Chứng minh Xét mô hình Hyperboloid Vì qua hai điểm phân biệt của I n tồn tại duy nhất một không gian con tuyến tính hai chiều của R n+1 nên theo định lý 1.1 ta có điều phải chứng minh.
Trang 1Chơng II
hình học hyperbolic
⇓.1 trắc địa và không gian con hyperbolic
I.Trắc địa và không gian con Hyperbolic trong mô hình Hyperboloid 1.Trắc địa Hyperbolic
Định lý 1.1 Cho x∈ ; ∈ n : (n,1) = 1
x
n y T I y y
bắt đầu tại x với vận tốc y là giao của I n với không gian con tuyến tính của R n+ 1 sinh bởi x và y Hơn nữa nó đợc cho bởi tham số hoá
R∋t ch(t).x+sh(t).y
Chứng minh
Gọi W là không gian con tuyến tính hai chiều của I n sinh bởi x và
y , w là đờng trắc địa cực đại của I n bắt đầu tại x với vận tốc y
Xét Φ ∈O(I n) là phép đối xứng qua W, suy ra ( n)
W
; id
đầu tại Φ (x) =xvới vận tốc d xΦ (y) =y Do đó w là Φ −bất biến suy
ra w⊂W ⇒w⊆W ∩I n
Mặt khác dễ thấy γ :R∋t ch(t).x+sh(t).y là một tham số hoá của
n
I
W ∩ thoả mãn γ ( 0 ) =x, γ ′ ( 0 ) = y nên γ là tham số hoá của w
Nhận xét 1.2
Từ định lý trên suy ra mọi đờng trắc địa cực đại trong H n xác định trên toàn bộ R nên theo định lý Hopf-Rinow H n là đa tạp Riemann đầy đủ.
Hệ quả 1.3 Tồn tại một và chỉ một đờng trắc địa đi qua hai điểm phân
biệt của H n
Chứng minh (Xét mô hình Hyperboloid)
Vì qua hai điểm phân biệt của I n tồn tại duy nhất một không gian con tuyến tính hai chiều của R n+1 nên theo định lý 1.1 ta có điều
phải chứng minh
Mệnh đề 1.4 Cho x∈S ,y∈T S n : y y = 1
x n
,khi đó đờng trắc địa trên S n
bắt đầu tại x với vận tốc y là giao của S n với không gian con tuyến tính hai chiều của R n+ 1 sinh bởi x và y Hơn nữa nó đợc cho bởi tham số hoá
R ∋t cos(t).x+ sin(t).y
Trang 2Chứng minh
Gọi W là không gian con tuyến tính hai chiều của R n+ 1 sinh bởi x
và y , w là đờng trắc địa cực đại của S n bắt đầu tại x với vận tốc y
Xét Φ là phép đối xứng tuyến tính trực giao qua W suy ra
)
W
; id
)
(w
Φ là đờng trắc địa bắt đầu tại Φ (x) =x với vận tốc d xΦ (y) =y Do
đó w là Φ −bất biến suy ra w⊂W ⇒w⊆W∩S n
Mặt khác dễ thấy γ :R∋t cos(t).x+ sin(t).y là một tham số hoá của W∩S n thoả mãn γ ( 0 ) = x, γ ′ ( 0 ) =y nên γ là tham số hoá của w
2.Không gian con Hyperbolic
Định nghĩa 1.5 Tập con N của H n là một không gian con Hyperbolic nếu
nó chứa trắc địa đầy (trắc địa cực đại) đi qua hai điểm bất kỳ của nó
Định lý 1.6 N ⊆I n là một không gian con Hyperbolic nếu và chỉ nếu N là
giao của I n với một không gian con tuyến tính của R n+ 1
Chứng minh
Giả sử M là một không gian con tuyến tính của R n+ 1 Khi đó qua hai điểm bất kỳ của M ∩I n tồn tại một không gian con tuyến tính hai chiều W của R n+ 1 Hiển nhiên W ⊆M suy ra trắc địa đầy qua hai điểm
đó là W∩I n⊆M∩I n Suy ra M ∩I n là một không gian con Hyperbolic
