Hệ thống kiến thức l7

- áp dụng vào tam giác vuông * Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông * Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau tổng bằng 90 - Góc ngoài của một tam giác * Góc ngoài của một ta

- Luỹ thừa với số mũ chẵn của một số âm là một số dơng, luỹ thừa với số mũ

lẻ của một số âm là số âm

-Với a  0, a  1, nếu a±1, nếu a m = an thì m = n

2) Giá trị tuyệt đối của số x :

- Giá trị tuyệt đối của một số x là khoảng cách từ điểm x đến gốc O trên trục số.

3) Tỉ lệ thức - Chia tỉ lệ

- Tỉ lệ thức là đẳng thức của hai tỉ số a c

b  d hoặc a : b = c : d ( b, d  0)

Các ngoại tỉ (số hạng ngoài) : a, dCác trung tỉ (số hạng trong) : b, c

- Tính chất cơ bản :

Tính chất 1 : Trong tỉ lệ thức, tích hai ngoại tỉ bằng tích hai trung tỉ

+ Nhân các biến với nhau (nhân hai luỹ thừa cùng cơ số)

- Hai đơn thức đồng dạng là hai đơn thức có hệ số khác 0 và có cùng phần biến

Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học

- Nghiệm của đa thức : tại x = a, đa thức f(x) = 0 Ta nói x = a là một nghiệm của

đa thức f(x)

Chú ý : -Một đa thức (khác đa thức không) có thể có một nghiệm, hai nghiệm, ba

nghiệm hoặc không có nghiệm

-Số nghiệm của một đa thức (khác đa thức 0) không vợt quá bậc của nó

- Cộng, trừ đa thức một biến :

+ Thu gọn đa thức + Sắp xếp các hạng tử của đa thức theo luỹ thừa giảm (tăng) của biến

+ Đặt phép tính nh trờng hợp cộng (trừ) các số (chú ý đặt các đơn

thức đồng dạng trong cùng một cột)

+ Cộng (trừ) các đơn thức đồng dạng

3/ GTLN, GTNN của một biểu thức

(*)Thế nào là GTLN, GTNN của một biểu thức, cách tìm

Cho biểu thức f(x, y ), với A,B là hằng số

* Nếu f(x, y ) ≥ A và có ít nhất một bộ số xo, yo, để tại đó

A(x ,y )

thì ta nóibiểu thức f(x, y ) có giá trị nhỏ nhất bằng A

* Nếu f(x, y )  B và có ít nhất một bộ số xo, yo, để tại đó

B(x ,y )

f  thì ta nóibiểu thức f(x, y ) có giá trị lớn nhất bằng B

2 Đơn thức bậc 9, có hệ số

là 1 2



3 4 2b) 6x y z Đơn thức bậc 9, có hệ số

là 6

2) Hai tích tìm đợc có phải là hai đơn

thức đồng dạng không? Tại sao?

Hai tích tìm đợc là hai đơn thức đồngdạng vì có hệ số khác 0 và có cùng phầnbiến

- -Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học

(x - 2)2 - 1

Bài giải:

Vì (x - 2)2 ≥ 0 với mọi x, do đó (x - 2)2 - 1 ≥ -1 với mọi x

Vậy (x - 2)2 - 1 có giá trị nhỏ nhất là -1 khi x - 2 = 0, suy ra x = 2 - -

Bài tập 5 Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức sau:

32

Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học

Chủ đề (1) : Đờng thẳng vuông góc

đờng thẳng song song

Bài tập 1 Xem hình vẽ rồi điền vào chỗ trống trong các phát biểu sau :

a) ABC và xAB là một cặp góc x A yb) ABC và AMN là một cặp góc M N P

c) BCD và ANP là một cặp góc 

d) MBC và  NMB là một cặp góc

e) AMN và BCD là một cặp góc B C

f) Một cặp góc so le trong khác là Dg) Một cặp góc đồng vị khác là

- -cho biÕt Ax // Cy, t B

- -Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học

Chủ đề (2) Tam giác

I/ Kiến thức

1) Tổng ba góc trong một tam giác

- Tổng ba góc trong một tam giác bằng 180.

