VỀ MỘT SỐ NỘI DUNG CỦA HÌNH HỌC ƠCLIT n CHIỀU TRONG CHƯƠNG TRÌNH TOÁN TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Cho không gian vectơ trên trườngK, tập A≠ ∅ mà các phần tử của nó được gọi là ii Với mọi bộ ba điểm M, N, P ∈ A ta có MN+NP = MP Không gian afin A, φ, V còn gọi là không gian afin A li

Bïi ThÞ Thu HiÒn VÒ mét sè néi dung cña h×nh häc ¬clit n chiÒu trong ch−¬ng tr×nh to¸n trung häc phæ th«ng

Kho¸ luËn tèt nghiÖp: §¹i häc S− ph¹m To¸n

Mục lục Trang Lời nói đầu 4

Chương1 PHẳNG, ĐƠN HìNH, HộP, KHOảNG CáCH 6

1.1 Phẳng 6

1.1.1 Một số khái niệm mở đầu 6

1.1.2 Định nghĩa phẳng 8

1.1.3 Vị trí tương đối của các phẳng 8

1.1.4 Định nghĩa sự trực giao các phẳng 9

1.1.5 Phương trình tham số của m- phẳng 12

1.1.6 Phương trình tổng quát của m- phẳng 13

1.2 Khoảng cách 13

1.2.1 Định thức Gram 13

1.2.2 Khoảng cách giữa 2 điểm 14

1.2 3 Khoảng cách từ một điểm đến một m- phẳng 15

1.2.4 Khoảng cách giữa hai phẳng 19

1.2.5 Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng 24

1.3 Hộp 26

1.3.1 Tâm tỉ cự 26

1.3.2 Tập lồi 27

1.3.3 Hộp 28

1.4 Đơn hình 29

Chương 2 một số phép biến hình 32

2.1 ánh xạ afin 32

2.1.1 các định nghĩa 32

2.1.3 Các định lí cơ bản 34

2.1.4 Biểu thức toạ độ 34

2.1.2. Phép chiếu song song trong An, En 35

2.2 Biến đổi afin 37

2.2.1 định nghĩa 5 37

2.2.2 Các định lí 37

2.2.3 Phép tịnh tiến 38

2.2.4 Phép vị tự 38

2.2.5 Phép thấu xạ afin 39

2.2.6 Phép thấu xạ trượt afin 40

2.2.7 Biến đổi đối hợp 40

2 3 ánh xạ đẳng cự 40

2.3.1 Các định nghĩa 40

2.3.2 Phép đối xứng qua m- phẳng 41

2.3.3 Phép quay quanh n- 2 phẳng 42

2 3.4 Dạng chính tắc của biến đổi đẳng cự 43

2.4 ánh xạ đồng dạng 45

2.4.1. các định nghĩa 45

2.4.2 Các định lí 45

2.4.3 Dạng chính tắc của biến đổi đồng dạng 46

Chương 3 Một số bài tập 48

Lời nói đầu

Chương trình hình học cao cấp của các trường Đại học Sư phạm của những năm gần đây chủ yếu gồm ba loại không gian hình học n chiều: Không gian afin, không gian Ơclit và không gian xạ ảnh Do tính chất trừu tượng và tổng quát của không gian đó nên việc học tập của sinh viên có nhiều khó khăn nhất là khi mới bắt

đầu Việc để hiểu và vận dụng được những kiến thức được trang bị ở trong trường

Đại học vào công tác giảng dạy sau khi ra trường là một trong những yêu cầu và là nhiệm vụ của người sinh viên khi đang ngồi trên ghế trường Đại học Đây là một trong những yêu cầu có tính nguyên tắc của việc học đi đôi với hành mà không phải sinh viên nào cũng có thể làm được và làm tốt nó Ngoài việc được học những kiến thức do giáo viên cung cấp, bản thân mỗi sinh viên cần phải tự tìm hiểu, tự nghiên cứu để thấy được mối liên hệ giữa kiến thức ở bậc học Đại học và những kiến thức

được giảng dạy sau này ở bậc phổ thông

Đề tài “Về một số nội dung của hình học Ơclit n chiều trong chương trình Toán THPT” sẽ giúp chúng ta một phần nhỏ trong việc giải quyết khó khăn khi tìm mối liên hệ giữa kiến thức ở bậc học Đại học và những kiến thức được giảng dạy sau này ở bậc phổ thông

