VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ QUA VÍ DỤ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA

Qua các bài toán đã được giải quyết, phương pháp toán tử đã cho thấy những điểm ưu việt và hiệu quả của nó so với phương pháp nhiễu loạn cũng như các phương pháp tính gần đúng đã biết kh

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH

MỤC LỤC

2

MỤC LỤC2 22

LỜI CẢM ƠN2 32

LỜI MỞ ĐẦU2 42

Chương 1: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN DỪNG2 72

1.1 Sơ đồ Rayleigh-Schrödinger và phương pháp nhiễu loạn dừng:2 72

1.2 Bài toán dao động tử phi điều hòa:2 92

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ VÀ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA BẬC BỐN2 13

2

2.1 Phương pháp toán tử và bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn:2 132

2.2 Kết quả:2 162

Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ QUA

VÍ DỤ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA BẬC BỐN2 19

nn nn

V H

2 :2 22

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện khóa luận này, tôi đã nhận được sự quan tâm hỗ trợ rất lớn từ phía các thầy cô trong khoa Vật lý trường Đại học Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh

Xin được được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc đến cô Hoàng Đỗ Ngọc Trầm, người đã không chỉ hướng dẫn tôi hoàn thành khóa luận này mà còn truyền đạt cho tôi nhiều bài học quý báu Ngoài ra cũng xin được gởi lời cảm ơn đến thầy Lê Văn Hoàng nói riêng cũng như các thầy cô trong tổ Vật lý lý thuyết nói chung đã đóng góp cho tôi nhiều ý kiến, kinh nghiệm quý báu để tôi có thể hoàn thành tốt khóa luận này

Cuối cùng xin cảm ơn gia đình đã luôn ở bên cạnh và động viên tôi trong suốt những năm học đại học cũng như trong trong quá trình hoàn thành khóa luận

Xin chân thành cảm ơn

Dương Nhật Huy

LỜI MỞ ĐẦU

Nhân loại bước vào thế kỷ XXI với những thành tựu vĩ đại của khoa học công nghệ, trong đó

phải kể đến những bước tiến lớn trong lĩnh vực tiến công vào thế giới vi mô Trong thời gian gần đây, hoạt động nghiên cứu và ứng dụng các công nghệ ở cấp độ nguyên tử và hạ nguyên tử ngày

một phát triển mạnh, điều này đòi hỏi phải có một công cụ đủ mạnh để giải quyết các bài toán về

những hệ lượng tử với độ chính xác ngày càng cao Như chúng ta đã biết, việc giải phương trình Schrödinger là nhiệm vụ quan trọng của các bài toán về hệ lượng tử Tuy nhiên trong đa số các trường hợp, việc tìm nghiệm chính xác là không thể và ta phải tìm nghiệm của phương trình Schrödinger bằng các phương pháp gần đúng Một trong các phương pháp gần đúng mạnh và được

biết đến nhiều nhất là phương pháp lý thuyết nhiễu loạn Ý tưởng chính của phương pháp này là tách toán tử Hamilton của bài toán thành hai thành phần: một thành phần có thể tìm nghiệm chính xác, thành phần còn lại được gọi là nhiễu loạn Điều kiện để áp dụng phương pháp này là thành

phần nhiễu loạn phải “nhỏ” so với thành phần có thể tìm nghiệm chính xác Đây cũng chính là một trong những hạn chế lớn của phương pháp này, vì trong thực tế có nhiều bài toán thành phần được tách ra lại không đủ “nhỏ” để được xem như là thành phần nhiễu loạn Do đó, phương pháp này chỉ

áp dụng được cho một số ít các bài toán Vì vậy, việc tìm ra một phương pháp để giải quyết các bài toán phi nhiễu loạn là hết sức cần thiết

