SKKN về bất đẳng thức cô si ( Nguyễn Qốc Tuấn) CAP TINH

Sáng kiến kinh nghiệm đạt cấp tỉnh. về BĐT cô si. Phương pháp vậ dụng điểm rơi và bất đẳng thức cô si để tìm GTLN GTNN; Giải phương trình vô tỉ. Chứng minh bất đẳng thức thông qua bất đẳng thức CÔ si

Các ký hiệu và chữ viết tắt dùng trong đề tài

- Giá trị lớn nhất của P

- Giá trị nhỏ nhất của P

Hiện nay do yêu cầu cao của sự phát triển kinh tế xã hội và giáo dục Mỗi giáo viên luôn phấn đấu để dạy tốt các môn học nói chung và môn Toán nói riêng là nguyện vọng lớn lao nhất, luôn cố gắng tìm tòi các phơng pháp truyền thụ kiến thức cho học sinh một cách có hiệu quả nhất Đối với đa số học sinh thì môn toán là môn học chủ yếu nhất, đầu t nhiều thời gian nhất Đối với nhiều phụ huynh thì việc học tốt môn toán

có ý nghĩa rất to lớn trong kết quả học tập của con em mình

Trong chơng trình toán THCS, việc hình thành kỹ năng giải toán cho học sinh là yếu tố quyết định hàng đầu đến khả năng t duy tổng hợp, tính sáng tạo của học sinh ở mỗi khối lớp, mỗi chơng, mỗi bài đều có những cách hình thành kỹ năng khác nhau

Đối với từng dạng toán cũng vậy, giáo viên cần có các phơng pháp cụ thể để dẫn dắt học sinh hình thành kỹ năng

Bất đẳng thức Cauchy (Cô - Si) là một bất đẳng thức khá quen thuộc Tuy trong chơng trình sách giáo khoa THCS không đề cập đến nhiều nhng việc giải toán thờng ngày chúng ta lại áp dụng Đặc biệt trong việc bồi dỡng học sinh khá giỏi, việc chứng minh bất đẳng thức nói chung hay tìm cực trị của một biểu thức nói riêng đã gây không

ít khó khăn cho giáo viên và học sinh

Mặt khác, việc giải các bài toán cực trị nói chung và giải bài toán cực trị có vận dụng bất đẳng thức Cô - Si nói riêng, ngời giải cần phải biết vận dụng những kinh nghiệm của mình để phân tích, biến đổi bài toán sao cho phù hợp cả về nguyên tắc tìm

cực trị và điều kiện vận dụng bất đẳng thức Cô - Si Đặc biệt đối với giáo viên lại là vấn

đề cần thiết nhất, bởi vì ngoài việc giải toán ngời giáo viên còn phải hớng dẫn học sinh tiếp cận và ghi nhớ kiến thức, rèn luyện kỹ năng, phơng pháp Ngoài ra còn tìm ra các lỗi lầm cảu học sinh để giúp học sinh cách khắc phục

Trong quá trình giảng dạy, nghiên cứu, học hỏi kinh nghiệm tôi thấy một công

cụ khá hiệu quả để giải một số bài toán cực trị là bất đẳng thức Cauchy (Cô - Si) Tuy nhiên do đặc thù của loại bài toán cực trị và những giới hạn của bất đẳng thức Cô - Si nên trong quá trình thực hiện đòi hỏi giáo viên phải có những phơng pháp cũng nh thủ thuật nhất định Đồng thời phát hiện và giải quyết những sai lầm của học sinh khi làm toán

Vì những lý do đó tôi quyết định chọn đề tài: “Một số kinh nghiệm khi vận dụng bất đẳng thức Cô - Si để tìm cực trị” Với mong muốn cung cấp một số kinh nghiệm cho các bạn yêu thích toán học, các đồng nghiệp các em học sinh làm tài liệu tham khảo và tiếp tục phát triển

B giải quyết vấn đề.

i Những kiến thức lý thuyết cơ bản liên quan đến đề tài

1.1 Phơng pháp tìm cực trị của biểu thức

1.1.1 Khái niệm về cực trị của một biểu thức

Cho biểu thức nhiều biển số P(x, y, , z) với x, y, , z thuộc miền S nào đó xác

định Nếu với bộ giá trị (x0, y0, z0) ∈ S mà ta có: P(x0, y0, z0) ≥ P(x, y, , z) hoặc

