SKKN cải tiến cách XD hệ thống câu hỏi và bài tập về bất đẳng thức trong chương trình đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tậpvề Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh Giáo viên giảng dạy theo tiến trình trong sách giá

Trang 1

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do – Hạnh phúc

ĐƠN YÊU CẦU CÔNG NHẬN SÁNG KIẾN

Kính gửi: Hội đồng sáng kiến cấp ngành, Sở GDĐT Ninh Bình.

Chúng tôi, gồm:

hệ thống câu hỏi và bài tập về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh.

Trang 2

Cải tiến cách xây dựng hệ thống câu hỏi và bài tập

về Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 theo hướng phát triển năng lực học sinh

Giáo viên giảng dạy theo tiến trình trong sách giáo khoa Cách làm này có

ưu điểm là học sinh dễ theo dõi bài giảng của giáo viên với việc xem sách giáo khoa Tuy nhiên, do khuôn khổ số trang nên sách giáo khoa không trình bày đầy

đủ các dạng bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi và lời giải của các ví dụ mặc dù được trình bày chi tiết nhưng lại không có sự phân tích để học sinh nhận biết, thông hiểu từng định nghĩa hoặc đơn vị kiến thức Đồng thời, học sinh không được cung cấp thêm ví dụ minh họa để hiểu rõ bản chất của khái niệm toán học hoặc đơn vị kiến thức đó.

Giáo viên thường sử dụng các ví dụ và bài tập tự luận trong giảng dạy lý thuyết Sau khi làm xong ví dụ hoặc bài tập thì học sinh không được cung cấp bài tập

tự luyện để có “cơ hội” thực hành Hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan chưa được xây dựng đủ ở các bốn mức độ và còn nằm rải rác trong các sách tham khảo, được giảng dạy tách rời với phần tự luận Điều này vừa mất nhiều thời gian vừa hạn chế việc rèn kỹ năng làm bài tập tự luận, câu hỏi trắc nghiệm cho học sinh.

Giáo viên sử dụng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan trong tiết ôn tập, tiết

tự chọn hoặc học thêm buổi chiều và câu hỏi được xây dựng thành chủ đề nhưng các câu hỏi lại rời rạc, riêng lẻ, ít liên quan đến nhau và không thành hệ thống Cách làm này có ưu điểm là học sinh được tập trung rèn luyện kỹ năng làm bài trắc nghiệm và dễ nhận dạng các câu hỏi trắc nghiệm khách quan Học sinh giải được bài nào chỉ biết bài đó chứ chưa biết cách đặt vấn đề khai thác hoặc phát triển bài toán hoặc tìm ra bài toán “họ hàng” Do đó, học sinh sẽ khó hình dung các yêu cầu

sẽ được đặt ra trước những thông tin, dữ liệu cho trước.

2 Giải pháp mới cải tiến

Trên cơ sở kết quả lấy phiếu điều tra đối với giáo viên, cũng như đánh giá những ưu điểm và hạn chế của giải pháp cũ thường làm, tôi xây dựng tài liệu dạy học nội dung Bất đẳng thức trong chương trình Đại số 10 với những cải tiến như sau:

Giải pháp 1: Thiết kế nội dung kiến thức.

Kiến thức được thiết kế như tiến trình trong sách giáo khoa để giáo viên, học sinh tiện theo dõi, có bổ sung và hệ thống lại bảy phương pháp, kỹ thuật chứng minh bất đẳng thức thường gặp trong các kỳ thi Mỗi phương pháp, kỹ thuật chúng tôi trình bày ba phần: Nội dung phương pháp, Ví dụ tự luận điển hình và Câu hỏi trắc nghiệm khách quan.

Giải pháp 2: Thiết kế phần ví dụ tự luận điển hình.

