Một số bài toán về đường tròn tiếp xúc

Feuerbach ¢chùng minh ÷ñc ành lþ nâi v· t½nh ch§t cõa ÷íng trán ch½n iºm.. Ng÷íi ta gåi c¡c ÷íngtrán nëi ti¸p c¡c tam gi¡c cong ADB, ADC l c¡c ÷íng trán Thebaultùng vîi ÷íng trán nëi ti¸

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Việt Hải

THÁI NGUYÊN - 2018

Danh möc h¼nh

1.1 B i to¡n Feuerbach 6

1.2 Düng ÷íng trán Thebault 7

1.3 ành lþ Thebault 8

1.4 Bê sung t½nh ch§t cõa t¥m I 9

1.5 B i to¡n cì b£n 10

1.6 a) P Q i qua I; b) P Q i qua IC 11

1.7 c) P Q i qua IA; d) P Q i qua IB 12

1.8 C¡c tr÷íng hñp cõa ành lþ Thebault 13

1.9 Tø b i to¡n Thebault ¸n ành lþ Feuerbach 14

1.10 M»nh · 1.3 16

1.11 ành lþ Feuerbach èi vîi ÷íng trán b ng ti¸p 17

1.12 IMO 2012 18

2.1 B i to¡n Malfatti 20

2.2 Têng di»n t½ch c¡c h¼nh trán Malfatti khæng ph£i l  lîn nh§t 21 2.3 Nghi»m cõa b i to¡n Malfatti gèc 24

2.4 Líi gi£i ¤i sè 25

2.5 Líi gi£i ¤i sè-h¼nh håc cõa Schellbach 26

2.6 Khi R = 12; a = sin α, b = sin β, c = sin γ 28

2.7 Ph²p düng phö 1 v  ph²p düng phö 2 29

2.8 Ph²p düng b¬ng ph¦n m·m GeoGebra, n«m 2013 30

2.9 B i to¡n A 32

2.10 B i to¡n B 33

3.1 arbelos - h¼nh "con dao thñ èng gi¦y" 39

3.2 ÷íng trán nëi ti¸p arbelos 41

3.3 ành lþ Bankoff thù nh§t 42

3.4 Ba c¡ch düng ÷íng trán nëi ti¸p arbelos ABC 43

3.5 C¡ch düng thù t÷ cõa ÷íng trán nëi ti¸p 45

3.6 C°p ÷íng trán Archimedes thù nh§t v  thù hai 46

3.7 ành lþ Bankoff thù hai 47

3.8 C°p ÷íng trán Archimedes thù ba v  thù t÷ 48

3.9 C°p ÷íng trán Archimedes thù n«m v  thù s¡u 49

3.10 C°p ÷íng trán thù b£y, thù t¡m 50

3.11 C°p ÷íng trán thù ch½n v  c°p thù m÷íi 51

3.12 C°p thù m÷íi mët v  c°p thù m÷íi hai 52

Möc löc

1.1 Giîi thi»u v· hai b i to¡n: b i to¡n Thebault v  b i to¡n

Feuerbach 4

1.1.1 B i to¡n Feuerbach 4

1.1.2 B i to¡n Thebault 7

1.2 B i to¡n cì b£n 9

1.2.1 p döng b i to¡n cì b£n chùng minh ành lþ Thebault 12 1.2.2 Tø ành lþ Thebault ¸n ành lþ Feuerbach 14

1.3 p döng 17

2 B i to¡n Malfatti 20 2.1 Giîi thi»u b i to¡n Malfatti 20

2.2 Líi gi£i b i to¡n Malfatti gèc 22

2.3 Líi gi£i b i to¡n Malfatti 24

2.3.1 C¡ch düng ¤i sè 24

2.3.2 C¡ch düng ¤i sè-h¼nh håc cõa Schellbach 26

2.4 Mët sè b i to¡n kiºu Malfatti gèc 31

2.4.1 Hai b i to¡n Malfatti èi ng¨u 31

2.4.2 B i to¡n Malfatti cho tam gi¡c ·u v  h¼nh vuæng 34 2.4.3 B i to¡n Malfatti cho ÷íng trán 37

3 ÷íng trán ti¸p xóc trong h¼nh håc arbelos 38 3.1 Mët sè b i to¡n ìn gi£n 38

3.2 ÷íng trán nëi ti¸p trong arbelos 403.2.1 T½nh ch§t cõa ÷íng trán nëi ti¸p trong Arbelos 403.2.2 C¡ch düng ÷íng trán nëi ti¸p arbelos ABC 443.3 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes trong arbelos 453.3.1 C°p ÷íng trán Archimedes thù nh§t v  thù hai 453.3.2 C°p ÷íng trán Archimedes thù ba v  thù t÷ 483.3.3 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes thù n«m v  thù s¡u 493.3.4 C¡c c°p ÷íng trán Archimedes thù b£y v  thù t¡m 50

Líi c£m ìn

º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn

÷ñc sü h÷îng d¨n v  gióp ï nhi»t t¼nh cõa PGS.TS Nguy¹n Vi»t H£i,Gi£ng vi¶n cao c§p Tr÷íng ¤i håc H£i Pháng Tæi xin ch¥n th nh b y

tä láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n th¦y v  xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîinhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng  o t¤o, Khoa To¡n-Tin, quþ th¦y

cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K10B (2016 - 2018) Tr÷íng ¤i håc khoa Håc

- ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡ucông nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc

Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúngng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v  t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suètqu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n

Xin tr¥n trång c£m ìn!