Ngoài lời nói đầu, mục lục, tài liệu tham khảo, nội dung của đề tài bao gồm 3 chương:

Chương 1 Phẳng, đơn hình, hộp, khoảng cách

Chương 2 Một số phép biến hình

Chương 3 Một số bài tập

Chương 1 và chương 2 trình bày các nội dung lí thuyết của hình học Ơclit n chiều

và sự đặc biệt của nó trong chương trình Toán THPT ở chương 3, các bài tập áp dụng trong không gian Ơclit n chiều và các kết quả của nó ở phổ thông

Chương1 PHẳNG, ĐƠN HìNH, HộP, KHOảNG CáCH

1.1 Phẳng

1.1.1 Một số khái niệm mở đầu

Định nghĩa 1 (Không gian afin)

Cho không gian vectơ trên trườngK, tập A≠ ∅ mà các phần tử của nó được gọi là

(ii) Với mọi bộ ba điểm M, N, P ∈ A ta có MN



+NP



 = MP





Không gian afin (A, φ, V) còn gọi là không gian afin A liên kết với không gian vectơ V trên trường K hoặc Alà K- không gian afin Không gian vectơ V liên kết với không gian afin Athường kí hiệu là

A Không gian afin Ađược gọi là n chiều

và viết

An nếu dimA

 = n

Đặc biệt nếu Alà tập hợp các điểm, V là tập hợp các vectơ trong mặt phẳng và trong không gian thông thường, ta có mặt phẳng afin và không gian afin thông thường đang sử dụng ở trường phổ thông

Định nghĩa 2 (Không gian vectơ Ơclit)

Không gian vectơ trên đó được trang bị một tích vô hướng được gọi là không gian vectơ Ơclit

Định nghĩa 3 (Không gian Ơclit)

Không gian Ơclit là không gian afin liên kết với không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều

Đặc biệt với n = 2 ta có không gian Ơclit E2(mặt phẳng Ơclit)

Với n = 3 ta có không gian Ơclit E3 thông thường ta đã nghiên cứu ở phổ thông Nhận xét:

- Mỗi không gian vectơ Ơclit hữu hạn chiều với cấu trúc afin chính tắc là một không gian Ơclit, chẳng hạn như Rn

- Các không gian afin thực n chiều đều có thể trở thành không gian Ơclit n chiều bằng cách trang bị một tích vô hướng cho không gian vectơ liên kết với không gian afin đã cho

Định nghĩa 4 (Mục tiêu trực chuẩn, hệ toạ độ trực chuẩn)

Mục tiêu afin (O; e
1, e

2, ,e

n ) của không gian Ơclit n chiều En được gọi là mục tiêu trực chuẩn (hay hệ toạ độ Đềcác vuông góc) nếu cơ sở
={e
1, e

2, ,e

n} của En là cơ sở trực chuẩn, tức là: e
i.e

j = ịj ,∀i j, = 1,n

Toạ độ của điểm đối với mục tiêu trực chuẩn gọi là toạ độ trực chuẩn

- Đặc biệt: + n = 2: Xét hệ trục toạ độ Đềcác vuông góc Oxy gồm 2 trục Ox, Oy vuông góc với nhau với 2 vectơ đơn vị i, j lần lượt trên 2 trục đó

Ta có : i
2 = 2

j = 1 và i j = 0 OM

i.k



= 0, OM

Cho không gian afin A liên kết với không gian vectơ
An , một điểm I thuộc Avà một không gian véctơ con α
 của
A Khi đó tập hợp:

Đặc biệt:

0- phẳng là một điểm;

1- phẳng gọi là đường thẳng;

2- phẳng gọi là mặt phẳng;

n- phẳng của không gian afin n chiều An chính là An;

(n-1)- phẳng của An gọi là siêu phẳng

Đặc biệt trong mặt phẳng E2, thì siêu phẳng chính là đường thẳng, còn trong không gian E3 thì siêu phẳng chính là mặt phẳng

- Các phẳng α và β gọi là cắt nhau nếu chúng có điểm chung

- Cái phẳng α gọi là song song với cái phẳng β nếu α
 là không gian con của β



- Các phẳng α và β gọi là chéo nhau nếu chúng không cắt nhau và không song

song với nhau

- Giao α∩ được hiểu theo nghĩa của lí thuyết tập hợp gọi là giao của hai cái βphẳng α và β