Ngoài việc trình bày các kiến thức đã có trong sách giáo khoa (không trình bày lại cách chứng minh các định lý), thì còn bổ sung một số kiến thức cập nhật cho thi THPT Quốc gia hiện nay Ứng với mỗi phương pháp chứng minh bất đẳng

Trang 3

thức đều có những ví dụ minh họa, phân tích hoặc nhận xét, bình luận hoặc lời giải được trình bày bằng nhiều cách có thể để học sinh hiểu rõ bản chất của phương pháp hoặc cách tiếp cận vấn đề Bên cạnh đó, sau mỗi ví dụ tự luận điển hình, chúng tôi có giới thiệu thêm bài tập tự luyện để học sinh có “cơ hội” thực hành ngay mà không cần mất nhiều thời gian tìm kiếm trong các tài liệu tham khảo.

Giải pháp 3: Thiết kế hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan.

Trên cơ sở chuẩn kiến thức, kỹ năng về bất đẳng thức, kinh nghiệm giảng dạy ôn thi các kỳ thi, chúng tôi xây dựng hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo từng phương pháp chứng minh bất đẳng thức Việc xây dựng được hệ thống câu hỏi trắc nghiệm khách quan theo từng phương pháp chứng minh bất đẳng thức một mặt vừa giúp giáo viên có tư liệu dạy học vừa giúp học sinh có tài liệu luyện tập Bên cạnh đó, chúng tôi còn liên hệ đến một số vấn đề liên quan như giải phương trình, hệ phương trình hoặc các bài toán có chứa tham số liên quan đến điều kiện có nghiệm của phương trình, hệ phương trình.

kinh tế

Thứ nhất, xét về mặt thời gian Để biên soạn hệ thống câu hỏi và bài tập cho

một chủ đề hoặc một chuyên đề dạy học, luyện thi thì giáo viên sẽ phải mất rất nhiều thời gian tìm kiếm, biên tập lại từ các tài liệu trên internet và các sách tham khảo cho phù hợp với yêu cầu về chuẩn kiến thức, kỹ năng và năng lực học sinh Học sinh có nhu cầu tìm kiếm bài tập để tự luyện thì cũng phải tìm kiếm trong nhiều tài liệu rồi hệ thống lại.

Các sách tham khảo (có liên quan đến chủ đề bất đẳng thức ở lớp 10) tính đến thời điểm tác giả viết sáng kiến thì các ví dụ và bài tập chủ yếu ở dạng tự luận.

Vì vậy, để xây dựng được hệ thống câu hỏi và bài tập trắc nghiệm khách quan cho chủ đề bất đẳng thức thì cần phải đầu tư thời gian để xây dựng các phương án nhiễu.

Như vậy, để có một hệ thống câu hỏi và bài tập về bất đẳng thức bao gồm cả

tự luận và trắc nghiệm khách quan thì đỏi hỏi mất nhiều thời gian tìm kiếm và sắp xếp, trong khi đó, với sáng kiến này, giáo viên và học sinh có thể sử dụng ngay để giảng dạy, ôn tập cũng như luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia Nếu cần thì giáo viên có thể bổ sung hàng năm để có được tài liệu đa dạng, phong phú về bài tập cho riêng mình hoặc phù hợp với đối tượng học sinh của từng lớp giảng dạy.

Thứ hai, xét về mặt tài chính Để viết nên tài liệu này, không kể tài liệu giáo

khoa (học sinh và giáo viên nào cũng có), không kể rất nhiều giờ truy cập internet,

và nhiều giờ để sáng tác các bài toán, tác giả đã phải đọc một số đầu sách tham

Trang 4

khảo Trong khi với tài liệu này, giáo viên chỉ cần in hoặc in sao tài liệu này với giá không quá 15.000 đồng.

2 Hiệu quả xã hội

Ngay sau khi văn bản số 4818/BGDĐT-KTKĐCLGD ngày 28/09/2016 về việc Tổ chức Kỳ thi THPT quốc gia và tuyển sinh ĐH, CĐ hệ chính quy năm 2017 được Bộ GDĐT ban hành, trong đó có nội dung bài thi môn Toán thi theo hình thức trắc nghiệm khách quan, đề thi có 50 câu hỏi và từ năm 2019 trở đi, nội dung thi nằm trong Chương trình cấp THPT, các tác giả đã tiến hành xây dựng tài liệu này và hoàn thiện dần qua các năm học Nội dung tài liệu đã được các thầy, cô trong trường sử dụng để giảng dạy chính khóa cũng như trong ôn luyện thi Trung học phổ thông Quốc gia, bồi dưỡng học sinh giỏi và bước đầu đã cho thấy tính khả thi và phổ dụng của sáng kiến.