P(x0, y0, z0) ≤ P(x, y, , z) thì ta nói P(x, y, , z) lớn nhất hoặc nhỏ nhất tại (x0,

y0, z0) trên miền S

P(x, y, , z) đạt giá trị lớn nhất tại (x0, y0, z0)∈ S cũng gọi là P đạt cực đại tại (x0, y0, z0) hoặc Pmax tại (x0, y0, z0) Tơng tự ta có: P đạt giá trị nhỏ nhất tại (x0, y0, z0)

∈ S cũng gọi là P đạt cực tiểu tại (x0, y0, z0) hoặc Pmin tại (x0, y0, z0).

Giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của P trên miền xác định S gọi là các cực trị của P trên miền S

1.1.2 Nguyên tắc chung tìm cực trị của một biểu thức

a) Để tỡm giỏ trị nhỏ nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trờn miền xỏc định S, ta cần chứng minh hai bước:

- Chứng tỏ rằng P ≥ k ( với k là hằng số ) với mọi giỏ trị của cỏc biến trờn miền xỏc định S.(Nguyên tắc này đợc gọi là nguyên tắc biến đổi bé dần)

- Dấu đẳng thức luôn xảy ra tại một hay một số giá trị của biến trên miền đó

b) Để tỡm giỏ trị lớn nhất của một biểu thức P(x, y, , z) trờn miền xỏc định S, ta cần chứng minh hai bước:

- Chứng tỏ rằng P ≤ k ( với k là hằng số ) với mọi giỏ trị của cỏc biến trờn miền xỏc

định S.(Nguyên tắc này đợc gọi là nguyên tắc biến đổi lớn dần)

- Dấu đẳng thức luôn xảy ra tại một hay một số giá trị của biến trên miền đó

1.1.3 Những sai lầm thờng gặp khi làm bài toán cực trị.

- Sau khi biến đổi giá trị của biểu thức k còn phụ thuộc vào biến số (Đối với hình học thì còn phụ thuộc vào điểm cha cố định)

- Dấu của đẳng thức không xảy ra hoặc xảy ra tại một điểm không thuộc miền xác

định

- Sử dụng bất đẳng thức không chú ý đến điều kiện của bất đẳng thức

- Sử dụng nhiều bất đẳng thức nhng khi xét dấu bằng xảy ra chỉ xét tại một số bất

đẳng thức dẫn đến giá trị cha chính xác

- Đối với biểu thức có miền xác định là các khoảng rời nhau, không so sánh các giá trị của biểu thức theo từng khoảng

- Sử dụng các bất đẳng thức phụ không chính xác

- Biến đổi bất đẳng thức không chú ý đến chiều của nó

dc

ba

1.2.1 Tổng quát: Trung bình cộng của n số thực không âm luôn lớn hơn hoặc

bằng trung bình nhân của chúng, và trung bình cộng chỉ bằng trung bình nhân khi và chỉ khi n số đó bằng nhau

1.2.2 Một số trờng hợp cụ thể thờng áp dụng.

+) Đối với hai số: x ≥ 0, y ≥ 0 ;

Cho : a1 ≥ 0, a2 ≥ 0, , a… n ≥ 0 ;

n 1 n

n

aa

Ta có: xy

2

yx

≥+

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x = y = z

1.2.3 Chứng minh bất đẳng thức Cô - Si với trờng hợp n = 2.

2

12

2

12

2

≥

−

=+

Do đó x y+ ≥2 xy Dấu bằng xảy ra khi v chà ỉ khi: x − y, tức l à x = y

1.2.4 Một số bất đẳng thức thờng gặp đợc suy ra từ bất đẳng thức Cô - Si.

x+ ≥2

Đẳng thức xảy ra khi

và chỉ khi x = y xy

2

yx

yxy

x+ ≥ +

411

; (x >0, y >0)

( )2

41

yx

y

x+ + ≥

Đẳng thức xảy ra khi

xyzz

91

11

(x, y, z >0)

