He thong kien thuc 10

CÁC TẬP HỢP SỐ Bài 1: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.. Tập xác định của hàm số y = fx là tập hợp tất cả các giá trị của x để biểu thức y = fx có nghĩa... Tìm tậ

TÀI LIỆU LỚP 10 CƠ BẢN.

CHƯƠNG I: MỆNH ĐỀ TẬP HỢP.

A TÓM TẮT LÝ THUYẾT

I MỆNH ĐỀ:

1 Mệnh đề là một khẳng định đúng hoặc sai Mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai

Ví dụ: i) 2 + 3 = 5 là mđề đúng.

ii) 2 là số hữu tỉ Là mđề sai

iii) Mệt quá ! Không phải là mđề

2 Mệnh đề chứa biến:

Ví dụ: Cho mđề 2 + n = 5 với mỗi giá trị của n thì ta được một đề đúng hoặc sai Mệnh đề như trên được

gọi là mđề chứa biến

3 Phủ định của mđề:

Phủ định của mđề P kí hiệu là P Nếu mđề P đúng thì P sai, P sai thì P đúng.

Ví dụ: P: “3 là số nguyên tố”

P : “3 không là số nguyên tố”

4 Mệnh đề kéo theo:

Mệnh đề “nếu P thì Q” dglmđề kéo theo Kí hiệu P Q

Mệnh đề P Q chỉ sai khi P đúng và Q sai

Ví dụ: Mệnh đề “    3 2 ( 3)2 ( 2)2” sai

Mệnh đề “ 3 2  3 4 ” đúng

Trong mđề P Q thì:

P: giả thiết ( điều kiện đủ để có Q )

Q: kết luận (điều kiện cần để có P)

Ví dụ: Cho hai mđề:

P: “Tam giác ABC có hai góc bằng 600”

Q: “Tam giác ABC là tam giác đều”

Hãy phát biểu mđề P Q dưới dạng điều kiện cần, điều kiện đủ

i) Điều kiện cần: “Để tam giác ABC có hai góc bằng 600 thì điều kiện cần là tam giác ABC là tam giác đều”

ii) Điều kiện đủ: “Để tam giác ABC là tam giác đều thì điều kiện đủ là tam giác ABC có hai góc bằng 600”

5 Mệnh đề đảo – Hai mệnh đề tương đương.

Mệnh đề đảo của mệnh đề P Q là mệnh đề Q P

Chú ý: Mệnh đề P Q đúng nhưng mđề đảo Q P chưa chắc đúng

Nếu hai mđề P Q và Q P đều đúng thì ta nói P và Q là hai mđề tương đương nhau Kí hiệu PQ

6 Kí hiệu  ,

: Đọc là với mọi

: Đọc là tồn tại

7 Phủ đỉnh của  và :

Phủ định của  là 

Phủ định của  là 

Phủ định của = là 

Phủ định của > là 

Phủ định của < là .

Ví dụ: P: “ n Z n: 0”

P:" n Z n: 0"

II TẬP HỢP:

Cho tập hợp A Phần tử a thuộc tập A ta viết a A Phần tử a không thuộc tập A ta viết a A .

1 Cách xác định tập hợp:

a) Cách liệt kê: Là ta liệt kê tất cả các phần tử của tập hợp.

Ta thường minh hoạ tập hợp bằng một đường cong khép kín gọi là biểu đồ Ven

2 Tập hợp rỗng: Là tập hợp không chứa phần tử nào Kí hiệu 

4 Hai tập hợp bằng nhau:   A B x x A(   x B )

III CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP

4 Phần bù: Khi B A thì A\B gọi là phần bù của B trong A Kí hiệu CAB

Vậy: CAB = A\B khi B A .

IV CÁC TẬP HỢP SỐ:

Tập số tự nhiên: N 0 1 2 3 4, , , , , 

N* 1 2 3 4, , , , 

Tập số nguyên: Z  , , , , , , 2 1 0 1 2 

Tập các số hữu tỉ:    0

Quan hệ giữa các tập số: N Z Q R  .

