Một số bài toán về tính đơn điệu của hàm số ẩn

LỜI GIỚI THIỆU Trong các đề thi THPTQG mấy năm gần đây kể từ khi môn Toán thi trắc nghiệm đãxuất hiện khá nhiều các bài toán về hàm ẩn.. Lớp bài toán hàm ẩn khá rộng nhưng trongchuyên đề

BÁO CÁO KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU, ỨNG DỤNG SÁNG KIẾN

1 LỜI GIỚI THIỆU

Trong các đề thi THPTQG mấy năm gần đây (kể từ khi môn Toán thi trắc nghiệm) đãxuất hiện khá nhiều các bài toán về hàm ẩn Lớp bài toán hàm ẩn khá rộng nhưng trongchuyên đề này tôi chỉ nghiên cứu một phần nhỏ về sự biến thiên của hàm ẩn Trước hếtgiúp bản thân hệ thống được các dạng cơ bản của bài toán xét tính đồng biến nghịchbiến, qua đó phục vụ tốt hơn cho tác giảng dạy, nâng cao trình độ chuyên môn Vì vậy

tôi viết chuyên đề: ““MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ẨN” với mục đích trao đổi, học tập kinh nghiệm để công tác bồi dưỡng học sinh ôn thi

THPT quốc gia ngày càng đạt hiệu quả hơn, đáp ứng yêu cầu đổi mới giáo dục

2 TÊN SÁNG KIẾN

“MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ẨN”

3 TÁC GIẢ SÁNG KIẾN

Họ và tên: Nguyễn Thị Quyên

Địa chỉ tác giả sáng kiến: Trường THPT Tam Đảo 2-Tam Đảo- Vĩnh Phúc

6 NGÀY SÁNG KIẾN ĐƯỢC ÁP DỤNG LẦN ĐẦU HOẶC ÁP DỤNG THỬ

Tháng 9 năm 2019, môn Toán lớp 12

7 MÔ TẢ BẢN CHẤT CỦA SÁNG KIẾN

1.1.1 Định nghĩa: Gọi K là khoảng  a;b hoặc đoạn � �a;b hoặc nửa khoảng ��a;b , a;b  ��

và hàm số f x  xác định trên K

Hàm số y f x   đồng biến (tăng) trên K nếu x ,x1 2�K : x1x2� f x   1  f x2Hàm số y f x   nghịch biến(giảm) trên K nếu :x ,x K : x x1 2� 1 2 � f x   1  f x2 Hàm số đồng biến hoặc nghịch biến trên K được gọi là hàm số đơn điệu trên K 1.1.2 Định lí 1: Cho hàm số y f x   có đạo hàm trên  a;b

 Nếu f x�    � 0, x a;b  thì hàm số f x  đồng biến trên  a;b

 Nếu f x�    �0, x a;b  thì hàm số f x  nghịch biến trên  a;b

1.1.3 Định lí 2: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K )

Cho hàm số y f x   có đạo hàm trên  a;b

 Hàm số f x  đồng biến trên  a;b � f x�  � 0, x a;b �  và phương trình

  0

f x�  có hữu hạn nghiệm thuộc  a;b

 Hàm số f x  nghịch biến trên  a;b ۣۣ�f x�  0, x a;b  và phương trình

  0

f x�  có hữu hạn nghiệm thuộc  a;b

(Chú ý: Dấu bằng chỉ xảy ra tại các điểm “rời nhau”)

1.1.4 Định lí 3: (Điều kiện cần và đủ để hàm số đơn điệu trên K )

 Nếu hàm f x  đồng biến(hoặc nghịch biến) trên khoảng  a;b và f x  liên tụctrên nửa đoạn �a;b thì f x  sẽ đồng biến(hoặc nghịch biến) trên nửa đoạn

h x g f x Hàm số h x( ) gọi là hàm số hợp của hàm số f và g theo thứ tự này

2.1 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y  f x( ) DỰA

VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM f x'( )

Phương pháp giải

Cho đồ thị f x'( ), hỏi tính đơn điệu của hàm y f x( )

 Tìm nghiệm của f x'( ) 0  (hoành độ giao điểm với trục hoành);

 Xét dấu f x'( ) (phần trên Ox mang dấu dương; phần dưới Oxmang dấu âm);

 Lập bảng biến thiên của hàm số y  f x( ), suy ra kết quả tương ứng

Bài 2.1 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên � và có đồ thị của hàm y f x� 

như hình vẽ Mệnh đề nào dưới đây sai?