Đảo lại, giả sử N là không gian con Hyperbolic của I n Gọi M
là bao tuyến tính của N thì hiển nhiên N =M ∩I n
Nhận xét 1.7
(1) Các điểm và các trắc địa đầy là các không gian con Hyperbolic
(2) Từ định lý 1.6 suy ra không gian con Hyperbolic là đa tạp con của H n ,
do đó số chiều của không gian con Hyperbolic đợc xác định
(3) Cho M là không gian con Hyperbolic , a∉M, γ là cung trắc địa qua a và
Φ
≠
∩M
γ Khi đó γ ∩M gồm duy nhất một điểm
Thực vậy
Nếu γ ∩M chứa 2 điểm phân biệt thì γ ⊂M và do đó a∈M Vô lý
II.Trắc địa và không gian con hyperbolic
trong mô hình đĩa và mô hình nửa không gian
Chú ý 1.8 1) Không gian con Affin Y của R n+ 1 đợc gọi là thẳng đứng nếu
nó có dạng Y′ +R.e n trong đó Y′ là một không gian con Affin của R n+ 1
và e n = ( 0 , , 0 , 1 )
Trang 32) Cho M 1 , M 2 là các mặt cầu hoặc các không gian con Affin (hoặc các bộ phận của chúng ) trong R n+ 1, dim M 1 = m 1 , dim M 2 = m 2 Khi đó M1 ⊥M2 ⇔ ∀x∈M1 ∩M2 ,W =T x M1 ∩T x M2 ta có
W = max 0 , 1+ 2−
dim và phần bù trực giao của W trong T x M 1 và T x M 2 là trực giao với nhau
3) Khi nói mặt cầu ,ta hiểu số chiều của nó có thể nhỏ hơn hoặc bằng số chiều của siêu cầu
Định lý 1.9 N ⊂D n là một không gian con Hyperbolic nếu và chỉ nếu N
là giao của D n với một không gian con tuyến tính của R n hoặc với một mặt cầu trực giao với ∂D n
Đặc biệt cung trắc địa trong D n đợc cho bởi tham số hoá của đờng kính của D n và phần đờng tròn trực giao với ∂D nnằm trong D n
Xét p là phép chiếu nổi cực ( 0 , , 0 , − 1 ) từ { ∈ + 1 : +1 > 0}
n
n x R x
vào R n ì{ }0 Ta có p I n là vi phôi đẳng cự của I n lên D n + Giả sử N là không gian con Hyperbolic của D n chứa 0 Khi đó
)
(
1 N
p− là không gian con Hyperbolic của I n chứa (0, ,0,1) Theo định
lý 1.6 ta có p− 1 (N) =M∩I n với M là một không gian con tuyến tính của
1
+
n
R , suy ra N =p(M∩I n) = p(M) ∩D n Vì M ∋ ( 0 , , 0 , 1 ) nên p(M) là
không gian con tuyến tính của R n
+ Nếu N là không gian con Hyperbolic của D n chứa x ∈ D n { } 0\ thì xét phép nghịch đảo i cực 2
x
x
hệ số 12 − 1
x Ta có i∈Isom(D n) và
x
i( 0 ) =
Nh vậy i sẽ biến tập các không gian con Hyperbolic của D n chứa 0 thành tập các không gian con Hyperbolic của D n chứa x và ngợc lại
Khi đó i− 1 (N) là không gian con Hyperbolic của D n chứa 0 Theo trên
n
D Y
N
i− 1 ( ) = ∩ với Y là một không gian con tuyến tính của R n ,suy ra
n
D
Y
i
N = ( ∩ ) = ( ) ∩ Giả sử dimY = m
*) Nếu x∈Y thì i(Y) =Y ⇒N =Y∩D n
*) Nếu x∉Y , gọi X là không gian con tuyến tính sinh bởi Y và x Vì
X
x∈ nên i(X) =X suy ra i(Y) ⊂X Do Y là một siêu phẳng trong X và Y
x∉ nên i (Y) là siêu cầu trong X Suy ra i (Y) là mặt cầu m chiều
trong R n Mặt khác vì i bảo giác và Y ⊥ ∂D n nên i(Y) ⊥ ∂D n
