skkn một số bài toán về đường thẳng trong mặt phẳng hs lớp 10 thpt nam hà

Trường THPT Nguyễn Trãi Độc lập Tự do Hạnh phúcPHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI Năm học 2013 - 2014 Tên đề tài: MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10 H

TRƯỜNG THPT NGUYỄN TRÃI

***************************

CHUYÊN ĐỀ MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10

Giáo Viên: VÕ THANH LONG

Năm Học 2013 – 2014

1

I THÔNG TIN CHUNG CÁ NHÂN

1 Họ và tên VÕ THANH LONG

2 Ngày tháng năm sinh: 02 / 01 / 1977.

3 Giới tính: Nam.

4 Địa chỉ: B9/10, Tổ 4, khu phố 1, Phường Tân Hiệp, Biên Hoà, Đồng Nai.

5 Điện thoại Di động: 0918806566.

6 Chức vụ: Không

7 Đơn vị công tác: Trường THPT Nguyễn Trãi, Biên Hoà, Đồng Nai.

II TRÌNH ĐỘ ĐÀO TẠO

 Trình độ chuyên môn cao nhất: Đại học Sư phạm

 Năm nhận bằng: 1999

 Chuyên ngành đào tạo: Toán

III KINH NGHIỆM KHOA HỌC

 Lĩnh vực chuyên môn có kinh nghiệm: Dạy Toán bậc THPT

 Số năm có kinh nghiệm: 13 năm



2

Trường THPT Nguyễn Trãi Độc lập Tự do Hạnh phúc

PHIẾU NHẬN XÉT, ĐÁNH GIÁ ĐỀ TÀI

Năm học 2013 - 2014

Tên đề tài:

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10

Họ và tên tác giả: VÕ THANH LONG Tổ Toán Tin học

Lĩnh vực:

Phương pháp giáo dục Lĩnh vực khác

1 Tính mới

 Có giải pháp hoàn toàn mới

 Có cải tiến, đổi mới từ giải pháp đã có

2 Hiệu quả

 Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao

 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển khai, áp

dụng trong toàn ngành có hiệu quả cao

 Hoàn toàn mới và đã triển khai, áp dụng tại đơn vị có hiệu quả cao

 Có tính cải tiến hoặc đổi mới từ giải pháp đã có và đã triển khai, áp

dụng tại đơn vị có hiệu quả cao

3 Khả năng áp dụng

 Cung cấp các luận cứ khoa học cho việc hoạch định đường lối, chính sách

 Đưa ra các giải pháp khuyến nghị có khả năng ứng dụng thực tiễn, dễ

thực hiện và dễ đi vào cuộc sống

 Đã được áp dụng trong thực tế đạt hiệu quả hoặc có khả năng áp dụng

đạt hiệu quả trong phạm vi rộng

3

Tốt Khá Đạt

Tổ trưởng chuyên môn (Ký, ghi rõ họ tên và đóng dấu)

Trương Ngọc Dũng

4

MỘT SỐ BÀI TOÁN VỀ ĐƯỜNG THẲNG TRONG MẶT PHẲNG

Các bài toán liên quan đến đường thẳng: Lập phương trình đường thẳng, tìm tọa độcác đỉnh của tam giác, xác định khoảng cách và góc giữa các đường thẳng … là các vấn

đề mà tôi thấy các em cần thiết phải nhớ, thấu hiểu và áp dụng cho các bài toán liên quan

để học tốt hơn, và để cho các em ôn thi đại học đạt được kết quả tốt, đó chính là lý do tôiviết bài này

Trong quá trình giảng dạy, tôi có tổng hợp lại, hệ thống lại các bài tập theo hướng từ

dễ đến khó, từ cơ bản đến nâng cao, dễ áp dung cho cả học sinh và với giáo viên là mộtbài toán để tham khảo thêm Một số phương pháp có thể giải quyết các bài toán một cáchnhẹ nhàng, dễ áp dụng và bài toán được giải nhanh chóng Tôi xin mạo muội viết lại “một

số bài toán về đường thẳng trong mặt phẳng dành cho học sinh lớp 10”, nhằm hỗ trợ chohọc sinh có thêm một tài liệu bổ sung, giúp các em học tốt hơn, nhẹ nhàng hơn trong quátrình học toán

