chúng ta cũng có f ∈ Cp và

∇f (x) = ∇g(x)∇h[g(x)]

Định nghĩa 1.5.1 [3] Hàm khả vi Gateaux: Cho f là một hàm sốtrong một tập con mở U của không gian BanachX vào không gian Banach

Y Chúng ta nói f là khả vi Gateaux x ∈ U, nếu tồn tại giới hạn và toán

tử tuyến tính T : X → Y sao cho:

limt→0

f (x + th) − f (x)

với mọi h ∈ X Toán tử T được gọi là khả vi Gateaux của f tại x

1.6 Định lý giá trị trung bình và sự mở rộng của dãy TaylorCho f : X → R, và f ∈ C1 trên tập mở X ⊂ Rn Giả sử rằng X chứađoạn thẳng nối hai điểm x, y ∈ X Định lý giá trị trung bình khẳng địnhrằng tồn tại một số thực α với 0 < α < 1 sao cho

ξ

Z

0(y −x)0∇2f [x+α(y −x)](y −x)dα)dξ

1.7 Định lí hàm ẩn

Xét hệ n phương trình với m + n biến

h(x, y) = 0,

trong đó h : Rm+n → Rn, x ∈ Rm, và y ∈ Rn Các định lí hàm ẩn nhằmvào câu hỏi liệu người ta có thể giải được hệ phương trình cho vector y

theo vector x hay không? Tức là có tồn tại một hàm φ, được gọi là hàm

ẩn, sao cho h[x, φ(x)] = 0 hay không? Định lý hàm ẩn cổ điển sau đâykhẳng định rằng điều này có thể theo nghĩa địa phương, nghĩa là, trongmột lân cận của một nghiệm (¯x, ¯y), có một ma trận gradient h đối với y

là hàm không chính quy

Định lí 1.7.1 Định lí hàm ẩn 1: Cho S là một tập con mở của Rm+n,

và h : S → Rn là một hàm, sao cho tồn tại p ≥ 0, h ∈ Cp trên S và giả sử

∇yh(x, y) tồn tại và liên tục trên S Cho (¯x, ¯y) ∈ S là một vector sao cho

h(¯x, ¯y) = 0 và ma trận ∇yh(¯x, ¯y) là ma trận không suy biến Khi đó tồntại số thực  > 0 và δ > 0 và hàm số φ : S(¯x; ) → S(¯y; δ) sao cho φ ∈ Cp

trên S(¯x; ), ¯y = φ(¯x), và h[x, φ(x)] = 0 với mọi x ∈ S(¯x; ) Hàm số φ làduy nhất, nếu x ∈ S(¯x; ), y ∈ S(¯y; δ), và h(x, y) = 0, thì y = φ(x) Hơnnữa, nếu p ≥ 1, thì với mọi x ∈ S(¯x; ) ta có:

∇φ(x) = −∇xh[x, φ(x)][∇yh[x, φ(x)]]−1

Định lí 1.7.2 Định lí hàm ẩn 2: Cho S là tập con mở của Rm+n, X¯

là một tập con compact của Rm, và h : S → Rn là hàm số sao cho tồn tại

p ≥ 0, h ∈ Cp trên S Giả sử ∇yh(x, y) tồn tại và liên tục trên S Giả sử

¯

y ∈ Rn là một vector sao cho (¯x, ¯y) ∈ S, h(¯x, ¯y) = 0 và ma trận ∇yh(¯x, ¯y)

không suy biến với mọi x ∈ ¯¯ X Khi đó tồn tại các số thực  > 0, δ > 0, vàhàm số φ : S( ¯X; ) → S(¯y; δ) sao cho φ ∈ Cp trên S( ¯X; ), ¯y = φ(¯x) vớimọi x ∈ ¯¯ X, và h[x, φ(x)] = 0 với mọi x ∈ S( ¯X; ) Hàm số φ là duy nhấtnếu x ∈ S( ¯X; ), y ∈ S(¯y; δ), và h(x, y) = 0, khi đó y = φ(x) Hơn nữa,nếu p ≥ 1, thì với mọi x ∈ S( ¯X; ), ta có:

