Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán về đường tròn trong hình học 9

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG HÌNH HỌC 9 Ngư

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO THANH HOÁ

PHÒNG GD&ĐT THỌ XUÂN

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

KINH NGHIỆM HƯỚNG DẪN HỌC SINH

VẼ THÊM YẾU TỐ PHỤ ĐỂ GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN

VỀ ĐƯỜNG TRÒN TRONG HÌNH HỌC 9

Người thực hiện: Mai Thị Thanh Huyền

Chức vụ: Hiệu trưởng

Đơn vị công tác: Trường THCS Xuân Tân -Thọ Xuân

SKKN thuộc lĩnh mực ( môn ): Toán

THANH HOÁ NĂM 2018

IV Phương phỏp nghiờn cứu 2

III Cỏc giải phỏp đó sử dụng để giải quyết vấn đề 4

1 Cách vẽ đờng phụ và vai trò của đường phụ trong toán chứng

2 Một số loại đờng phụ thường vẽ 5

3 Một số kiến thức liên quan 5

STT trong sáng kiến kinh nghiệm Các chữ viết tắt Nội dung

PHẦN I: MỞ ĐẦU

I LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI

Cùng với sự phát triển của đất nước, sự nghiệp giáo dục cũng đổi mớikhông ngừng, các nhà trường ngày càng chú trọng đến chất lượng giáo dụctoàn diện Với vai trò là môn học công cụ, bộ môn Toán đã góp phần tạo điềukiện cho các em học tốt các môn học khác Việc giảng dạy môn Toán ở nhàtrường không chỉ nhằm truyền thụ cho học sinh những kiến thức cơ bản vềToán học mà còn trang bị cho các em công cụ sắc bén để nghiên cứu thế giới

tự nhiên

Khi học Toán, đa số các em học sinh đều ngại học Hình học Bởi vì, đểhọc tốt Hình học thì đòi hỏi các em phải có khả năng tư duy tốt, tính sáng tạocao, trí tưởng tượng phong phú, đặc biệt là thực sự say mê nghiên cứu, tìm tòihọc hỏi

Đối với giáo viên, để truyền đạt cho học sinh hiểu được một cách chặtchẽ về một bài Hình học là không đơn giản Dạy học như thế nào để học sinhkhông những nắm được kiến thức cơ bản một cách có hệ thống mà còn phảinâng cao, phát triển để các em hứng thú, say mê học tập Đó là vấn đề mà mỗigiáo viên cần quan tâm, trăn trở

Trong khi tìm phương pháp giải các bài toán hình học, có lúc việc vẽthêm các yếu tố phụ làm cho việc giải toán trở nên dễ dàng hơn, thuận lợihơn Thậm chí, có bài phải vẽ thêm yếu tố phụ thì mới tìm ra được lời giải.Tuy nhiên vẽ thêm yếu tố phụ như thế nào là điều khiến chúng ta phải đầu tưsuy nghĩ Thực tế cho thấy không có phương pháp chung cho việc vẽ thêmcác yếu tố phụ khi giải các bài toán hình học Việc vẽ hình phụ rất đa dạng,không theo khuôn mẫu nhất định nào và đòi hỏi học sinh phải biết dự đoán tốttrên cơ sở các suy luận Tuỳ từng bài toán cụ thể, chúng ta có những cách vẽthêm các đường phụ hợp lý để có thể đưa đến những cách giải hay và độcđáo Một trong những chuyên đề hình học lớp 9 mà thường xuyên phải vẽđường phụ khi làm toán, đó là bài toán về đường tròn Trong quá trình dạylớp 9 và ôn thi vào lớp 10 tôi nhận thấy nhiều học sinh lúng túng, bế tắc khigiải các bài toán về: sự xác định đường tròn, vị trí tương đối của đường thẳng

và đường tròn hoặc của hai đường tròn, tiếp tuyến của đường tròn, Vì vậytôi đã tìm cách giúp các em tháo gỡ khó khăn, hình thành kỹ năng giải toán,làm cho các em có hứng thú và niềm tin trong học tập Tôi mạnh dạn trình

bày đề tài: “Kinh nghiệm hướng dẫn học sinh vẽ thêm yếu tố phụ để giải một

số bài toán về đường tròn trong Hình học 9” để các bạn đồng nghiệp tham

khảo, góp ý

II MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU

- Trang bị cho học sinh lớp 9 một cách có hệ thống các dạng yếu tố phụthường vẽ thêm khi bài toán cho ở dạng nào, nhằm giúp cho học sinh có khảnăng vận dụng tốt dạng toán này

