BÀI 1. Dựa vào định lý Virian. Hãy tính năng lượng của dao động tử phi điều hòa có thể năng Ut =ax4BÀI 2. Coi các dao động của nguyên tử của vật rắn là phi điều hòa có thế năng a)Tìm năng lượng trung bình của năng lượng nói trên.b)Tìm nhiệt dung riêng CvCâu 4: Tìm nhiệt dung riêng tự do của 1 mol khí có chuyển động tương đối tính ứng với xung lượng E=cp (Với c=3.108ms, P là xung lượng).Câu 5: Đặt 1 bình khí N hạt vào một trường thế có dạng . Trong đó là góc hợp bởi trục của phân tử và phương của trường. a) Tính tích phân trạng tháib) Tính năng lượng trung bìnhc) Tính nhiệt dung riêng
Trang 1BÀI TẬP VẬT LÍ THỐNG KÊ TUẦN 10
Ý nghĩa của nhiệt dung riêng C v?
Ý nghĩa của nhiệt dung riêng
- Sự biến thiên của nhiệt độ lớn thì không có nhiệt dung riêng Khi nhiệt dung riêng lớn thì sự biến thiên của nhiệt độ nhỏ và nhiệt lượng cung cấp phải lớn
Nhiệt dung riêng cũng là khả năng tích trữ năng lượng
- Khi thể tích không đổi -> áp suất không đổi -> CV là hằng số
- Các môi trường và vật chất khác nhau
CV khác nhau
- Nội năng Uc.rắn khác Uc.khí
- Nhiệt dung riêng phụ thuộc vào bản chất của chất khí, áp suất và nhiệt độ của chất môi giới
- Thông thường có thể bỏ qua sự phụ thuộc của nhiệt dung riêng vào áp suất ở các
áp suất không quá lớn
- Nhiệt dung riêng đẳng áp (Cp, C'p, Cμp): khi sự thay đổi nhiệt độ xảy ra trong điều kiện áp suất không thay đổi
- Nhiệt dung riêng đẳng tích (CV, C'V, CμV): khi sự thay đổi nhiệt độ xảy ra trong điều kiện thể tích không thay đổi
BÀI 1 Dựa vào định lý Virian Hãy tính năng lượng của dao động tử phi điều hòa
có thể năng Ut =ax4
Giải
2
4 2
P
m
Với
4
t
U = ax
Theo định lý về sự phân bố đều động năng.
2 1
đb
P
m
Tính
4
ax
theo định lý Virian
Trang 21 1
H
q
∂ =
∂
Với qk = x
4
2
3
(1)
2
4
b k
t
ax ax
H
q
P
m
a
H
x
k T k T
∂
∂
∂
∂
Vậy năng lượng của dao động điều hòa cần tìm có giá trị là
E E = + U = k T + k T = k T
BÀI 2 Coi các dao động của nguyên tử của vật rắn là phi điều hòa có thế năng
t
U = α x − β x
a) Tìm năng lượng trung bình của năng lượng nói trên.
b) Tìm nhiệt dung riêng Cv
GIẢI
a) Tìm năng lượng trung bình của năng lượng nói trên.
đt
Trang 3Theo định lý về sự phân bố đều động năng.
2 1
đb
P
m
Vậy
E H = = k T + α x − β x = k T + α x − β x
Tính các giá trị
2, 4
α β
theo định lý Virian
3
1 2
2 1
2 2
k
b b
b
H
q
∂ =
∂
Dựa vào hàm phân bố Boltzmann, ta có: ( )
t b
U
k T
−
=
x x
k T
ω
Trang 42 4
2
2 4
( )
2
U
đ t
x x d x B x e dx B x e e dx
P
m
= + = + −
4
4
1
b
t
x
k T
b
x e
k T
β
β
=> <<
=> ≈ +
2
4
x
k T b
x
k T
α β
− +∞
−∞
∫
Sử dụng công thức Possion:
2
2
(2 1)!!
.
2
n x
n
α
+∞
−
+
−∞
−
Giai thừa kép:
≥
⇔
−
≤
⇔
=
2
! )!
2 (
1 1
!
n n
n
n n
Trang 54
4
.