Từ đồ thị y f x�  ta thấy

  0,  ; 2

f x� � x� � (Phần đồ thị ứng với x� � ; 2 nằm phía dưới Ox)

và f x�   0, x�2;�(Phần đồ thị ứng với x�2;� nằm phía trên Ox)

 Với bài toán cho đồ thị của hàm y f x'( ) Phần đồ thị nằm phía trên trục

hoành ứng với f x'( ) 0  khi đó hàm y  f x  đồng biến; phần đồ thị phía dưới trục hoành ứng với f x'( ) 0  khi đó hàm số y  f x  nghịch biến.

Bài 2.2 Cho hàm số f x  có đạo hàm liên tục trên � và có đồ thị hàm số f x�  là đường cong trong hình bên Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 1;1 

B Hàm số f x  đồng biến trên khoảng 1; 2 

C Hàm số f x  đồng biến trên khoảng  2;1 

D Hàm số f x  nghịch biến trên khoảng 0; 2 

Lời giải

Từ đồ thị hàm y f x'( ) ta có f x'( ) 0 � � �x  ; 2  �0;2

f x'( ) 0 � �x 2;0 � 2;�

Ta có bảng biến thiên

x � -2 0 2 �'( )

2.2 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y f u x( ( )) DỰA

VÀO BẢNG BIẾN THIÊN CỦA HÀM f x'( )

 Lập bảng biến thiên của y f u( ), suy ra kết quả tương ứng

(Có thể thay thế bước 2 bằng giải phương trình f u u x'( ) '( ) 0  và dựa vào bảng

biến thiên hoặc đồ thị hàm f x'( ) đã cho để xét dấu trực tiếp biểu thức y')

Bài 2.4 (THPTQG-2019, Mã đề 101) Cho hàm số f x( ) có bảng xét dấu f x'( ) như

Bước 2 Tính đạo hàm của hàm y' ( 2) '(3 2 )   f  x .

Bước 3 Giải bất phương trình y' 0  � ( 2) '(3 2 ) 0  f  x  � f '(3 2 ) 0  x 

Kết luận từ bảng biến thiên suy ra đáp án B ( 2;1) 

Cách khác: Bạn đọc có thể xem thêm một cách giải khác khá thú vị sau

Bước 1 Dựa vào bảng biến thiên có   0 31

x � 1 2 3 �'( )

Bài 2.5 Cho hàm số y f x( ) có đạo hàm f x� ( ) trên � và đồ thị của hàm số

Bước 4 Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta chọn đáp án D 1;0.

x x

x x

Căn cứ vào đồ thị hàm số y  f x'( ) có dạng như đồ thị hàm đa thức bậc 3 cắt

trục hoành tại điểm x2 và tiếp xúc tại điểm x 1 nên ta chọn hàm

  2 

f x  x x Khi đó hàm số y g x'( ) f x'( 2 2x1) là một hàm đa thức ta

có thể xét dấu dựa vào quy tắc xét dấu của hàm dạng tích thương các đa thức.

Bài 2.6 Cho hàm số y= f x( ). Đồ thị hàm số y=f x�( ) như hình bên dưới

Hàm số g x( )= f( x2 + 2x+ 2) nghịch biến trên khoảng nào trong các khoảng sau ?