+ Các tập con thường dùng của R:

Bài 2: Xét tính đúng sai của các mđề sau và phát biểu mđề phủ định của nó.

a) 1794 chia hết cho 3

b) 2 là một số hữu tỉ

b) P: “ A B ” Q: “Tam giác ABC cân”

Bài 5: Cho các mđề kéo theo

Nếu a và b cùng chia hết cho c thì a + b chia hết cho c ( a, b, c là những số nguyên )

Các số nguyên có tận cùng bằng 0 đều chia hết cho 5

Tam giác cân có hai trung tuyến bằng nhau

Hai tam giác bằng nhau có diện tích bằng nhau

a) Hãy phát biểu mđề đảo của các mđề trên

b) Phát biểu mđề trên bằng cách sử dụng điều kiện đủ, điều kiện cần

Bài 6: Phát biểu thành lời các mđề sau Xét tính đúng sai và lập mđề phủ định của chúng.

x Q x

Bài 7: Cho số thực x Xét các mđề

P: “x là một số hữu tỉ”

Q: “x2 là một số hữu tỉ”

a) Phát biểu mđề P Q và xét tính đúng sai của nó

b) Phát biểu mđề đảo của mđề trên

c) Chỉ ra một giá trị của x mà mđề đảo sai

Bài 8: Cho số thực x Xét các mđề:

a) Phát biểu mđề P Q và mđề đảo của nó

b) Xét tính đúng sai của mđề đảo

c) Chỉ ra một giá trị của x mà mđề P Q sai

Bài 9: Cho tam giác ABC Phát biểu mđề đảo của các mđề sau và xét tính đúng sai của chúng.

a) Nếu AB = BC = CA thì ABC là tam giác đều

b) Nếu AB > BC thì C A

c) Nếu A 900 thì ABC là một tam giác vuông

Bài 10: Cho tứ giác ABCD Phát biểu một điều kiện cần và đủ để

a) ABCD là một hình bình hành

b) ABCD là một hình chữ nhật

c) ABCD là một hình thoi

Bài 11 Xét tính dúng sai của các mệnh đề sau:

a)  x R x/ 20 b)  x R x/ 20 c) 2 1 1

1/ x

x R x x

1 0/

x R x x

Bài 12: Lập mệnh đề phủ định và xét tính đúng sai của các mệnh đề sau:

a) Mọi hình vuông đều là hình thoi

b) Có một tam giác cân không phải là tam giác đều

Fx Z  x  

g)Gx R x /2 2 5x 3 0

h) H  x Z x /2 2 5x 3 0

Bài 3: Cho tập hợp Aa b c d, , , 

a) Liệt kê các tập con của tập A có 1 phần tử

b) Liệt kê các tập con của tập A có 2 phần tử

c) Liệt kê các tập con của tập A có 3 phần tử

d) Liệt kê các tập con của tập A có 4 phần tử

e) Liệt kê tất cả các tập con của tập A

Bài 4: Tìm các tập hợp con của mỗi tập sau:

Bài 5: Xét quan hệ bao hàm của các tập sau:

A là tập hợp các tam giác

B là tập hợp các tam giác đều

C là tập hợp các tam giác cân

Bài 6: Cho hai tập hợp:

A n Z n la uoc cua

B n Z n la uoc chung cua va

Xét quan hệ của hai tập trên

Bài 7: Trong hai tập A và B dưới đây, tập nào là con của tập hợp còn lại Hai tập hợp A và B có bằng

nhau không ?

a) A là tập các hình vuông

B là tập các hình thoi

b) An N n la uoc chung cua / 24va 30

An N n la mot uoc cua / 6

Bài 8: Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập sau:

A là tập các hình tứ giác

B là tập các hình bình hành

C là tập các hình vuông

D là tập các hình chữ nhật

Bài 9: Xét mối quan hệ bao hàm giữa các tập sau:

A là tập các hình tứ giác

B là tập các hình bình hành

C là tập các hình thang

D là tập các hình chữ nhật

E là tập các hình vuông

G là tập các hình thoi

III CÁC PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢP:

Bài 8: Cho tập hợp A Hãy xác định , , , , A,

IV CÁC TẬP HỢP SỐ

Bài 1: Xác định các tập hợp sau và biểu diễn chúng trên trục số.