- áp dụng vào tam giác vuông

* Tam giác vuông là tam giác có một góc vuông

* Trong tam giác vuông hai góc nhọn phụ nhau (tổng bằng 90)

- Góc ngoài của một tam giác

* Góc ngoài của một tam giác là góc kề bù với một góc của tam giác

* Mỗi góc ngoài của một tam giác bằng tổng hai góc trong không kề với nó

* Góc ngoài của một tam giác lớn hơn mỗi góc trong không kề với nó

2) Hai tam giác bằng nhau

- Định nghĩa : Hai tam giác bằng nhau là hai tam giác mà ba cạnh của tam giác

này bằng ba cạnh của tam giác kia và ba góc đối diện với ba cạnh ấy của tam giácnày bằng ba góc đối diện với ba cạnh ấy của tam giác kia

- Kí hiệu :

     

AB = A'B' , AC = A'C' , BC = B'C'ABC = A'B'C'

- Các trờng hợp bằng nhau của hai tam giác

3) Một số dạng tam giác đặc biệt

Tam giác cân Tam giác đều Tam giác

vuông vuông cân Tam giác

180 -A

=2

  

-  cã ba gãcb»ng nhau

-  c©n mét gãcb»ng 60

- cã mét gãcb»ng 90

-  vu«ng cãhai c¹nh b»ngnhau

-  vu«ng cãhai gãc b»ngnhau

- -Bµi tËp 2 Cho tam gi¸c ABC c©n ë A Trªn c¹nh AB lÊy ®iÓm D, trªn c¹nh AC

lÊy ®iÓm E sao cho AD = AE Gäi M lµ giao ®iÓm cña BE vµ CD

oADC MDB 180

oADC MDB 180

Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình họcSuy ra MAB MAC  Vậy AM là tia phân giác của góc BAC

- -Bài tập 3 Cho tam giác ABC Đờng thẳng kẻ qua đỉnh B song song với AC, đờng

thẳng kẻ qua đỉnh C song song với AB chúng cắt nhau tại D và cắt đờng thẳng kẻqua đỉnh A song song với BC theo thứ tự ở E và F

a) Chứng minh : ABC = BAE E A F

b) Tính chu vi của DEF 1 2

biết chu vi của ABC bằng 15cm 1 2

b) Tính chu vi của DEF biết chu vi của ABC bằng 15cm

Chứng minh tơng tự :

ACF = CAB (g.c.g)  AF = BC và CF = AB

CBD = BCA (g.c.g)  CD = AB và BD = AC

Vậy chu vi tam giác DEF bằng :

EF + FD + DE = (EA + AF) + (FC + CD) + (EB + BD)

EF + FD + DE = (BC + BC) + (AB + AB) + (AC + AC)

= 2(BC + AB + AC) = 2 15 = 30(cm)

Bài tập 4 Cho tam giác ABC D là trung điểm của AB Đờng thẳng kẻ qua D và

- -song - -song với BC cắt AC ở E, đờng thẳng kẻ qua E và - -song - -song với AB cắt BC ở F.Chứng minh rằng:

a) AD = EF

Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình họcb) ADE = EFC

c) AE = EC và BF = FC

Giải:

a) Chứng minh AD = EF

Xét BDF và EFD

BD // EF (gt)  BDF DFE  (hai góc so le trong)

DE // BF (gt)  EDF DFB  (Hai góc so le trong)

B ADE ; B EFC    (hai góc đồng vị)

suy ra ADE = EFC 

B C F

Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học

 

B C (gt) E D Cạnh BC chung O

- -mặt phẳng bờ AB vẽ tia Ax, Trên nửa - -mặt phẳng còn lại vẽ tia By sao cho Ax // By.Gọi M là một điểm trên Ax, tia MO cắt By ở N So sánh độ dài các đoạn AM, BN