( )3

271

zyxxyz ≥ + +

1.2.5 Một số hệ quả của bất đẳng thức Cô- Si

Hệ quả 1: Nếu hai số dơng có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó

2

axyxy

a ≥ ⇒ ≤ ⇒ xy lớn nhất là

4

2

a khi x = y

Hệ quả 2: Nếu hai số dơng có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó

- Phơng pháp biến đổi vận dụng các bất đẳng thức đợc suy ra từ BĐT Cô - Si

1.3.2 Sai lầm thờng gặp khi vận dụng bất đẳng thức Cô - Si vào tìm cực trị.

Ngoài những sai lầm nh ở mục 1.1.3 thì trong quá trình vận dụng BĐT Cô - Si chúng ta thờng mắc các sai lầm nh:

- Sử dụng BĐT Cô - Si khi các biến cha phải là các số không âm

- Cha đảm bảo nguyên tắc “Bé dần” hoặc “Lớn dần”

II Các dạng bài tập vận dụng

2.1 Phơng pháp tìm cực trị của phân thức một biến.

Bài toán 2.1.1: Tìm giá trị nhỏ nhất của A =

x

x4

3+ với x > 0

a) Phân tích tìm lời giải.

Dựa vào điều kiện x > 0, điều đầu tiên ta thấy có thể vận dụng bất đẳng thức Cô -

Si Mặt khác ta thấy x

x4

3 = 4

3

là một hằng số Khi đó: A ≥ 2

x

x4

3 = 3

b) Lời giải:

áp dụng BĐT Cô - Si cho 2 dơng x và

x4

3

Ta có A =

x

x4

3+ ≥ 2

x

x4

3 = 3

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x =

x4

c) Kinh nghiệm giải:

- Điều kiện x > 0, trùng với điều kiện của BĐT Cô - Si do đó có thể giải bài toán này dựa vào BĐT Cô - Si

- Dựa vào đặc điểm x

x4

3 = 4

3

là một hằng số và yêu cầu bài toán là tìm GTNN nên ta biến đổi biểu thức A theo nguyên tắc bé dần bằng phép biến đổi theo BĐT Cô-Si:

x

x

4

3+ ≥ 2

x

x4

3

d) Nhận xét: Ta thấy nếu x > 0 thì bài toán vận dụng đợc BĐT Cô - Si Vì vậy

nếu ta thay x bằng x hoặc x2 thì ta có bài toán tơng tự

Bài toán 2.1.2: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: B =

1x

9x

91

x

+++ Khi đó ta có cách giải sau:

x ta có x +1+

1

9+

x ≥ 6

⇒ B ≥ 6 – 1 = 5

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x +1 =

1

9+

x ⇔ x +1 = 3 (do x ≥ 0) ⇔ x = 4.Vậy GTNN của B là 5 đạt đợc khi x = 4

c) Kinh nghiệm giải:

- Với biểu thức

1x

9x

+

+ thì điều kiện xác định là x ≥ 0, điều này trùng với

điều kiện để vận dụng BĐT Cô - Si

- Muốn biến đổi biểu thức A theo nguyên tắc bé dần B ≥ k (hằng số) thì ta phải

có x +1 để kết hợp với

1x

9+ do đó ta biến đổi B = 1 1

9

+++

1(

+

+

+x

xx

Bài toán 2.1.3: Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =

12

53

2

+

+

+x

xx

a) Phân tích tìm lời giải:

Dựa vào nhận xét của bài toán 2 ta thấy 2x + 3 x + 3 = ( x +1)(2 x +1)+2Khi đó M =

12

21

++

+

x

121

12

212

1+

++

+x

xx

=

12

21

++

12

1

++

12

1

≥+

x =

21

1+

2

1+

Vậy GTNN của M là

2

5 đạt đợc khi x =

41

c) Kinh nghiệm giải :

- Điều kiện xác định của biểu thức là x ≥ 0 phù hợp với điều kiện áp dụng của BĐT Cô - Si

- Do bậc của tử lớn hơn bậc của mẫu nên ta có thể chia tử cho mẫu để biến đổi biểu thức M = k(2 x +1)+

1x2

p+ + q ( k, p, q là hằng số)

c) Nhận xét: Dựa vào nhận xét ở bài toán 2.1.2 ta có thể chia tử cho mẫu Tuy

nhiên, có nhiều bài toán bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu nhng chúng ta vẫn áp dụng

