Vẽ về phớa ngoài tam giỏc ABC cỏc tam giỏc ABE và ACF vuụng cõn tại A.. Từ E và F kẻ đường vuụng gúc EK và FN với đường thẳng HA.. b/ Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA.. Tỡm
Trang 1PHÒNG GD&ĐT SƠN DƯƠNG đề chọn học sinh năng khiếu
NĂM HỌC 2010-2011 Mụn thi : Toỏn 7
Thời gian: 90 phỳt (Khụng kể thời gian giao đề)
Cõu 1( 6đ): Tỡm cỏc số x, y, z biết.
a/ (x – 1)3 = - 8 b/ 9 7 − x = 5x− 3 c/ x - 3 x = 0 d/ 12x = 15y = 20z và x + y + z = 48
Bài 2:(4 đ)
a) Thực hiện phộp tớnh:
2 3 4 9 5 7 25 49 A
125.7 5 14
2 3 8 3
+ +
b) Chứng minh rằng : Với mọi số nguyờn dương n thỡ :
3n+ − 2n+ + − 3n 2nchia hết cho 10
Cõu 3:(3.5đ)
a/ Tỡm số dư khi chia 22011 cho 31 b/ Với a, b là cỏc số nguyờn dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia hết cho 6 Chứng minh rằng: 4a + a + b chia hết cho 6
Câu 4( 2.5 đ ) Cho 2 đa thức
P ( )x = x2 + 2mx + m2 và
Q( )x = x2 + (2m+1)x + m2
Tìm m biết P (1) = Q (-1)
Cõu 5:(4đ) Cho tam giỏc ABC cú ba gúc nhọn, đường cao AH Vẽ về phớa ngoài tam
giỏc ABC cỏc tam giỏc ABE và ACF vuụng cõn tại A Từ E và F kẻ đường vuụng gúc
EK và FN với đường thẳng HA
a/ Chứng minh rằng: EK = FN
b/ Gọi I là giao điểm của EF với đường thẳng HA Tỡm điều kiện của tam giỏc ABC để EF = 2AI
-Hết -Đấ̀ CHÍNH THỨC
Trang 2HƯỚNG DẪN CHẤM chän häc sinh n¨ng khiÕu
MÔN: TOÁN 7
========================================
Câ
u
Phầ
n
m
1
(6đ)
a 1,5 (x – 1)3 = - 8 => x – 1 = - 2 => x = - 1 Vậy x = - 1 1.5
b
1,5đ
9 7 − x = 5x− 3 Điều kiện: x ≥ 3
5
=> − = −9 79 7− x x=53 5x−3x =>122x x==612⇒x x==13
(Thỏa mãn điều kiện)
c
1,5đ
x - 3 x = 0 Điều kiện x ≥ 0
=> x( x− 3) = 0 => x = 0 hoặc x = 9 (thỏa mãn điều kiện)
d
1,5đ
12x = 15y = 20z =>
5 4 3
x y z
x= = =y z x y z+ + = =
2
(4đ)
a
2đ
b
2đ
a)
( )
10
10 3
12 4
2 3 4 9 5 7 25 49 2 3 2 3 5 7 5 7
2 3 2 3 5 7 5 2 7 125.7 5 14
2 3 8 3
2 3 3 1 5 7 1 7
2 3 3 1 5 7 1 2
5 7 6
2 3 2
2 3 4 5 7 9
1 10 7
+ +
−
−
= − = b) 2 2
3n+ − 2n+ + − 3n 2n= 2 2
3n+ + − 3n 2n+ − 2n
=3 (3n 2 + − 1) 2 (2n 2 + 1) = 1
3 10 2 5 3 10 2n× − × = × −n n n− × 10 = 10( 3n -2n-1)
Vậy 3n+ 2 − 2n+ 2 + − 3n 2nM 10 với mọi n là số nguyên dương
1
1
1 1
3
(3.5
đ)
a,
2đ
Ta có 25 = 32 ≡1 (mod31) => (25)402 ≡ 1 (mod31)
=> 22011 ≡ 2 (mod31) Vậy số dư khi chia 22011 cho 31 là 2 2 b
1,5đ
Vì a nguyên dương nên ta có 4a ≡1 (mod3) => 4a + 2 ≡0 (mod3)
Mà 4a + 2 ≡0 (mod2) => 4a + 2 M 6 Khi đó ta có 4a + a + b = 4a + 2 + a +1 + b + 2007 – 2010 M 6 Vậy với a, b là các số nguyên dương sao cho a + 1 và b + 2007 chia
0,5 0,5
Trang 3hết cho 6 thì 4a + a + b chia hết cho 6 0,5
4
2.5đ
Cho 2 ®a thøc
P ( )x = x2 + 2mx + m2 vµ
Q( )x = x2 + (2m+1)x + m2
T×m m biÕt P (1) = Q (-1) P(1) = 12 + 2m.1 + m2 = m2 + 2m + 1 Q(-1) = 1 – 2m – 1 +m2 = m2 – 2m
§Ó P(1) = Q(-1) th× m2 + 2m + 1 = m2 – 2m ⇔ 4m = -1 ⇔ m =
-1/4
1
1 0.5
5
(4đ)
a
2.5
Chứng minh ∆KAE = ∆HBA ( ch – gn) => EK = AH Chứng minh ∆NFA = ∆HAC ( ch – gn) => FN = AH Suy ra EK = FN
1 1 0.5
b
1đ
Chứng minh ∆KEI = ∆NFI ( c.g.c) => EI = FI = EF
2
Mà AI = EF
2 (gt) => AI = EI = FI => IEA = IAE và IAF = IFA
=> EAF = 900 => BAC = 900 Vậy EF = 2AI khi tam giác ABC vuông tại A
0,5
0,5
Ghi chú: Đáp án trên chỉ là một trong những cách làm đúng, nếu học sinh làm đúng bằng cách khác cho điểm tối đa
Giáo viên ra đề
Lê Minh Quảng
K I
H
E
C B
A