Bài tập vật lí thống kê

Bài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kêBài tập vật lí thống kê

Câu 1: Hãy chứng minh rằng thể tích không gian pha K của khí lý tưởng gồm N hạt có

khối lượng m đựng trong bình có thể tích V và có năng lượng toàn phần E bằng :

( )32 32

ons 2

N N N

Γ =

Giải

1 2

( )

q

N

X

1

2

m

Để tính

Γp

ta có thể quan niệm một cách đơn giản như là nguyên tố tầng cầu cấu

tạo bởi các mặt cầu (mặt siêu diện năng lượng) có bán kính

p→ +p dp

trong không gian 3N chiều

( )

3 1 2

3

3 3 2 2

4

3

2 2

ons 2

π

−

−

⇒ Γ

⇒ Γ = Γ Γ =

:

p

N p

N p

N N N

q p

m

mE mE

c t V m E

Câu 2: Viết biểu thức entropi của khí Van de Vanxơ có N phân tử chiếm thể tích V, ở

nhiệt độ T

Giải:

Tích phân trạng thái đối với khí thực:

2 1 2

lt

N

Z Z

V β

Năng lượng tự do

ln ; Z (2 )

!

N N lt

N

π θ

2 2 2

2 0

0

β

V0: thể tích một phân tử

2

th lt

Ψ = Ψ −  − ÷

a, b là các hằng số không phụ thuộc vào p, T mà chỉ phụ thuộc vào từng loại chất khí Entropi:

2

th

V

kN b

∂Ψ

= − ÷ = −

∂

0 0

lt

S = kN V + kN T S + S = kN π km + kN kN − N

Câu 3: Hãy tính độ cao trung bình của cột không khí ở trên mặt đất(ở 0

o

C) Biết phân tử lượng của không khí là 29, lấy g=9,8m/s2, k=1,38.10-23J/K

Giải:

Áp dụng phân bố Boltzmann trong trường lực:

U

-kT

dW B dxdydz

dxdydz

∫∫∫

0

0

( )

mgz

zexp

-kT mgz

exp

-kT

7,85

z zdW z

dz z

dz

z km

∞

∞

=

=

≈

∫

∫

∫

Câu 4: Sử dụng định lý về sự phân bố đều động năng theo các bậc tự do và định lý Virian

hãy tính năng lượng trung bình của dao động tử điều hòa tuyến tính chuyển động dưới tác dụng của lực chuẩn đàn hồi − kq

ở nhiệt độ T Trong đó q là tọa độ suy rộng

Giải

2 2

2 2

;

H

m

kq

m

Câu 5: Tính năng lượng trung bình của dao động tử có thế năng

4

ax

U =

ở nhiệt độ T theo định lý Virian Với a là hệ số tỉ lệ, k là hằng số Boltzmann và gọi m là khối lượng của dao tử

Giải

Năng lượng của dao động tử có thể viết dưới dạng

2

ax ;

p

m

4

4

E kT kT

Câu 6: Sử dụng định lý Virian, tìm năng lượng trung bình của hạt chuyển động trong

trường lực có thế năng

2n

( )

U q =αq

ở nhiệt độ T, với n là số tự nhiên, α là hệ số tỉ lệ, k là hằng số Boltzmann

Giải

2

;

n d

p

2 2 2 1; 2 2 2

2

U

n

∂

Câu 7: Ở độ cao nào ở

0

0

C, áp suất không khí giảm đi 3 lần so với ở mặt đất (độ cao bằng 0) ? Lấy g=9,8m/s2, hằng số Boltzmann k=1,38.10-23J/K Biết phân tử lượng của không khí là 29

Giải

Áp dụng công thức phong vũ biểu:

0

mgh exp

-kT

h

0

0

1

3

1 exp

3

ln 3 8, 6

h

h

p

p

kT

mg

=

= − =

Câu 8: Tìm năng lượng tự do của N phân tử khí lí tưởng đơn nguyên tử tương đối tính

chiếm thể tích V ở nhiệt độ T, trong đó năng lượng và xung lượng của nó thỏa mãn hệ thức ε = cp

, với c là hệ số tỉ lệ

Giải

2 0

3 / 2

0

3 3 3

3 3 3

1

!

cp

kT

1 8

8

N

k

k

X

kT

N

N

Vk T

Z

Vk T

F kT Z kT N NkT

c

ε

π

π

∞

∞

−

=

∫

Câu 9: Tính năng lượng E, năng lượng tự do và nhiệt dung của khí Van de Vanxơ có N

phân tử ở nhiệt độ T

Giải

Tích phân trạng thái đối với khí thực: z =

2 1 2

lt

N z

V β

+ + ÷

Năng lượng tự doFth=-kTlnz,

!