Trong luận văn này, chúng tôi sử dụng phương pháp toán tử (Operator Method) là một trong các phương pháp mạnh để giải các bài toán phi nhiễu loạn được nêu ở trên [6],[8] Phương pháp toán tử được nhóm nghiên cứu của giáo sư Komarov L.I ở đại học tổng hợp Belarus xây dựng vào

những năm 80 [6] và đã ứng dụng thành công cho một loạt các bài toán khác nhau trong vật lý nguyên tử, vật lý chất rắn cũng như các bài toán lý thuyết trường [2] Qua các bài toán đã được giải quyết, phương pháp toán tử đã cho thấy những điểm ưu việt và hiệu quả của nó so với phương pháp nhiễu loạn cũng như các phương pháp tính gần đúng đã biết khác như:

- Đơn giản hóa việc tính toán do trong suốt quá trình tính toán chỉ sử dụng các phép tính thuần đại số Vì vậy, ta có thể sử dụng các chương trình lập trình tính toán như Matlab, Mathematica, Fortran,… để tự động hóa quá trình tính toán

- Cho phép tính toán trên các cơ hệ lượng tử với trường ngoài có cường độ bất kỳ

- Cho phép xác định giá trị năng lượng và cả hàm sóng của hệ trong toàn miền thay đổi tham số trường ngoài

Ý tưởng chính của phương pháp toán tử nằm trong bốn bước sau:

- Biểu diễn toán tử Hamilton qua các toán tử sinh hủy của DiracH x p( , ) →H a a( , ˆ ˆ + , )ω ;

- Tách toán tử Hamilton thành hai thành phần: trung hòa 0 ( ˆ ˆ + , )ω

H a a và không trung hòa

ˆ ˆ ( + , , )ω

V a a ;

- Chọn tham số ω sao cho thành phần trung hòa là thành phần chính của toán tử Hamilton

và nghiệm riêng của 0 ( ˆ ˆ + , )ω

H a a chính là năng lượng gần đúng bậc không của bài toán;

- Xem thành phần không trung hòa là thành phần “nhiễu loạn” và tính các bổ chính bậc cao của bài toán bằng các sơ đồ thích hợp

Một trong những ưu điểm của phương pháp toán tử là có thể chọn tham số ω để điều chỉnh

tốc độ hội tụ của bài toán Trong các công trình trước [6], [8], [9], chúng tôi đã sử dụng điều kiện

cực tiểu hóa năng lượng, tức xác định ω thông qua điều kiện ( )0 0

ω

∂n

E Cách chọn này đã cho thấy

sự hiệu quả trong một số bài toán [6], tuy nhiên vẫn cho thấy sự hạn chế trong một số trường hợp phức tạp hơn [8] Do đó, trong luận văn này chúng tôi tiến hành khảo sát riêng tham số ω để tìm được cách chọn ω tốt nhất nhằm tối ưu hóa tốc độ tính toán

Mục tiêu của luận văn này là:

- Tìm hiểu về phương pháp nhiễu loạn và phương pháp toán tử, so sánh hai phương pháp trên thông qua ví dụ về bài toán dao động tử phi điều hòa;

- Khảo sát sự hội tụ của bài toán dao động tử phi điều hòa theo tham số ω, từ đó kiểm tra

một phương pháp mới để chọn tham số tự do ω là dựa vào sự thay đổi của biểu thức nn22

nn

V H

, tức là dựa vào mối quan hệ giữa VR nn R và HR nn R

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương:

Chương 1: Lý thuyết nhiễu loạn dừng

Giới thiệu các ý tưởng của phương pháp nhiễu loạn dừng thông qua sơ đồ Schrödinger Áp dụng sơ đồ trên để giải bài toán dao động tử phi điều hòa, từ các kết quả thu được tác giả sẽ phân tích các điểm còn hạn chế của phương pháp trên Mặc dù còn nhiều hạn chế nhưng các ý tưởng chính của phương pháp nhiễu loạn là nền tảng quan trọng để xây dựng nên phương pháp toán tử được sử dụng trong luận văn này

Rayleigh-Chương 2: Phương pháp toán tử và bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn

( +, , )ω

V a a

Chương này sẽ giới thiệu một cách tổng quát về phương pháp toán tử: sự hình thành, các ý tưởng chính, ưu điểm và nhược điểm Ngoài ra, tác giả cũng sẽ áp dụng phương pháp toán tử cho

một bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn để thấy được những ưu điểm của phương pháp này so với phương pháp nhiễu loạn đã được nêu ở trên