1 Tập xác định của hàm số:

Cho hàm số y = f(x) Tập xác định của hàm số y = f(x) là tập hợp tất cả các giá trị của x để biểu thức y = f(x) có nghĩa Kí hiệu: D

Vậy : Tập xác định Dx R y f x co nghia /  ( ) 

* Tập xác định của các hàm số thường gặp:

 Các hàm đa thức như: y = ax2 + bx + c, y = ax + b………… có tập xác đình R

2 Sự biến thiên của hàm số:

* Hàm số y = f(x) gọi là đồng biến ( hay tăng) trrên khoảng (a; b) nếu:

x x







B 3: Nếu tỉ số T > 0 thì hàm số tăng trên khoảng (a ;b)

Nếu tỉ số T < 0 thì hàm số giảm trên khoảng (a ;b)

3 Tính chẵn lẻ của hàm số:

Cho hàm số y = f(x) xác định trên D

* Hàm số y = f(x) đgl hàm số chẵn nếu  f x( )x D  f x( )x D

* Phương pháp chứng minh hàm số chẵn, hàm số lẻ.

B 1: Tìm tập xác định D của hàm số

B 2: Chứng minh tập D là tập đối xứng ( cần c/m: x D   x D)

B 3:Tính f(-x)

Nếu f(-x) = f(x) thì hàm số là hàm số chẵn

Nếu f(-x) = - f(x) thì hàm số là hàm số lẻ

* Lưu ý: Hàm số có thể không chẵn không lẻ.

4 Đồ thị của hàm số chẵn và hàm số lẻ:

* Đồ thị của hàm số chẵn đối xứng qua trục tung

* Đồ thị của hàm số lẻ đối xứng qua gốc toạ độ

II HÀM SỐ y = ax + b

1 Tập xác định D = R.

2 Sự biến thiên:

Nếu a > 0 hàm số đồng biến trên R

Nếu a < 0 hàm số nghịch biến trên R

3 Đồ thị: Đồ thị là đường thẳng không song song, không trùng với hai trục toạ độ và cắt trục Ox tại

Hàm số hằng là hàm số chẵn

Đồ thị là đường thẳng song song với trục hoành và cắt trục tung tại điểm (0; b)

5 Hàm số y x

Tập xác định D = R

Hàm số y x là hàm số chẵn Đồ thị đối xứng qua trục tung

Hàm số đồng biến trên khoảng 0; và nghịch biến trên khoảng   ;0

Bảng biến thiên:

 làm trục đối xứng, có bề lõm quay lên khi a > 0, quay xuống khi a < 0

xy

b a



3 Sự biến thiên của hàm số:

Nếu a > 0 thì hàm số nghịch biến trên khoảng

4 Phương pháp khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y = ax 2 + bx + c.

Tìm tập xác định của hàm số

Tìm toạ độ đỉnh và trục đối xứng

Lập bảng biến thiên

Tìm các điểm dặc biệt

Vẽ đồ thị hàm số

BÀI TẬP:

Bài 1: Tìm tập xác định của hàm số:

a > 0

a < 0

Bài 3: Cho hàm số y = 3x2 -2x + 1 các điểm sau có thuộc đồ thị hàm số không.

