CHINH PHỤC CHUYÊN đề TÍCH PHÂN

Chúng tôi sưu tầm nhằm giúp các bạn thí sinh có dịp để tích lũy thêm kiến thức và kinh nghiệm cho kỳ thi trung học phổ thông quốc gia quan trọng tới. Chúng tôi hi vọng, tài liệu này sẽ hữu ích đối với các bạn thí sinh.

f x dx F x= =F b −F a

Nhận xét : Tích phân của hàm số f từ a đến b có thể kí hiệu bởi ( )d

b a

f x x

∫ hay ( )d

b a

f t t

∫ Tích phân

đó chỉ phụ thuộc vào f và các cận a, b mà không phụ thuộc vào cách ghi biến số

Ý nghĩa hình học của tích phân: Nếu hàm số f liên tục và không âm trên đoạn [ ; ]a b thì tích phân

x x

= +

= +

+

= +

x

= + −

Dạng 3 Phương pháp đổi biến số

1) Đổi biến số loại 1

Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số u u x= ( ) có đạo hàm liên tục trên đoạn [ ; ]a b và α ≤u x( )≤β Giả sử có thể viết ( )f x =g u x u x x( ( )) ( ),′ ∈[ ; ],a b với g liên tục trên đoạn [ ; ].α β Khi đó, ta có

( )

( )

u b b

I =∫x x + x 2)

1 3 0

1d

I =∫x x+ x 3)

1

1 ln d

x I

d 1

x x I

2) Đổi biến số loại 2

Cho hàm số f x( ) liên tục và có đạo hàm trên đoạn [ ; ].a b Giả sử hàm số x=ϕ(t) có đạo hàm và liên tục trên đoạn [ ; ]α β sao cho ϕ α( ) =a, ( )ϕ β =b và a≤ϕ( )t ≤b với mọi t∈ [ ; ].α β Khi đó:

b a

x I

x

= +

d

4 1

u v uv= − v u

∫ ∫ Các dạng cơ bản: Giả sử cần tính ( ) ( )d

b a

kx kx

f x x =

a a

f x x =

a a

a a

=∫ có giá trị bằng

A. 3ln 3 B. 1ln 3

5ln

2ln

3

Câu 10 Nếu

0

2 2

1d

1

dx lnx x

Câu 16 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ] a b có một nguyên hàm là hàm F trên đoạn [ ; ]a b Trong

các phát biểu sau, phát biểu nào sai ?

b a

D. Hàm số G cho bởi ( )G x =F x( ) 5+ cũng thỏa mãn ( )d ( ) ( )

b a

Câu 18 Xét hai hàm số f và g liên tục trên đoạn [a b; ] Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

A. Nếu m≤ f x( )≤M ∀ ∈x [ ; ]a b thì ( ) ( )d ( )

b a

B. Nếu ( )f x ≥m∀ ∈x [ ; ]a b thì ( )d ( )

b a

d( )

( )d

b b

a b a

a

f x x

f x x

A. Nếu hàm số f liên tục trên đoạn [a b; ], sao cho ( )d 0

b a

2

1 1

( )( ) d

3

f x

Câu 22 Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?

Học sinh này giải đúng hay sai? Nếu sai thì sai từ bước nào?

A. Bài giải đúng B. Sai từ Bước II C. Sai từ Bước I D. Sai ở Bước III

∫ Thực hiện phép đổi biến t=cosx, ta có thể đưa I về dạng nào sau đây

0

2d1

0

2d1

1

1 2

2d1

t

t

= −+

1

1 2

2d1

t

t

=+

x

π π

=

1 2017 1

2(1 )d

Câu 32 Một học sinh được chỉ định lên bảng làm 4 bài toán tích phân Mỗi bài giải đúng được 2,5

điểm, mỗi bài giải sai (sai kết quả hoặc sai bước tính nguyên hàm) được 0 điểm Học sinh đã giải 4 bài toán đó như sau:

1d

2 x

0 2

+ −

2 1

Số điểm mà học sinh này đạt được là bao nhiêu?

A. 5,0 điểm B. 2,5 điểm C. 7,5 điểm D. 10,0 điểm

Câu 33 Cho hai hàm số liên tục f và g liên tục trên đoạn [ ; ]a b Gọi F và G lần lượt là một nguyên

hàm của f và g trên đoạn [ ; ]a b Đẳng thức nào sau đây luôn đúng?

A. ( ) ( )d [ ( ) ( )] ( ) ( )d

b a

đó F và G là các nguyên hàm của f và g Trong các biến đổi sau đây, sử dụng tích phân

từng phần ở trên, biến đổi nào là sai?

G = , (2) 2G = và

2

1

67( ) ( )d

12

12

Câu 39 Cho hai số thực a và b thỏa mãn a b< và sin d

a

∫ , đồng thời acosa =0 và cos

b b= −π Tích phân cos d

b a

d

0 2 1

u

I =∫ u D.