Để thực hiện bài viết này, tôi có tham khảo tài liệu “ Truyển tập các chuyên đề luyệnthi Đại học môn toán Hình Giải tích” của tác giả Trần Phương – Lê Hồng Đức, các bàitoán trong đề thi tuyển sinh các năm học gần đây

Thực hiện bài viết này, tôi xin cảm ơn BGH trường, tổ trưởng tổ toán và các thầy côđồng nghiệp đã tạo điều kiện cho tôi thực hiện bài viết này

Trong bài viết còn khiếm khuyết, xin các thầy cô trong ban giám khảo, các đồngnghiệp đánh giá, nhận xét và đóng góp ý kiến để bài viết của tôi được tốt hơn Xin chânthành cảm ơn

Bài viết gồm các phần sau:

A – Kiến thức cần nhớ

1 Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ u 0

được gọi là vectơ chỉ phương (VTCP) của đường thẳng  nếu giá của nó

song song hoặc trùng với 

Nhận xét: – Nếu u là một VTCP của  thì ku (k  0) cũng là một VTCP của ) cũng là một VTCP của .

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTCP.

2 Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ n 0 được gọi là vectơ pháp tuyến (VTPT) của đường thẳng  nếu giá của nó

vuông góc với 

Nhận xét: – Nếu n  là một VTPT của  thì kn  (k  0) cũng là một VTCP của ) cũng là một VTPT của .

– Một đường thẳng hoàn toàn được xác định nếu biết một điểm và một VTPT.

– Nếu u là một VTCP và n  là một VTPT của  thì un.

3 Phương trình tham số của đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M x y0( ; ) và có VTCP 0 0 u( ; )u u1 2

Phương trình tham số của : x x tu

4 Phương trình chính tắc của đường thẳng

Cho đường thẳng  đi qua M x y0( ; )0 0 và có véc tơ chỉ phương u( ; )u u1 2

Phương trình chính tắc của : x x y y

u1 0 u2 0

 (2) (u 1 0) cũng là một VTCP của ,với u 2 0) cũng là một VTCP của )

Chú ý: Trong trường hợp u 1 = 0) cũng là một VTCP của hoặc u 2 = 0) cũng là một VTCP của thì đường thẳng không có phương trình chính tắc.

5 Phương trình tổng quát của đường thẳng

PT ax by c 0   với a2b2 0được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng.

Nhận xét: – Nếu  có phương trình ax by c 0   thì  có:

Véc tơ pháp tuyến là n( ; )a b

và VTCP u ( ; )b a hoặc u( ; )b a – Nếu  đi qua M x y0( ; ) và có véc tơ pháp tuyến n a b0 0 ( ; )

thì phương trình của 

là: a x x(  0)b y y(  0) 0

Các trường hợp đặc biệt:

Các hệ số Phương trình đường thẳng  Tính chất đường thẳng 

c = 0) cũng là một VTCP của ax by 0  đi qua gố)c toạ độ O

a = 0) cũng là một VTCP của by c 0  // Ox hoặc   Ox

b = 0) cũng là một VTCP của ax c  0  // Oy hoặc   Oy

 đi qua hai điểm A(a; 0) cũng là một VTCP của ),với B(0) cũng là một VTCP của ; b) (a,với b  0) cũng là một VTCP của ): Phương trình của : x y

a b  1

(phương trình đường thẳng theo đoạn chắn)

 đi qua điểm M x y0( ; )0 0 và có hệ số) góc k: Phương trình của : y k x x (  0)y0

(phương trình đường thẳng theo hệ số góc)

6 Vị trí tương đối của hai đường thẳng:

Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1  1  10 và 2: a x b y c2  2  2 0

Toạ độ giao điểm của 1 và 2 là nghiệm của hệ phương trình: a x b y c

a x b y c12 12 12

00

7 Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1  1  10 (có VTPT n1 ( ; )a b1 1 )

+ Ta cũng có thể sử dụng cho góc giữa hai véc tơ chỉ phương.