Bài 4: Xét tính đơn điệu của các hàm số sau:

a) f(x) = -2x2 – 7 trên khoảng (-4; 0) và trên khoảng (3; 10)

b) f(x) = x/(x – 7) trên khoảng  ;7 và trên khoảng 7;

c) f(x) = 1/(x – 1) trên khoảng  ;1 và trên khoảng 1; 

d) f(x) = x2 + 4x – 2 trên khoảng   ; 2 và trên khoảng 2;

Bài 5: Xét tính chẵn lẻ của các hàm số sau:



2



j) y x 2  x 2 k y) 2x 1 2x1 m y)  x 1 x 3

Bài 6: Xác định m để hàm số y = x4 –mx3 + 2x2 + m là hàm số chẵn

Bài 7: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

Bài 9: Viết pt đt (d) biết :

a) Đường thẳng (d) qua hai điểm A(4; 3) và B(2; -1)

b) Đường thẳng (d) qua A(1; -1) và song song với đường thẳng y = -2x +1

c) Đường thẳng (d) qua A(1; -1) và vuông góc với đường thẳng y = 1/2x -3

d) Đường thẳng (d) qua A(1; -1) và song song với trục Ox

Bài 10: Xác đinh toạ độ đỉnh và các giao điểm với trục tung, trục hoành (nếu có) của mỗi parabol sau:

a) y = x2 – 3x + 2 b) y = -2x2 + 4x – 3 c) y = x2 – 2x d) y = -x2 + 4

Bài 11: Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số sau:

a) y = 3x2 – 4x + 1 b) y = -3x2 + 2x -1 c) y = 4x2 – 4x + 1

d) y = -x2 + 4x – 4 e) y = 2x2 + x + 1 f) y = -x2 + x – 1

Bài 12: Xác định Parabol y = ax2 + bx + 2 biết rằng parabol đó:

a) Đi qua hai điểm M(1; 5) và N(-2; 8)

b) Đi qua điểm A(3; -4) và có trục đối xứng là x = -3/2

c) Có đỉnh là I(2; -2)

d) Đi qua điểm B(-1; 6) và tung độ đỉnh là -1/4

Bài 13: Xác định hàm số bậc hai y = 2x2 + bx + c biết đồ thị của nó:

a) Có trục đối xứng là đường x = 1 và cắt trục tung tại điểm (0; 4)

b) Có đỉnh I(-1; -2)

c) Đi qua hai điểm A(0; -1) và B(4; 0)

d) Có hoành độ đỉnh là 2 và đi qua M(1; -2)

Bài 14: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 - 4x + c biết đồ thị của nó:

a) Đi qua hai điểm A(1; -2) và B(2; 3)

b) Có đỉnh I(-2; -1)

c) Có hoành độ đỉnh là -3 và đi qua P(-2; 1)

d) Có trục đối xứng là đường x = 2 và cắt trục hoành tại điểm M(3; 0)

Bài 15: Xác định hàm số bậc hai y = ax2 + bx + c biết đồ thị của nó qua A(8; 0) và có đỉnh I(6; -12)

Bài 16: xác định a, b, c biết parabol y = ax2 + bx + c

a) Đi qua ba điểm A(0; -1), B(1; -1), C(-1; 1)

b) Có đỉnh I(1; 4) và qua điểm D(3; 0)

c) Có trục đối xứng là đường thẳng x = 2, có tung độ của đỉnh bằng 9 và cắt trục tung tại điểm M(0; 5)

Bài 17: Biện luận theo m số nghiệm của pt sau:

a) x2 – 3x + 5 = m b) -5x2 + 2x + 1 = m

CHƯƠNG III PHƯƠNG TRÌNH

I Khái niệm phương trình.

1 Phương trình ẩn x là mệnh đề có dạng f(x) = g(x)

Nếu có số x0 sao cho f(x0) = g(x0) thì x0 đgl một nghiệm của pt f(x) = g(x)

Giải pt là ta tìm tất cả các nghiệm của nó

Pt không có nghiệm ta nói pt vô nghiệm

2 Điều kiện của pt: Là điều kiện của ẩn x để hai vế của pt có nghĩa.