- Tổng α +β là giao của tất cả các phẳng chứa α và β và nó được gọi là tổng của hai cái phẳng α và β (còn gọi là phẳng tổng)

Định lí 1 Giao của hai cái phẳng α và β hoặc là một tập rỗng hoặc là một cái phẳng có phương α
 ∩ β



Hệ quả 1 Nếu phẳng α song song với phẳng β thì hoặc chúng không có điểm chung hoặc α nằm trong β

Hệ quả 2 Qua một điểm I đã cho, có một phẳng duy nhất song song với một phẳng α cho trước

(ii) W1 gọi là bù trực giao với W2 ⇔ W1 ⊥ W2 và

W1 ⊕ W2 = V

Đặc biệt trong không gian Ơclit En cho các phẳng α có phương α
 và phẳng β

có phương β



bï trùc giao víi nhau

Nh− vËy trong ch−¬ng tr×nh To¸n THPT sù trùc giao cña c¸c ph¼ng trong E2, E3

chÝnh lµ quan hÖ vu«ng gãc gi÷a ®−êng th¼ng víi ®−êng th¼ng, ®−êng th¼ng víi mÆt ph¼ng trong kh«ng gian

§Þnh lÝ 2: Hai ph¼ng trùc giao víi nhau cã kh«ng qu¸ mét ®iÓm chung Hai ph¼ng

bï trùc giao víi nhau cã mét ®iÓm chung duy nhÊt

+ Hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt cïng vu«ng gãc víi ®−êng th¼ng thø ba th×

chóng song song víi nhau b

+ Hai mÆt ph¼ng ph©n biÖt cïng vu«ng

gãc víi mét ®−êng th¼ng th× song song víi nhau :

(P) ⊥ d (Q) ⊥ d ⇒ (P) // (Q)

(P) ≡ (Q)

+ Qua mét ®iÓm O cho tr−íc, cã mét vµ

chØ mét ®−êng th¼ng vu«ng gãc víi mét mÆt

ph¼ng cho tr−íc

+ Hai ®−êng th¼ng ph©n biÖt cïng

vu«ng gãc víi mét mÆt ph¼ng th× song song

víi nhau

a ⊥ (P)

b ⊥ (P) ⇒ a // b

a ≡ b

Trong không gian afin n chiều An với mục tiêu đã chọn (O; ε), cho m- phẳng α

đi qua điểm I(b1, ,bn) và có phương α
 Chọn một cơ sở của α
 là α
1, , α
m và gọi toạ độ của chúng đối với cơ sở ε = (ε1

Đặc biệt khi n = 2 thì phương trình tham số của đường thẳng ∆ đi qua A(x0; y0) có

Phương trình tổng quát của mặt phẳng là: ax+ by+ cz+ d = 0

Đó là các kết quả ta đã biết ở trường phổ thông

Nhận xét: Cũng từ đó người ta định nghĩa thể tích của m- hộp H(P0, P1, Pm) được xác định bởi m+1 điểm độc lập P0, P1, Pm là một số, kí hiệu V(H), được xác định là: V(H)= Gr u u( ,1 2 , ,u m )







1.2.2 Khoảng cách giữa 2 điểm

1.2 3 Khoảng cách từ một điểm đến một m- phẳng

Định nghĩa 9 (Đường vuông góc chung)

Đường thẳng ∆ gọi là đường vuông góc chung của hai phẳng α và β nếu ∆ trực giao với cả α và β và ∆ cắt cả α và β

Hệ quả 6

Nếu phẳng α song song với phẳng β và phương α
 của phẳng α là không gian vectơ con của phương β
 của phẳng β thì với I thuộc α, đường thẳng đi qua I và trực giao với β, sẽ là đường vuông góc chung của α và β Vậy d(α,β)= d(I,β) với bất kì I ∈α



Định lý và khái niệm Trong không gian Ơclít n chiều En, cho điểm A và m- phẳng P Thế thì tồn tại duy nhất một điểm H thuộc m- phẳng P, sao cho với mọi

điểm M của P ta có: d(A, H)≤ d(A, M)

Khi đó khoảng cách d(A, H) được gọi là khoảng cách từ điểm A tới m- phẳng P, ký hiệu d(A, P) và điểm H gọi là hình chiếu vuông góc của điểm A trên mặt phẳng A