N N lt

N

π θ

=

0

V

β β

V0: thể tích một phân tử

Fth =

2

lt

2

2 ln 3

2 3 ( )

2

th

V

E

T

∂

∂

∂

∂

Câu 10: Hãy viết phân bố Maxwell – Boltzmann cho khí lí tưởng bao quanh một khối

hấp dẫn có bán kinh R Hãy xét xem việc áp dụng phân bố đó vào trường hợp ta xét có hợp lí hay không?

Giải

Thế năng của một phân tử riêng lẻ có khối lượng m nằm cách tâm của khối hấp dẫn M một khoảng r bằng:

( ) mM , R r<

U r a

r

( a là hằng số hấp dẫn)

Áp dụng một cách hình thức phân bố Boltzmann, ta được:

( ) amM .1

n r Aexp

r

θ

Do đó,n( )∞ = ≠A 0

và

2

( )4

R

n r πr dr

∞

= ∞

∫

tức là hệ ta đang xét không ở trong trạng thái cân bằng nhiệt và việc áp dụng phân bố Boltzmann trong trường hợp này là không hợp lý

Câu 11: Giả sử chất khí lượng tử khối lượng m được chứa trong thể tích V ở nhiệt độ T

tuân theo thống kê Boze-Einstein và Fecmi-Dirac, giả sử độ suy biến g( ) g const ε = =

Đặt

,

Chứng minh rằng số hạt toàn phần của hệ sẽ là:

3

2m kT

h

π

=

, trong đó k, h tương ứng là hằng số Boltzomann và hằng số Plăng

Giải

Số hạt trung bình trong 1 ô có năng lượng ε

là

1

( ) 1

kT

e

ε = ε µ− ε

±

Thể tích không gian pha ứng với 1 phân tử khí lí tưởng:

3 3

2 2 0

4 (2 )

3 V m

Γ =

Thể tích không gian pha ứng với năng lượng

d ε

làdΓ =0 4πmV 2m dε ε

Số các ô pha là

0

( )

d mV m d

dN

Số hạt có năng lượng trong khoảng từ ε → +ε dε

là

( )

3 1

2 2 3

kT

V m

h

ε µ

Đặt

3 1

2 2 3

2 (2 )

kT

µ

ε

− 

  ±

 

 

{ }

0

o

∞

±

∫

Với

x

kT

ε

=

Câu 12: Giả sử chất khí lượng tử khối lượng m được chứa trong thể tích V ở nhiệt độ T

tuân theo thống kê Boze-Einstein và Fecmi-Dirac, giả sử độ suy biến g( ) g const ε = =

Đặt

α

Chứng minh rằng năng lượng trung bình của hệ sẽ là:

=

Trong đó k, h tương ứng là hằng số Boltzomann, hằng số Plăng

Giải

Số hạt trung bình trong 1 ô có năng lượng ε

là

1

( ) 1

kT

e

ε = ε µ− ε

±

Thể tích không gian pha ứng với 1 phân tử khí lí tưởng:

3 3

2 2 0

4 (2 )

3 V m

Γ =

Thể tích không gian pha ứng với năng lượng

d ε

làdΓ =0 4πmV 2m dε ε

Số các ô pha là

0

( )

d mV m d

dN

Số hạt có năng lượng trong khoảng từ ε → +ε dε

là

( )

3 1

2 2 3

kT

V m

h

ε µ

Đặt

3 1

2 2 3

2 (2 )

kT

µ

ε

− 

  ±

 

 

3 3

2 2 3 0

3

2 (2 )

( )

o

o

h

B

kT

B

kT

ε

ε

∞

  ±

 

 

  ±

 

 

∫

Câu 13: Chứng minh rằng đối với phân bố Boze-Einstein, đạo hàm của thế hóa học theo

nhiệt độ luôn âm

Giải

Số hạt trung bình có năng lượng trong khoảng từ ε

đến ε+dε

là

2

;

dn

exp

ε ε ε

ε µ

π

θ

=

−

  −

h

Số hạt toàn phần N là

( ) 2 33 2 33

;

N dn

ε

Đạo hàm của thế hoá học theo nhiệt độ là

2 2

0 0

0

2 0

1 1

1 1

1

exp

kT

kT T

kT kT

T

N

exp

kT kT

exp

kT

ε µ

ε µ

ε µ µ

ε µ

ε µ

∞

∞

∞

∞

−

∂

∫

∫

∫

∫

Bởi vì đối với Bozon µ <0 (dn>0, dN( )>0ε → <µ 0)

và các biểu thức dưới dấu tích phân là dương, nên

0

µ θ

∂ <

∂

Câu 14: Tính năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ N hạt không tương tác ở nhiệt

độ T có thể ở trong hai trạng thái lượng tử không suy biến ε0

và ε1

, với TC là nhiệt độ Đêbai

Giải

0 0

1 0

0

2

1

c

c c

N

k T k T N k T k T

k T T N c

T T T T

k

Z

E k T N Nk Te

T

e

ε

ε ε

ε

−

−

−

−

−

∂

2 2

0

T E

−

Câu 15: Tính năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ N hạt dao động tử điều hoà hai

chiều độc lập có các mức năng lượng:εn =h nν( +1)

suy biến (n+1) lần ở nhiệt độ T

Giải

Tổng thống kê Z của hệ bao gồm dao động tử điều hoà hai chiều là:

0

( 1) ( 1) exp h n

kT

ν

∑

Đặt

h

kTν β

, ta có

{ ( 1) } { ( 1) }

2

1

1 ( 1)

β

2

h kT h kT

e Z

e

ν

ν

−

−

=

− Năng lượng trung bình và nhiệt dung của hệ được xác định bằng công thức:

1

h kT

T

e

ν

ν ν

2 2

2

V

V

∂     

= ÷ =  ÷  ÷

 

Câu 16: Giả sử chất khí lí tưởng lượng tử (gồm N hạt đựng trong thể tích V) tuân theo

thống kê Maxwell-Boltzmann:

( ) exp - - exp

n ε = α ε = µ ε− 

Hãy tìm số các ô pha nguyên tố trong không gian µ

của một phân tử, tức là số các trạng thái vi mô của phân tử

đó, tương ứng với khoảng năng lượng từ ε

đến ε + ε d

, biết rằng thể tích của ô pha nguyên tố là h3

Giải

Theo thống kê Maxwell-Boltzmann, số hạt trung bình trong 1 ô có năng lượng ε

là ( ) exp

kT

n ε = µ ε− 

Thể tích không gian pha ứng với 1 phân tử khí lí tưởng:

3 3

2 2 0

4 (2 )

3 V m

Γ =

Thể tích không gian pha ứng với khoảng năng lượng

d ε

làdΓ =0 4πmV 2m dε ε

Số các ô pha là

0

( )

d mV m d

dN

Câu 17: Tìm năng lượng cực đại của electron trong kim loại ở nhiệt độ 0K Với h, m, n

tương ứng là hằng số Plăng, khối lượng và số electron có trong một đơn vị thể tích

Giải

Số electron có năng lượng nằm giữa E và E+dE là :

3/2 3

dn

h

π

=

Số electron có trong một đơn vị thể tích là :

3 0

4 (2 )

m

E

m EdE

n dn

h

π

ax

0

2

3

m

E

m

E

2/3 2

ax

3

m

h n

E

m  π 

Câu 18: Chứng minh rằng:

1

f

E

+∞

−∞

∂

 

=  ÷ = −

∂

 

∫

trong đó f(E) làm hàm phân bố Fermi-Dirac

Giải:

2

2

1

exp

f E

KT

KT

KT

µ

µ µ

∂

    −  +   

1

Khi E → -∞ thì x→ 0; E→+∞ thì x→+∞

2 0

1

1 0

dx

I

∫

1

f

dE E

+∞

−∞

∂

∫

Câu 19: Tính số toàn phần của trạng thái lượng tử của chất khí ở nhiệt độ T Chứng minh

rằng nếu số hạt khí nhỏ hơn nhiều so với số trạng thái thì điều kiện sau thỏa mãn:

3/2 2

2

h

Với h, k, m, N tương ứng là hằng số Plăng, hằng số Boltzomann, khối lượng và số phân

tử khí có trong một đơn vị thể tích

Giải

Ở nhiệt độ T, giá trị trung bình của xung lượng của phân tử là:

2

p: mε : mkT

Thể tích không gian pha: ∆Γ: V p3: (mkT V)32

Số trạng thái Ở nhiệt độ T, giá trị trung bình của xung lượng của phân tử là:

2

p: mε : mkT

Thể tích không gian pha: ∆Γ: V p3: (mkT V)32

Số trạng thái

( )32

mkT

V

∆Γ

Ω = :

số hạt khí nhỏ hơn nhiều so với số trạng thái

2

π

≥ ⇒ ÷ ≥

trùng với điều kiện suy biến

Câu 20: Chứng minh rằng ở nhiệt độ cao khiT ? T C, nội năng của vật rắn tuân theo công

thức

ax

3

U = Nhν + NkT+ NkT

Biết rằng h, k, tương ứng là hằng số Plăng, hằng số Boltzomann N, Tc và νmax

là số nguyên tử, nhiệt độ và tần số Đêbai trong vật rắn

Giải

ax

2

0

ln ln ( ) ( ) ; ln ( ) ln 1

2 1

m

h

h kT

kT h

kT

kT e

ν

ν

ν

−

 

 

−

 

 

 

−

3

ax

3

m

m o

N

ax

m

c

h

T

k

ν

 = ⇒ =





 =



3 2 0

9

8

c T T

x c

c

T

−

 

−

  ∫

Khi nhiệt độ cao một cách gần đúng

     

  Nội năng của vật rắn ở nhiệt độ cao

2

9

3

c c

T NT

∂

Nếu tính cả E0 thì ta có

U =E + NkT+ NkT = Nhν