3 Pt chứa tham số: Là pt ngoài ẩn x còn có các chữ số khác xem như là hằng số và đgl tham số.

Ví dụ: x2 + 2x – m = 0 Với m là tham số

4 Pt tương đương: Hai pt đgl tương đương nếu chúng có cùng tập nghiệm (kể cả tập rỗng)

Chú ý: Phép chuyển vế: f(x) + h(x) = g(x)  f(x) = g(x) –h(x)

6 Pt hệ quả: Cho hai pt: f(x) = g(x) (1) f1(x) = g1(x) (2)

Pt (2) đgl phương trình hệ quả của pt (1) nếu mọi nghiệm của pt (2) đều là nghiệm của pt (1)

Kí hiệu: (1) (2)

7 Lưu ý: i) Khi bình phương hai vế của pt thì ta được pt hệ quả.

ii) Khi giải pt mà dẫn đến pt hệ quả thì phải thử lại nghiệm vào pt ban đầu để loại nghiệm ngoại lai

II PHƯƠNG TRÌNH QUY VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT, BẬC HAI.

1 Giải và biện luận pt bậc nhất: ax + b = 0 (1)

B1: Đưa pt (1) về dạng ax = -b

b = 0 thì pt nghiệm đúng với mọi x R

2 Giải và biện luận pt bậc hai: ax2 + bx + c = 0 (a 0)

B1: Tính biệt thức  = b2 – 4ac

B2: Biện luận:

Nếu  > 0 thì pt có hai nghiệm phân biệt 1 2

2,

bx

a

Nếu  = 0 thì pt có nghiệm kép 1 2

x xa

X2 – SX + P = 0Phương trình trùng phương: ax4 + bx2 + c = 0 (a 0) có thể đưa về pt bậc hai bằng cách đặt t = x2 (

0

t  )

4 Phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối:

Các dạng cơ bản: i) A B, ii) A B

Cách Giải 1: Dùng định nghĩa trị tuyệt đối để bỏ trị tuyệt đối: A A neu AA neu A00

5 Phương trình chứa ẩn dưới dấu căn:

Các dạng cơ bản: i) A  B, ii) A B

Cách Giải 1: Bình phương hai vế dẫn đến pt hệ quả Khi giải xong phải thử lại nghiệm để loại nghiệm

III PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIỀU ẨN.

1 Pt bậc nhất hai ẩn: ax + by + c = 0 (2) Trong đó a, b, c là các hệ số, a và b không đồng thời bằng 0

Cặp (x0;y0) được gọi là nghiệm của pt (2) nếu chúng nghiệm đúng pt (2)

2 Hệ hai pt bậc nhất hai ẩn: 1 1 1

Cách Giải: Dùng pp cộng hoặc là pp thế đã học ở lớp 9.

3 Hệ ba pt bậc nhất ba ẩn:

Cách Giải:Khử dần từng ẩn số để đưa hệ pt trình về dạng tam giác:

Bài 4: Cho pt (x + 1)2 = 0 (1) và pt chứa tham số a: ax2 – (2a + 1)x + a = 0 (2)

Tìm giá trị của a sao cho pt (1) tương đương pt (2)

Bài 5: Xác định m để mỗi cặp pt sau tương đương.

g) x2 + 3x – 4 = 0 và mx2 – 4x – m + 4 = 0

Bài 6: Giải các pt sau:

2

2 2

Bài 10: Cho pt bậc hai: x2 + (2m - 3)x + m2 -2m = 0

a) Xác định m để pt có hai nghiệm phân biệt

b) Với m nào thì pt có hai nghiệm và tích của chung bằng 8 Tìm các nghiệm trong trường hợp đó

Bài 11: Cho pt: mx2 + (m2 - 3)x + m = 0

a) Xác định m để pt có nghiệm kep Tìm nghiệm kép đó

b) Với m nào thì pt có hai nghiệm x1, x2 thoả: 1 2

134

x x 

Bài 12: Cho pt: (m + 2)x2 + (2m + 1)x + 2 = 0

a) Xác định m để pt có hai nghiệm trái dấu và tổng hai nghiệm bằng -3

b) Với m nào thì pt có nghiệm kép Tìm nghiệm kép đó.