Chương 3: Vai trò của tham số ω trong phương pháp toán tử qua ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn

Chương này sẽ phân tích cụ thể hơn vai trò của tham số ω đối với việc tối ưu hóa quá trình tính toán dựa trên kết quả một bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn Ngoài

ra, tác giả cũng sẽ đề xuất và kiểm tra một phương pháp mới để chọn tham số ω là phương pháp dựa

hiệu quả hơn

Ph ần kết luận và hướng phát triển đề tài:

Phương pháp khảo sát dựa vào tỉ số nn22

nn

V

H áp dụng tốt cho các trường hợp ở trạng thái kích thích Riêng với trạng thái cơ bản, phương pháp trên chỉ đáp ứng tốt khi hệ số phi điều hòa bé Do

đó, tác giả đề xuất cần khảo sát kỹ hơn trường hợp cơ bản với các hàm sóng bậc cao hơn Ngoài ra,

để không mất tính tổng quát, cần áp dụng các kết quả có được trong luận văn này để khảo sát các bài toán khác phức tạp hơn như bài toán exciton, bài toán nguyên tử Hidro

Chương 1: LÝ THUYẾT NHIỄU LOẠN DỪNG

Trong chương này, tác giả sẽ giới thiệu về lý thuyết nhiễu loạn thông qua sơ đồ Schrödinger, sơ đồ thông dụng nhất được trình bày trong phần lớn các sách giáo khoa về Cơ học lượng tử Ngoài ra, tác giả cũng sẽ giới thiệu và phân tích các kết quả cụ thể của phương pháp nhiễu

Rayleigh-loạn trên bài toán dao động tử phi điều hòa bậc 4 để cho thấy những điểm còn hạn chế của phương pháp trên

1.1 Sơ đồ Rayleigh-Schrödinger và phương pháp nhiễu loạn dừng:

Như chúng ta đã biết, phương trình Schrödinger là phương trình động học của Cơ học lượng

tử và việc giải quyết các bài toán trong thế giới vi mô đều dẫn đến việc giải phương trình trên Tuy nhiên, phương trình Schrödinger lại là một phương trình phức tạp mà ta chỉ có thể tìm được nghiệm chính xác của nó trong một số ít trường hợp đơn giản như bài toán nguyên tử Hidro, bài toán dao động tử điều hòa, chuyển động của hạt vi mô trong hố thế vuông góc,…Do đó, khi xét đến các hệ lượng tử thực với độ phức tạp cao hơn thì việc tìm nghiệm chính xác là điều không thể và ta phải dùng đến các phương pháp gần đúng để tìm hàm riêng và trị riêng của nó Mặc dù vẫn còn nhiều

hạn chế nhưng phương pháp nhiễu loạn là một trong những phương pháp tính gần đúng quan trọng

hiện nay của Cơ học lượng tử Trong phần này, chúng tôi sẽ giới thiệu phương pháp nhiễu loạn

dừng dựa trên một trong những sơ đồ được sử dụng thông dụng nhất của phương pháp này là sơ đồ Rayleigh-Schrödinger

trong khi thành phần ˆV còn lại được gọi là thành phần nhiễu loạn, điều kiện để được xem là nhiễu

loạn ta sẽ xét trong trường hợp cụ thể sau Tuy nhiên nhìn chung điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu

loạn là thành phần nhiễu loạn ˆV phải “nhỏ” so với H , ˆ0

0

V = H Khi đó, nghiệm của phương trình (1.3) sẽ gần với nghiệm của phương trình (1.1) Lúc này chúng ta xem εn và ψn là nghiệm

gần đúng bậc zero của (1.1), các nghiệm gần đúng bậc cao hơn sẽ được tính bằng cách xét đến ảnh

hưởng của ˆV thông qua các bổ chính năng lượng và hàm sóng Ở đây ta đưa vào tham số nhiễu loạn