8 Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by c 0   và điểm M x y0( ; ): 0 0 d M ax by c

 Vị trí tương đối của hai điểm đối với một đường thẳng

Cho đường thẳng : ax by c 0   và hai điểm M x y( M; M), ( ;N x y N N) .

– M,với N nằm cùng phía đối với   (ax M by M c ax)( N by N c) 0

– M,với N nằm khác phía đối với   (ax Mby Mc ax)( N by N c) 0

 Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng 1: a x b y c1  1  10 và 2: a x b y c2  2  2 0cắt nhau Phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường thẳng 1 và 2 là:

Kiến thức cần nhớ để lập phương trình một đường thẳng

 Để lập phương trình tham số) và phương trình chính tắc của đường thẳng  ta cần xác định

một điểm M x y0 0 0( ; ) và một véc tơ chỉ phương u( ; )u u1 2 của .

Phương trình tham số) của : x x tu

 Để lập phương trình tổng quát của đường thẳng  ta cần xác định một điểm M x y0( ; )0 0

thuộc  và một Véc tơ pháp tuyến n( ; )a b của  Phương trình tổng quát của :

a x x(  0)b y y(  0) 0

 Một số) bài toán thường gặp:

+  đi qua hai điểm A x y( ; ) , ( ; )A A B x y B B (với x A x y B, A y B ):

+  đi qua hai điểm A(a; 0) cũng là một VTCP của ),với B(0) cũng là một VTCP của ; b) (a,với b  0) cũng là một VTCP của ):

Phương trình của đường thẳng : x y

a b  (Phương trình đoạn chắn)1+  đi qua điểm M x y0( ; )0 0 và có hệ số) góc k: PT của : y y 0 k x x(  0)

Chú ý: Ta có thể chuyển đổi giữa các phương trình tham số),với chính tắc,với tổng quát của một

đường thẳng.

 Để tìm điểm M đố)i xứng với điểm M qua đường thẳng d,với ta có thể thực hiện như sau:

Cách 1: – Viết phương trình đường thẳng  qua M và vuông góc với d.

– Xác định I = d  (I là hình chiếu của M trên d).

– Xác định M sao cho I là trung điểm của MM.

Cách 2: Gọi I là trung điểm của MM Khi đó:

M đố)i xứng của M qua d  MM u d

+ Lấy A  d Xác định A đố)i xứng với A qua .

+ Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d.

– Nếu d  = I:

+ Lấy A  d (A  I) Xác định A đố)i xứng với A qua .

+ Viết phương trình đường thẳng d qua A và I.

 Để viết phương trình đường thẳng d đố)i xứng với đường thẳng d qua điểm I,với ,với ta có thể thực hiện như sau:

– Lấy A  d Xác định A đố)i xứng với A qua I.

– Viết phương trình đường thẳng d qua A và song song với d.

Các ví dụ

Bài 1) Lập phương trình tham số, phương trình tổng quát của đường thẳng Δ trong các trường

hợp sau:

a) Đi qua điểm M(1; 2) và có véc tơ chỉ phương a  (2; 1)

b) Đi qua điểm A(3;2) và song song với đường thẳng ( ) : 2d x 3y 3 0

c) Đi qua điểm A(3;2) và vuông góc với đường thẳng ( ) : 2d x y 1 0

Giải

a) + Phương trình tham số của đường thẳng Δ : Đường thẳng Δ đi qua M(1; 2) và có véc

tơ chỉ phương a  (2; 1) nên có phương trình tham số là: 1 2  

b) + Vì đường thẳng Δ song song với đường thẳng (d) nên có một véc tơ pháp tuyến là

 Nếu đường thẳng có một véc tơ pháp tuyến n( ; )a b thì có một véc tơ chỉ phương

( ; )

a b a hay a ( ; )b a do n a n a . 0

c) Đường thẳng Δ vuông góc với đường thẳng (d) nên nhận véc tơ pháp tuyến của đường

thẳng (d) là n  (2; 1) làm véc tơ chỉ phương và đi qua điểm nên có phương trình tham

Và đường thẳng (Δ) có một véc tơ pháp

tuyến là n (1; 2)và đi qua A(3;2) nên có

phương trình tổng quát là:

(x 2) 2( y 3) 0  x2y 5 0

Bài 2) Viết phương trình đường thẳng (d) trong các trường hợp sau:

a) Đi qua A(1;1) và có hệ số góc k = 2.

b) Đi qua hai điểm M(1;-3) và N(0,2)

c) Đi qua B(1;2) và tạo với hướng dương của trục Ox một góc 300

d) Đi qua điểm C(3;4) và tạo với trục Ox một góc 450

Giải

a) Đường thẳng (d) qua điểm A(1;1) và có hệ số góc k = 2 nên có phương trình

2( 1) 1

y x  hay (d) y 2x1

b) Đường thẳng (d) đi qua hai điểm M(1;-3) và N(0,2) nên ta có thể lập phương trình

đường thẳng (d) bằng nhiều cách sau:

Cách 1: Đường thẳng MN đi qua hai điểm M(1;-3) và N(0,2) nên có phương trình

Học sinh có thể tự làm tự làm theo nhiều cách khác

c) Đường thẳng (d) đi qua điểm C(3;4) và tạo với hướng dương của trục Ox một góc 450

nên ta có hệ số góc tạo bởi đường thẳng (d) và trục Ox: k = tan450 = 1  phương trình đường thẳng (d): y(x 3) 4 hay y x 1

d) Đường thẳng (d) đi qua điểm C(3;4) và tạo với trục Ox một góc 300 nên

Vậy có hai đường thẳng (d) thỏa yêu cầu đề bài

Bài 3) Viết phương trình các cạnh, các đường trung tuyến, đường trung trực của tam giác ABC

biết tam giác ABC có trung điểm ba cạnh BC, AC và AB lần lượt là

O

+ Lập phương trình cạnh AB: AB qua điểm P(3;5) và song song với MN nên có một véc tơ chỉ

+ b = a  A(a;0) và B(0;a)

Khi đó phương trình đường thẳng Δ: x y 1 x y a 0

Mà M(2;1)  Δ  a = 1  phương trình đường thẳng Δ: x y  1 0

Bài 5) Viết phương trình đường thẳng đi qua điểm M và cùng với hai trục toạ độ tạo thành một

tam giác có diện tích S, với M2;1), S = 2

 a.b < 0  a.b = 4  4

b a

 Tìm tọa độ hình chiếu H của điểm M xuống đường thẳng (d):

+ Dựng đường thẳng Δ qua điểm M( 5;13) và vuông góc với

đường thẳng (d), nhận véc tơ pháp tuyến của đường thẳng (d)

 Tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (d):

M’ đối xứng với M qua (d)  H là trung điểm của MM’

Vậy tọa độ điểm M’(11;11)

Bài 7) Lập phương trình đường thẳng d đối xứng với đường thẳng d x:  2y 4 0 qua:

a) điểm I(3;0) b) qua đường thẳng : 3x 4y 2 0

Lấy M(2;3)  (d), Ta tìm tọa độ điểm M’ đối xứng với M qua (d)  M’  (d’)

Dựng đường thẳng (D1) qua M(2;3) và vuông góc với đường thẳng (Δ ), nhận

Vậy phương trình đường thẳng (d’): 141x – 138y – 156 = 0

c) Nhận xét: (d1) // (d) qua I  (d’)// (d) nên (d’) cĩ phương trình: x – 2y + c = 0

Lấy điểm M(2;3)  (d), M’ đối xứng với M qua (d1)

Dựng đường thẳng (D) qua M(2;3) và vuơng gĩc với đường thẳng (d1), nhận n   (1; 2)làm véc tơ chỉ phương  một véc tơ pháp tuyến của đường thẳng là (2;1)

 M’ (d’), thế vào phương trình đường thẳng (d’)  c = 4

Vậy phương trình đường thẳng (d’): x – 2y – 4 = 0

Bài 4. Lập PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của các đường thẳng đi qua hai điểm A, B:

a) A(–2; 4), B(1; 0) b) A(5; 3), B(–2; –7) c) A(3; 5), B(3; 8)

d) A(–2; 3), B(1; 3) e) A(4; 0), B(3; 0) f) A(0; 3), B(0; –2)

g) A(3; 0), B(0; 5) h) A(0; 4), B(–3; 0) i) A(–2; 0), B(0; –6)

Bài 5. Viết PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và song song với

Bài 6. Viết PTTS, PTCT (nếu cĩ), PTTQ của các đường thẳng đi qua điểm M và vuơng gĩc với

II - CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN ĐIỂM, ĐƯỜNG THẲNG TRONG TAM GIÁC

Đó là các bài toán xác định toạ độ các đỉnh hoặc phương trình các cạnh của một tam giác khi biết một số yếu tố của tam giác đó.