H£i Pháng, th¡ng 10 n«m 2018

Ng÷íi vi¸t Luªn v«n

Vô Thà N«m

Mð ¦u

1 Möc ½ch cõa · t i luªn v«n

C¡c b i to¡n v· ÷íng trán luæn l  nhúng b i to¡n ÷ñc c¡c nh to¡n håc quan t¥m Nhi·u b i to¡n v· sü ti¸p xóc cõa c¡c ÷íng trán ¢g­n li·n vîi t¶n tuêi cõa c¡c nh  to¡n håc nh÷ b i to¡n Thebault, b i to¡nFeuerbach, b i to¡n Malfatti, c¡c b i to¡n v· ÷íng trán trong h¼nh håcarbelos ("h¼nh con dao cõa thñ âng gi¦y") Sü d¨n d­t tø b i to¡n n ysang b i to¡n kh¡c còng c¡c ùng döng cõa chóng ¢ mang l¤i nhi·u k¸tqu£ tuy»t víi cõa h¼nh håc Euclide º hiºu bi¸t th¶m v· c¡c c¡c ÷íngtrán ti¸p xóc, khai th¡c c¡c t½nh ch§t, c¡ch x¡c ành chóng, ¡p döng ÷ñc

v o c¡c b i to¡n kh¡c, tæi ¢ chån · t i "Mët sè b i to¡n v· ÷íng tránti¸p xóc" Möc ½ch cõa · t i l :

-T¼m hiºu c¡c b i to¡n li¶n quan ¸n c¡c ÷íng trán ti¸p xóc: b i to¡nThebault, b i to¡n Feuerbach, b i to¡n Malfatti, c¡c b i to¡n v· ÷íngtrán ti¸p xóc trong h¼nh håc arbelos

- Tr¼nh b y méi b i to¡n vîi nhúng nëi dung ÷ñc cªp nhªt, theo tr¼nhtü: xu§t sù cõa b i to¡n, c¡ch gi£i quy¸t mîi cõa b i to¡n v  c¡c b i to¡nli¶n quan

- C¡c k¸t luªn khoa håc rót ra tø c¡c b i to¡n v  ¡p döng º gi£i to¡nhåc sinh giäi ð phê thæng

- Bçi d÷ïng n«ng lüc d¤y c¡c chuy¶n · khâ ð tr÷íng THCS v  THPTgâp ph¦n  o t¤o håc sinh håc giäi mæn H¼nh håc

2 Nëi dung cõa · t i, nhúng v§n · c¦n gi£i quy¸t

Tr¼nh b y mët c¡ch h» thèng c¡c b i to¡n nâi tr¶n, ¡p döng ÷ñcc¡c t½nh ch§t cõa ÷íng trán ti¸p xóc v o c¡c b i to¡n kh¡c Nëi dungluªn v«n chia l m 3 ch÷ìng:

Ch÷ìng 1 Tø b i to¡n Thebault ¸n b i to¡n Feuerbach

X²t hai b i to¡n : b i to¡n Thebault, b i to¡n Feuerbach v  mèi li¶nh» giúa chóng B i to¡n Feuerbach l  mët trong nhúng b i to¡n µp ³nh§t cõa h¼nh håc ph¯ng Euclide tr£i qua nhi·u n«m th¡ng vîi nhi·u c¡chchùng minh Ch÷ìng n y bao gçm:

1.1 Giîi thi»u v· hai b i to¡n: b i to¡n Thebault v  b i to¡n Feuerbach1.2 B i to¡n cì b£n

1.3 p döng

Ch÷ìng 2 B i to¡n Malfatti

Giîi thi»u b i to¡n Malfatti v  b i to¡n Malfatti gèc Tr¼nh b y chiti¸t líi gi£i b i to¡n to¡n Malfatti cho tam gi¡c b§t ký, gi£i th½ch ¦y õt¤i sao c¡c ÷íng trán Malfatti khæng l  nghi»m cõa b i to¡n Malfattigèc

v  ¥u l  nghi»m óng cõa b i to¡n â Ch÷ìng n y bao gçm c¡c möc sau:2.1 Giîi thi»u b i to¡n Malfatti

2.2 Líi gi£i cõa b i to¡n Malfatti gèc

2.3 Líi gi£i b i to¡n Malfatti

2.4 Mët sè b i to¡n kiºu Malfatti gèc

Ch÷ìng 3 ÷íng trán ti¸p xóc trong h¼nh håc arbelos

H¼nh håc arbelos nghi¶n cùu c¡c nûa ÷íng trán ti¸p xóc, chú "arbelos"

÷ñc gh²p tø 7 chú c¡i α, %, β, η, λ, θ, ς th nh (α%βηλθς) H¼nh arbelos l 

ba nûa ÷íng trán vîi c¡c ÷íng k½nh tr¶n mët ÷íng th¯ng Theo quan

iºm trüc quan, ng÷íi ta gåi arbelos l  "h¼nh con dao cõa thñ âng gi¦y"

Ch÷ìng n y · cªp ¸n mët sè t½nh ch§t cõa arbelos, c¡ch düng c¡c ÷íngtrán ti¸p xóc, °c bi»t n¶u c¡ch düng 8 c°p ÷íng trán Archimedes cõamët arbelos, cªp nhªt ÷ñc nhúng ph¡t hi»n trong nhúng n«m g¦n ¥y.Nëi dung bao gçm:

3.1 Mët sè b i to¡n ìn gi£n

3.2 ÷íng trán nëi ti¸p v  ÷íng trán Archimedes

3.3 Düng c¡c c°p ÷íng trán Archimedes trong h¼nh arbelos

Ch֓ng 1

Tø b i to¡n Thebault ¸n b i to¡n Feuerbach

Ng÷íi ta hay nâi ¸n v´ µp cõa to¡n håc Vªy ¥u l  v´ µp cõa nâ?

æi khi ch¿ xu§t ph¡t tø mët b i to¡n cö thº l¤i d¨n tîi mët bùc tranhthªt µp Ch¯ng h¤n bùc tranh sau ¥y l  hai k¸t qu£ to¡n håc nêi ti¸ng,xu§t ph¡t tø nhúng l¾nh vüc kh¡c bi»t, t÷ðng nh÷ khæng câ quan h» g¼nh÷ng l¤i g­n ch°t vîi nhau Trong ch÷ìng n y ta s³ x²t hai ành lþ nêiti¸ng v· c¡c ÷íng trán ti¸p xóc: ành lþ Feuerbach v  ành lþ Thebault.Chóng ÷ñc kh¡m ph¡ bði hai nh  to¡n håc kh¡c nhau ð nhúng kho£ngthíi gian r§t xa nhau: ành lþ thù nh§t ra íi c¡ch ành lþ thù hai 116n«m Tr£i qua mët thíi gian d i, méi ành lþ câ mët tªp hñp c¡c ph²pchùng minh düa tr¶n nhúng c¡ch nh¼n nhªn kh¡c nhau Khæng h· nâi qu¡r¬ng hai ành lþ n y nh÷ hai chà em ruët: chóng l  hai tr÷íng hñp kh¡cnhau cõa còng mët sü ki»n to¡n håc

