Một số bài toán về đường tròn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌCLê Bá Cường MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 0113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

Lê Bá Cường

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 60 46 0113

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH Hà Huy Khoái

Thái Nguyên - 2012

1Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Lời cảm ơn

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS TSKH Hà HuyKhoái Qua đây, tác giả xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo,người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH Hà Huy Khoái, người đãđưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu củatác giả Đồng thời tác giả cũng chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoaToán - Tin trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, đã tạo mọiđiều kiện cho tác giả về tài liệu và thủ tục hành chính để tác giả hoànthành bản luận văn này Tác giả cũng gửi lời cảm ơn đến gia đình, BGH,

-tổ Toán trường THPT Xuân Giang - Sóc Sơn - Hà Nội và các bạn tronglớp Cao học K4C, đã động viên giúp đỡ tác giả trong quá trình học tập vàlàm luận văn

Mục lục

1.1 Sự biểu diễn đại số của số phức 5

1.1.1 Định nghĩa số phức 5

1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng 6

1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân 6

1.1.4 Dạng đại số của số phức 8

1.1.5 Lũy thừa của số i 10

1.1.6 Số phức liên hợp 10

1.1.7 Mô đun của số phức 12

1.2 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số 13

1.2.1 Ý nghĩa hình học của một số phức 13

1.2.2 Ý nghĩa hình học của môđun 14

1.2.3 Ý nghĩa hình học của các phép toán đại số 15

2 Số phức và hình học 16 2.1 Một vài khái niệm và tính chất 16

2.2 Đoạn thẳng, tia, đường thẳng 16

2.3 Chia một đoạn thẳng theo một tỉ số 19

2.4 Góc định hướng 19

2.5 Góc giữa hai đường thẳng 20

2.6 Phép quay một điểm 21

2.7 Điều kiện thẳng hàng, vuông góc và cùng thuộc một đường tròn 23

2.8 Tam giác đồng dạng 26

2.9 Tam giác đều 28

3Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

3 Hình học giải tích trong số phức 343.1 Phương trình đường thẳng 343.2 Phương trình đường thẳng xác định bởi hai điểm 353.3 Diện tích tam giác 363.4 Phương trình đường thẳng được xác định bởi điểm đi qua

và phương 393.5 Hình chiếu vuông góc của một điểm lên một đường thẳng 403.6 Khoảng cách từ một điểm đến một đương thẳng 41

4 Các bài toán về đường tròn trong số phức 424.1 Đường tròn 424.2 Phương tích của một điểm đối với một đường tròn 434.3 Góc giữa hai đường tròn 44

Nay số phức lại được bộ giáo dục và đào tao đưa vào dạy ở chươngtrình THPT, mỗi bài toán về số phức là các bài toán thường mới và rấtkhó Liên quan đến các dạng toán này là các bài toán về đường tròn Mongmuốn là có một cách khác nữa để trình bầy về hình học nhờ số phức nêntôi mới chọn đề tài này.

Đề tài “ Môt số bài toán về đường tròn” nhằm đáp ứng mong muốn củatôi về một đề tài phù hợp mà sau này có thể phục vụ thiết thực cho quátrình giảng dạy của mình ở trường phổ thông

Đề tài liên quan đến nhiều chuyên đề, trong đó có các kiến thức của sốphức, các kiến thức của hình học và nhiều kiến thức cơ bản khác

2.Mục đích nghiên cứu:

Hệ thống và tổng quát các bài toán về đường tròn giải bằng số phức

và các ứng dụng khác nhau trong trường phổ thông Nắm được một số kĩthuật tính toán biến đổi hình học liên quan đến số phức

3 Nhiệm vụ của đề tài:

Đưa ra định nghĩa số phức và các phép toán về số phức một cách tổngquát có ví dụ minh họa kèm theo, ngoài ra đề tài cũng mở rộng mảng kiếnthức về số phức với các bài toán về đường tròn giải bằng số phức

Thông qua đề tài trang bị cho giáo viên thêm một số nguồn tư liệu

5Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

trong quá trình dạy học và ngiên cứu.