Để giải loại bài toán này ta thường sử dụng đến các cách dựng tam giác.

Sau đây là một số dạng:

Dạng 1: Dựng tam giác ABC,với khi biết các đường thẳng chứa cạnh BC và hai đường cao

BB,với CC.

Cách dựng: – Xác định B = BC  BB,với C = BC  CC.

– Dựng AB qua B và vuông góc với CC.

– Dựng AC qua C và vuông góc với BB.

– Xác định A = AB  AC.

Dạng 2: Dựng tam giác ABC,với khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường cao BB,với

CC.

Cách dựng: – Dựng AB qua A và vuông góc với CC.

– Dựng AC qua A và vuông góc với BB.

– Xác định B = AB  BB,với C = AC  CC.

Dạng 3: Dựng tam giác ABC,với khi biết đỉnh A và hai đường thẳng chứa hai đường trung

tuyến BM,với CN.

Cách dựng: – Xác định trọng tâm G = BM  CN.

– Xác định A đố)i xứng với A qua G (suy ra BA // CN,với CA // BM).

– Dựng d B qua A và song song với CN.

– Dựng d C qua A và song song với BM.

– Xác định B = BM  d B ,với C = CN  d C

Dạng 4: Dựng tam giác ABC,với khi biết hai đường thẳng chứa hai cạnh AB,với AC và trung

điểm M của cạnh BC.

Cách dựng: – Xác định A = AB  AC.

– Dựng d 1 qua M và song song với AB.

– Dựng d 2 qua M và song song với AC.

– Xác định trung điểm I của AC: I = AC  d 1

– Xác định trung điểm J của AB: J = AB  d 2

– Xác định B,với C sao cho JB AJ IC AI , 

Bài 1) (ĐHKT – 2001) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết B(4;5) và hai

đường cao có phương trình là: (d1): 5x + 3y  4 = 0 và (d2): 3x + 8y +13 = 0

Giải

Nhận xét: Điểm B(4;5)  (d1) và B(4;5)  (d2) Vậy giả sử (d1) và (d2) lần lượt là phương trình hai đường cao xuất phát từ A và C của tam giác ABC

Bài 2) Cho tam giác ABC có phương trình cạnh AB là 5x – 3y + 2 = 0, các đường cao qua

đỉnh A và B lần lượt là (d1): 4x  3y + 1 = 0 và (d2): 7x + 2y  22 = 0 Lập phương trình hai cạnh AC và BC và đường cao thứ ba

 Phương trình đường cao hạ từ đỉnh C, là CH, với H  BC

+ Do CH  AB: 5x – 3y + 2 = 0 nên CH có phương trình: 3x + 5y + E = 0

+ C = AC  BC  tọa độ điểm C là nghiệm của hệ phương trình

Bài 3) Lập phương trình các cạnh của tam giác ABC biết đỉnh C(4;1), đường cao và đường

trung tuyến kẻ từ một đỉnh có phương trình tương ứng là: (d1): 2x – 3y +12 = 0 và (d2): 2x + 3y = 0

Giải

 Phương trình cạnh BC: Vì (BC)  (d1): 2x – 3y +12 = 0  (BC):3x + 2y +C = 0

Vì C(4;1)  (BC)  3.4 + 2(-1) + C = 0  C = 10

Vậy phương trình đường thẳng (BC): 3x + 2y +10 = 0

 Phương trình cạnh AC: Ta có A = (d1)  (d2)  tọa độ điểm A là nghiệm của hệ phươngtrình

+ Gọi M là trung điểm AB  M ( )d2 BC

 tọa độ điểm M là nghiệm của hệ phương trình: 3 2 10 0 (6; 4)

có phương trình tham số của đường thẳng AB là: 8 11 ( )