đ-ợc BĐT Cô- Si Cụ thể nh bài toán sau:

Bài toán 2.1.4: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P =

4

4

2

+x

áp dụng BĐT Cô - Si cho hai số dơng 2 42

xvà

2

xx

⇒ P ≤

4

1 Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 4 4 4 2

c) Kinh nghiệm giải:

- Ta thấy x2 ≥ 0 với mọi x nên ta có thể áp dụng BĐT Cô - Si

- Ta cần phải xét hai trờng hợp x = 0 và x ≠ 0 vì để vận dụng BĐT Cô - Si chúng

ta cần biến đổi P =

2

1x

x + bằng cách chia cả tử và mẫu cho x2.

- Sau khi tìm đợc GTLN của P với x ≠ 0 ta phải so sánh với P khi x = 0 Giá trị nào lớn hơn thì đó là GTLN

- Với bài toán này ta có thể có cách giải nh sau :

Ta có x4 + 4 ≥ 2 4x4 = 4x2

⇒

4

1P)0xdo(4

1x4

x4x

xx

4

14x

2

2 4

2 2

+

⇒

≤+Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x4 = 4 ⇔ x = ± 2

Vậy GTLN của P là

4

1 đạt đợc khi x = ± 2Tuy nhiên phơng pháp này không sử dụng đợc ở một số bài toán tơng tự

Bài toán 2.1.5: Với x > 0, Tìm giá trị nhỏ nhất của F = 9x2 – 5x +

x9

1 + 2013

a) Phân tích tìm lời giải.

Ta thấy x > 0 và trong biểu thức F có hạng tử

x9

1

do đó ta có thể vận dụng BĐT Cô - Si để tìm GTNN Tuy nhiên trong biểu thức còn có hạng tử x2 do đó ta có thể biến

đổi về dạng F = (ax + b)2 + mx +

x9

1 + n nh sau:

F = 9x2- 6x + 1 + x +

x9

1 + 2012 = (3x – 1)2 + x +

x9

1 + 2012 ≥ x +

x9

1 +

2012

⇒ F ≥

2

60382012

1 + 2012 = (3x – 1)2 + x +

x9

1 + 2012

Ta thấy (3x -1)2 ≥ 0 ; Với x > 0 thì x +

x9

1

≥ 2

x9

1

32

⇒ F ≥

3

2+ 2012 =

36038

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

3

1xx

9

1x

01x

31

c) Kinh nghiệm giải.

- Dựa vào điều kiện bài toán x > 0 ta thấy phù hợp với điều kiện của BĐT Cô - Si

- Để biến đổi biểu thức F = 9x2- 6x + 1 + x +

x9

1 + 2012 sao cho khi vận dụng BĐT Cô - Si và xét dấu (3x – 1)2 sẻ tồn tại giá trị của x để dấu bằng xảy ra ta có thể là

nh sau:

Xét F = (ax + b)2 + mx +

x9

1 + n = a2x2 + 2ab x + b2 + mx +

x91+ n

=+

=

)6(x

9

1mx

)5(0

b.a

)4(0

bax

)3(2013n

b

)2(5mab2

)1(9

a

2 2

x9

1 + 2012

+) Xét: 5 6b

b

1

2 =− + ⇔ 6b3 - 5b2 - 1 = 0 ⇔ b = 1 ⇒ a = -3 ; n = 2012 ; m = 1Khi đó F = (- 3x + 1)2 + x +

x9

1 + 2012

Cả hai kết quả đều nh nhau tuy nhiên trong quá khi làm thì ta chỉ cần chọn a = 3

từ a2 = 9

d) Nhận xét: Qua 5 bài toán trên chúng ta thấy đối với phân thức một biến khi

biến đổi và vận dụng BĐT Cô -Si với mục đích làm triệt tiêu biến Tuy nhiên có nhiều biểu thức tuy chứa nhiều biến nhng bản chất của nó là tổng của tất cả các biểu thức một biến Cụ thể ở bài toán sau