β để mặc định thành phần nhiễu loạn là nhỏ và dễ dàng nhìn thấy các bậc nhiễu loạn trong sơ đồ tính toán qua số mũ của β

Giả thiết rằng các trị riêng của Hˆ là không suy biến và có phổ gián đoạn, hệ hàm riêng ψn

của H ˆ0 là đầy đủ và trực giao ứng với năng lượng εn, với n=0,1, 2, Khi đó, chúng ta tìm nghiệm

của (1.1) dưới dạng khai triển theo các hàm riêng của H ˆ0 như sau:

bằng cách phân tích theo tham số nhiễu loạn như sau:

Đây là sơ đồ lý thuyết nhiễu loạn mà ta sẽ sử dụng trong các phần sau

1.2 Bài toán dao động tử phi điều hòa:

Ta xét bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều với toán tử Hamilton có dạng sau:

Phương pháp nhiễu loạn được sử dụng cho bài toán này trong hầu hết các sách giáo khoa về

cơ học lượng tử [1],[5] Ta chia toán tử Hamilton thành hai phần như sau:

hàm sóng này ứng với trị riêng là năng lượng gần đúng bậc zero εn = +n 1/ 2

Các yếu tố ma trận của các toán tử H và ˆˆ0 V ứng với các hàm số (1.16) có thể tính được như sau:

12

Các yếu tố ma trận khác không khác thu được từ tính đối xứng: V km =V mk

K ết quả: Trong các bảng sau tác giả sẽ đưa ra các số liệu thu được cho trường hợp trạng thái

cơ bản n= và m0 ột trạng thái kích thích n=4 Điều kiện áp dụng lý thuyết nhiễu loạn

E 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000 0.5000000000 ( ) 1

0

E 0.5075000000 0.5375000000 0.5750000000 0.7250000000

(2) 0

E 0.5072375000 0.5309375002 0.5487500013 4.8875000929 ( ) 3

0

E 0.5072583125 0.5335390626 0.5695624993 1.0506874797 ( ) 4

0

E 0.5072558996 0.5320310060 0.5454335949 -0.9037538228 ( ) 5

0

E 0.5072562577 0.5331500624 0.5812433983 7.7980283886 ( ) 6

0

E 0.5072561937 0.5321503309 0.5172605857 -38.8454419856 ( ) 7

0

E 0.5072562070 0.5331891854 0.6502339597 251.9673269259 ( ) 8

0

E 0.5072562038 0.5319607395 0.3357518043 -1811.3500941848 ( ) 9

0

E 0.5072562047 0.5335887505 1.1692934364 14595.2498498883 ( ) 10

0

E 0.5072562044 0.5311982288 -1.2786007173 -129950.4520395805

B ảng.1.2: Trạng thái kích thích n= : 4

0.01

( ) 0 4

E 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000 4.5000000000 ( ) 1

4

E 4.8075000000 5.4225000000 6.3450000000 7.5750000000

(2) 4

E 4.7668874959 5.0569874638 4.8829498552 3.5137495980 ( ) 3

4

E 4.7775845596 5.3458081837 7.1935156144 14.2108132978 ( ) 4

4

E 4.7738544635 5.0436703988 2.3593110572 -23.0901477918 ( ) 5

4

E 4.7753851516 5.4156275988 14.2619414562 129.9786587800 ( ) 6

4

E 4.7746833968 4.9040483689 -18.4791292566 -571.7761147298 ( ) 7

4

E 4.7750329077 5.6684285196 79.3615300321 2923.3320274444 ( ) 8

4

E 4.7748469756 4.4448528730 -232.9328160495 -15669.8670185477 ( ) 9

4

E 4.7749514618 6.5051300165 820.0470425212 888816.3030916408 ( ) 10

4

E 4.7748899061 2.8703274765 -2901.9907584706 -526740.6987256789

Với các kết quả thu được, ta thấy rằng ở trạng thái cơ bản, phương pháp nhiễu loạn chỉ cho