1.1 Giîi thi»u v· hai b i to¡n: b i to¡n Thebault

v  b i to¡n Feuerbach

1.1.1 B i to¡n Feuerbach

Ta b­t ¦u b¬ng mët v i kh¡i ni»m v  k¸t qu£ ¢ bi¸t Trong m°t ph¯ngtam gi¡cABC ch½n iºm sau n¬m tr¶n mët ÷íng trán: ba ch¥n ÷íng cao

D, E, F; ba trung iºm c¡c c¤nh M, N, P v  ba trung iºm o¤n th¯ng

nèi trüc t¥m vîi ¿nh tam gi¡c, kþ hi»u l  HA, HB, HC ÷íng trán i qua

9 iºm â ÷ñc gåi l  ÷íng trán ch½n iºm Sü ki»n °c bi»t n y ÷ñct¼m ra n«m 1765 bði nh  to¡n håc thi¶n t i Leonard Euler (1707-1783),bði vªy nâ cán câ t¶n gåi l  ÷íng trán Euler N«m 1822, K Feuerbach ¢chùng minh ÷ñc ành lþ nâi v· t½nh ch§t cõa ÷íng trán ch½n iºm T½nhch§t n y nêi ti¸ng ¸n mùc lóc §y nhi·u ng÷íi cán gåi ÷íng trán n y l 

÷íng trán Feuerbach

ành lþ 1.1 ( B i to¡n Feuerbach) Trong måi tam gi¡c, ÷íng trán ch½n

iºm ti¸p xóc vîi ÷íng trán nëi ti¸p v  c¡c ÷íng trán b ng ti¸p

Ta nhî r¬ng ÷íng trán b ng ti¸p l  ÷íng trán ti¸p xóc vîi mët c¤nhtam gi¡c v  ph¦n k²o d i cõa hai c¤nh kia Nh÷ vªy ÷íng trán b ng ti¸ptam gi¡c ABC ùng vîi gâcA l  ÷íng trán ti¸p xóc vîi c¤nh BC v  ph¦nk²o d i c¤nh AB (v· ph½a B) v  c¤nh AC (v· ph½a C) Méi tam gi¡c câ

ba ÷íng trán b ng ti¸p T¡c gi£ cõa ành lþ l  Karl Wilhelm Feuerbach(1800-1834) l  mët nh  to¡n håc ng÷íi ùc, anh trai cõa nh  tri¸t håc nêiti¸ng Ludwig Feuerbach Sau khi nhªn håc và ti¸n s¾ v o n«m 22 tuêi ængtrð th nh gi¡o s÷ to¡n håc cõa tr÷íng Gymnasium t¤i th nh phè Erlangen

Th nh phè n y sau 50 n«m ph¡t minh cõa Feuerbach, n«m 1872, xu§t hi»n

"ch÷ìng tr¼nh Erlangen" cõa Felix Klein v· "H» thèng hâa h¼nh håc", mð

¦u cho h¼nh håc hi»n ¤i Ng y nay trong c¡c ph²p chùng minh ành lþFeuerbach a sè ·u sû döng cæng cö m¤nh nh÷ ph²p nghàch £o, ành lþPtolemy têng qu¡t Nh÷ng công câ nhúng ph²p chùng minh ho n to n sìc§p Mët trong nhúng ph²p chùng minh â thuëc v· V.Protasop, t¡c gi£cõa b i b¡o [7], trong â t¡c gi£ coi ành lþ Feuerbach l  tr÷íng hñp ri¶ngcõa ành lþ v· kho£ng Sau ¥y l  c¡ch gi£i quy¸t b i to¡n Feuerbach b¬ngph÷ìng ph¡p sì c§p:

Chùng minh Gi£ sûO9, O, I, r, R nh÷ kþ hi»u ¢ bi¸t,QOS l  ÷íng k½nhvuæng gâc vîi BC, F, N l  h¼nh chi¸u cõa O9, I l¶n BC, P l  h¼nh chi¸ucõa A l¶n OQ

B÷îc 1 (O9) ti¸p xóc trong vîi (I, r) ⇐⇒ O9I = R

2 − r B÷îc chùngminh thüc hi»n theo sì ç sau:

1 Chùng minh P O = 2EF

B÷îc 2 Chùng minh (O9) ti¸p xóc ngo i vîi, ch¯ng h¤n, ÷íng trán (Ia)

b ng ti¸p trong bA B÷îc chùng minh thüc hi»n theo sì ç sau:

H¼nh 1.1: B i to¡n Feuerbach

Vîi sì ç â ta chùng minh ÷ñc ành lþ Feuerbach (xem [1]), trongph¦n sau ta s³ ti¸p cªn b i to¡n n y b¬ng c¡ch kh¡c

1.1.2 B i to¡n Thebault

Kh¡c vîi Feuerbach, nh  to¡n håc nêi ti¸ng ng÷íi Ph¡p Victor Thebault(1882-1960), t¡c gi£ cõa hìn 1000 ành lþ v  b i to¡n (ri¶ng mët t¤p ch½

"American mathematical monthly" ¢ «ng 582 ành lþ v  b i to¡n trongchóng) i·u â chùng tä Thebault l  mët t¡c gi£ câ uy t½n i·u kh¡ng¤c nhi¶n l  Thebault lóc â ch÷a ÷ñc phong gi¡o s÷ Khi â (v  ngayc£ b¥y gií) ki¸n thùc v· h¼nh håc khæng mang l¤i mët thu nhªp ¡ng kºn¶n Thebault trong suèt nhi·u n«m l m vi»c v¨n ð trong mët c«n phángthu¶ cõa ng nh b£o hiºm Trong c¡c cæng bè cõa Thebault nêi ti¸ng hìn c£

H¼nh 1.2: Düng ÷íng trán Thebault

ch½nh l  ành lþ v· ba ÷íng trán câ t¥m th¯ng h ng Ta gåi tam gi¡c cong

l  h¼nh giîi h¤n bði 2 o¤n th¯ng v  mët cung trán Ch¯ng h¤n tr¶n h¼nh1.2, tam gi¡c cong ADB giîi h¤n bði hai o¤n th¯ng AD, DB v  cung

_ BA cõa ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABC Ng÷íi ta gåi c¡c ÷íngtrán nëi ti¸p c¡c tam gi¡c cong ADB, ADC l  c¡c ÷íng trán Thebaultùng vîi ÷íng trán nëi ti¸p T÷ìng tü câ c¡c ÷íng trán Thebault ùng vîic¡c ÷íng trán b ng ti¸p Ta câ c¡ch düng ÷íng trán Thebault nh÷ sau:

- Düng t¥m nëi ti¸p I cõa ∆ABC v  ph¥n gi¡c Dt cõa \ADB

- Düng qua I ÷íng Ix ⊥ Dt, Ix ∩ BC = F

- Düng qua F ÷íng F y ⊥ BC, F y ∩ Dt = K.