Trang 4Định lý 1.10 N ⊂ ∏ n,+ là một không gian con Hyperbolic nếu và chỉ nếu N là giao của ∏n,+ với một không gian con Affin thẳng đứng hoặc với một mặt cầu trực giao với R n− 1 ì{ }0
Đặc biệt cung trắc địa trong ∏n, + đợc cho bởi tham số hoá của nửa đờng thẳng dựng đứng và nửa đờng tròn trực giao với R n− 1 ì{ }0 nằm trong ∏n, +
Xét vi phôi đẳng cự i : Dn → ∏ n, + ta có i biến không gian con
Hyperbolic của D n thành không gian con Hyperbolic của ∏n, +
Mặt khác i là phép ngịch đảo qua siêu cầu S( −e n, 2 ) nên i biến tập các
mặt cầu trực giao với ∂D n và các không gian con Affin qua O thành tập các mặt cầu trực giao với R n− 1 ì{ }0 và các không gian con Affin thẳng
đứng (và ngợc lại ) Do đó không gian con Hyperbolic của ∏n, + là giao của ∏n, + với không gian con Affin thẳng đứng hoặc với mặt cầu trực
giao với R n− 1 ì{ }0
Hình 2 Trắc địa Hyperbolic trong các mô hình đĩa và nửa không gian
của không gian Hyperbolic 2 chiều
Nhận xét 1.11
Trong ∏n, + ,không gian con Hyperbolic hai chiều ( mặt phẳng
Trang 5Hyperbolic ) là giao của ∏n, + với 2-phẳng Affin thẳng đứng hoặc với mặt cầu Euclid 2- chiều có tâm thuộc R n− 1 ì{ }0 Từ đó qua 3 điểm phân biệt không nằm trên cùng một trắc địa xác định duy nhất một mặt phẳng Hyperbolic
Hệ quả 1.12 Không gian con Hyperbolic p chiều trong H n vi phôi đẳng
cự với H p, (p≤n)
Vì phép nghịch đảo tâm 2
x
x
hệ số 12 − 1
x là đẳng cự của D n
biến x thành 0 nên ta luôn có thể giả sử không gian con Hyperbolic của n
D là chứa 0
Giả sử không gian con Hyperbolic của D n có số chiều là p, suy ra nó là
giao của D n với không gian con tuyến tính p chiều của R n do đó nó là
đĩa p chiều
Mặt khác từ định lý 6.1 chơng I suy ra hạn chế của metric của D n
trên đĩa p chiều trùng với metric trong D n Từ đó ta có điều phải chứng minh
⇓.2 Khoảng cách Hyperbolic
I.Độ dài cung và khoảng cách trên đa tạp Riemann.
1.Độ dài cung
Trên đa tạp Riemann (M , M) cho cung tham số γ :[ ]a,b →M t γ(t)
nhẵn từng khúc (lớp Ck)
Độ dài cung γ đợc xác định bởi L dt dt
b a
b
M
= )
2.Khoảng cách
Hàm khoảng cách trên (M , M) là hàm số
( , ) ( , ) inf{ ( )}
:
γ
γ L q
p d q p
R M M d
=
→
ì
Trong đó γ là cung nhẵn từng khúc trong M nối p và q.
Chú ý Mọi cung trong M nối p và q có độ dài bằng d(p,q) khi và chỉ khi
nó là cung trắc địa (và đợc gọi là cung trắc địa cực tiểu) (xem[3])
II.Công thức khoảng cách Hyperbolic
Trang 61.Công thức khoảng cách trong I n
Định lý 2.1 Nếu x , y∈I n thì
= )
I x , y ach x y
Chứng minh
Gọi u là vector tiếp xúc đơn vị tại x dọc cung trắc địa định hớng xy
Khi đó xy có tham số hoá γ (t) =ch(t) x+sh(t) u
Ta có x= γ ( 0 ), y =ch(t0) x+sh(t0) u vói t0 > 0
Suy ra x y (n ,1) = x ch(t0 ) x+sh(t0 ).u (n ,1) = −ch(t0 )
0 0
0 0
t dt dt t y
, x d
t t
I( ) = ∫γ (′ ) =∫ =
Do đó d I(x , y) =ach(− x y (n ,1))
2.Công thức khoảng cách trong D n.