kết quả tốt trong trường hợp hệ số phi điều hòa rất bé so với giá trị giới hạn (0.01) Tuy nhiên, với giá trị vẫn còn khá nhỏ của λ, độ chính xác đã giảm xuống đáng kể (chỉ chính xác đến hàng phần trăm) và xuất hiện dấu hiệu của sự phân kỳ Với giá trị λ=0.1, mặc dù vẫn còn nhỏ hơn giá trị giới

hạn, nhưng sự phân kỳ đã xuất hiện rất rõ và chúng ta chỉ có thể sử dụng đến bổ chính bậc 5, các bổ chính lớn hơn không còn mang ý nghĩa vật lý Với λ≥0.3 trở đi, phương pháp nhiễu loạn không còn áp dụng được nữa

Tương tự với các trạng thái kích thích, phương pháp nhiễu loạn cũng chỉ áp dụng được trong các trường hợp giá trị λ thỏa mãn điều kiện µ µ

0

ψn V ψn = ψn H ψn và hầu như chỉ sử dụng được các bổ chính bậc thấp, các bổ chính bậc cao hầu như không có ý nghĩa

Từ các kết quả trên, ta có thể nhận thấy rằng phương pháp nhiễu loạn có độ hội tụ không cao,

chỉ áp dụng được trong những trường hợp λ bé và khi trạng thái kích thích càng cao thì miền áp

dụng lại càng bị thu hẹp lại

Chương 2: PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ VÀ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI

ĐIỀU HÒA BẬC BỐN

Chương này sẽ trình bày về các ý tưởng chính của phương pháp toán tử, đồng thời áp dụng

nó để giải lại bài toán dao động tử phi điều hòa đã được nhắc tới ở chương trước Từ các kết quả thu được, tác giả sẽ phân tích những ưu điểm của phương pháp toán tử so với phương pháp nhiễu loạn

Mặc dù còn nhiều hạn chế, nhưng chúng ta cũng có thể thấy được rằng phương pháp nhiễu loạn đã góp phần đưa ra những ý tưởng cơ bản cho phương pháp toán tử

2.1 Phương pháp toán tử và bài toán dao động tử phi điều hòa bậc bốn:

Những ý tưởng về phương pháp toán tử đã xuất hiện vào những năm 1979 [9] Tuy nhiên, phương pháp toán tử (Operator Method) được đưa ra đầu tiên vào năm 1982 bởi một nhóm các giáo

sư ở trường Đại học Belarus và được ứng dụng thành công trong một nhóm rộng rãi các bài toán về

vật lý chất rắn, bài toán tương tác hệ các boson trong lý thuyết trường, bài toán nguyên tử, phân tử

trong trường điện từ [3],[4],[7]

Ta sẽ trình bày các điểm chính của phương pháp toán tử trên cơ sở ví dụ bài toán dao động tử phi điều hòa một chiều Kết quả thu được sẽ so sánh với phương pháp nhiễu loạn ở phần 1.2 Xét phương trình Schrödinger (1.1) cho dao động tử phi điều hòa với toán tử Hamilton không thứ nguyên (1.14) Ta sẽ giải phương trình này bằng phương pháp toán tử với bốn bước cơ bản như sau:

Bước một: Chuyển toán tử Hamilton về biểu diễn của các toán tử sinh - hủy bằng cách đặt biến số

động lực (tọa độ và toán tử đạo hàm) thông qua các toán tử sau:

Ở đây toán tử ˆa được gọi là “toán tử hủy” và aˆ+ được gọi là “toán tử sinh” (xem [1],[5]); ω

là tham số thực dương được đưa thêm vào để tối ưu quá trình tính toán, ta sẽ nói rõ hơn về tham số này trong bước ba và phần sau của luận văn

Ta dễ dàng thu được hệ thức giao hoán:

ˆ ˆ, 1

a a+

Hệ thức này sẽ giúp ta đưa các toán tử sinh hủy về dạng chuẩn, nghĩa là các toán tử sinh nằm

ở phía bên trái và các toán tử hủy nằm về phía bên phải, thuận lợi cho các tính toán đại số sau này