- Düng ÷íng trán t¥m (K, KF ) â l  ÷íng trán c¦n düng

ành lþ 1.2 (B i to¡n Thebault) Tr¶n c¤nh BC cõa tam gi¡c ABC l§y

iºm D tòy þ Düng c¡c ÷íng trán nëi ti¸p trong c¡c tam gi¡c cong ADB

v  ADC Khi â ÷íng th¯ng t¥m cõa hai ÷íng trán â i qua t¥m nëiti¸p cõa ABC

H¼nh 1.3: ành lþ Thebault

ành lþ n y ÷ñc Thebault cæng bè d÷îi d¤ng mët b i to¡n v o n«m

1938 (khæng chùng minh), c¡c ph²p chùng minh ¦u ti¶n nhªn ÷ñc b¬ngph÷ìng ph¡p t½nh to¡n v o nhúng n«m 1970 sau khi Thebault ¢ m§t.M¢i ¸n n«m 1986, mët ph²p chùng minh b i to¡n b¬ng h¼nh håc thu¦ntóy mîi ÷ñc ho n th nh G¦n ¥y công câ mët ph²p chùng minh ành

lþ ÷ñc cæng bè b¬ng ti¸ng Nga bði nh  to¡n håc E D Kulannin trong

"Gi¡o döc To¡n håc", tªp 11, n«m 2007 C¡ch ti¸p cªn hai ành lþ n y cõachóng tæi l  nh÷ sau: Tr÷îc h¸t nh­c l¤i v  bê sung mët sè t½nh ch§t li¶nquan ¸n t¥m ÷íng trán nëi ti¸p, sau â ph¡t biºu v  chùng minh b ito¡n cì b£n (bê · Sawayama), chùng minh ành lþ Thebault, cuèi còngchùng minh ành lþ Feuerbach tø ành lþ Thebault

1.2 B i to¡n cì b£n

Chõ · ch½nh cõa ph¦n n y l  tr¼nh b y mët c¡ch gi£i quy¸t hai b ito¡n n¶u tr¶n b¬ng c¡ch düa v o mët b i to¡n cì b£n, hay ÷ñc gåi l  bê

· Sawayama, þ t÷ðng ch½nh cõa b i b¡o [7]

º th§y hai b i to¡n l  c¡c tr÷íng hñp ri¶ng cõa còng mët sü ki»n h¼nhhåc ta h¢y nhî l¤i mët sè kh¡i ni»m h¼nh håc sau â s³ ph¡t biºu v  chùngminh b i to¡n cì b£n, tø â rót ra ành lþ Thebault, tø â chùng minh

ành lþ Feuerbach

Ta bê sung th¶m c¡c t½nh ch§t sau cõa t¥m nëi ti¸p:

H¼nh 1.4: Bê sung t½nh ch§t cõa t¥m I

M»nh · 1.1 (a) Cho ∆ABC, ÷íng trán ngo¤i ti¸p (O), ÷íng tránnëi ti¸p l  (I) K²o d i ph¥n gi¡c gâc \BAC c­t ÷íng trán ngo¤i ti¸p

ð L th¼ LI = LB = LC

(b) Tr¶n m°t ph¯ng cho c¡c ÷íng trán C1 v  C2, C1 ð trong C2, ti¸p xóc

C2 ð T, ti¸p xóc vîi d¥y cung BC cõa C2 ð Q Tia T Q c­t C2 t¤i

L Khi â, L l  trung iºm cung CB, T L l  ph¥n gi¡c gâc \BT C v 

LQ.LT = LB2 = LC2

Chùng minh (a) Thªt vªy, v¼ [LAB = LAC[ n¶n L l  trung iºm cõacung _ BC hay LB = LC Gåi M l  giao iºm cõa ph¥n gi¡c gâc \ACB

vîi ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c ABC Gâc [IBL ch­n cung M L n¶n

câ sè o b¬ng nûa têng c¡c cung M C v  CL Nâ l¤i b¬ng nûa têng sè o

c¡c cung AM v  LB (v¼ _ AM =_ M C v  _ LB =_ CL), b¬ng gâc[

BIL Suy ra [IBL = BIL[, cuèi còng, LI = LB = LC Ho n to n t÷ìng

tü ta câ thº ph¡t biºu v  chùng minh t½nh ch§t èi vîi t¥m ÷íng trán

b ng ti¸p tam gi¡c

(b) X²t ph²p và tü t¥m T, bi¸n C1 th nh C2 Nâ s³ bi¸n iºm Q th nh

iºm L, ÷íng th¯ng BC ti¸p xóc vîi C1 t¤i Q th nh ÷íng th¯ng songsong vîi BC, ti¸p xóc C2 t¤i L V¼ ti¸p tuy¸n n y song song vîi BC n¶n

L l  trung iºm cõa cung CB Hìn núa c¡c gâc nëi ti¸p [LCB,LT C[ b¬ngnhau n¶n tam gi¡c LCQ çng d¤ng vîi tam gi¡c LT C, tø â LQ.LT =

LB2 = LC2

Ho n to n t÷ìng tü ta câ thº ph¡t biºu v  chùng minh t½nh ch§t èivîi t¥m ÷íng trán b ng ti¸p tam gi¡c Khi â, T L l  ph¥n gi¡c gâc k·vîi gâc BT C

ành lþ 1.3 (B i to¡n cì b£n) Tr¶n c¤nh BC cõa tam gi¡c ABC l§ytòy þ mët iºm M V³ nëi ti¸p trong tam gi¡c cong mët ÷íng trán t¥m