∇φ(x) = −∇xh[x, φ(x)][∇yh[x, φ(x)]]−1

1.8 Tập lồi

Định nghĩa 1.8.1 Một tập S ⊂ Rn được gọi là tập lồi nếu x, y ∈ S và

α ∈ [0, 1] ta có αx + (1 − α)y ∈ S Một hàm số f : S → R được gọi là

hàm lồi trên tập lồi S nếu x, y ∈ S và α ∈ [0, 1], ta có:

f [αx + (1 − α)y] ≤ αf (x) + (1 − α)f (y)

Nếu f là hàm lồi và f ∈ C1 trên tập lồi mở S, thì

f (y) ≥ f (x) + ∇f (x)0(y − x), ∀x, y ∈ S (1.4)Nếu thêm điều kiện f ∈ C2 trên S, thì ∇2f (x) ≥ 0, ∀x ∈ S Ngược lại,nếu f ∈ C1 trên S và (1.4), thì hàm số f là hàm lồi trên tập S

CHƯƠNG2 BÀI TOÁN TỐI ƯU CÓ ĐIỀU KIỆN CHO BỞI PHƯƠNG TRÌNH VÀ BẤT PHƯƠNG TRÌNH

Chương này nghiên cứu bài toán tối ưu có điều kiện, trình bày bài toántối ưu có điều kiện tổng quát và điều kiện tối ưu cho bài toán này Sau đó,chương 2 tập trung vào một số bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phươngtrình, bất phương trình Ngoài ra, trong chương này cũng trình bày mốiliên hệ giữa bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi bất phương trình và bàitoán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình Từ đó, các điều kiện tối ưucho bài toán tối ưu có điều kiện (NLP) nhận được thông qua các kết quả

đã biết về bài toán tối ưu (ECP)

Các phương pháp hàm phạt để giải các bài toán này sẽ được nghiêncứu trong Chương 3

2.1 Tổng quan bài toán tối ưu có điều kiện

Trước hết, chúng ta xét bài toán tối ưu có điều kiện (CP)

min f (x)

với điều kiện x ∈ X, trong đó f :Rn → R là một hàm số cho trước và X

là một tập con của Rn

Chúng ta nhắc lại các khái niệm cơ bản sau:

Vector x∗ ∈ X được gọi là cực tiểu địa phương của (CP) nếu tồn tạimột số  > 0 sao cho

f (x∗) ≤ f (x), ∀x ∈ S(x∗; ), x ∈ X

Vector x∗ ∈ X được gọi là cực tiểu địa phương chặt nếu tồn tại một số

 > 0 sao cho

f (x∗) < f (x), ∀x ∈ S(x∗; ), x ∈ X, x 6= x∗

Vector x∗ ∈ X được gọi là cực tiểu toàn cục nếu

2.2 Bài toán tối ưu có điều kiện cho bởi phương trình

Trong phần này, chúng ta xét một trường hợp đặc biệt của bài toán(CP) Chúng ta xét bài toán cực trị có điều kiện cho bởi phương trình (gọi

là bài toán (ECP)):



min f (x)h(x) = 0

trong đó f : Rn →R và h : Rn →Rm, với m ≤ n Các thành phần của h

được kí hiệu là h1, , hm

Định nghĩa 2.2.1 [2]] Giả sử x∗ là một vector sao cho h(x∗) = 0 và

h ∈ C1 trên S(x∗; ) với một số thực  > 0 nào đó Khi đó, x∗ được gọi làmột điểm chính quy nếu các gradient ∇h1(x∗), , ∇hm(x∗) độc lập tuyếntính

Xét hàm số Lagrange L : Rn+m →R được định nghĩa bởi:

L(x, λ) = f (x) + λ0h(x)

Chúng ta có kết quả cổ điển sau:

Mệnh đề 2.2.2 ([1]) Giả sử x∗ là một cực tiểu địa phương của bài toán(ECP), và f ∈ C1, h ∈ C1 trên S(x∗; ) với  > 0 là một số thực dươngnào đó Khi đó, nếu x∗ là một điểm chính quy thì tồn tại duy nhất một

vector λ∗ ∈ Rm sao cho

Nếu thêm điều kiện f ∈ C2 và h ∈ C2 trên S(x∗; ) thì

∀z ∈ Rn với ∇h(x∗)0z = 0 : z0∇2xxL(x∗, λ∗)z ≥ 0 (2.3)