.
b
b
b
k T
k T
k T x
β
⇔
4
4
b
b
B
k T
k T
β
β
Từ điều kiện chuẩn hóa:
2
4
4
1
b
x
k T
b
b
x
k T
B e dx x e dx
k T
α
β ω
β
−
= ⇒ + ÷ =
Sử dụng công thức Possion:
2
x
e α dx π
α
+∞
−
−∞
=
∫
Trang 65
1
3
4
3 4
b
b
B
k T
B
k T
β
β
=> ÷ + ÷ =
Thế vào (*), ta có:
4
4
5
4
3 4
1
b
b
b
b b
k T
k T x
k T
k T x
k T
β
β
β
β
β
β
π α
4
4
4
3 1 4
1
3 1 4
b b
b b b
k T
k T
k T x
k T
k T
β π
α β
β
β
β
α
Vì:
2 4
1
3
4
b
k T x
β
α
β β
α
<<
=> <<
=> = ÷
Trang 7Vậy năng lượng trung bình của hệ:
4
2
2
3 4
b
b b
k T
E k T
β β α
<=> = +
<=> = + ÷
b) Tìm nhiệt dung riêng Cv
Nhiệt dung riêng v
v
T
C ∂ U
= ∂ ÷
Nội năng của vật rắn:
+
=
=
2 .
4
3 3
3
α
β k T T
k N E
N
b
2
2
2
9 3
α
N Nk
b
V = +
⇒
BÀI 3 Tính xung lượng trung bình
2
, ,
x
P P P
của khối khí lý tưởng.
Áp dụng hàm phân bố Maxwell:
Trang 82
( )
.
B
p
mK T
x y z
dXp dp dp dp
ω
−
=
=
Từ điều kiện chuẩn hóa:
1
2
2
=
X
T
mk
p
dX
dp p d
dp
p
dXp = 2 sin θ ϕ = 4 π 2
2
dp e
p
B
1 2
2
2
−
−
=
⇔ ∫ p e mk Tdp A
p
B
Sử dụng công thức Poat-xong:
1 2
2
2
! )!
1 2 (
2
+
−
+∞
∞
−
−
=
x
dx
e
x
α
3 1
3 1
1
) 2
.(
2
1
) 2
.(
2
! )!
1 1 2
(
T mk A
T mk A
B
B
π
π
=
⇔
−
=
⇒
−
−
Trang 9Tính
?
=
x
p
∫ −
p x
x A p e dp
x
2
2
Sử dụng công thức Poat-xoong:
1 1
+ +∞
∞
−
−
x
dx e
x
α
α
) 2
!.(
0
) 2
(
2
T mk
B
x
π
=
⇒
T mk
p
B
x π
2
=
⇔
Tính p=?
= A p e dp
p
B
x
2 3 2
Sử dụng công thức Poat-xoong:
1 2
1
+
−
+∞
∞
−
x
dx e
x
α
α
Trang 10π
2
4
2 1
! 1
) 2
(
2
2 3
T mk p
T mk
T mk
p
B
B B
=
⇔
=
Tính p2 = ?
= A p e dp
p
B
2 4 2
2
Sử dụng công thức Poat-xoong
1 2
2
! )!
1 2 (
2
+
=
+∞
∞
−
−
=
x
dx e
x
α
π
α
T mk T
mk
T mk
B B
B
3 2
4
3 ) 2
( 2 2
1
4
! 3 ) 2
(
3 5
3
=
π
π π
Câu 4: Tìm nhiệt dung riêng tự do của 1 mol khí có chuyển động tương
đối tính ứng với xung lượng E=cp (Với c=3.108m/s, P là xung lượng).
Giải:
Khí chuyển động tương đối tính Hàm Hamiltonian của hệ: H = E = cp Tích phân trạng thái:
p T k cp
V
q X
H
dX e
dX dX
e
Z = 3 ∫ − = 3 ∫ ∫ − B
) 2 (
1
)
2
(
1
Trang 11Mà: ∫ dXq = ∫ dq = V
là thể tích của hệ.
dp p d
d dp
p
dXp = 2 sin θ θ ϕ = 4 π 2
dp e
p V
Z
dX e
V Z
T k cp
p T k cp
B
B
∫
∫
−
−
=
⇒
=
⇒
) ( 2 3
3
4 ) 2
(
1
) 2
(
1
π π
π
Áp dụng công thức Possion:
1
!
+∞
∞
−
x
dx e
x
α
α
3 3
=
=
−
c
T k T
k c
dp e
B
T k
cp
B
3
3 8 )
2
(
1
=
⇒
c
T k V
π
Do
Trang 12Z T
k T
Z T
k Z T k Z T k
U
T
Z T
k Z k
Z T k T T
S
Z F
TS
U
B B
B B
B B
B V
∂
∂
=
∂
∂ +
+
−
=
⇒
∂
∂ +
=
−
∂
∂
−
=
∂
∂
−
=
−
=
=
+
=
) (ln )
(ln ln
ln
) (ln ln
) ln (
ln
2 2
ψ
θ
ψ
ψ
=
⇒
3
3 8 )
2 (
1 ln
ln
c
T k V
π
T c
k V
) 2 (
1 ln
ln
3
=
π
T k T
T k Z T T
k
∂
∂
=
Nhiệt dung riêng
B V
T
U
∂
∂
=
Với hệ N hạt ta có U = 3N.kBT => Cv = 3kBN = 3R
Câu 5: Đặt 1 bình khí N hạt vào một trường thế có dạng Ut = − α cos ϕ
Trong đó ϕ
là góc hợp bởi trục của phân tử và phương của trường
a) Tính tích phân trạng thái
b) Tính năng lượng trung bình
c) Tính nhiệt dung riêng
Trang 13a/ Tính tích phân trạng thái.
