BÀI TẬP VẬT LÝ THỐNG KÊ NHÓM 1 TUẦN 9 ĐỀ:chứng minh định lý Virian ( sự phân đều thế năng theo các bậc tự do)
k k
H q
∂ =
∂
GIẢI:
Áp dụng phân bố chính tắc Gibbs cho hệ đẳng nhiệt:
( )
H
ψ
θ
Xét một hệ f bậc tự do, Haminton có dạng:
( )p q E ( )p U ( )q
Mặt khác, ta có:
=
•
•
=
•
−
−
=
−
k k k t đ k
f
k k
p E q U q p q
p L q p
q
p
H
1 1
, ,
(2) Đồng nhất 2 vế phương trình (1) và (2)
=
•
− +
=
k
t đ
k k t
đ p U q p q E p U q
E
1
( ) ∑
=
•
=
k
k k
t q p q
U
1 2
( ) ∑
=
•
=
k k k
t q p q
U
1 2
1
k q
H p
∂
∂
−
=
•
( )
k
f
k k t
q
H q q
U
∂
∂
−
=
= 1 2
1
Vậy thế năng trung bình:
∂
−
=
k k k t
q
H q q
U
1 2
1
k
q
H
q
∂
∂
là thế năng trung bình của dao động tử điều hòa (1 chiều)
dX e q
H q
q
H
q
H
X k
k
k
ψ −
∫ ∂∂
=
∂
thể tích pha dX =dq1 dq f dp1 dp f
Mà
1
θ
ψ θ
ψ
k
H
k
e q
e
q
∂
∂
−
=
∂
∂
Vậy từ ta được như sau:
Trang 2f f
H
k lop
f
k k
q
q q
H
.
2 ∂
∂
−
=
∂
ψ θ
2 1
H
k
f lop
q e dq dq dq dp dp q
ψ θ
−
∂
∫ ∫ ∫
H
k k
q q
ψ −
∫ ∂∂
=
Đặt: u=q k →du=dq k
θ
ψ θ
k H
k
e v dq e q
dv
−
−
=
→
∂
∂
=
∫ +∞
∞
−
−
∞ +
∞
−
−
−
=
⇒I k q k e H e θH dq k
ψ θ
ψ
∞
→
−
k
q thì hàm phân bố xác suất −θ →0
H e
∫
+∞
∞
−
−
−
=
⇔I k e θH dq k
ψ
Vậy:
2
H
X
H dX
ψ
Thế năng trung bình của một bậc tự do thứ k
∂
∂
k
k
q
H
q
(3)
H A
q
∂
= −
∂
=
=
=
∂
∂
k k k k
f
k
q
H q
1
1 2
1
H
q
∂
∂
(4)
Hệ thức (3) và (4) được gọi là định lý Virian