Bài toán 2.1.6 : Cho ba số thực a, b, c thỏa mãn a≥1;b≥4,c≥9

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: P bc a 1 ca b 4 ab c 9

abc

=(Đề thi tuyển sinh vào lớp 10 THPT tỉnh Hà Nam Năm học 2012 2013)–

a) Phân tích, tìm lời giải

Ta có P =

c

cb

ba

a −1+ −4 + −9 Biểu thức P là tổng của ba biểu thức một

c 9− Các giá trị của a, b, c độc lập do đó để tìm GTLN của

biểu thức P Ta tìm giá trị lớn nhất của các biểu thức

ba

a−1 + −4 + −9

Xét biểu thức A =

a

1

a−+) Với a = 1 thì A = 0

+) Với a > 1 thì A

1a

11a

11

a

11a11

aa

1a

1a

2 2

2

−++

12

1

11

1

=+

≤+

−+

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a – 1 =

1

1

−

a ⇒ a = 2 ( do a ≥ 1)Xét biểu thức B =

b

4

b−+) Với a = 4 thì B = 0

188

18

4b

164

b

14

bb

1

+

≤+

−+

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi b – 4 =

4

16

−

b ⇒ b = 8 (do b ≥ 4)Xét biểu thức C =

c

9

c−+) Với c = 9 thì C = 0

11818

118

9c

819

c

19

cc

1

+

≤+

−+

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi c – 9 =

9

81

−

c ⇒ c = 18 (do c ≥ 9)Khi đó M ≤

12

116

14

12

1

=++ Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = 2; b = 8; c = 18

Vậy giá trị lớn nhất của M là

12

11 đạt đợc khi a = 2; b = 8; c = 18

c) Kinh nghiệm giải :

+ Với a ≥ 1, b ≥ 4, c ≥ 9 khi đó các biến thỏa mãn điều kiện để vận dụng BĐT Cô - Si

+ Khi ta biến đổi biểu thức P ta có P =

c

cb

ba

a −1+ −4 + −9 ta thấy cáchạng tử trong biểu thức là các phân thức một biến do đó ta có thể sử dụng phơng pháp giải nh bài toán 2.1.4

d) Nhận xét: Đối với BĐT Cô - Si chúng ta có thể biến đổi tổng thành tích và

ngợc lại Do dó có nhiều bài toán chúng ta cần sử dụng đặc điểm này để biến đổi nhằm mục đích khử biến Ví dụ nh bài toán sau:

Bài toán 2.1.7: Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: A = x−2+ 4−x

a) Phân tích, tìm lời giải.

Ta thấy x – 2 + 4 – x = 2 do đó ta có thể vận dụng tích (x−2)(4−x)

Ta có A2 = x – 2 + 4 - x + 2 (x−2)(4−x) = 2 + 2 (x−2)(4−x) ≤ 2 + x – 2 + 4 – x = 4 ⇒ 0 < A ≤ 2

Vậy GTLN của A là , đạt đợc khi x = 3

c) Kinh nghiệm giải

- Với 2 ≤ x ≤ 4 thì x – 2 ≥ 0; 4 – x ≥ 0 thỏa mãn điều kiện của BĐT Cô - Si

- Ta lại có x – 2 + 4 – x = 2 là một hằng số do đó ta có thể biến đổi biểu thức

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x−2 = 4−x ⇔x=3

Vậy GTLN của A là , đạt đợc khi x = 3

2 1

1

b

a

b

ab

a

=

=

=

+

+

+x

xx

với x > -3

b) B =

3

5+

−x

b) N =

146

1++

+xx

x

Bài 3: Tìm GTLN của biểu thức K =

xyz

z zy y

xz x

yz − 1 + − 2 + − 3 với x ≥ 1, y ≥ 2, z ≥ 3.

Bài 4: Cho x, y là các số thực thỏa mãn: x > y và x.y = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A =

y x

y x

2yxy

x

xy2)yx

−+

4 3 − 2 + +

HD: Ta có M = 4x2 – 8x + 13 +

x

9 = (2x – 3)2 + 4x +

x

9 + 4 ≥ 16

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x =

2

3

Bài 6: Tìm giá trị lớn nhất của x−2+ 10−x

2.2 Phơng pháp tìm cực trị của biểu thức nhiều biến

Phơng pháp chung: Dựa vào mối quan hệ giữa các biến mà bài toán cho và điều

kiện của các biến chúng ta có thể vận dụng BĐT Cô - Si để biến đổi biểu thức cần tìm giá trị lớn nhất hay nhỏ nhất thành A ≤ f(p) hoặc A ≥ f(p), Trong đó p là điều kiện thể hiện mối quan hệ giữa các biến theo giả thiết bài toán

Bài toán 2.2.1 Cho các số dơng x,y thỏa mãn x + y ≤ 1

Tìm GTNN của P =

)2(

1)

2(

1

xyyyx

a) Phân tích, tìm lời giải.