Bài 2.7 Cho hàm số y f x( ) có bảng xét dấu của f x'( ) như sau:

11

2

2 2

x x

x

x x

(x �2 không phải là nghiệm kép của phương trình g x'( ) 0  )

Cách xét dấu của hàm g x'( ) ví dụ xét khoảng  2;� ta chọn x2 thay g x'( )ta được g'(2) 2.2 '(2 ) 4 '(4) 0 f 2  f  , vì theo bảng xét dấu f '(4) 0  nên

'( ) 0, 2;

g x  x� � Ta thực hiện các khoảng còn lại tương tự.

2.3 XÁC ĐỊNH ĐƯỢC KHOẢNG ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ y f x( ) h x( )

DỰA VÀO BẢNG BIẾN THIÊN HOẶC ĐỒ THỊ CỦA HÀM f x'( )

Tìm khoảng đơn điệu khi biết đồ thị của hàm f x'( )

 Lập bảng biến thiên của hàm số y g x( ) hoặc trực tiếp xác định khoảng đồngbiến nghịch biến dựa vào đồ thị và suy ra kết quả bài toán

Bài 2.8 Cho hàm số y f x  với đạo hàm f x�  có đồ thị như hình vẽ.

Hàm số g x  3f x   x3 3x2 3x 2019 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau?

A Hàm số y g x   đồng biến trên khoảng  1;2

B Hàm số y g x   đồng biến trên khoảng 1;0

C Hàm số y g x   đồng biến trên khoảng  0;1

D Hàm số y g x   nghịch biến trên khoảng 2;�

Từ bảng biến thiên suy ra: chọn đáp án C  0;1

Bình luận: Khi vẽ đồ thị ta để ý đến các điểm đặc biệt mà đồ thị ban đầu cho tọa độ

Bài 2.10 (ĐỀ THAM KHẢO CỦA BGD&ĐT NĂM 2018-2019) Cho hàm số f x( )

có bảng xét dấu đạo hàm như sau

f t t

Khoảng còn lại t�4;13 (loại)

4.4 Tính đơn điệu của hàm hợp có chứa tham số

“Tìm m để hàm số y f x m ,  đồng biến (nghịch biến) trên khoảng  a b; ”:

Bước 2: Lập bảng biến thiên của hàm số g x  trên khoảng  a b;

Bước 3: Từ bảng biến thiên ta suy ra các giá trị cần tìm của tham số m.

Bài 2.12 [VD] Cho hàm số y f x  có đồ thị như hình vẽ Tìm tất cả các giá trị của

+ Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước và kỹ thuật cô

lập m, giải bài toán tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x� 0;1

m m

Bài 2.13 Cho hàm số y f x  có đạo hàm trên � và bảng xét dấu của đạo hàm như hình vẽ sau:

Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số g x   f x 2 x m nghịch biến trên

m m

�

�

� � � �

+ Sử dụng điều kiện đủ để hàm số đơn điệu trên một khoảng cho trước và kỹ thuật

cô lập m, giải bài toán tìm m để bất phương trình nghiệm đúng với mọi x� 0;2

+ Ta có thể tương tự hóa dạng bài này khi học sinh học đến bài hàm mũ, logarit

Bài 2.15 Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x'   x 1e x. Tìm tất cả các giá trị củatham số m để hàm số yg x   f  lnx mx2 mx2 nghịch biến trên  3

1;e .

Lời giải

016

nghịch biến trên  1;e3 Mà h 1 1 suy ra (*)� m�1

Bài 2.16 Cho hàm số y f x  có đạo hàm f x�  x x2  2 x2 mx 5  �Rx Tìm

tất cả các giá trị của tham số m để hàm số g x   f x 2  x 2 đồng biến trên 1;�

Vì ta cần xét tính đơn điệu của hàm số f x  nên cần biết dấu của f x' 

+ Từ giả thiết g x   f 5x suy ra f ' 5   x g x' 

 Hàm số f x  đồng biến trên khoảng  �; 1 khi và chỉ khi f x'  �0,x� � ; 1

(Dấu “” chỉ xảy ra tại hữu hạn điểm x� � ; 1 - luôn đúng)

0

Bài 2.21 Cho hàm số y= f x( ). Đồ thị hàm số y=f x�( ) như hình bên dưới

Bài 2.24 Cho hàm số y f x  liên tục trên � Biết rằng hàm số y f x�  có đồ thị

như hình vẽ bên dưới:

Bài 2.26 Cho hàm số f x( ) liên tục trên � có f( 1) 0   và có đồ thị hàm số y f x� ( )như hình vẽ bên.