J, ti¸p xóc vîi M A, M B l¦n l÷ñt t¤i P v  Q, ti¸p xóc ÷íng trán (O) ð

iºm T Khi â ÷íng th¯ng P Q i qua I

H¼nh 1.5: B i to¡n cì b£n

Chùng minh Xem h¼nh 1.5

B÷îc 1 ÷íng th¯ng QI c­t l¤i ÷íng trán (J ) ð P0, AI c­t (O) ð L,theo t½nh ch§t 1.1(a), Ll  trung iºm cung BC

B÷îc 2 Ta câ \BQT = QP\0T = T AI[) Thªt vªy, s \BQT = 1

2s(_

2s (_ BL+ _ BT ) =s [T AI =⇒ \BQT = T AI[.Ngo i ra, gâc \BQT l  gâc giúa ti¸p tuy¸n v  mët d¥y b¬ng gâc nëi ti¸p

\

QP0T còng ch­n mët cung

B÷îc 3 Ta chùng minh Tù gi¡cAP0IT nëi ti¸p Thªt vªy, ta câ \QP0T =

[

T AI, ngh¾a l  [AIT = AP\0T Hìn núa, theo t½nh ch§t 1.1(b), LQ.LT =

LB2 = LI2 Suy ra ∆LQI ∼ ∆LIT Tø â suy ra: [LQI = LITd Nh÷vªy, \T QP0 = AIT =[ AP\0T

B÷îc 4 ¯ng thùc \T QP0 = AP\0T chùng tä AP0 ti¸p xóc (J ) Do â,

P0 ≡ P

H» qu£ 1.1 Vîi gi£ thi¸t nh÷ trong b i to¡n cì b£n, khi â, ÷íng trán

(AP F ) i qua t¥m I ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c ABC

Tr÷íng hñp °c bi»t cõa b i to¡n cì b£n l  M ≡ C Lóc n y ÷íngtrán(J ) ti¸p xóc vîi 2 c¤nh CA, CB v  ti¸p xóc vîi ÷íng trán ngo¤i ti¸p

H¼nh 1.7: c) P Q i qua I A ; d) P Q i qua I B

tam gi¡c ABC B i to¡n cì b£n câ thº mð rëng cho c¡c tr÷íng hñp kh¡ctheo quan h» cõa (J ) ≡ γ vîi tam gi¡c ABC Tr¶n c¡c h¼nh 1.6,1.7 biºudi¹n 4 kh£ n«ng Ngo i ra, M câ thº n¬m tr¶n c¤nh BC ho°c tr¶n ph¦nk²o d i, h¼nh 1.6 a), b); 1.7 c), d) T§t c£ c¡c tr÷íng hñp tr¶n ·u óng

v  ÷ñc chùng minh t÷ìng tü

1.2.1 p döng b i to¡n cì b£n chùng minh ành lþ Thebault

º gi£i b i to¡n Thebault ta chó þ th¶m m»nh · sau:

M»nh · 1.2 K´ ti¸p tuy¸n chung trong v  chung ngo i cõa hai ÷íngtrán Khi â ÷íng th¯ng nèi hai ti¸p iºm tr¶n ÷íng trán thù nh§t v 

÷íng th¯ng nèi hai ti¸p iºm tr¶n ÷íng trán thù hai c­t nhau tr¶n ÷íngth¯ng t¥m

Chùng minh m»nh ·

Gi£ sû(O1)l  ÷íng trán thù nh§t,A1, B1 l  c¡c ti¸p iºm tr¶n(O1), kþhi»u t÷ìng tü tr¶n ÷íng trán thù hai (c¡c iºmA1, A2 n¬m tr¶n mët ti¸ptuy¸n) Düng c¡c ÷íng trán δ, β t÷ìng ùng câ ÷íng k½nh A1A2, B1B2

÷íng th¯ng O1A1 ti¸p xóc vîi δ, ÷íng th¯ng O1B1 ti¸p xóc vîi β Ngh¾a

l  O1A21 = O1B12, ph÷ìng t½ch cõa O1 èi vîi δ b¬ng ph÷ìng t½ch cõa O1

N¸u dòng c¡c tr÷íng hñp cõa b i to¡n cì b£n biºu di¹n tr¶n c¡c h¼nh1.6 v  h¼nh 1.7 th¼ nhªn ÷ñc ành lþ Thebault têng qu¡t vîi måi và tr½cõa M v  c¡c ÷íng trán Thebault (tr¶n h¼nh 1.8 ta kþ hi»u l  c¡c ÷íngtrán γ1, γ2).

1.2.2 Tø ành lþ Thebault ¸n ành lþ Feuerbach

H¼nh 1.9: Tø b i to¡n Thebault ¸n ành lþ Feuerbach

Nhí c¡ch gi£i b i to¡n Thebault ta s³ tr¼nh b y c¡ch chùng minh ành

lþ Feuerbach L÷u þ r¬ng b i to¡n Feuerbach xu§t hi»n r§t sîm so vîi b ito¡n Thebault ¢ câ r§t nhi·u c¡ch gi£i b i to¡n Feuerbach v  k¸t qu£ thu

÷ñc mët trong nhúng ành lþ µp nh§t cõa h¼nh håc Euclide Nh÷ng vi»csuy ra ành lþ Feuerbach tø ành lþ Thebault l  c¡ch ti¸p cªn ho n to nmîi Ph²p chùng minh ành lþ Feuerbach ð ¥y ìn gi£n v  ng­n hìn so

vîi c¡ch chùng minh ¢ tâm t­t ð tr¶n Gi£ sûABC l  tam gi¡c cho tr÷îc,

A1, B1, C1 l  trung iºm c¡c c¤nh, A2, B2, C2 l  c¡c ch¥n ÷íng cao S¡u

iºm â n¬m tr¶n mët ÷íng trán, â l  ÷íng trán ch½n iºm C¦n ph£ichùng minh nâ ti¸p xóc vîi ÷íng trán nëi ti¸p v  ba ÷íng trán b ng ti¸pcõa tam gi¡c ABC X²t c°p ÷íng trán gçm ÷íng trán nëi ti¸p v  mëttrong c¡c ÷íng trán b ng ti¸p ch¯ng h¤n ti¸p xóc vîi c¤nh AC Ta s³ coic°p ÷íng trán n y l  c°p ÷íng trán Thebault èi vîi mët tam gi¡c n o