Bài 13: Cho pt: 9x2 + 2(m2 -1)x + 1 = 0

a) Chứng tỏ rằng với m > 2 pt có 2 nghiệm phân biệt âm

b) Với m nào thì pt có hai nghiệm x1, x2 thoả: x x1 2 4

Bài 14: Cho pt: (m + 1)x2 – (m - 1)x + m = 0

a) Xác định m để pt có 1 nghiệm -3 và tính nghiệm kia

b) Với m nào pt có 1 nghiệm gấp đôi nghiệm kia Tính các nghiệm trong trường hợp đó

Bài 15: Cho pt: 3x2 + 5x + 2m + 1 = 0

a) Với m nào pt có hai nghiệm trái dấu

b) Với m nào pt có hai nghiệm âm phân biệt, hai nghiệm dương phân biệt

c) Với m nào thì pt có hai nghiệm x1, x2 thoả 3 3

Bài 18: Có hai rổ quýt chứa số quýt bằng nhau Nếu lấy 30 quả ở rổ thứ nhất đưa sang rổ thứ hai thì số

quả ở rổ thứ hai bằng 1/3 của bình phương số quả còn lại ở rổ thứ nhất Hỏi số quả quýt ở mổi rổ lúc ban đầu là bao nhiêu ?

Bài 19: Hai bạn Vân và Lan đi mua trái cây Vân mua 10 quả quýt, 7 quả cam với giá tiền là 17800 Lan

mua 12 quả quýt, 6 quả cam hết 18000 Hỏi giá tiền mỗi quả quýt , quả cam

Bài 20: Có hai dây chuyền may áo sơ mi Ngày thứ nhất cả hai dây chuyền may được 930 áo Ngày thứ

hai do dây chuyền thứ nhất tăng năng suất 18%, dây chuyền thứ hai tăng năng suất 15% nên cả hai dây chuyền may được 1083 áo Hỏi trong ngày thứ nhất mỗi dây chuyền may được bao nhiêu áo

Bài 21: Hai công nhân được giao việc sơn một bức tường Sau khi người thứ nhất làm được 7 giờ và

người thứ hai làm được 4 giờ thì họ sơn được 5/9 bức tường Sau đó họ cùng làm việc với nhau trong 4 giờnữa thì chỉ còn lại 1/18 bức tưòng chưa sơn Hỏi nếu mỗi người làm riêng thì sau bao nhiêu giờ mỗi ngườimới sơn xong bức tường

Bài 22: Ba phân số đều có tử số là 1 và tổng của ba phân số đó bằng 1 Hiệu của phân số thứ nhất và

phân số thứ hai bằng phân số thứ ba Còn tổng của phân số thứ nhất và phân số thứ hai bằng 5 lần phân số thứ ba Tìm các phân số đó

Bài 23: Một phân xưởng được giao sản xuất 360 sản phẩm trong một số ngày nhất định Vì phân xưởng

tăng năng suất, mỗi ngày làm thêm được 9 sản phẩm so với định mức, nên trước khi hết hạn 1 ngày thì phân xưởng đã làm vượt số sản phẩm được giao là 5% Hỏi nếu vẫn tiếp tục làm việc với năng suất đó thì khi đến hạn phân xưởng làm được tất cả bao nhiêu sản phẩm

Bài 24: Hai người quét san Cả hai người cùng quét sân hết 1 giờ 20 phút, trong khi nếu chỉ quét 1 mình

thì người thứ nhất quét hết nhiều hơn 2 giờ so với người thứ hai Hỏi mỗi người quét sân một mình thì hếtmấy giờ

Bài 25: Tìm 2 cạnh của một mảnh vườn hình chữ nhật trong hai trường hợp:

a) Chu vi là 94,4m và diện tích là 494,55m2

b) Hiệu của hai cạnh là 12,1m và diện tích là 1089m2

Bài 26: Giải các hệ pt sau:

2 Bất đẳng thức hệ quả: Nếu mệnh đề A B  C D đúng thì ta nói bđt C < D là bđt hệ quả của bđt

A < B

3 Bất đẳng thức tương đương: Nếu bđt A < B là hệ quả của bđt C < D và ngược lại thì ta nói hai bđt

tương đương nhau Kí hiệu: A B  C D

4 Các tính chất:

a) Tính chất bắc cầu: A B và B C  A C

b) Cộng hai vế của bđt với một số: A B  A C B C  

c) Nhân hoặc chia hai vế bđt với một số:

A B  A.C B.C với C > 0 (Nhân hoặc chia với số âm thì bđt đổi chiều)

A B  A.C B.C với C < 0 (Nhân hoặc chia với số dương thì bđt không đổi chiều)

d) Cộng hai bđt cùng chiều: C DA B  A C B D  



 (Không được áp dụng cho phép trừ)

e) Nhân hai bđt cùng chiều: 00A BC D  A.C B.D

 (Không được áp dụng cho phép chia)

f) Nâng luỹ thừa hai vế của bđt:

Nâng luỹ thừa lẻ: A B A2 n  1 B2 n  1

   (n là số nguyên dương)

0A B  A n B n (n là số nguyên dương)

g) Khai căn hai vế của một bđt:

a b  ab Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b

6 Các hệ quả:

ii) Cho hai số x > 0, y > 0 Nếu x + y không đổi thì x.y lớn nhất khi và chỉ khi x = y

iii) Cho hai số x > 0, y > 0 Nếu x.y không đổi thì x + y nhỏ nhất khi và chỉ khi x = y

7 Bất đẳng thức chứa giá trị tuyệt đối:

0

00

8 Các phương pháp chứng minh bđt:

i) Dùng định nghĩa: Muốn chứng minh A > B thì ta cần chứng minh: A – B > 0.

ii) Phương pháp chứng minh tương đương:

A B  A B  A B   A B

Trong đó: A > B là bđt cần chứng minh

An > B n là bđt đúng đã biết

iii) Dùng các bất đẳng thức đã biết: Bđt Côsi, Bđt chứa giá trị tuyệt đối…

II Bất Phương Trình Và Hệ Bất Phương Trình Một Ẩn.

1 Khái niệm bất phương trình một ẩn:

Bất pt ẩn x có dạng: f(x) < g(x), f(x) g(x),f(x) g(x),f(x) g(x)   Trong đó f(x) và g(x) là nhữngbiểu thức chứa x.

2 Điều kiện của bất phương trình: là điều kiện của ẩn x để hai vế f(x) và g(x) đều có nghĩa.

TXĐ D = x R / f(x),g(x) co nghia 

3 Hệ bất phương trình Một ẩn: Là hệ gồm một số bpt ẩn x mà ta phải tìm nghiệm chung của chúng.

Mỗi giá trị của x đồng thời là nghiệm của tất cả các bpt của hệ đgl một nghiệm của hệ bpt đã cho

Phương Pháp giải hệ bpt: Giải từng bpt rồi lấy giao của các tập nghiệm.

4 Bất phương trình tương đương: Hai bpt (hệ bpt) đgl tương đương nhau nếu chúng có cùng tập

nghiệm Kí hiệu: 

5 Các phép biến đổi tương đương: Cho bpt P(x) < Q(x) có TXĐ D.

a) Phép cộng (trừ): Nếu f(x) xác định trên D thì:

P(x) < Q(x)  P(x) + f(x) < Q(x) + f(x)

Chú ý phép chuyển vế: P(x) + f(x) < Q(x)  P(x) < Q(x) – f(x)

b) Phép nhân (chia):

i) Nếu f(x) > 0,  x D thì: P(x) < Q(x)  P(x).f(x) < Q(x).f(x)

ii) Nếu f(x) < 0, x D thì P(x) < Q(x)  P(x).f(x) > Q(x).f(x)

c) Phép bình phương: Nếu P(x) 0, Q(x)   0, x Dthì:

P(x) < Q(x)  P2(x) < Q2(x)

6 Các chú ý khi giải bpt:

i) Khi biến đổi hai vế của bpt thì có thể làm thay đổi điều kiện của bpt Vì vậy, để tìm nghiệm của bpt ta phải tìm các giá trị của x thoả mãn điều kiện của bpt đó và là nghiệm của bpt mới

TH1: P(x) và Q(x) đều không âm thì ta bình phương hai vế của bpt.