- Dựa vào điều kiện ban đầu của bài toán ta thấy x, y là hai số dơng và thỏa mãn

điều kiện x + y ≤ 1 Do đó chúng ta có thể áp dụng BĐT Cô - Si để biến đổi P ≥ f(x+y)

- Ta thấy vai trò của x, y trong biểu thức P là nh nhau do đó để có giá trị nhỏ

nhất của P thì x = y Khi đó

)2(

1)

2(

1

xyyyx

x + = + Vì vậy ta có thể vận dụng BĐT Cô

- Si cho hai số dơng

)2(

1)

2(

1

xyy

vàyx

1

xyyx

ở đây ta thấy x + y +(x + 2y) + (y + 2x) = 4(x + y) = F(x + y) do đó ta có thể áp dụng BĐT Cô - Si cho 4 số dơng x, y, x + 2y, y + 2x Tuy nhiên khi x = y = x+2y = y + 2x thì không thỏa mãn điều kiện bài toán Vì vậy chúng ta có thể biến đổi nh sau

P ≥ 2

)2)(

2(

1

xyyx

2

yx

2.2)x2y)(

y2x(

1

xy

1

++++

≥+

+

=

3

8)(

3

1

2(

1

xyyx

xy + + = 2 (x 2y)(y 2x)

1

xy

1

++

2x

2yy2x

2)

x2y)(

y2x(

+

=+++

≥+

+ (do x + y ≤ 1)

Từ đó ta có : P ≥ 2.2

3

2 = 3

8

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi

2

1yx1

yx

x2yy2x

yx

)x2y(y)y2x(x

+

=+

=

+

=+

Vậy GTNN của P là

3

8 đạt đợc khi x = y =

21

c) Kinh nghiệm giải.

- Với điều kiện x > 0, y > 0 phù hợp với điều kiện để sử dụng BĐT Cô - Si

- Với điều kiện x + y ≤ 1 ta phải biến đổi biểu thức P nhỏ dần thành f(x + y)

- Nếu ta thay x = y thì biểu thức không thay đổi(Khi đó ta nói vai trò của x và y

là nh nhau) do đó để biểu thức đạt cực trị thì x = y

- Ta thấy x + x + 2y = 2(x + y) và y + y + 2x = 2(x + y) nhng nếu đi tìm GTNN của từng hạng tử

)2(

1)

2(

1

xyy

vàyx

x + + thì dấu bằng xảy ra khi x = x + 2y và y = y + 2x ⇒ x = y = 0( Không thỏa mãn)

Do đó ta phải biến đổi P ≥ 2

)2)(

2(

1

xyyx

xy + + = xy(x 2y)(y 2x)

2+

- Ta có x + y + (x + 2y) + (y + 2x) = 4(x + y) nhng nếu ta vận dụng BĐT Cô - Si cho 4 số đó thì để có dấu bằng xảy ra ta có x = y = x + 2y = y + 2x ⇔ x = y = 0 (không

thỏa mãn) do đó chúng ta có thể biến đổi P ≥ 2

)x2y)(

y2x(

1

xy

1

++ khi đó ta áp dụng BĐT Cô - Si cho từng biểu thức xy và (x+2y)(y+2x)

d) Nhận xét : Ta thấy khi dùng BĐT Cô - Si để biến đổi để đa về dạng P ≥ f(x +

y) có nhiều cách Tuy nhiên vận dụng cách nào để có dấu bằng xảy ra thì cần phải có thủ thuật Dựa vào vai trò của các biến nh nhau chúng ta có thể tách thành 2 biểu thức

nh trên Nhng trong nhiều bài toán không phải lúc nào ta cũng có thể tách đợc nh vậy Những biểu thức có vai trò các biến nh nhau trong biểu thức (Khi ta hoán vị vòng quanh các biến thì biểu thức không thay đổi), chúng ta gọi là biểu thức đối xứng

Bài toán 2.2.2: Cho các số dơng a, b, c thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1.