â nëi ti¸p trong ÷íng trán ch½n iºm N¸u l m ÷ñc i·u â th¼ ành lþFeuerbach s³ ÷ñc chùng minh Thªt vªy, c¡c ÷íng trán Thebault (theoc¡ch x¡c ành!) ti¸p xóc vîi ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡c, tùc l  ÷íngtrán ch½n iºm i·u â ngh¾a l  ÷íng trán ch½n iºm ti¸p xóc vîi ÷íngtrán nëi ti¸p v  mët ÷íng trán b ng ti¸p Công l m nh÷ vªy èi vîi c¡c

÷íng trán b ng ti¸p cán l¤i V§n · ch½nh ð ¥y l  l§y tam gi¡c n o nëiti¸p trong ÷íng trán ch½n iºm? Tam gi¡c trung iºm A1B1C1 hay tamgi¡c trüc t¥m A2B2C2 ·u khæng ¤t y¶u c¦u Thªm ch½ n¸u ch¿ giîi h¤nbði 6 iºmA1B1C1A2B2C2 th¼ s³ tçn t¤i 20 tam gi¡c, t§t c£ chóng ·u nëiti¸p trong ÷íng trán ch½n iºm Nh÷ng trong c¡c ÷íng trán â ta ch¿l§y mët, â l  tam gi¡c B1B2A2 (h¼nh 1.9) C¡c ¿nh cõa nâ l  hai ch¥n

÷íng cao (A2, B2) v  mët trung iºm B1 iºm C âng vai trá iºm M,

nâ n¬m tr¶n c¤nh B2B1 k²o d i cõa tam gi¡c B1B2A2

÷íng trán nëi ti¸p v  ÷íng trán b ng ti¸p cõa tam gi¡c ABC, ti¸pxóc c¤nh AC l  c°p ÷íng trán Thebault èi vîi tam gi¡c B1B1A2 v  èivîi iºm C tr¶n ÷íng B1B2 k²o d i Khi â xu§t hi»n tr÷íng hñp ành

lþ Thebault, biºu di¹n tr¶n h¼nh 1.7b) (iºm M n¬m tr¶n ph¦n k²o d icõa c¤nh tam gi¡c) Nh÷ vªy n¸u trong ành lþ Thebault ta l§y iºm M

khæng ð tr¶n c¤nh m  tr¶n ph¦n k²o d i c¤nh cõa tam gi¡c th¼ ta s³ nhªn

÷ñc ành lþ Feuerbach Tâm l¤i, c£ hai ành lþ ·u còng mët gèc v  c£hai ·u ÷ñc chùng minh nhí "b i to¡n cì b£n"

B¥y gií ta ph£i chùng tä r¬ng ÷íng trán nëi ti¸p v  ÷íng trán b ngti¸p â ch½nh l  c°p ÷íng trán Thebault èi vîi tam gi¡c B1B1A2 v 

iºm C n¬m tr¶n ÷íng k²o d i cõa c¤nh B1B2 º l m i·u â ta l¤idòng b i to¡n cì b£n N¸u ta chùng minh ÷ñc o¤n th¯ng M N nèi c¡cti¸p iºm cõa ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c ABC vîi c¡c c¤nh CA v  CB

i qua t¥m nëi ti¸p I1 cõa tam gi¡c B1B2A2, th¼ t§t c£ ÷ñc chùng minh

Thªt vªy, qua t¥m ÷íng trán nëi ti¸p I1 k´ ÷íng th¯ng M N, t¤o c¡cgâc b¬ng nhau vîi c¡c ÷íng th¯ng CA2 v  CB2, khi â tø ành lþ (ch½nhx¡c hìn l  tø tr÷íng hñp h¼nh 1.8b) rót ra r¬ng ÷íng trán ti¸p xóc vîic¡c ÷íng th¯ng n y t¤i iºmM v  N (â l  ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c

ABC), nëi ti¸p trong tam gi¡c cong A2CB2, giîi h¤n bði c¡c o¤n th¯ng

CA2, CB2 v  cung B2A2 cõa ÷íng trán ch½n iºm Ngh¾a l  nâ ti¸p xócvîi ÷íng trán ch½n iºm èi vîi c¡c ÷íng trán b ng ti¸p chùng minh

M»nh · 1.3 Trong tam gi¡c ABC tòy þ, giao iºm cõa ph¥n gi¡c gâc

B vîi ÷íng th¯ng chùa ÷íng trung b¼nh song song vîi c¤nh CB, th¯ng

h ng vîi hai ti¸p iºm cõa ÷íng trán nëi ti¸p t¤i c¡c c¤nh CA v  CB.Chùng minh m»nh · Gi£ sû I l  t¥m nëi ti¸p v  M, N l  c¡c ti¸p iºmtr¶n c¡c c¤nh CA, CB; K l  giao cõa ph¥n gi¡c gâc bB vîi ÷íng trungb¼nh B1C1 Ta c¦n chùng minh K, M, N th¯ng h ng Ta câ \BKC1 =

c

B1 = Bc2 =⇒ C1B = C1K Do â, trung tuy¸n KC1 cõa ∆ABK b¬ngnûa c¤nh AB n¶n \AKB = 900 Khi â tù gi¡c AM KI nëi ti¸p ÷ñc, tasuy ra: \KM C = KIA = 90[ 0 − 1

2C =b N M C\ (v¼ CM IN nëi ti¸p), ngh¾a

l  K ∈ M N M»nh · ÷ñc chùng minh.