Giải :

- -Bài tập 7. Cho tam giác ABC có B=50 o Từ đỉnh A kẻ đờng thẳng song song

với BC cắt tia phân giác góc B ở E

a) Chứng minh tam giác AEB là tam giác cân

Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình họccân ở A.

b) Từ A kẻ AD vuông góc với BC Chứng minh D là trung điểm của BC

c) Từ D kẻ DE vuông góc với AC Chứng minh AED là tam giác vuông cân

b) Từ A kẻ AD vuông góc với BC Chứng minh D là trung điểm của BC.

Cách 1: Xét ADB và ADC có : ADB CDE 90  o(AD  BC)

AB = AC (gt)

 

B=C (ABC cân ở A)Vậy ADB = ADC (cạnh huyền - góc nhọn)

Cách 2: ADB = ADC (cạnh huyền - một cạnh góc vuông)

Suy ra DB = DC, do đó D là trung điểm của BC

c) Từ D kẻ DE vuông góc với AC Chứng minh AED là tam giác vuông cân.

Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học

DE  AC (gt)

AB  AC (ABC vuông ở A)

nên DE // AB  A 1D 1 (hai góc so le trong) (1)

Lại có ADB = ADC (theo b)  A =A 1  2 (2)

Từ (1)(2) A 2 D 1 AED cân tại E mà AED=90 o

Do đó AED là tam giác vuông cân tại E

====================================

Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học

Chủ đề (3) Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác các đờng đồng quy trong tam giác

I/ Kiến thức

A) Quan hệ giữa các yếu tố trong tam giác

1- Quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong một tam giác

* Trong một tam giác, góc đối diện với cạnh lớn hơn thì lớn hơn

* Trong một tam giác, cạnh đối diện với góc lớn hơn thì lớn hơn

2- Quan hệ giữa đờng vuông góc và đờng xiên

* Trong các đờng xiên và đờng vuông góc kẻ từ một điểm ở ngoài một đờngthẳng đến đờng thẳng đó, đờng vuông góc là đờng ngắn nhất

3- Quan hệ giữa đờng xiên và hình chiếu

* Trong hai đờng xiên kẻ từ một điểm nằm ngoài một đờng thẳng đến đờng thẳng

đó :

+ Đờng xiên nào có hình chiếu lớn hơn thì lớn hơn

+ Đờng xiên nào lớn hơn thì có hình chiếu lớn hơn

+ Nếu hai đờng xiên bằng nhau thì hai hình chiếu bằng nhau và ngợc lại

4- Quan hệ giữa ba cạnh của một tam giác

* Bất đẳng thức tam giác

Trong một tam giác, tổng độ dài hai cạnh bất kỳ bao giờ cũng lớn hơn độ dàicạnh còn lại

* Hệ quả

Trong một tam giác, độ dài một cạnh bao giờ cũng lớn hơn hiệu và nhỏ hơntổng các độ dài của hai cạnh còn lại

Ví dụ : ABC : AC - BC < AB < AC + BC

B) Các đ ờng đồng quy trong tam giác

1/ Tính chất ba đờng trung tuyến của tam giác

a.Trung tuyến của tam giác

Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học-Đờng trung tuyến của tam giác là đờng nối A

một đỉnh tới trung điểm cạnh đối diện

-Mỗi tam giác có ba đờng trung tuyến

B / / C

b.Tính chất ba đờng trung tuyến của tam giác

-Ba đờng trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm đó cách mỗi

đỉnh một khoảng bằng 2

3độ dài đờng trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

- Ba đờng trung tuyến đồng quy tại điểm G Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác

2/ Tính chất tia phân giác của một góc Tính chất ba đờng phân giác của tam giác.