- Phát huy được tính tích cực, chủ động sáng tạo, phát triển khả năng tư duy,năng lực tự học của học sinh Tạo điều kiện cho các em hứng thú, say mê bộmôn

- Thấy được vai trò của việc vẽ thêm yếu tố phụ vào giải toán từ đó giúp họcsinh có kĩ năng thành thạo trong việc giải các bài toán về đường tròn

- Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được kiến thức vàothực tiễn cuộc sống

III ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

Kinh nghiệm vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán về đường tròntrong Hình học 9

IV PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

* Phương pháp nghiên cứu lý luận:

- Nghiên cứu qua các tài liệu về phương pháp dạy học Toán và các tài liệu cóliên quan đến nội dung đề tài: Sách giáo khoa, sách giáo viên, sách bài tập vàcác tài liệu tham khảo khác dành cho giáo viên và học sinh

- Nghiên cứu và hệ thống các kiến thức cơ bản về vẽ đường phụ trong giảitoán hình học ở bậc THCS Cụ thể là các tài liệu rất thiết thực đối với họcsinh như:

+ Sách giáo khoa

+ Sách giáo viên

+ Sách bồi dưỡng thường xuyên và các tài liệu tham khảo cho giáo viên

và học sinh

*Phương pháp điều tra, khảo sát

Qua kiểm tra, đánh giá kết quả học tập của học sinh, thu thập được các

số liệu phản ánh thực trạng tiếp thu kiến thức để nghiên cứu

* Phương pháp thử nghiệm: Nghiên cứu qua các tiết dạy trên lớp, qua việcthực hành giải toán của học sinh và qua khảo sát

* Phương pháp tư vấn: Tham khảo ý kiến các đồng nghiệp có kinh nghiệmtrong quá trình xây dựng, hoàn thiện đề tài

PHẦN II: NỘI DUNG

I CƠ SỞ LÍ LUẬN

Trong quyết định số 16/2006/QĐ – BGD&ĐT ngày 05 tháng 5 năm

2006 có đoạn viết: “Phương pháp dạy học toán trong nhà trường các cấpphải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động của người học, hình thành vàphát triển năng lực tự học, trau dồi các phẩm chất linh hoạt, độc lập, sáng tạo

của tư duy” Trích: “Quyết định ban hành chương trình giáo dục phổ thông”

năm 2006 Vì vậy, việc dạy học theo chương trình mới nhằm mục tiêu đào tạocon người mới ứng với sự phát triển mạnh mẽ của khoa học kĩ thuật trong đóToán học là một bộ môn khoa học được coi là chủ lực Bởi trước hết, Toánhọc hình thành cho các em tính chính xác, khoa học, hệ thống, sáng tạo và tưduy lôgic Vì thế, nếu chất lượng dạy và học Toán được nâng cao thì có nghĩachúng ta đã tiếp cận với nền tri thức hiện đại, giàu tính nhân văn của nhânloại