Định lý 2.2 Nếu x , y∈D n thì
+
−
−
=
2 1 2 2
2 1
2 ) , (
y x y x
y x ath
y x
d D
*Trờng hợp x ≡ ,0 y ∈ D n { } 0\
Một tham số hoá của cung trắc địa trong D n đi qua 0 và y là :
v t th t
2 ( : ∋
y
y
t ch
) 2 ( 2
1 )
′
) ( 1
2 )
2 2 2
=
′
−
=
t
γ γ
Mặt khác γ ( 0 ) = 0và với γ (t) =th(t 2 ).v =y suy ra
y ath t
y t
th( 2 ) = ⇒ = 2
y ath y
ath
D
0
2 )
, 0 (
2
0 2
0
=
=
′
=
Hiển nhiên công thức trên đúng với y=0.
*Trờng hợp x≠ 0
Xét phép nghịch đảo , : 0 2 , 12 1
=
x x
x x i
2 2
1 ) (
x
x x
x z
x x z x z
−
−
−
=
Suy ra i∈Isom(D n) và i(x) = 0
Trang 7Do đó d D(x,y) =d D(i(x),i(y))=d D(0 ,i(y))= 2ath i(y)
Ta có
2 2 2
2
2 2
2
1 )
(
x x x
x y
x x y x y
−
−
−
=
2 2
2 2 2
2
2 2
1 1 1
2 1
x y
x x x y
x x
x y
x
+
−
−
− +
−
−
=
2 2
2
2 2
1 1 2
1
x x
x y
x y x x
+
−
−
−
−
=
2
x x x
2
2 2 2
2 2
2 1
2 1 1 2
1 )
(
y x y x x
y x y x x
y x x y
i
+
−
+
− +
−
−
−
=
2 2
2
2 2
2 1 2
1
2
y x y x
y x y
x y x
y y x x
+
−
−
= +
−
+
−
=
Vậy
+
−
−
=
=
2 1 2 2
2 1
2 ) ( 2 ) , (
y x y x
y x ath
y i ath y
x
3.Công thức khoảng cách trong ∏n,+ .
Định lý 2.3 Nếu ( ) ( ) x , t , y , s ∈ ∏ n, + thì
1
2 2
2 2
) (
) ( 2
) , ( ), , (
+ +
−
− +
−
=
∏
s t y x
s t y x ath s y t x d
n
n n
e z
e z z
D
+
+
∏
2 , : 2
Vì i là phép nghịch đảo qua một siêu cầu nên i là phép biến đổi đối hợp.