Ta chùng minh ành lþ Feuerbach èi vîi ÷íng trán nëi ti¸p

Chùng minh V¼ AA2C l  tam gi¡c vuæng n¶n B1A2 = B1C, do â, tia

B1C1 song song vîi BC l  ph¥n gi¡c gâc A2B1A Ngh¾a l  nâ chùa iºm

I1 Hìn núa iºm C1 n¬m tr¶n ÷íng trán ngo¤i ti¸p tam gi¡cB1B2A2, do

â, C1I1 = C1A2 Nh÷ng v¼ tam gi¡cAA2B vuæng n¶n C1A2 = C1B Nh÷vªy, tam gi¡c BC1I1 l  tam gi¡c c¥n Khi â tø ¯ng thùc \I1BC = BI\1C1

suy ra BI1 l  ph¥n gi¡c gâcB p döng m»nh · 1.3 ta ÷ñc iºm I thuëc

M N Theo b i to¡n cì b£n, ÷íng th¯ng M N i qua t¥m ÷íng trán nëi

H¼nh 1.11: ành lþ Feuerbach èi vîi ÷íng trán b ng ti¸p

ti¸p tam gi¡c B1B2A2, bði vªy ÷íng trán ti¸p xóc vîi c¡c c¤nh cõa gâc

C t¤i M v  N (÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c ABC) ti¸p xóc vîi ÷íngtránB1B2A2, tùc l  ÷íng trán nëi ti¸p tam gi¡c ABC ti¸p xóc vîi ÷íngtrán ch½n iºm

Chùng minh t÷ìng tü cho c¡c ÷íng trán b ng ti¸p v  ành lþ ÷ñcchùng minh ho n to n

1.3 p döng

V½ dö 1.3.1 (IMO 2012) Cho tam gi¡c ABC nëi ti¸p ÷íng trán (O) vîic¡c ÷íng cao BB0, CC0 Ti¸p tuy¸n cõa (O) t¤i B, C giao nhau t¤i X

÷íng th¯ng BB0 c­t XB, XC l¦n l÷ñt t¤i Y, Z Chùng minh r¬ng: ÷íngtrán (XY Z) ti¸p xóc vîi (O).

H¼nh 1.12: IMO 2012

Chùng minh Ta s³ chùng minh (O) l  ÷íng trán Thebault cõa ∆XY Z.Gåi I l  trung iºm cõa BC Ta câ I l  t¥m ÷íng trán ngo¤i ti¸p tùgi¡c BC0B0C, suy ra IB0 = IC L¤i câ \B0CZ = \ABC = ZB\0C n¶n

ZB0 = ZC Tø â, ZI l  ph¥n gi¡c gâc \Y ZX Ngo i ra, XI l  ph¥n gi¡cgâc \Y XZ n¶n suy ra I l  t¥m ÷íng trán nëi ti¸p ∆XY Z M°t kh¡c, I

l  trung iºm cõaBC, ¡p döng b i to¡n cì b£n suy ra (O) ch½nh l  ÷íngtrán Thebault cõa ∆XY Z, tùc (O) ti¸p xóc vîi (XY Z)

Hai b i to¡n (ành lþ) tr¼nh b y ð ¥y l  nhúng b i to¡n cê iºn Tuynhi¶n nèi ÷ñc hai b i to¡n vîi nhau thæng qua "b i to¡n cì b£n" l¤i

l  mët c¡ch l m mîi Ð ¥y ta câ th¶m mët c¡ch chùng minh ành lþFeuerbach xu§t ph¡t tø b i to¡n cì b£n v  ành lþ Thebault C¡ch t÷ duynh÷ vªy l  mët m¨u müc cho h¼nh håc sì c§p

C¡c b i to¡n sau ¥y vîi c¡c kþ hi»u nh÷ trong b i to¡n Thebault

B i to¡n 1.1 V³ ti¸p tuy¸n chung ngo i cõa c¡c ÷íng trán Thebault,kh¡c BC Nâ c­t o¤n AM ð K Khi â,

i H¼nh chi¸u vuæng gâc cõa K tr¶n ÷íng th¯ng nèi t¥m cõa hai ÷íngtrán Thebault tròng vîi iºm I

ii ÷íng th¯ng song song vîi BC, i qua K ti¸p xóc vîi ÷íng tránt¥m I.

B i to¡n 1.2 Chùng minh r¬ng n¸u O1, O2 l  t¥m c¡c ÷íng trán bault th¼ O1I

2AM B\ v  900 − 1

2AM B\

B i to¡n 1.4 N¸u AM l  ph¥n gi¡c cõa tam gi¡c ABC th¼ c¡c ÷íngtrán Thebault ti¸p xóc, cán ti¸p iºm cõa chóng l  t¥m ÷íng trán nëi ti¸ptam gi¡c ABC

B i to¡n 1.5 C¡c ÷íng trán Thebault b¬ng nhau khi v  ch¿ khi M l ti¸p iºm cõa ÷íng trán b ng ti¸p cõa tam gi¡c ABC vîi c¤nh BC.C¡c b i to¡n sau ¥y vîi c¡c kþ hi»u nh÷ trong b i to¡n Feuerbach

B i to¡n 1.6 Tr¶n m°t ph¯ng cho hai ÷íng th¯ng a, b, mët ÷íng trán

γ ti¸p xóc vîi b X²t hå c¡c tam gi¡c ABC, ÷íng trán ngo¤i ti¸p γ saocho ¿nh A ∈ a cán c¡c ¿nh B, C ∈ b Chùng minh r¬ng ÷íng trán ngo¤iti¸p c¡c tam gi¡c n y ti¸p xóc vîi hai ÷íng trán cè ành

B i to¡n 1.7 Tr¶n m°t ph¯ng cho c¡c ÷íng trán γ1, γ2 ÷íng trán tòy

þ ti¸p xóc v  chùa γ1, γ2 c­t ti¸p tuy¸n chung ngo i t¤i B v  C v  c­t ti¸ptuy¸n chung trong t¤i iºm A, n¬m tr¶n còng nûa m°t ph¯ng vîi γ1, γ2.Chùng minh r¬ng tam gi¡c ABC câ ÷íng trán nëi ti¸p cè ành

B i to¡n 1.8 Tr¶n m°t ph¯ng cho iºm K, ÷íng trán γ v  iºm A tr¶n

γ Qua K k´ mët ÷íng th¯ng tòy þ c­t ÷íng trán γ t¤i B, C Khi â,

÷íng trán ch½n iºm cõa tam gi¡c ABC ti¸p xóc vîi hai ÷íng trán cè

ành

Ch֓ng 2

B i to¡n Malfatti

2.1 Giîi thi»u b i to¡n Malfatti

Ph¦n tr¼nh b y ð ¥y câ tham kh£o nhúng sü ki»n ch½nh v· b i to¡nMalfatti câ trong b i b¡o [2] v  [4] N«m 1803 nh  to¡n håc Italia Gian-francesco Malfatti °t ra b i to¡n sau:Cho mët h¼nh l«ng trö ùng tamgi¡c vîi ch§t li»u tòy þ, l m th¸ n o kho²t bä ÷ñc ba h¼nh trö trán câ còng