Bổ đề 2.2.3 ([1]) Cho P là ma trận đối xứng cỡ n × n và Q là ma trậnđối xứng nửa xác định dương cỡ n × n Giả sử x0P x > 0, ∀x 6= 0 thỏa mãn

x0Qx = 0 Khi đó, tồn tại một số thực c sao cho

P + cQ > 0

Chứng minh: Giả sử điều ngược lại Khi đó với mỗi số nguyên k, tồntại một vector xk với |xk| = 1 sao cho:

x0kP xk + kx0kQxk ≤ 0 (2.4)Dãy {xk} có một dãy con {xk}K hội tụ đến vector x¯ với |¯x| = 1 Lấygiới hạn (2.4), ta được:

Mệnh đề 2.2.5 ([2]) Giả sử Mệnh đề 2.2.4 là đúng, tồn tại các số thực

¯

c, γ > 0, và δ > 0 sao cho

∀x ∈ S(x∗; δ), c ≥ ¯c : Lc(x, λ∗) ≥ Lc(x∗, λ∗) + γ|x − x∗|2 (2.8)

Chứng minh: Bây giờ xét vector x∗ thỏa mãn giả thiết của Mệnh đề2.2.4 theo Bổ đề 2.2.3 tồn tại một số thực c¯sao cho:

∇2xxL(x∗, λ∗) + ¯c∇h(x∗)∇h(x∗)0 > 0 (2.9)Hàm số được gọi là hàm số Lagrange tăng cường, Lc : Rn+m+1 → R

được định nghĩa như sau

điều này suy ra x∗ là một cực tiểu địa phương cho bài toán (ECP) 

Bổ đề 2.2.6 ([2]) Giả sử x∗ là một cực tiểu địa phương đối với bài toán(ECP), x∗ cũng là một điểm chính quy cùng với vector nhân tử Lagrange

λ∗ thỏa mãn các giả thuyết của Mệnh đề 2.2.4 Khi đó, ma trận cỡ (n +m) × (n + m)

là ma trận không suy biến

Chứng minh: Nếu ma trận J suy biến, thì tồn tại y ∈ Rn và z ∈ Rm

khác rỗng sao cho (y, z) là không gian rỗng của ma trận J hoặc tươngđương

∇2xxL(x∗, λ∗)y + ∇h(x∗)z = 0, (2.16)

Nhân vào phương trình (2.16) với y0 và sử dụng phương trình (2.17), tacó

y0∇2xxL(x∗, λ∗)y = 0

Do đó y = 0, mặt khác giả thuyết tính đầy đủ bị vi phạm Điều nàycho thấy ∇h(x∗)z = 0, trong thực thế ∇h(x∗) có cỡ m suy ra z = 0 Điềunày mâu thuẫn vì y và z không thể đồng thời bằng 0.

Mệnh đề 2.2.7 ([2]) Giả sử các giả thuyết Bổ đề 2.2.6 là đúng Khi

đó, tồn tại một số thực δ > 0 và hàm khả vi liên tục x(·) : S(0; δ) →

Rn, λ(·) : S(0; δ) → Rm sao cho x(0) = x∗, λ(0) = λ∗, và với mọi u ∈S(0; δ), {x(u), λ(u)} là một cặp nhân tử Lagrange cực tiểu địa phương củabài toán sau:



min f (x)

Hơn nữa,

∀u ∈ S(0; δ) : ∇uf [x(u)] = −λ(u)

Chứng minh: Xét hệ phương trình với các biến (x, λ, u):



∇f (x) + ∇h(x)λ = 0h(x) − u = 0

Hệ phương trình này có nghiệm (x∗, λ∗, 0) Hơn nữa hệ Jacobi với mốiliên hệ(x, λ)tại nghiệm này là ma trận nghịch đảoJ của (2.15) Do đó theođịnh lí hàm ẩn (Mục 1.7), tồn tại δ > 0 và hàm số x(·) ∈ C1, λ(·) ∈ C1

trong S(0; δ) sao cho



∇f [x(u)] + ∇h[x(u)]λ(u) = 0

Cho u gần với giá trị u = 0, các vector x(u), λ(u) thỏa mãn điều kiện

đủ cho bài toán (2.18) thỏa mãn giả thuyết u = 0 Do đó δ có thể đượcchọn sao cho {x(u), λ(u)} là cặp nhân tử Lagrange địa phương cho bàitoán (2.18)

Từ phương trình (2.19), ta có

∇ux(u)∇f [x(u)] + ∇ux(u)∇h[x(u)]λ(u) = 0