Cùng với sự đổi mới nội dung dạy học, chương trình sách giáo khoa,phương pháp dạy học đang được đổi mới theo hướng tích cực hoá, phát huytính tích cực, tự giác, sáng tạo của người học nhằm nâng cao năng lực pháthiện và giải quyết vấn đề, hình thành và rèn luyện kĩ năng vận dụng kiến thứcvào thực tiễn Bản thân nhận thức được tầm quan trọng của việc đổi mớiphương pháp dạy học nói chung và giảng dạy môn Toán nói riêng, trongnhững năm được phân công giảng dạy môn Toán 9 theo chương trình hiệnhành tôi nhận thấy nội dung “vẽ thêm yếu tố phụ để giải một số bài toán Hìnhhọc ” là nội dung quan trọng Các bài toán hình học có lời giải phải vẽ thêmđường phụ là dạng toán khó đối với học sinh THCS Bởi vì để giải các bàitoán dạng này không chỉ yêu cầu học sinh nắm vững kiến thức mà còn đòi hỏihọc sinh cần có một kĩ năng giải toán nhất định, có sự sáng tạo nhất định Đểtạo ra được một đường phụ liên kết tường minh các mối quan hệ toán họcgiữa các điều kiện đã cho (giả thiết) với điều kiện cần phải tìm (kết luận) đòihỏi phải thực hiện các thao tác tư duy: Phân tích, tổng hợp, so sánh, tương tựhóa, đặc biệt hóa, …hay nói cách khác một bài toán phải vẽ thêm đường phụ

là một sáng tạo nhỏ Vẽ thêm đường phụ để giải một bài toán hình về mặtphương pháp là một biểu hiện ở mức độ cao của kĩ năng, thể hiện các tìnhhuống hình học phù hợp với một định nghĩa, định lý nào đó… hay còn gọi là

“quy lạ về quen” Ở đó khoảng cách từ lạ đến quen càng xa thì mức độ sángtạo càng lớn Do đó, việc học tốt các bài toán có lời giải phải vẽ thêm đườngphụ có tác dụng rất lớn trong việc phát triển năng lực trí tuệ và tư duy khoahọc của học sinh

II THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ

Giải bài toán hình học có vẽ thêm đường phụ đòi hỏi phải thực hiệnnhiều thao tác tư duy Vì vậy, phải rèn luyện học sinh về mặt tư duy hình họcthật phát triển Thực tế, khi chứng minh định lý trong sách giáo khoa (SGK)việc vẽ đường phụ rất ít đề cập, việc giải các bài toán ở trên lớp cũng rất hiếm

khi có Tuy nhiên, các bài tập trong SGK cũng đưa ra khá nhiều dạng, các bàitập nâng cao lại là những bài toán khi giải cần phải vẽ thêm đường phụ Cáctài liệu viết riêng về loại toán này cũng rất hiếm cho nên việc tham khảo đốivới học sinh còn gặp nhiều khó khăn Kết quả kiểm tra chương I, môn Toánlớp 9B năm học 2016-2017 trước khi áp dụng đề tài như sau:

Lớp Sĩ

số

Điểm 0-<3,0

Tỉ lệ

%

Điểm 3,0-<5,0

Tỉ lệ

%

Điểm 5,0-<7,0

Tỉ lệ

%

Điểm 7,0-< 9,0

Tỉ lệ

%

Điểm 9.0-10

Tỉ lệ

%

Kết quả trên cho thấy khả năng vẽ thêm yếu tố phụ vào giải toán củahọc sinh chưa cao Qua tìm hiểu tôi nhận thấy đây là dạng khó đối với các emhọc sinh lớp 9 Chương trình SGK bậc THCS nói chung và lớp 9 nói riêng lại đề cập rất ít về chuyên đề này, các bài tập đưa ra chưa đầy đủ và phongphú, chưa được phân dạng cụ thể cũng như chưa hình thành cách giải biểutrưng cho từng dạng Cũng chính vì những nguyên nhân này mà khi giải cácdạng bài tập có liên quan đến vẽ thêm yếu tố phụ học sinh rất lúng túng,không nắm được các dạng yếu tố phụ cần vẽ, dễ mắc sai lầm trong quá trìnhgiải

Từ thực trạng trên tôi luôn trăn trở và cố gắng tìm ra giải pháp để giảngdạy cho học sinh nội dung này một cách có hiệu quả nhất Trong năm học

2016 – 2017 tôi nghiên cứu và đưa vào đề tài giải pháp giảng dạy sát với thực

tế và truyền đạt một cách có hệ thống cho học sinh các dạng yếu tố phụ, cách

vẽ thêm yếu tố phụ trong từng trường hợp cũng như các loại yếu tố phụthường gặp trong chương trình toán 9 Mong rằng những giải pháp thiết thựcnày sẽ giúp các em có kỹ năng vẽ thêm yếu tố phụ trong giải toán một cáchlinh hoạt hơn