P H M

Khoảng cách từ điểm A đến m-phẳng P

d(A, P)= d(A, H) ≤ d(A, M)

Định lý 7 Trong không gian Ơclít n chiều En, cho điểm A và m- phẳng P đi qua điểm S và có phương P= L(u1
 ,u2 u

m) Khi đó khoảng cách từ A đến m- phẳng P được tính theo công thức [d(A, P)]2 = 1 2 1 2 ( , , )

( , )

m m Gr u u u SA Gr u u u









 (1)

Đặc biệt

Với n =2, goi e e1, 2




là một cơ sở trực chuẩn của E2

Trường hợp 1

m = 0, khi đó m- phẳng P chính là điểm S(x1; y1), điểm A(x0; y0).Vậy ta có công

1 0 1 0

(x ưx ) +(y ưy ) Trường hợp 2

m = 1, khi đó m- phẳng P là đường thẳng với phương trình tổng quát

∆: ax+by +c = 0 đi qua điểm S(x1, y1), có phương u = (b; -a), còn điểm A(x0; y0)

( )

Gr u SA

Gr u





+ Nếu u, SA là phụ thuộc tuyến tính, tức A∈ ∆ thì Gr u SA( , )





= 0 do đó d(A, P) = 0

+ Nếu u, SA là độc lập tuyến tính A∉ ∆ thì ta có Gr(u) = 2 2 b a + và do toạ độ của u = (b; -a) và SA

 = (x0- x1; y0-y1) nên ( , ) Gr u SA 

 = ư b a 2 0 1 0 1 ư ư x x y y = [b(y0 - y1) +a(x0- x1)]2 = (ax0+ by0+ c)2 (vì ax1+ by1+ c = 0) Suy ra d(A, ∆) = 0 0 2 2 + + + ax by c a b chính là khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong mặt phẳng ta đã học ở phổ thông

u1

S u1 H ∆

Với n = 3, gọi e e1, 2


 , 3  e là một cơ sở trực chuẩn của E3 Trường hợp 3: m = 0, khi đó m- phẳng P chính là điểm S(x1; y1; z1), còn A(x0; y0; z0) Vậy ta có công thức tính khoảng cách giữa hai điểm: d(A, P) = d(A, S) = 2 2 2 1 0 1 0 1 0 (x ưx ) +(y ưy ) +(z ưz ) Trường hợp 4: m = 1, khi đó m- phẳng P chính là đường thẳng ∆ có phương u = (a, b, c) đi qua điểm S(x1; y1; z1) Vậy với A(x0; y0; z0) ta có: [d(A, ∆)]2 = 1 1 ( , ) ( ) 

  Gr u SA Gr u = 2 1 2 1 [ , ]





 u SA u Vậy: + Nếu 1  u , SA là phụ thuộc tuyến tính (tức điểm A thuộc phẳng P) thì: [ 1



u ,SA] = 0



, do đó khoảng cách d(A, ∆) = 0 + Nếu 1



u , SA là độc lập tuyến tính (tức điểm A nằm ngoài phẳng P) thì ta có công

m = 2, khi đó m - phẳng P trong E3 là mặt phẳng với phương trình tổng quát

∆: ax+ by+ cz+ d = 0, còn điểm A(x0, y0, z0) Khi đó ta có công thức:

2 1

2

0 ư 1

c c

2 1

0 1 2

+ Nếu A∈ P thì 3 vectơ u1

,u2



,SA



) = 0 Vậy d(A, P) = 0



,SA



) = a(x0- x1)+ b(y0- y1)+ c(z0- z1) = ax0+ by0+ cz0+ d, vì ax1+ by1+ cz1+ d = 0

1 2[ ,u u ] = a +b +c

1.2.4 Khoảng cách giữa hai phẳng

Định nghĩa 10 Khoảng cách giữa hai cái phẳng α và β trong không gian Ơclit

En, kí hiệu d(α, β) là số: d(α, β)=

α β

∈

∈

M N

inf d(M, N)

Định lý và khái niệm

Trong không gian Ơclít n chiều En, cho p- phẳng P song song với q- phẳng Q.Với

điểm A tuỳ ý của p- phẳng P, thì d(A, Q) là một hằng số không phụ thuộc vào vị trí

của điểm A trong p- phẳng P Hằng số đó gọi là khoảng cách giữa hai cái phẳng

song song P và Q, ký hiệu d(P, Q)