Nhiều học sinh đã sử dụng tài liệu này để tự học, tất nhiên cần có sự hướng dẫn của giáo viên và đã đạt được thành tích cao trong học tập Điều này cho thấy, nếu sáng kiến tiếp tục được hoàn thiện, bổ sung thì sẽ là tài liệu bổ ích để học sinh

tự học Từ đó, tạo được hứng thú, sự tự tin trong học tập, góp phần bồi dưỡng năng lực tự học và nâng cao chất lượng, hiệu quả học tập của học sinh.

IV ĐIỀU KIỆN VÀ KHẢ NĂNG ÁP DỤNG

1 Điều kiện áp dụng

Sáng kiến này đã được các tác giả triển khai thực hiện từ năm học 2017 –

2018 tại nhà trường và được hoàn thiện dần qua các năm học Qua thực nghiệm và tiến hành áp dụng trong hai năm học vừa qua, kết quả tài liệu rất hữu ích trong công tác giảng dạy của giáo viên và công tác ôn tập của học sinh Đồng thời, chất lượng giảng dạy và học tập nội dung bất đẳng thức được nâng lên đáng kể, đặc biệt

là tạo được hứng thú và góp phần bồi dưỡng năng lực tự học, tự nghiên cứu cho học sinh ở các lớp mũi nhọn Vì vậy, sáng kiến có thể áp dụng cho các trường THPT trên địa bàn tỉnh và toàn quốc.

2 Khả năng áp dụng

Sáng kiến là tài liệu tham khảo hữu ích cho giáo viên, học sinh và được áp dụng trong giảng dạy ở các trường THPT Tài liệu này được các đồng nghiệp trong trường cũng như trên địa bàn huyện đánh giá cao về chất lượng nội dung, phương pháp và mục tiêu dạy học.

Danh sách những người tham gia áp dụng sáng kiến lần đầu (tất cả giáo viên đều công tác tại trường THPT Gia Viễn B):

Trình độ chuyên Chức danh

môn

Trang 5

2 Đào Thị Nụ Giáo viên Cử nhân

Chúng tôi xin cam đoan mọi thông tin nêu trong đơn là trung thực, đúng sự thật và hoàn toàn chịu trách nhiệm trước pháp luật./.

Nguyễn Tiên Tiến Hoàng Thị Năm Phùng Thị Hằng

Trang 6

2 Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất Định nghĩa:

Cho f là biểu thức chứa biến (chứa một biến hoặc nhiều biến) và biến số thỏa mãn điều

kiện T

a) Số M được gọi là giá trị lớn nhất của biểu thức f , viết là M  max f , nếu:

(1) f  M với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T

(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho f  M

b) Số m được gọi là giá trị nhỏ nhất của biểu thức f , viết là m  min f , nếu:

(1) f  m với mọi giá trị của biến thỏa mãn điều kiện T

(2) Tồn tại bộ giá trị của các biến số thỏa mãn điều kiện T sao cho f  m

Đặc biệt, nếu hàm số y  f x đạt giá trị lớn nhất M trên tập D thì ta ký hiệu

M  max f x hoặc M  max f x ; nếu hàm số y  f x đạt giá trị nhỏ nhất m trên tập D

thì ta ký hiệu m  min f x hoặc m  min f x.