Ngoài việc giúp và yêu cầu học sinh nhớ các kiến thức liên quan mộtcách có hệ thống, tôi còn chú trọng vào các giải pháp: phân loại thành từngdạng bài tập, chú trọng rèn luyện kỹ năng vận dụng thông qua các ví dụ vàcác bài tập áp dụng, chỉ ra những sai lầm thường gặp nhằm khắc phục nhữngthiếu sót trong quá trình giải toán Đó là những biện pháp mang lại hiệu quảcao cho việc dạy học nội dung này

Vì vậy, việc hướng dẫn học sinh lớp 9 vẽ thêm yếu tố phụ để giải một sốbài toán về đường tròn là việc làm hết sức cần thiết giúp cho học sinh nắmvững các kĩ năng khi giải toán làm tiền đề cho các em học tốt môn Toán bậcTHPT

III CÁC GIẢI PHÁP ĐÃ DÙNG ĐỂ GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ

1 Cách vẽ đường phụ và vai trò của đường phụ trong toán chứng:

Khi giải một bài toán chứng minh Hình học, trừ một số bài toán dễ, cònlại phần lớn các bài toán đều cần phải vẽ thêm đường phụ mới chứng minhđược Vậy vẽ đường phụ thế nào và vẽ để nhằm mục đích gì? Đó là điều màngười học cần phải biết đối với mỗi bài toán cụ thể Không thể có mộtphương pháp chung cho việc vẽ đường phụ trong bài toán chứng minh Hình

học, ngay đối với một bài toán cũng có thể có những cách vẽ đường phụ khácnhau tùy thuộc vào cách giải bài toán.

- Vẽ thêm đường phụ để bài toán có thể áp dụng một định lí nào đó

* Những điểm cần lưu ý khi vẽ đường phụ:

- Vẽ đường phụ phải có mục đích, không vẽ tùy tiện Phải nắm thật vững đềbài, định hướng chứng minh Từ đó mà tìm xem cần vẽ đường phụ nào phục

vụ cho mục đích chứng minh của mình

- Vẽ đường phụ phải chính xác và tuân thủ theo đúng các phép dựng hình cơbản

- Với một bài toán nhưng vẽ đường phụ khác nhau thì cách chứng minh cũngkhác nhau

Có nắm được kiến thức cơ bản một cách chắc chắn, biết vận dụng linhhoạt mới biết khai thác dữ liệu của bài toán mà tìm cách vẽ đường phụ thíchhợp để giải toán Như vậy, vẽ đường phụ cũng là một kĩ năng trong giải toánHình học

2 Một số loại đường phụ thường vẽ:

a) Kéo dài một đoạn thẳng bằng đoạn thẳng cho trước hay đặt một đoạn thẳngbằng đoạn thẳng cho trước

b) Vẽ thêm một đường thẳng song song với đường thẳng cho trước từ mộtđiểm cho trước

c) Từ một điểm cho trước dựng một đường thẳng vuông góc với một đườngthẳng xác định

d) Dựng đường phân giác của một góc cho trước

e) Dựng các đường đặc biệt trong tam giác (đường trung tuyến, đường trungbình, đường cao, đường phân giác)

f) Vẽ bán kính, đường kính trong đường tròn

g) Vẽ tiếp tuyến, cát tuyến của đường tròn hoặc tiếp tuyến chung của haiđường tròn

h) Vẽ đường tròn mới

3 Một số kiến thức liên quan:

3.1 Các bài toán dựng hình cơ bản trong chương trình Toán THCS

a Dựng đường trung trực của một đoạn thẳng

Cho trước đoạn thẳng AB Để dựng đường trung trực của AB, chúng talàm như sau:

- Lấy A và B làm tâm, dựng hai đường

tròn có cùng bán kính sao cho chúng cắt

nhau tại hai điểm

- Nối hai giao điểm của hai đường tròn này

lại chúng ta sẽ có đường trung trực của AB

b Dựng trung điểm của một đoạn thẳng

Cho trước đoạn thẳng AB Để dựng trung

điểm của AB, chúng ta làm như sau:

- Dựng đường trung trực của AB

- Đường trung trực cắt AB tại điểm M là

trung điểm của AB

c Qua một điểm, dựng đường thẳng vuông

góc với một đường thẳng cho trước

Cho trước đường thẳng ℓ và một điểm A

Để dựng đường thẳng đi qua A vuông góc

với ℓ, chúng ta làm như sau:

- Lấy A làm tâm dựng một đường tròn sao

cho đường tròn cắt đường thẳng ℓ tại hai

điểm B và C

- Dựng đường trung trực của BC, đây chính

là đường thẳng đi qua A vuông góc với ℓ

d Qua một điểm, dựng đường thẳng song

song với một đường thẳng

Cho trước đường thẳng ℓ và một điểm A.

Để dựng đường thẳng đi qua A song

song với ℓ, chúng ta làm như sau:

- Dựng đường thẳng t đi qua A vuông góc

với ℓ

- Dựng đường thẳng u đi qua A vuông góc

với t, đường thẳng u chính là đường thẳng

đi qua A song song với ℓ

e Dựng đường phân giác của một góc

Cho trước góc xOy, để dựng đường phân

giác của góc này, chúng ta làm như sau:

- Lấy O làm tâm dựng một đường tròn

cắt Ox và Oy tại A và B

- Dựng đường trung trực của AB, đây chính

là đường phân giác của góc xOy

B

A .

M B

A .

- Vẽ đường tròn (A; AB) và đường

tròn (B;CD), hai đường tròn này cắt

nhau tại E và F

- Hai góc EAℓ và FAℓ bằng góc xOy

g Dựng tiếp tuyến đến đường tròn

Cho trước một đường tròn

tâm O và một điểm A nằm ở bên ngoài

đường tròn, để dựng đường thẳng

qua A tiếp tuyến với đường tròn (O),

chúng ta làm như sau:

- Dựng trung điểm B của OA;

- Vẽ (B;AB), đường tròn này cắt

(O) tại hai điểm C và D;

- Hai đường thẳng AC và AD chính

là tiếp tuyến của đường tròn (O)

h Dựng một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c

Cho trước một tam giác biết độ dài ba cạnh của nó là a, b, c Để dựng một tam giác bằng tam giác đã cho ta làm như sau:

- Dựng tia Bx;

- Dựng đường tròn (B;c) Gọi C là giao

điểm của đường tròn (B;c) với tia Ax;

- Dựng đường tròn (B;a) và đường tròn

(C;b), gọi A là giao điểm của chúng

Tam giác ABC là tam giác cần dựng vì

có AB = a; AC = b; BC = c

Trên đây là các bài toán dựng hình cơ bản, khi áp dụng ta không cầnnêu lại cách dựng Khi cần vẽ thêm yếu tố phụ để chứng minh thì cũng phảicăn cứ vào những đường cơ bản đã dựng để vẽ thêm không nên vẽ thêm một

A

* Kĩ năng 2

a) Những bài tập có tiếp tuyến với đường tròn ta chú ý nối tâm với tiếp điểm.b) Bài toán có hai tiếp tuyến giao nhau ta chú ý nối giao điểm của hai tiếptuyến đó với tâm hoặc nối hai tiếp điểm

* Kĩ năng 3

Bài toán có hai đường tròn cắt nhau ta chú ý nối tâm và vẽ thêm dây chungcủa chúng

* Kĩ năng 4

a) Bài toán có hai đường tròn tiếp xúc nhau ta chú ý vẽ đường nối tâm

b) Bài toán có hai đường tròn tiếp xúc ngoài chú ý kẻ thêm tiếp tuyến chungtrong hoặc kẻ thêm đường nối tâm

-Ta có: HC > AB (vì C là điểm trên tia đối của tia

AB, H thuộc đoạn thẳng AB)

 OC > OA (quan hệ giữa đường xiên và hình