Từ đây về sau ta gọi nó là dạng chuẩn (normal) của toán tử

Thế (2.1) vào (1.14) và sử dụng (2.2), ta được biểu thức dạng chuẩn của toán tử Hamilton như sau:

H a a+ λ ω có nghiệm chính xác mà chúng ta sẽ dễ dàng xây dựng dưới đây; riêng thành phần ˆOM(ˆ , , ,ˆ )

V a a+ λ ω được xem như thành phần “nhiễu loạn” sẽ được điều

chỉnh “đủ nhỏ” để thỏa điều kiện của lý thuyết nhiễu loạn thông qua việc chọn tham số ω

Bước ba: Tìm nghiệm chính xác bậc zero bằng cách giải phương trình:

( ) ( ) 0 ( ) 0 ( ) 0 0

Ở đây ta đã sử dụng kí hiệu và khái niệm Dirac để định nghĩa, khi đó nghiệm (1.24) ta gọi là vector trạng thái; nghiệm cơ bản là trạng thái “chân không” (vacuum) 0 được xác định bằng phương trình:

Khi cần thiết chúng ta có thể sử dụng phương trình này để xác định dạng tường minh của hàm sóng

biểu diễn trạng thái chân không

Từ các tính chất của toán tử sinh – hủy (1.20), ta dễ dàng kiểm chứng:

n E

Bước b ốn: Phương pháp toán tử tìm nghiệm bằng số:

Đến đây chúng ta có thể sử dụng sơ đồ của lý thuyết nhiễu loạn (1.11)-(1.13) để tính các bổ chính bậc cao Ngoài ra, do tính hội tụ của phương pháp toán tử rất cao và chúng ta có tham số tự do

ω để điều khiển tốc độ hội tụ, ta có thể sử dụng phương pháp vòng lặp để giải trực tiếp hệ phương trình (1.8)-(1.9) Phương pháp vòng lặp cho ta sơ đồ sau:

( ) ( )

0,

n s

s s

Cách tính các phần tử ma trận bằng các phép tính thuần đại số là một trong những ưu điểm

của phương pháp toán tử Thật vậy, thay vì định nghĩa các phần tử ma trận như (1.10) và tính các tích phân tương ứng với các hàm sóng ở dạng tường minh, ở đây ta chỉ dựa vào các biến đổi đại số

B ảng.2.1: Phương pháp OM cho trạng thái cơ bản n= 0

Từ các kết quả thu được, ta có thể nhận thấy rằng phương pháp toán tử có thể tìm ra được nghiệm với độ chính xác cao, với mọi giá trị bất kỳ của λ, đối với trạng thái cơ bản hay kích thích Tuy chỉ giải trên một bài toán cụ thể là bài toán dao động tử phi điều hòa bậc 4 nhưng sơ đồ tính toán của nó không phụ thuộc và dạng cụ thể của toán tử Hamilton nên có thể áp dụng cho một nhóm

rộng rãi các bài toán

Chương 3: VAI TRÒ CỦA THAM SỐ TỰ DO TRONG PHƯƠNG PHÁP TOÁN TỬ

QUA VÍ DỤ BÀI TOÁN DAO ĐỘNG TỬ PHI ĐIỀU HÒA BẬC BỐN

Trong chương này, chúng ta sẽ đi sâu vào tìm hiểu một trong những khó khăn hiện tại mà phương pháp toán tử gặp phải là tối ưu tốc độ của phương pháp bằng việc chọn tham số tự do ω thích hợp Như chúng ta đã biết, sự hội tụ nhanh hay chậm của một bài toán khi áp dụng phương pháp toán tử phụ thuộc khá nhiều vào việc chọn tham số tự do ω Một trong những phương pháp đã được đề xuất để giải quyết vấn đề này là lý thuyết cực tiểu hóa năng lượng Tuy nhiên, qua một số bài toán cụ thể, lý thuyết này vẫn cho thấy những hạn chế nhất định [8] Nhằm đóng góp cho việc phát triển phương pháp toán tử, tác giả sẽ đề xuất một phương pháp mới để chọn giá trị của tham số