Nhận xét

Để tìm giá trị lớn nhất (tương tự đối với giá trị nhỏ nhất) của biểu thức f , ta có thể trình

bày lời giải theo các bước dưới đây:

- Bước 1: Chứng minh với mọi giá trị của biến số thỏa mãn điều kiện T , ta đều có f  M ,

trong đó M là một hằng số không phụ thuộc vào các biến của f

- Bước 2: Chứng minh hoặc chỉ ra tồn tại bộ giá trị của biến (không nhất

thiết phải tìm ra tất cả) thỏa mãn điều kiện T sao cho f  M

- Bước 3: Kết luận max f  M

II Các tính chất cơ bản của bất đẳng thức

Trong khi chứng minh bất đẳng thức hoặc tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của biểu thức, chúng ta thường sử dụng các tính chất cơ bản sau đây của bất đẳng thức:

Trang 7

Đẳng thức xảy ra ở (1) khi ab  0 ; đẳng thức xảy ra ở (2) khi ab  0

Có nhiều phương pháp, kỹ thuật để chứng minh bất đẳng thức Trong phần này, chúng tôi chỉ trình bày một số phương pháp, kỹ thuật thông dụng để chứng minh bất đẳng

thức thường gặp trong các kỳ thi

như thi học kỳ, thi học sinh giỏi cấp tỉnh, thi Trung học phổ thông quốc gia Đó là các phương pháp và kỹ thuật:

(1): Sử dụng biến đổi tương đương hoặc các bất đẳng thức đã biết;

Với mỗi phương pháp, chúng tôi trình bày thống nhất ba phần:

- Nội dung phương pháp: Phần này chúng tôi trình bày nội dung cơ bản của phương pháp đó bằng cách

trực quan, dễ hiểu nhất với mọi đối tượng học sinh.

- Ví dụ tự luận điển hình: Phần này chúng tôi lựa chọn các ví dụ minh họa điển hình cho phương pháp đó, mặc dù có thể vẫn trình bày theo một cách khác Mỗi ví dụ đều có

sự phân tích để tìm ra lời giải

hoặc làm rõ bản chất của phương pháp trong lời giải

- Câu hỏi trắc nghiệm khách quan: Phần này chúng tôi xây dựng các ví dụ trắc nghiệm khách quan mà

lời giải của nó phải sử dụng đến phương pháp đang đề cập Với mỗi ví dụ, chúng tôi có đề cập đến các câu hỏi trắc nghiệm khách quan có liên quan nhằm giúp các emhọc sinh có cái nhìn rõ nét hơn về việc xây dựng câu hỏi trắc nghiệm khách quan

I Sử dụng biến đổi tương đương và các bất đẳng thức đúng đã biết 1.1 Nội dung phương pháp

Để chứng minh bất đẳng thức A  B theo hướng này, chúng ta có thể làm theo một trong các cách sau đây:

- Cách 1: Lập hiệu A  B Sử dụng biến đổi tương đương, các tính chất cơ bản của bất đẳng thức và các kết quả đã biết để chỉ ra A  B  0

- Cách 2: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh giá vế trái để được A  B

- Cách 3: Bằng kiến thức đã biết và các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta đánh giá vế phải để được B  A

Trang 8

Chứng minh bất đẳng thức theo các cách nêu trên, ngoài việc có thể phải sử dụng đến các tính chất cơ bản của bất đẳng thức, chúng ta thường sử dụng thêm các kết quả sau:

Trang 9

Nguyễn Tiên Tiến, Hoàng Thị Năm, Phùng Thị Hằng, trường THPT Gia Viễn B Trang 3/46

Trang 10

1) Trong lời giải trên, chúng ta đã tiến hành theo ba bước, đó là:

Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số xác định.

Bước 2: Từ điều kiện xác định của hàm số, chúng ta chỉ ra được y  0

Bước 3: Biến đổi và đánh giá biểu thức y2 Suy ra đánh giá y  2 và kết luận về giá trị nhỏ nhất.

2) Từ bất đẳng thức thức y2 2 ta suy ra được y   2 hoặc y  2 Nhưng vì chúng ta đã chỉ rađược y  0 nên y 2 và lúc này chúng ta có ngay giá trị nhỏ nhất Còn nếu chúng

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức g  x  

Trang 12

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  1 /.

3

Lời bàn

1) Trong lời giải trên, để giải ý b) chúng ta đã sử dụng kết quả của ý a) Vậy nếu không gợi ý ở ý a) thì chúng ta tìm ra bất đẳng thức phụ bằng cách nào? Suy nghĩ để

tìm ra câu trả lời như sau:

Thứ nhất, mỗi số hạng ở vế trái là biểu thức một biến, vì vậy chúng ta tìm cách đánh giá từng số hạng

đó nhỏ hơn hoặc bằng biểu thức một biến rồi cộng vế theo vế và sử dụng giả thiết để chỉ ra điều phải chứng minh.