÷íng cao l«ng trö sao cho têng thº t½ch cõa ba h¼nh trö l  lîn nh§t? Rã

r ng b i to¡n â t÷ìng ÷ìng vîi b i to¡n h¼nh håc ph¯ng: "H¢y v³ bah¼nh trán trong mët tam gi¡c º têng di»n t½ch ba h¼nh trán â lîn nh§t"

H¼nh 2.1: B i to¡n Malfatti

Malfatti (v  nhi·u ng÷íi kh¡c thíi â) cho r¬ng "Ba ÷íng trán æi

mët ti¸p xóc v  méi ÷íng trán ti¸p xóc vîi 2 c¤nh tam gi¡c s³ l  nghi»mcõa b i to¡n tr¶n" Ba ÷íng trán â trð n¶n nêi ti¸ng v  ÷ñc gåi l  ba

÷íng trán Malfatti, cán b i to¡n düng c¡c ÷íng trán â gåi l  "b i to¡nMalfatti", kh¡c vîi b i to¡n Malfatti gèc

B£n th¥n Malfatti khi cæng bè b i to¡n gèc cõa m¼nh æng công ch¿ ÷a

ra líi gi£i b¬ng ph÷ìng ph¡p ¤i sè vîi c¡c cæng thùc t½nh to¡n cçng k·nh

v  phùc t¤p, khæng câ ph²p chùng minh ¸n n«m 1826, líi gi£i h¼nh håcthu¦n tóy cõa b i to¡n ÷ñc cæng bè bði Stainer, mët trong nhúng nh H¼nh håc nêi ti¸ng cõa th¸ k 18 Thüc ch§t Stainer mîi gi£i ÷ñc b ito¡n düng 3 ÷íng trán nëi ti¸p trong tam gi¡c (b i to¡n Malfatti) chùkhæng chùng minh ÷ñc b i to¡n Malfatti gèc Sau â vi»c nghi¶n cùu b ito¡n khæng câ ti¸n triºn g¼

H¼nh 2.2: Têng di»n t½ch c¡c h¼nh trán Malfatti khæng ph£i l  lîn nh§t

2.2 Líi gi£i b i to¡n Malfatti gèc

Ng÷íi ta ¢ bi¸t trong mët tam gi¡c tçn t¤i v  duy nh§t bë ba ÷íngtrán Malfatti Tr÷îc h¸t ta t¼m hiºu mët sè cæng thùc v· b¡n k½nh c¡c

÷íng trán n y trong mët tam gi¡c x¡c ành thæng qua 2 m»nh · sau,xem [2]

M»nh · 2.1 Gi£ sû ABC l  mët tam gi¡c vîi c¡c gâc α, β, γ v  câ b¡nk½nh ÷íng trán nëi ti¸p l  r Gåi rA, rB, rC l  b¡n k½nh c¡c ÷íng tránMalfatti t÷ìng ùng trong c¡c gâc A, B, C Khi â:



trong â, C = 2

3.

9(√

1 + cosα2 = 2.

1 + cos 2 ˜α

1 + sin 2 ˜α =

4(1 + tan ˜α)2

Thay v o ¯ng thùc 2.5 câ

r2A = r (1 + tan ˜α)

2

(1 + tan ˜β)2.(1 + tan ˜γ)2

X²t ba ÷íng trán nëi ti¸p trong c¡c gâc cõa tam gi¡c v  ti¸p xóc vîi

÷íng trán nëi ti¸p D¹ kiºm tra ÷ñc b¡n k½nh cõa chóng ÷ñc cho bði

rα = r.1 − sin

α 2

â l  v¼ nâ t÷ìng ÷ìng vîi b§t ¯ng thùc

(1 + tan ˜α)4 + (1 + tan ˜β)4 + (1 + tan ˜γ)4

(1 + tan ˜α)2 + (1 + tan ˜β)2 + (1 + tan ˜γ)2 < 1+2

3(tan

4α+tan˜ 4β+tan˜ 4γ).˜

B§t ¯ng thùc 2.4 chùng tä r¬ng h¼nh trán nëi ti¸p v  hai h¼nh trán lînnh§t nëi ti¸p trong gâc cõa tam gi¡c v  ti¸p xóc vîi h¼nh trán nëi ti¸p câtêng di»n t½ch lîn hìn têng di»n t½ch ba h¼nh trán Malfatti

N«m 1929, hai nh  to¡n håc H Lob v  H W Richmond ¢ ÷a ra ph£nv½ dö r§t ìn gi£n cho gi£ thuy¸t cõa Malfatti v· nghi»m cõa b i to¡n gècnâi tr¶n Cö thº hå chó þ ngay v o tr÷íng hñp tam gi¡c ·u: têng di»nt½ch cõa h¼nh trán nëi ti¸p tam gi¡c v  hai h¼nh trán ti¸p xóc vîi nâ ð haigâc tam gi¡c lîn hìn têng di»n t½ch ba h¼nh trán Malfatti Hìn th¸, n«m

1967 Michael Goldberg ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng ba ÷íng trán Malfattikhæng l  nghi»m cõa b i to¡n Malfatti gèc Nh÷ng ¥u l  nghi»m cõa b ito¡n? B i to¡n ch¿ ÷ñc gi£i mët c¡ch ¦y õ bði hai nh  to¡n håc V.Zalgaller v  G Los v o n«m 1990 v  cæng bè n«m 1992 b¬ng ti¸ng Nga

v  sau â ¢ «ng trong [6] n«m 1994 (xem [2], [6]) Hå cho r¬ng v· m°t

¤i sè, ¥y l  b i to¡n câ 9 bi¸n (6 tåa ë c¡c t¥m v  3 b¡n k½nh), d¨n v·

12 b§t ¯ng thùc trong â câ 9 b§t ¯ng thùc tuy¸n t½nh v  3 b§t ¯ngthùc phi tuy¸n t½nh Mët ph÷ìng ph¡p ¤i sè thu¦n tóy l  khæng kh£ thi.Cæng tr¼nh cõa hå kh¡ d i (kho£ng 25 trang): Hå chùng minh ÷ñc r¬ng