Định lý 8 Trong không gian Ơclít n chiều En, cho m- phẳng P có phương p



và m-

 Nếu m- phẳng P và Q không có điểm chung thì chúng có

đường vuông góc chung và đường vuông góc chung đó là duy nhất khi và chỉ khi:

Định lí 9

Trong không gian Ơclít n chiều En, cho p- phẳng P đi qua điểm A và q- phẳng Q

đi qua điểm B Gọi u1,u2 , ., u m

Với p = 0 phẳng P là điểm A, q = 1 phẳng Q là đường thẳng, thì ta có công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng như trường hợp 2 của công thức tính khoảng cách từ một điểm đến một m- phẳng đã xét ở trên

+ Nếu P≠ Q, thì đặt A(x0; y0), B(x1; y1), P: ax+ by+ c’= 0, Q: ax+ by+ c = 0 Khi đó P // Q thì khoảng cách giữa hai cái phẳng song song P, Q là khoảng cách từ một điểm thuộc đường thẳng này tới đường thẳng kia mà ta đã gặp ở phổ thông Ta

Trường hợp 5

Với p = 0 phẳng P là một điểm A, q = 1 phẳng Q là một đường thẳng ∆ đi qua B

có phương u = (a; b; c), ta thấy lại trường hợp 4 của công thức (1) đó chính là khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng trong không gian mà ta đã gặp ở phổ thông d(A, ∆) = 0 nếu A∈ ∆,

v p q r Trong tr−êng hîp nµy cã thÓ chän vÐct¬ ph¸p tuyÕn cña mÆt ph¼ng Q lµ

+ Nếu u,v
1, v

2là độc lập tuyến tính thì không gian +




P Q chính là E
3(đường thẳng P cắt mặt phẳng Q) Khi đó Gr(u,v
1, v

2,


AB) = 0 và vì thế d(P, Q) = 0

+ Nếu u,v
1, v

2 là phụ thuộc tuyến tính thì do
v1, v

2 là độc lập tuyến tính nên

1.2.5 Khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng

Định lí 10 Trong không gian Ơclít n chiều En, cho điểm A(x1A, x2A, , xnA) và siêu phẳng P có phương trình tổng quát:

1

0 =+

N 2 i i=1

a x +a d(A, P)=

đến một siêu phẳng trong E2 đó chính là khoảng cách từ một điểm A đến một

đường thẳng ∆ trong mặt phẳng và ta thấy lại công thức đã nêu trong trường hợp 2 của công thức (1), đó là: Điểm A(x0; y0) và siêu phẳng ∆ với phương trình tổng quát:∆: ax+by +c = 0 đi qua điểm S(x1; y1),có phương u = (b, -a) Khi đó ta có: + d(A, P) = 0 nếu A∈ ∆

Với n = 3, thì siêu phẳng trong E3 là mặt phẳng do đó khoảng cách từ một điểm A

đến một siêu phẳng trong trường hợp này chính là khoảng cách từ một điểm đến một mặt phẳng (P) và ta thấy lại trường hợp 5 của công thức (1) đó là:

Siêu phẳng P trong E3 với phương trình tổng quát

∆: ax+ by+ cz+ d = 0, còn điểm A(x0; y0; z0) Khi đó ta có:

và khoảng cách từ một điểm đến một siêu phẳng trong En chính là khoảng cách giữa hai điểm, khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng, đến một mặt phẳng, khoảng cách giữa hai đường thẳng song song, chéo nhau, khoảng cách giữa đường thẳng song song với mặt phẳng, giữa hai mặt phẳng song song mà ta đã nghiên cứu

λ1GP


1 + + λkGP


k = 0

Điểm G đó được gọi là tâm tỉ cự của họ điểm P1, P2, , Pk gắn với họ hệ số λ1, ,

λk và kí hiệu (Pi, λi) Đặc biệt nếu λ1 = = λk (λk ≠ 0) thì G gọi là trọng tâm của họ

điểm (Pi, λi) Trong trường hợp này có thể thay λ1 = = λk = 1 và suy ra trọng tâm

G của hệ điểm P1, P2, , Pk được xác định bởi công thức

Định lí 11 Tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của họ điểm P1, P2, , Pk gắn với họ các hệ

số khác nhau là cái phẳng bé nhất chứa các điểm đó

Hệ quả 7 Nếu P là m- phẳng đi qua m+ 1 điểm độc lập P0, P1, , Pm thì P chính là tập hợp tất cả các tâm tỉ cự của họ điểm đó gắn với họ các hệ số khác nhau