Thứ hai, giả thiết của bài toán là a  b  c  1 (các biến số a , b , c có bậc một, độc lập với nhau) nên cần

Kỹ thuật nói trên đây được coi là kỹ thuật hệ số bất định

bằng phương pháp tiếp tuyến như sau: Trước hết, chúng ta dự đoán xem đẳng thức xảy ra khi nào?

Chúng ta dự đoán được a  b  c  1 Với a  1 thì a  3 Sau đó, chúng ta viết phương trình

Trang 13

1.3 Câu hỏi trắc nghiệm khách quan

Câu 1.1 Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số y  x3  7x2  11x  2 trên đoạn 0; 2 

Lời giải

Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)

Giá trị của m ở phương án C là nhỏ nhất nên ta kiểm tra phương án này trước.

27

3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x 3  3 x 2  9 x  2 trên đoạn 0; 4

Cách 1: (Kiểm tra từng phương án đến khi tìm được phương án đúng)

Trước hết chúng ta kiểm tra đối với giá trị nhỏ nhất (vì đang cần tìm giá trị nhỏ nhất) trong bốn số cho trong bốn phương án

- Kiểm tra phương án B:

Trang 14

Đối chiếu với điều kiện ban đầu thì x  3 Thay vào phương trình thấy thỏa mãn Vậy giá trị nhỏ nhất của hàm số bằng 6

Cách 2: (Đánh giá dựa vào kết quả đã biết)

35

Trang 16

4 Cho các số thực không âm x , y

3 Cho x , y là hai số thực biến thiên và m là tham số. Biết rằng biểu thức

F   x  2 y  1  2   2 x  my  52 đạt giá trị nhỏ nhất là một số dương khi x , y thỏa mãn điều kiện

10 x  ay  b  0 Giá trị của P  a  2b  3m bằng:

4 Cho x , y là hai số thực biến thiên và m là tham số Biết rằng biểu thức E  x  2 y  1  2 x  my  5

Trang 18

II Sử dụng bất đẳng thức Cô-si(Augustin-Louis Cauchy, 1789 – 1857, nhà toán học người Pháp)

2.1 Nội dung phương pháp

(1) Với hai số không âm a , b bất kỳ, ta luôn có:

d) Tìm giá trị nhỏ nhất của p x  x 

3

với x  2 4x 

Trang 19

Về hình thức thì các biểu thức tương tự như nhau nhưng để tìm được giá trị

nhỏ nhất của các biểu thức đó thì chúng ta quan tâm đến điều kiện của biến số và mục tiêu tìm giá trị nhỏ nhất hay nói cách khác là phải chọn đúng điểm rơi Cụ thể cả bốn

(nhằm khi đánh giá thì vế phải không còn biến số).

3) Việc đánh giá p  x   m4 chúng ta cũng không thể áp dụng ngay bất đẳng thức Cô-si mà cần có sự

Trang 20

chúng ta viết lại biểu thức p  x thành 4 p  x   4 x  7 

Trang 21

Câu 2.1 Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số

Trang 23

Trong 4 giá trị cho trong các phương án thì m  3 là giá trị nhỏ nhất nên ta kiểm tra giá trị này trước.

Trang 25

Câu 2.2 Tính giá trị nhỏ nhất của hàm số y  3x

Trang 27

1 Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn xy  x 2  y Giá trị nhỏ nhất của biểu thức P  x  y là

A một số hữu tỷ dương nhỏ hơn 5 B một số vô tỷ lớn hơn 5.