a.Tính chất tia phân giác của một góc

- Điểm nằm trên tia phân giác của một góc thì cách đều hai cạnh của góc đó

- Điểm nằm bên trong một góc và cách đều hai cạnh của một góc thì nằm trên tiaphân giác của góc đó

b Đờng phân giác của tam giác

- Đờng phân giác của tam giác: là tia phân giác của một góc (đỉnh) là tia nằm giữahai cạnh của góc và tạo với hai cạnh ấy hai góc bằng nhau

- Một tam giác có ba đờng phân giác

- Trong một tam giác cân, đờng trung tuyến xuất phát từ đỉnh cũng đồng thời là ờng phân giác ứng với cạnh đáy.(ngợc lại)

đ-c.Tính chất ba đờng phân giác của tam giác

Ba tia phân giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều ba cạnh của tam

giác đó (là tâm đờng tròn nội tiếp tam giác)

3/ Tính chất đờng trung trực của một đoạn thẳng Tính chất ba đờng trung trực của tam giác.

a.Tính chất đờng trung trực của một cạnh

-Điểm nằm trên đờng trung trực của một đoạn thẳng thì cách đều hai mút của đoạnthẳng đó và ngợc lại

Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học

b.Đờng trung trực của tam giác

- Đờng trung trực của một đoạn thẳng (Đờng trung trực của tam giác) là đờng thẳng

đi qua trung điểm một cạnh và vuông góc với cạnh đó

Chú ý : - Tam giác cân: đờng trung trực đi qua 1 đỉnh tam giác cân đồng thời là

đ-ờng trung tuyến

- Tam giác thờng: đờng trung trực không đi qua đỉnh

c.Tính chất ba đờng trung trực của tam giác

- Ba đờng trung trực của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này cách đều ba

đỉnh của tam giác đó

- Điểm này là tâm của đờng tròn ngoại tiếp tam giác đó.

4/ Tính chất ba đờng cao của tam giác

a Đờng cao của tam giác là đờng vuông góc kẻ từ một đỉnh đến cạnh đối diện.

b Tính chất

-Ba đờng cao của một tam giác cùng đi qua một điểm Điểm này đợc gọi là trực tâm của tam giác

c Trong tam giác cân, đờng trung trực ứng với cạnh đáy, đồng thời là đờng phân

giác, trung tuyến, đờng cao

-Trong tam giác đều, các điểm : trọng tâm, trực tâm, tâm đờng tròn nội tiếp, tâm

đ-ờng tròn ngoại tiếp là 4 điểm trùng nhau

II/ Kĩ năng

Bài tập 1 Cho tam giác nhọn ABC, hai đờng cao BM và CN Trên tia đối của tia

BM lấy điểm D sao cho BD = AC, trên tia đối của tia CN lấy điểm E sao cho CE =

Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học

oACN CAB 90

oABM CAB 90

c) Chứng minh : Tam giác AED là tam giác vuông cân

ACE = DBA (theo b)  AE = AD và AEC=BAD 

mà AEC+EAB=90  o

 EAB+BAD=90 =EAD  o 

Vậy tam giác AED vuông cân ở A

Bài tập 2 Em hãy dùng bút chì để nối các điểm trong tam giác với tên của nó

3 Giao điểm của ba đờng cao Tâm đờng tròn nội tiếp C

4 Giao điểm của ba đờng phân giác Tâm đờng tròn ngoại tiếp D

Bài tập 3 Cho tam giác ABC cân tại A, đờng cao AH Biết AB = 5cm, BC = 6cm.

- -a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH

b) Gọi G là trọng tâm tam giác ABC Chứng minh rằng ba điểm A, G, H thẳng hàngc) Chứng minh ABG=ACG 

Giải:

Hệ thống kiến thức lớp 7 : Đại số - Hình học

a) Tính độ dài các đoạn thẳng BH, AH

Tam giác ABC cân tại A nên đờng cao AH

đồng thời là đờng trung tuyến

Tam giác ABC cân tại A nên đờng cao AH đồng thời là trung tuyến của tam giác

mà G là trọng tâm của tam giác ABC

Do đó G thuộc trung tuyến AH