ω nhằm đạt được tốc độ hội tụ tối ưu cho bài toán, đó là khảo sát giá trị ω dựa vào tỉ số nn22

nn

V

H Dựa trên kết quả khảo sát cụ thể trên bài toán dao động tử phi điều hòa, chúng ta sẽ phân tích để tìm được vùng tối ưu mà phương pháp mới đáp ứng tốt, cũng như những trường hợp mà phương pháp này không cho kết quả thỏa đáng để từ đó đề xuất các hướng nghiên cứu tiếp theo để hoàn thiện phương pháp tìm ω trên

3.1 Tham số tự do ω và lý thuyết cực tiểu năng lượng:

Như chúng ta đã biết, tham số tự do ω trong toán tử sinh – hủy Dirac ở công thức (2.1) là một

số thực dương có thể được chọn bất kỳ Theo như lý thuyết, kết quả cuối cùng cho bởi phương pháp toán tử sẽ không phụ thuộc vào việc chọn tham số tự do ω Qua Bảng.3.1, ta cũng có thể thấy là với các giá trị ω khác nhau, ta đều thu được cùng một kết quả cho từng trường hợp n và λ cụ thể

Tuy không ảnh hưởng đến kết quả cuối cùng nhưng việc chọn tham số ω lại ảnh hưởng đến

tốc độ hội tụ của bài toán Nếu chọn được tham số ω thích hợp, bài toán sẽ cho kết quả hội tụ rất nhanh Trong trường hợp ngược lại, kết quả sẽ hội tụ chậm Ta có thể thấy rõ điều này qua

Bảng.3.1: với cùng một trường hợp, khi chọn ω khác nhau thì số vòng lặp (s) để đạt tới kết quả sau cùng là khác nhau Và ngoài ra chúng ta cũng có thể nhận thấy rằng có một vùng các giá trị ω mà ở

đó, bài toán hội tụ rất nhanh Mặc dù một trong những ưu điểm của phương pháp toán tử là có thể tự động hóa quá trình tính toán và tốc độ của các máy tính hiện tại rất nhanh nhưng trong một số bài toán, nếu không chọn được tham số tự do thích hợp sẽ làm kết quả hội tụ rất chậm và tốn rất nhiều

thời gian nếu muốn có được kết quả chính xác [8] Do đó, việc tìm ra phương pháp thích hợp để lựa

chọn tham số tự do là một vấn đề cần được giải quyết

( ) 00

kiện này không cho kết quả tốt nữa Mặc khác, công thức (3.1) sử dụng năng lượng chính xác bậc không chứ không phải là năng lượng chính xác nên không đem lại kết quả tốt Điều kiện chính xác

ở đây phải là

( )0,

T n E

Do việc tìm biểu thức chính xác của ( )T

n

E là điều không thể nên ta chỉ có thể tăng độ chính xác của phương pháp trên bằng cách khảo sát điều kiện (3.1) ở những mức năng lượng có bậc cao hơn, việc này đòi hỏi nhiều thời gian và phức tạp

Mặc khác, khi khảo sát bằng phương pháp cực tiểu năng lượng ta chỉ thu được một giá trị ω

tối ưu duy nhất, trong khi đó các giá trị ω tối ưu thường nằm thành một vùng với một cực tiểu Trong một số trường hợp, giá trị dự đoán bằng (3.1) nằm trong vùng tối ưu thực nghiệm và ta chỉ

cần khảo sát các giá trị nằm “gần” giá trị thu được từ (3.1) là ta có thể bắt được vùng hội tụ tối ưu (Hình 3.1) Tuy nhiên, trong các trường hợp khác, khi ω dự đoán bằng (3.1) nằm khá xa vùng tối ưu

thực nghiệm (Hình 3.2) thì ta không có đủ cơ sở để tìm được vùng hội tụ thực nghiệm tối ưu bằng phương pháp cực tiểu năng lượng Đây cũng là một nhược điểm nữa của phương pháp này

Chú thích đồ thị: đường nét đứt là đường các giá trị thực nghiệm, đường liền nét là đồ thị hàm số