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu:

Nghiên cứu các bài toán hình học về đường tròn trên tập số phức vàxét các ứng dụng liên quan

Nghiên cứu từ các tài liệu, giáo trình của GS – TSKH Hà Huy Khoái,các tài liệu bồi dưỡng học sinh giỏi, tủ sách chuyên toán, Tạp chí toán học

và tuổi trẻ,

5 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Tạo được một đề tài phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinhtrung học phổ thông Đề tài đóng góp thiết thực cho việc dạy và học cácchuyên đề toán trong trường THPT, đem lại niềm đam mê sáng tạo từnhững bài toán cơ bản nhất

6 Cấu trúc của luận văn:

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 4 chương

Chương I: Định nghĩa số phứcChương II: Số phức và hình họcChương III: Hình học giải tích trong số phứcChương IV: Các bài toán về đường tròn trong số phứcTuy đã cố gắng nghiên cứu kĩ đề tài và viết luận văn, song khó tránhkhỏi những sai sót Tác giả rất mong nhận được sự chỉ bảo, hướng dẫncủa các thầy cô và sự đóng góp ý kiến của các bạn bè đồng nghiệp để bảnluận văn của tôi được hoàn chỉnh và có ý nghĩa hơn Tôi xin chân thànhcảm ơn

Thái Nguyên, năm 2012

Tác giả

z1.z2 = (x1, y1) (x2, y2) = (x1x2 − y1y2, x1y2 + x2y1) ∈ R2,với mọi z1 = (x1, y1) ∈ R2 và z2 = (x2, y2) ∈ R2.

Phần tử z1 + z2 gọi là tổng của z1, z2 và phần tử z1.z2 ∈ R2 gọi là tíchcủa z1, z2

Kí hiệu C∗ để chỉ tập hợp C\ {(0, 0)}

7Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

1.1.2 Các tính chất liên quan đến phép cộng

(a) Tính giao hoán z1 + z2 = z2 + z1 với mọi z1, z2 ∈ C.

(b) Tính kết hợp (z1+ z2) + z3 = z1+ (z2+ z3) với mọi z1, z2, z3 ∈ C.Chứng minh Thật vậy, nếu z1 = (x1, y1) ∈ C, z2 = (x2, y2) ∈ C, z3 =(x3, y3) ∈ C thì

z + (−z) = (−z) + z = 0

Ta dễ dàng kiểm tra các khẳng định (a),(c),(d)

Số phức z1 − z2 = z1 + (−z2) được gọi là hiệu của hai số phức z1, z2.Phép toán z1, z2 trên đối với hai số z1, z2 là số z1 − z2 gọi là phép trừ vàđược định nghĩa như sau:

z1 − z2 = (x1, y1) − (x2, y2) = (x1 − x2, y1 − y2) ∈C.1.1.3 Các tính chất liên quan đến phép nhân

Phép nhân các số phức thỏa mãn các tính chất sau:

(a) Tính giao hoán: z1z2 = z2z1 với mọi z1z2 = z2z1

Hai số phức z1 = (x1, y1) và z = (x, y) ∈ C∗ xác định duy nhất một sốgọi là thương của chúng, kí hiệu là z1

z , được định nghĩa như sau:

| {z }

n lâ n

với mọi số nguyên n > 0

và zn = (z−1)−n với mọi số nguyên n < 0

9Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn

Mọi số phức z1, z2, z3 ∈ C∗ và mọi số nguyên m,n ta có các tính chấtsau

1) zm.zn = zm+n 4) (z1z2)n = z1nz2n2) zm

1.1.4 Dạng đại số của số phức

Mỗi số phức được biểu diễn như một cặp số sắp thứ tự, nên khi thựchiện các biến đổi đại số thường không được thuận lợi Đó là lí do để tìmdạng khác khi viết Ta sẽ đưa vào dạng biểu diễn đại số mới Xét tập hợp

R × {0} cùng với phép toán cộng và nhân được định nghĩa trên R2 Hàmsố

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read

data error !!! can't not

read