Khi đó ∀ ( x , t ), ( y , s ) ∈ ∏ n,+ ta có
( ,( tx (), sy ), ) d ( i 1( x ),, it 1( sy ), ) d ( xi ,( it (), sy ), )
∏
) 1 , (
) 1 , ( 2 ) ,
+
+
=
=
t x
t x t
x
i
) 1 , (
) 1 , ( 2 ) ,
+
+
=
=
s y
s y s
y i Y
Khi đó
Trang 8( )
+
−
−
=
=
∏
2
1 2 2
2 1
2 ) , ( ) , ( ), , (
Y X Y X
Y X ath
Y X d s y t x
Bằng các phép tính đơn giản ta có
2 2
2 2
2
) 1 (
) 1 (
+ +
− +
=
t x
t x
2 2
2
) 1 (
) 1 (
+ +
− +
=
s y
s y Y
2 2 2 2
) 1 ( )
1 (
1 1
4
+ + +
+
−
−
−
− +
=
s y t
x
y s x
t y
x Y
X
2 2
2
) 1 ( )
1 (
) ( 4
+ + +
+
− +
−
=
−
s y t
x
s t y x Y
X
2 2
2 2
) 1 ( )
1 (
) ( 4
2 1
+ + +
+
+ +
−
= +
−
s y t
x
s t y x Y
X Y X
2 2
2 2 2
) (
) ( 2
s t y x Y
X Y X
Y X
+ +
−
− +
−
= +
−
−
⇒
1
2 2
2 2
2
) + ( +
−
)
− ( +
−
= ) ( (
∏
s t y x
s t y x ath s, y , t, x
Nhận xét 2.4 Trong trờng hợp n=2 ta thấy lại các công thức khoảng cách
Poincaré
− +
−
=
−
−
=
∈
y x y
y x y y
y x ath y
x d D y
1
1 ln 1
2 ) , ( :
*
−
−
−
− +
−
=
∏
y x y x
y x y x y
x d y
x, 2 , : ( , ) ln
Nh vậy các công thức khoảng cách trong D n và ∏n,+ là sự tổng quát các công thức khoảng cách Poincaré
0 ∈H ,r∈R+
x n Mặt cầu Hyperbolic tâm x0 bán kính r
trong H nlà tập hợp S x r {x H n d H x x r}
H( 0, ) = ∈ : ( 0, ) =
Hệ quả 2.6 Mặt cầu Hyperbolic trong D n là một mặt cầu Euclide trong
n
R khác tâm và bán kính Cụ thể S D(a,r) ≡S E(b, ρ )
Trong đó a∈D n,r∈R+*
) 2 ( 1
1 ) 2 ( :
) 2 ( 1
) 2 ( 1
2 2 2 2
2 2
r th a
a r
th r
th a
r th a
b
−
−
=
−
−
Trang 9Chứng minh
a x ath
x a d r a S
+
−
−
=
⇔
∈
∀
2 1 2 2
2 1
2 ) , ( )
, (
Vì 0 2 2 ( 2 ) 1
<
<a th r nên nhân (*) với (1 2 2 ( 2 ))
r th a
2
r th a r
th a x r
th
a
x
2
) 2 / (
1 ) 2 (r a
=
2
2 2
2 2
2
2 2 2
) 2 ( 1
1 ) 2 ( )
2 ( 1
) 2 ( 1
−
−
=
−
−
−
⇔
r th a
a r
th r
th a
r th a
trong đó
) 2 ( 1
1 ) 2 ( :
) 2 ( 1
) 2 ( 1
2 2 2 2
2 2
r th a
a r
th r
th a
r th a
b
−
−
=
−
−
Hệ quả 2.7 Mặt cầu Hyperbolic trong ∏n,+ là một mặt cầu Euclide trong R n khác tâm và bán kính Cụ thể S∏ ( ) a ,( s ), r = SE b ,( ρ )
Trong đó (a,s)∈∏n,+,r∈R+* b= (a,s.ch(r)), ρ =s.sh(r).
Chứng minh
( ) ( ) a rs d tx sa r S
tx ∈ ⇔ =
∀ ),( ∏ ( ),, ∏ ( (),, ),
) (
) (
1 2 2
2 2
r th ts r
th s
t a x r s
t a
x
s t a
x
+ +
−
− +
−
⇔
) ( 2 ) 2 ( 1
) 2 ( 1
2 2
2 2
r ch ts r
th
r th ts s t
a
−
+
= + +
−
⇔
2 2
)) ( ( )) ( , (
)
,
(x t −a s ch r = s sh r
) , ( )
,
(x t ∈S E b ρ
⇔ trong đó b= (a,s.ch(r)), ρ =s.sh(r).