2 Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn xy  x 2  y Biểu thức P  x  y đạt giá trị nhỏ nhất bằng

 , trong đó a , b là các số thực dương Giá trị của a  b bằng

3 Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn xy  x 2  y Biểu thức P  x  y đạt giá trị nhỏ nhất khi

x; y   x0 ; y0  Giá trị của 3x0  y0 là

Khi học về hàm số lôgarit (Giải tích lớp 12) thì bài toán này có thể được phát biểu

dưới một hình thức khác có phần phức tạp hơn nhưng bản chất vấn đề thì không có gì thay đổi Chẳng hạn:

4 Cho x , y là các số thực dương thỏa mãn ln x  ln y  ln  x 2  y  Tìm giá trị nhỏ nhất min P của biểu thức P  x  y

A min P  6 B min P  2 2  3. C min P  2  3 2. D min P  17  3.

Câu 2.5 Cho các số thực dương x, y thỏa mãn x  2 y  3xy  3 Tìm giá trị nhỏ nhất Pmin của

Trang 29

Bài tập tự luyện

1 Cho x là số thực thay đổi và luôn thuộc khoảng

 0;

Câu 2.6 Cho a , b , c là các số thực dương thỏa mãn ab  2bc  2ca  7 Tìm giá trị nhỏ nhất

min Q của biểu thức Q 

22 C min Q  2 D min Q  1.

Trang 30

A S 19.

n

III Sử dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki(Viktor Yakovlevich Bunyakovsky, 1804 – 1889, nhà toán học người Nga)

3.1 Nội dung phương pháp

Trang 31

Nhận xét: Bất đẳng thức này cũng là một dạng bất đẳng thức hình học Cụ thể trong mặt phẳng tọa độ Oxy , nếu xét hai vectơ u   a;b  và v   x; y  thì do ta luôn có u.v

 u v nên

ax  by   a 2  b 2  x 2  y2  (2) Với sáu số a, b, c, x, y, z tùy ý, ta luôn có axbycz2a2b2c2x2y2z2

Dấu bằng xảy ra khi ay  bx; az  cx hoặc

3

trả lời là ở chỗ khi áp dụng bất đẳng thức nào thì cần phải quan sát hình thức, bản chất của bất đẳng

thức đó Cụ thể, vì mẫu thức có x 2  3  x2   3  2 nên muốn áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xky

thì cần phải làm xuất hiện x và 3 như đã phân tích trong lời giải

áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-côp-xky.

Trang 32

1 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A 

Trang 33

1) Trong ý a) chúng ta có thể áp dụng được cả hai bất đẳng thức Cô-si và Bu-nhi-a-cốp-xki để giải thì

trong ý b) việc sử dụng bất đẳng thức Cô-si sẽ gặp nhiều khó khăn vì rất khó để chọn điểm rơi (tức là

điều kiện để dấu bằng xảy ra) Tuy nhiên, nếu để nguyên biểu thức A  2 x  5  4  3x và áp dụng

bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki thì không khử được biến x Do đó, chúng ta cần biến đổi để hệ số của biến x trong hai số hạng phải đối nhau Có hai cách để làm điều này, đó là đặt hệ số của biến x làm nhân

tử chung trong từng số hạng (như lời giải trên) hoặc nhân và chia mỗi số hạng cho một số nào đó,

Trang 34

b) Cho các số thực x, y thỏa mãn x  2 y  2z  5  0 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

Trang 35

a) A  a 2  b 2  4 a  6b 13 b) a 2  3b 2  4 a  18b 10

2 Cho các số thực a,b,c thỏa mãn a 2  4b 2  9c 2  2 a  16b  18c  21  0 Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức S  2 a  4b  9 c 11

Câu 3.1 Gọi M , m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số y  x  4  x2

Khi đó, giá trị của M  m bằng

Trang 36

 a ; b  Khi đó, ta có các kết quả sau đây:

+) Bất phương trình f x   k có nghiệm thuộc đoạn a ; b khi và chỉ khi M  k

Trang 37

quả nói trên thì chúng ta hoàn toàn giải được các bài toán sau đây:

1 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để phương trình 3 x  2  3  2x  m có nghiệm.

Trang 38

2 Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình 3 x  2  3  2x  m có nghiệm.

3 Tìm tất cả các giá trị của m để bất phương trình 3 x  2  3  2x  m nghiệm đúng với mọi

Định dạng
Số trang	76
Dung lượng	1,31 MB