Tìm giá trị lớn nhất của A = a+b + b+c + c+a

2

accbba

=+++++

(1);

2

cb1)cb(1c

2

ac1)ac(1a

Với phép biến đổi này ta có: A ≤

2

52

ac1cb1ba1

=+++++++

Vì sao sai so với dự đoán của chúng ta ?

Lý do rất đơn giản là khi đó dấu bằng xảy ra ở (1), (2), (3) khi và chỉ khi:

2

3cbaa

Điều này trái với giả thiết

Để khắc phục điều này chúng ta làm nh sau:

2

bakk

1k

)ba(kb

a+ = + ≤ + + Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi k = a + b

Dựa vào dự doán a = b = c =

b) Lời giải

Ta có:

2

ba3

2.2

3)ba(3

2.2

3

b

≤+

=

cb3

2.2

3)cb(3

2.2

3

c

≤+

=

2

ac3

2.2

3)ac(3

2.2

3

a

≤+

cba(222

32

ac3

2cb3

2ba3

22

1cba

3

2ac

3

2cb

3

2ba

=+

=+

=+

Vậy GTLN của A là 6 , đạt đợc khi

3

1cb

a = = =

c) Kinh nghiệm giải

- Dựa vào điều kiện của bài toán ta có thể sử dụng BĐT Cô - Si để biến đổi biểu thức A lớn dần sao cho A ≤ f(a + b + c)

- Ta thấy đây là một biểu thức đối xứng nên để có GTLN thì a = b = c và kết hợp với a + b + c = 1 ⇒

3

1cb

a = = =

- Đối với dạng bài toán này ta biến đổi

2

bakk

1k

)ba(kb

d) Nhận xét : Để giải loại bài toán trên ta sử dụng dự đoán

3

1cb

a= = = để tìm hằng số k Kỷ thuật này ngời ta thờng gọi kỹ thuật chọn điểm rơi Việc chọn điểm rơi giúp chúng ta giải quyết các loại bài toán này một cách nhanh chóng hơn Tuy nhiên

đối với loại bài toán này chúng ta đã có a+b, b+c và c+a vì vậy việc làm xuất hiện f(a + b + c) tơng đối dễ dàng ở một số bài toán biểu thức chứa mẫu nhng nếu vận dụng BĐT Cô - Si trực tiếp thì sẻ không xuất hiện f(p), khi đó chúng ta cần thêm biểu thức phụ

Bài toán 2.2.3 Với a,b,c là các số thực dơng thỏa mãn a + b + c = 1.

Tìm giá trị nhỏ nhất của P = ( ) ( ) ( )

b

aca

cbc

b

++

++

a) Phân tích tìm lời giải

Dựa vào kỷ thuật chọn điểm rơi thì P sẻ đạt giá trị nhỏ nhất khi

3

1cb

2

+ = 4(c + a); Dấu bằng xảy ra khi : (c + a)2 = 4b2

Cộng vế theo vế của các bất đẳng thức ta đợc:

P + 4(a + b + c) ≥ 4(a + b + b + c + c + a) ⇔ P ≥ 4(a + b + c) = 4

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi:

( ) ( )

1cba1cba

b4ac

a4cb

c4ba

2 2

2 2

2 2

=+

=+

=+

Vậy GTNN của P là 4, đạt đợc khi

3

1cb

a= = =

c) Kinh nghiệm giải

- Dựa vào tính chất đối xứng của biểu thức ta chọn điểm rơi

3

1cb

a = = = Mặt khác a, b, c là các số dơng thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1 do đó ta biến đổi biểu thức

P bé dần sao cho P ≥ f(a + b + c)

- Để làm mất mẫu thức ở biểu thức sau khi vận dụng BĐT Cô - Si ( )

Bài toán 2.2.4 Cho a, b, c là ba cạnh của tam giác ABC có chu vi bằng 1 thỏa

mãn biểu thức:

2

3c1

cb1

ba1