⇓.3 lợng giác Hyperbolic
I.Định nghĩa
1.Định nghĩa 3.1 Tam giác trắc địa Hyperbolic (gọi tắt là tam giác H-trắc
địa) trong H n là tam giác có các cạnh là các cung đoạn trắc địa trong H n 2.Góc trong của tam giác H-trắc địa
Cho tam giác H-trắc địa có các đỉnh x, y, z với các góc trong tơng ứng A,B,C
Trang 10Gọi α và β lần lợt là cung trắc địa định hớng từ x đến y và
từ x đến z u, v là các vector tiếp xúc đơn vị của α và β tại x
Đặt A= ∠(u,v) ,tơng tự ta xác định đợc các góc B và C Từ đó suy ra các góc trong của một tam giác H-trắc địa đều nằm trong khoảng (0 , π)
II.Hệ thức lợng giác Hyperbolic trong tam giác H-trắc địa
1.Định lý 3.2 (Định lý hàm số ch dạng 1)
Cho tam giác H-trắc địa ABC có các cạnh tơng ứng là a,b,c Khi đó
cha=chb.chc−shb.shc cosA
Gọi x, y, z là các đỉnh của tam giác H-trắc địa ABC u, v là các
vector tiếp xúc đơn vị tại x dọc các cung trắc địa định hớng xy, xz Khi đó
cung trắc địa xy có tham số hoá :
γ (t) =x.ch(t) +u.sh(t)
Vì γ ( 0 ) =x và d I(x,y) =c
nên y= γ (c) =x.chc+u.shc
Tơng tự z =x.chb+v.shb
Suy ra
) 1 , ( )
1 , ( )
1
,
(n x.chc u.shc x.chb v.shb n chb.chc shb.shc.u v n
z
Vì u, v là các vector đơn vị nên u v (n,1) = cos ∠ (u,v) = cosA
Mặt khác theo định lý 2.1 ta có y z (n,1) = −cha
Từ đó suy ra cha =chb.chc−shb.shc cosA
Hệ quả 3.3 ( Định lý Pythagore-Hyperbolic )
Trong tam giác H-trắc địa ABC vuông ở A ta có
chc chb cha=
Từ định lý hàm số ch dạng 1 cho A=π2 ta có điều phải chứng minh
*) Từ đó suy ra trong tam giác vuông H-trắc địa ,cạnh huyền luôn lớn hơn cạnh góc vuông
Hệ quả 3.4 (Định lý hàm số sh )
Trong tam giác H-trắc địa ABC ta luôn có
C
shc B
shb A
sha
sin sin
Trang 11Chứng minh
Theo định lý hàm số ch dạng 1 ta có A chb shb chc shc cha
.
.
1 2 2
2
.
1 cos
1
shc shb A
Và do đó
1 2 2
2
2 1
sin
c ch b ch a ch chc chb cha
shc shb sha A
sha
−
−
− +
Vì vế phải của (*) đối xứng đối với a, b, c nên ta có điều phải chứng
minh
Hệ quả 3.5 ( Định lý hàm số ch dạng 2 )
Trong tam giác H-trắc địa ABC ta có
C B
A C
B cha
sin sin
cos cos
.
=
Chứng minh
Theo định lý hàm số sh ta có
a sh
A shc
shb C
2
sin sin
.
với (*) ta suy ra
shc shb a sh
c ch b ch a ch chc chb cha C
B
.
2 1 sin
2 2
− +
Mặt khác theo định lý hàm số ch dạng 1 ta có
B cha sha chc shc chb
.
.
và C cha sha chb shb chc
.
.
shc shb a sh
c ch b ch a sh cha chc chb a ch A C
B
.
2 cos cos
.
2 2
2
= +
=
shc shb a sh
c ch b ch a ch chc chb cha
cha
.
2
1
2
2 2
2
(2)
Từ (1) và (2) suy ra
C B
A C
B cha
sin sin
cos cos
.
Hệ quả 3.6 Tổng các góc trong tam giác H-trắc địa ABC thoả mãn
π
<
+ +B C A
Giả sử π > A≥ B≥C> 0
sin sin
cos cos
.
=
C B
A C
B cha suy ra cos(B+C) > cos( π −A)
Nếu B+C≤ π thì B+C< π −A ⇒ A+B+C< π
Nếu B+C> π thì cos(B+C) > cos(A+ π )
A C B
A+ < + ≤ 2
⇒ π ⇒ π < A Vô lý