Hàm Haminltonian của hệ:
ϕ
αcos 2
2
2 2
−
= +
=
m
P U
m
P
Tích phân trạng thái của hệ:
dX e
e N
dX
e N
Z
X
m P
X
H
θ ϕ α
θ θ
cos 2
.
!
1
!
∫
=
2 1
cos 2
!
1
!
I I dX
e N
dX
e N
P
+
= +
=
ϕ
α θ
Tính:
p m
P
dX e
N
I = ∫ −2 θ
1
2
!
1
Trong đó:
dP P d
d dP
P
dXp = 2 sin θ θ ϕ = 4 π 2
=
N
P
θ
1
2 4
!
1
Áp dụng tích phân Poat-xoong:
2
2
(2 1)!!
.
2
n x
n
α
+∞
−
+
−∞
−
Trang 142
1
!
1
T mk N
⇒
Tính:
q
dX e
N
ϕ
α cos 2
!
1
Trong đó: dXq = dxdydz = r2dr sin ϕ d ϕ d θ
=
⇒
0 0
cos cos
2 2
cos
!
1 sin
!
1 sin
!
1
ϕ ϕ θ
ϕ ϕ θ
ϕ
ϕ α θ
ϕ α θ
ϕ α
d e
N d
d e
dr r N d
d dr
r e
N
I
+
=
⇔
+
=
⇔
+
= +
=
ϕ ϕ π
ϕ ϕ π
θ
ϕ α
θ
ϕ α
θ ϕ
α θ
d e
T
mk N
Z
d
e N
T
mk N
Z
I I dX
e N
dX
e N
Z
B B
q p
m P
sin )
2 (
2
1
! 1
sin
!
1 )
2 (
2
1
! 1
!
1
! 1
cos 3
cos 3
2 1
cos 2
2
b/ Tính năng lượng trung bình.
Năng lượng trung bình
ϕ
α cos 2
2
2 2
−
= +
=
=
m
P U m
P
H
Dựa vào sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do
Trang 15K
m
P
B
2
1
2
2
=
Hàm Boltzoman:
cos
2 cos
cos
2
cos 2
cos
( )
.sin ( , , )
( ) sin
t
B
B
B
B
U
K T
K T
K T
K T
π
ω
ϕ ϕ θ ω
−
+∞
=
=
=
=
Tính B?
Ta có: cos ϕ = ∫ cos ϕ d ω ( ϕ )
Năng lượng trung bình:
2
os os
0
1
os
( ) sin
1
.sin
B
B
c
K T c
K T
P
m
B
α ϕ
α ϕ
π
ϕ ϕ
=
Trang 16
−
=
=
=
=
⇔
=
−
=
⇔
=
−
=
⇒
=
−
−
x B
T
K
x
B B
B
e
B
x
x
d dx
x
α α
α α
α α
ϕ
π
ϕ
ϕ ϕ ϕ
1
1
1
1
1
1 0
1
sin cos
ϕ ϕ
α ϕ
ω
ϕ α α
e e
T K
T K T
K B
B
B B
sin
1 )
(
cos
−
=
−
dx e
x B
d e
e e
T K d
T K x
T K T
K T
K B
B
B
B B
α
ϕ α
α α
ϕ
ϕ ϕ
α ϕ ϕ
ω ϕ ϕ
∫
∫
∫
−
−
=
⇔
−
=
=
⇒
1 1
cos
cos
sin
1 cos
) ( cos
cos
Đặt:
=
⇔
=
=
⇔
=
T K
x B
T
K
x
B
e
dv
dx du
x
u
α α
α
Trang 17−
−
−
=
1
1 1
cos Bx K T e B K T eK Tdx
x B T
K
x
α α
α α
ϕ
Năng lượng trung bình:
−
=
T K
g T
K
H
B B
α
α cot 2
3
c/ Tính nhiệt dung riêng
V
V
T
U
∂
∂
=
ln
(ln )
V
z
ψ
ψ
= +
= = −
+
=
⇒
+
∂
∂
=
⇒
ϕ ϕ π
π
ϕ ϕ π
θ
ϕ α
θ
ϕ α
d e
N T
mk N
T mk N
T K
U
d e
N T
mk N
T T K
U
B
B B
B B
sin
!
1 )
2 ( 2
1
! 1
) 2
( 4
3
! 1
sin
!
1 )
2 ( 2
1
!
1 ln
cos 3
2
cos 3
2
V
V
T
U
∂
∂
=