Hàm số y 2 (f x 1) x2 đồng biến trên khoảng

A 3;�. B 1; 2. C 0;�. D  0;3

Dựa vào bảng biến thiên, hàm sốy 2 (f x  1) x2 đồng biến trên khoảng

 0;3

Bài 2.27 Cho hàm số y=f x( ) có bảng biên thiên như hình vẽ

Lập bảng biến thiên (hoặc ta thấy với x �-( 2;2) thì đồ thị hàm số f x�( )

nằm phía trên đường thẳng y x= nên g x� >( ) 0) �� � hàm số g x( ) đồng biến trên (- 2;2 ) Chọn B

Bài 2.28 Cho hàm số y=f x( ) có đạo hàm liên

Dựa vào đồ thị, suy ra ( )

nghịch biến trên khoảng nào

trong các khoảng sau ?

Quan sát đồ thị ta thấy bất phương trình

8 NHỮNG THÔNG TIN BẢO MẬT (KHÔNG CÓ)

9 CÁC ĐIỀU KIỆN CẦN THIẾT ĐỂ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN

Sách giáo khoa, vở ghi, máy tính cầm tay và tài liệu tham khảo

10 ĐÁNH GIÁ LỢI ÍCH THU ĐƯỢC HOẶC DỰ KIẾN THU ĐƯỢC DO ÁP

DỤNG SÁNG KIẾN THEO Ý KIẾN CỦA TÁC GIẢ

Khi tiến hành dạy theo chuyên đề trên cho lớp 12A1 và dạy giáo án bình thường ở lớp 12A3, tôi tiến hành bài kiểm tra đánh giá 15 phút thu được kết quả như sau (Hình thức trắc nghiệm):

Thống kê chung như sau:

Mặc dù đã cố gắng trong quá trình tìm tòi nghiên cứu, nhưng do hạn chế về mặt năng lực và thời gian trình bày trong sáng kiến không tránh khỏi những thiếu sót, việc khai thác chắc chắn chưa triệt để Kính mong được sự nhận xét, bổ sung góp ý kiến của quý thầy cô

11 DANH SÁCH NHỮNG TỔ CHỨC/CÁ NHÂN ĐÃ THAM GIA ÁP DỤNG THỬ HOẶC ÁP DỤNG SÁNG KIẾN LẦN ĐẦU

Số

TT

Tên tổ chức/cá nhân Địa chỉ Phạm vi/Lĩnh vực

áp dụng sáng kiến

1 Nguyễn Thị Quyên GV THPT Tam Đảo 2 Môn Toán học

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Sai lầm thường gặp và các sáng tạo khi giải toán - Trần Phương ( chủ biên)-Nhà xuấtbản Hà Nội, 2006

2 Phương pháp giải toán - Lê Hồng Đức ( chủ biên) - Nhà xuất bản Hà Nội, 2005

3 Giới thiệu đề thi tuyển sinh vào Đại học Môn Toán – Trần Tuấn Điệp( Chủ Nhà xuất bản Hà Nội, 2012

biên)-4 Sách giáo khoa Giải tích 12 Nâng cao – Đoàn Quỳnh ( tổng chủ biên)- Nhà xuất bản Giáo dục, 2008

5 Sách bài tập Giải tích 12 Nâng cao - Nguyễn Huy Đoan ( chủ biên)- Nhà xuất bản Giáo dục, 2008

6 Tham khảo một số tài liệu trên mạng internet

- Nguồn: http:// www.facebook.com