Định lí 12 Cho P là m- phẳng đi qua m+ 1 điểm độc lập P0, P1, , Pm và O là điểm

tuỳ ý của En Điều kiện cần và đủ để điểm M thuộc phẳng P là

GA + GB + GC + GD = 0và O bất kì : OG =

4

1

(OA + OB + OC + OD)

Trọng tâm G của tứ giác chính là trung điểm đoạn thẳng nối trung điểm của hai

đường chéo hay G chính là trung điểm của KL, trong đó K, L là trung điểm của AC

và BD của tứ giác ABCD

Đặc biệt nếu tứ giác ABCD có AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, AC = e, BD = f thì

1.3.2 Tập lồi

Định nghĩa 11 (Định nghĩa đoạn thẳng)

Cho 2 điểm P, Q của En Ta gọi là đoạn thẳng PQ là tập hợp tất cả các điểm M của

điểm P, Q gọi là mút của đoạn thẳng PQ

Định nghĩa 12 (Tập lồi)

Tập hợp X không gian Ơclít n chiều En gọi là tập lồi nếu với mọi bộ hai điểm P,

Định nghĩa 15 Trong m- hộp H(P0, P1, Pm ), xét (m- 1)- hộp H’ xác định bởi (P0,

P1, Pm-1), gọi là đáy của hộp H Khoảng cách từ đỉnh Pm tới (m-1)- phẳng chứa H’ gọi là chiều cao của hộp ứng với đáy H’

Định lí 13 Thể tích hộp bằng tích của thể tích hộp đáy và chiều cao tương ứng

=

∑m i i

k = 1, k ≥ 0, i = 0,m} gọi là m-

đơn hình với các đỉnh P0, P1, , Pm trong đó O là điểm bất kì của En

Đơn hình S(P0, P1, , Pm) là một tập hợp lồi, hơn nữa nó là tập hợp lồi bé nhất chứa các đỉnh của nó (theo quan hệ bao hàm)

Khi m = 1, thì đơn hình S(P0, P1) là tập hợp các điểm M sao cho :

Định nghĩa 17 (Thể tích của m- đơn hình)

Cho m- đơn hình S(P0, P1, , Pm ) với các đỉnh

P0, P1, , Pm là một hệ (m + 1) điểm độc lập Ta P1 P3 P

 

Gr u u = 1 V(H)

2V(H)

Chương 2 một số phép biến hình

Định nghĩa 2 (đẳng cấu afin)

ánh xạ afin f : A→ A′giữa 2 không gian afin A và A‘ trên trường K gọi là phép đẳng cấu afin nếu f là song ánh

Không gian afin A gọi là đẳng cấu với không gian afin A‘ nếu có đẳng cấu afin

f : A→ A′ Khi đó ta kí hiệu A~

f

A′ Định nghĩa 3 (tỉ số đơn)

tỉ số đơn của 3 điểm phân biệt thẳng hàng P, Q, R là số λ thuộc trường K sao






và kí hiệu là [P Q R, , ] Định nghĩa 4 (tâm tỉ cự)

Trong không gian Ơclít n chiều En, cho k điểm P1, P2, , Pk và k số thực λ1, , λk của K thoả mãn λ1+ + λk ≠ 0 Khi đó tồn tại duy nhất một điểm G của Ensao cho:

λk và kí hiệu (Pi, λi) Đặc biệt nếu λ1 = = λk (λk ≠ 0) thì G gọi là trọng tâm của

họ điểm (Pi, λi) Trong trường hợp này có thể thay λ1 = = λk = 1 và suy ra trọng

tâm G của hệ điểm P1, P2, , Pk được xác định bởi công thức

1

1 k

i i

+ Nếu f: A→ A′, g: A′→ A′′ là những ánh xạ afin liên kết với f ,g

n + 1 điểm tuỳ ý M0’, M1’, , Mn’ trong không gian A’ Khi đó có một và chỉ một

ánh xạ afin duy nhất f: A→ A′ sao cho f(Mi) = Mi’, i= 0, 1, , n

Tính chất đẳng cấu afin

+ f: A→ A’đẳng cấu afin khi và chỉ khi ánh xạ tuyến tính liên kết của nó