1 2 0

d7x 12

d( 1)

x x I

x

=+

0

(2 x) cosx cos dx x

π π

0

(2 x) cos dx x

π π

2 5 0

d(1 )

x x x

1 ( 1)

d2

t t t

−

5 1

( 1)d

t t t

−

4 1

1 ( 1)

d2

t t t

−

4 1

3 ( 1)

d2

t t t

−

4 3 4 1

1d( 1)

1 3ln

1 3ln

4 2

Câu 47 Cho hai tích phân

2 3 0

3 xd

ke x

2 3 2 0

( 5 ) ln ( 5)d

e e

1 1

e e

x − x x +∫ x− x

1 1

e e

1 1

( 5) ln ( 5 )d

e e

x− x −∫ x − x x

3∫u u B.

2 2 0

2d

3∫u u C.

2 3 1

2

3 2 1

dx x

− ++

260

230

3

VẬN DỤNG THẤP

3 2 0

3 2

∫ có giá trị bằng

Câu 68 Giá trị của tích phân

1 2

2 0

1d1

Câu 69 Giá trị của tích phân

1 2 0

d1

x I

x

=+

d

x I

0 3 1

x x I

Câu 76 Giá trị của tích phân 5( 3)6

4 2

d1

x

x

++ +

d(2 1)

1d

1 1 2

x

x x

+

=+ +

101 0

d(1 )

x

x

=+

Câu 85 Giá trị của tích phân

2 3

0

sind

sin dsin cos

Câu 94 Giá trị của tích phân 2 4 2

x x I

Câu 101 Giá trị của tích phân

e

=+

1

e e

x x

Câu 103 Giá trị của tích phân

Câu 104 Giá trị của tích phân

( )

ln 3

3 0

d1

x x

e e

x I

Câu 112 Giá trị của tích phân 2

0

ln(1 )

d1

A B

A B

A B

A B

Câu 118 Cho

1 2

d1

x

t I

t

=+

∫ Tích phân nào sau đây có giá trị bằng với giá trị của tích phân đã cho

1

d1

x t t

x t t

+

1

2 1

d1

x t t

+

1

2 1

d1

x t t

−+

∫

6

1ln(sin )dsin

−

Câu 121 Giá trị của tích phân

3

8

d1

x I

x

=+

−

Câu 130 Cho hàm số f liên tục trên đoạn [ ; ] a b và có đạo hàm liên tục trên (a b; ), đồng thời thỏa mãn

b

f x a

b

f x a

11

x x

+ bằng

D - ĐÁP ÁN VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

1cos3 d sin 3 0

3

π π

•

0 0

0 0

2dx=2x =2

2

0 0

cos ddx sinx− 2sin1

cos dx x sinx− 2sin 2

1 1

f x x

−

=

∫ với mọi số thực a Trong

các lựa chọn ở đây, chỉ có hàm số y= f x( )=sinx là lẻ, nên đó là đáp án của bài toán

x

x

−

1 1ln

dx lnx x

d( )

( )d

b b

a b a

a

f x x

f x x

3

3 0 0

0

2 0

3( 1)

Phương pháp trắc nghiệm

Phương pháp tự luận tốt hơn cả, nhưng nếu học sinh không nắm rõ, có thể thay f bởi một hàm

số đơn giản, xác định trên [0;1] và tính toán

Ví dụ ( )f x = với x x ∈[0;1] Khi đó

1( )d d

Nhập các phép tính sau vào máy tính để thu kết quả:

x

π π

2(1 )d

Với hàm số f bất kỳ và số thực dương a , ta luôn nằm lòng 2 tính chất sau đây:

• Nếu f là hàm số lẻ trên đoạn [ ; ]−a a thì ( )d 0

a a

Nếu học sinh không nắm rõ hai tính chất kể trên, có thể thay f bởi một hàm số đơn giản, xác

định trên [ 2;2]− và tính toán Ví dụ ( )f x = với x x ∈ −[ 2; 2] Khi đó

= − +∫ Vậy biến đổi ở câu C là sai

( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d (2)

( 2) 3

(2) (0) (0) ( )2

( ) ( )d ( ) ( ) ( ) ( )d (2) (2) (1) (1) ( ) (

3 67 11

.2

dx x

21d

1 ( 1)

d2

1 1

1 1

3 2

549

5494

dx x

− ++

∫

Bước 2: Bấm SHIFT STO A để lưu vào biến A.

− =+

∫ Vậy đáp án là 2

1 1

( 1)

t t I

∫ , rồi đặt t= 1+ sẽ tính nhanh hơn x

x= −Khi x= ⇒ =0 t 2 ; khi x= ⇒ =4 t 4

d8

tan

22

4

x x

x

ππ

sin 4

d3

1 sin 24

1

2 1d

π π

π

ππ

ππ+ =∫ = (2) Từ (1) và (2) suy ra

11 0

10!! 2.4.6.8.10 256cos d

1

2 0

=(t2−2t) 01 + 2ln(t2+ 1t + )10=2 ln3 –1

3 0

[Phương pháp trắc nghiệm]

Bấm máy tính 2 4

2

3cos d

6

2 2 6 6

1ln(s in )d cot ln(sin ) cot dsin

π π π π

cos cos cos cos (2 sin ) sin 2

0 0

0

1d