TH2: P(x) và Q(x) đều âm thì ta viết P(x) < Q(x)  - Q(x) < - P(x) rồi bình phương hai vế của bpt mới

VD: Giải bpt: 2 17 1

x   x

III Dấu Của Nhị Thức Bậc Nhất:

1 Nhị thức bậc nhất: Là biểu thức có dạng: f(x) = ax + b trong đó a, b là các hằng số (a 0)

2 Dấu của nhị thức bậc nhất f(x) = ax + b:

Bảng Xét Dấu:

3 Phương pháp lập bảng xét dấu của nhị thức:

B1: tìm nghiệm của nhị thức

B2: Lập bảng xét dấu

B3: Kết luận về dấu của nhị thức

4 Dấu của một tích, một thương các nhị thức bậc nhất:

Phương pháp xét dấu: Tìm nghiệm từng nhị thức có mặt trong biểu thức Lập bảng xét dấu

chung cho tất cả các nhị thức có mặt trong biểu thức Từ đó ta suy ra được dấu của biểu thức

VD: Xét dấu biểu thức: 4 1 2

( x )(x )f(x)

x



5 Aùp Dụng Vào Việc Giải Bất Phương Trình:

a) Bất phương trình tích, bất phương trình chứa ẩn ở mẫu:

Phương pháp giải:

B1: Đưa bất phương trình về dạng f(x) > 0 hoặc f(x) < 0

B2: Lập bảng xét dấu của biểu thức f(x)

B3: Dựa vào bảng xét dấu kết luận nghiệm của bất pt

VD: Giải bất phương trình:

00

A neu Ai) A

Phương Pháp giải:

Phương Pháp : Dùng định nghĩa để khử trị tuyệt đối.

B1: Lập bảng xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối

B2: Dựa vào bảng xét dấu khử dấu giá trị tuyệt đối và giải bpt trên từng miền xác định của bpt

B3: Nghiệm của bpt là hợp các tập nghiệm trên từng miền xác định

Phương pháp : Dùng công thức.

( ) 0( ) 0

IV D ấu Của Tam Thức Bậc Hai:

1 Tam thức bậc hai đối với x có dạng: f(x) = ax2 + bx + c ( a 0)

2 Dấu của tam thức: Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c ( a 0) có  b2 4ac

 

f(x) Cùng dấu với a 0 Cùng dấu với a

TH3: Nếu  0

Bảng xét dấu:

x   x1 x2 

f(x) Cùng dấu với a 0 Trái dấu với a 0 Cùng dấu với a

Phương pháp xét dấu tam thức bậc hai f(x) = ax 2 + bx + c ( a 0).

B1: Tính  và tìm nghiệm của tam thức ( nếu có)

B2: Lập bảng xét dấu của biểu f(x)

B3: Kết luận dấu của tam thức

VD: Xét dấu các tam thức sau:

B3: Nhận nghiệm ứng với dấu của bất phương trình

VD: Giải các bất phương trình sau:

a 2x2 -
5x + 2 > 0 b 9x2 -
24x + 16 > 0

c x2 + x +2 0 d x2 + 12x + 36 0

e x2 + 12x + 36 0 f (2x -
5)(3 -
4x) > 0

g (x2 + 3x – 4)(-
3x -
5) 0 h

2 2

04

x x x

o Phương trình f(x) = 0 vô nghiệm   0

o Phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm trái dấu 0

0

a P

a

S P

a

S P

x x x

314

x x x

412