Một số tính chất hình học của phép chiếu y nhị phân

Đồng thời khi xét hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất tương ứng với f t là hàm vectơ J → R thì một vấn đề được đặt ra khá tự nhiên là: Matrận At phải thỏa mãn tính chất nào, hàm f phả

Mục lục 3

Mở đầu 4

1 Các tính chất hình học của phép chiếu nhị phân 71.1 Các định nghĩa và tính chất hình học của phép nhị phân 71.2 Các tính chất cơ bản của nhị phân hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 111.3 Sự tồn tại nghiệm của hệ không thuần nhất và nhị phân của hệthuần nhất tương ứng 16

2 Các tính chất hình học của phép chiếu Ψ-nhị phân 192.1 Định nghĩa và các tính chất hình học 192.2 Phép chiếu Ψ−nhị phân mũ của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 212.3 Phép chiếu Ψ-nhị phân thường của hệ vi phân tuyến tính thuần nhất 32Kết luận 38Tài liệu tham khảo 39

3

Lý thuyết phương trình vi phân là bộ phận quan trọng trong toán học hiệnđại đang được phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng trong các ngànhkhoa học khác nhau.

Nhị phân trong lý thuyết ổn định là một sự mở rộng của khái niệm ổn địnhcủa hệ vi phân Các kết quả nghiên cứu đã được công bố và tổng hợp khá hệthống trong nhiều tài liệu khác nhau, tiêu biểu như W.A.Coppel [6],

Với mục đích mở rộng lớp phương trình vi phân tuyến tính ổn định, gầnđây Akinnyele đã đưa ra khái niệm Ψ−ổn định cấp k khi Ψ thuộc C(R+, R+),

R+ = [0, +∞) Constantin đề xuất khái niệm Ψ−ổn định và Ψ−bị chặn cấp

k khi Ψ ∈ C(R+, R+) Mochalo đề xuất khái niệm Ψ−ổn định, Ψ−ổn địnhđều, Ψ−ổn định tiệm cận Gần đây khi nghiên cứu về tính chất của Ψ−ổnđịnh các tác giả đã đề xuất khái niệm Ψ−nhị phân của phương trình vi phântuyến tính thuần nhất và đã có nhiều kết quả được công bố về vấn đề nàynhư Diamandescu, Phạm Ngọc Bội,

Vấn đề được đặt ra cụ thể như sau:

Trong không gian Rn với chuẩn

kxk = max{|x1|, |x2|, , |xn|} với x = (x1, x2, , xn)

Xét hệ vi phân thuần nhất

trong đó A(t) là ma trận cấp n × n liên tục trên J (thường thì ta xét J là

R+, R− hoặc toàn bộ đường thẳng R)

Giả sử Ψi : J → R, i = 1, 2, , n Đặt Ψ = diag{Ψ1, Ψ2, , Ψn}

Khi đó, hệ (1) được gọi là có Ψ−nhị phân mũ nếu không gian nghiệm của

nó phân tích được thành tổng trực tiếp của hai không gian con sao cho mộtkhông gian con chứa tất cả các nghiệm x(t) sao cho Ψ(t)x(t) → 0 với tốc độhàm mũ và không gian kia chứa tất cả các nghiệm x(t) sao cho Ψ(t)x(t) → ∞cũng với tốc độ hàm mũ Tương tự ta có khái niệm Ψ−nhị phân thường khikhông yêu cầu về tốc độ tiến tới 0 và ∞ của các nghiệm

4

Bài toán thường được quan tâm giải quyết đầu tiên là các điều kiện cần vàcác điều kiện đủ để hệ có Ψ−nhị phân trên J Trong trường hợp A(t) = A0 là

ma trận hằng, Ψ(t) là hàm hằng thì điều kiện để hệ (1) tồn tại Ψ−nhị phân

là khá đơn giản.Một trong những con đường tiếp cận và tìm tòi của các nhàToán học là trong trường hợp A(t) và Ψ(T ) thỏa mãn thêm các tính chất nàođó

Đồng thời khi xét hệ vi phân tuyến tính không thuần nhất tương ứng

với f (t) là hàm vectơ J → R thì một vấn đề được đặt ra khá tự nhiên là: Matrận A(t) phải thỏa mãn tính chất nào, hàm f phải thỏa mãn điều kiện nàothì phương trình (**) có nghiệm Ψ−bị chặn trên J Thông thường người tathường yêu cầu f thỏa mãn một trong các điều kiện: liên tục trên J , Ψ−khảtích trên J , Ψ−khả tích bị chặn trên J Về điều kiện của A(t), ngoài tính liêntục người ta còn yêu cầu các điều kiện khác nữa, một trong các điều kiện đặt

ra là A(t) làm hệ phương trình thuần nhất (1) tương ứng có nhị phân trên J

Với mục đích trên, luận văn được trình bày thành hai chương

Chương I Các tính chất hình học của phép chiếu nhị phân Với quanđiểm là chương cơ sở, trong chương này chúng tôi trình bày hệ thống kiếnthức của nhị phân và các kết quả chính giúp chúng tôi làm cơ sở nghiên cứuΨ−nhị phân Điểm đặc biệt được chúng tôi nhấn mạnh là hiểu phép chiếunhị phân thông qua các chứng minh minh họa tính chất hình học

Chương II Các tính chất hình học của phép chiếu Ψ-nhị phân Đây

là chương chính của luận văn Trong chương này đầu tiên chúng tôi vạch rõbiểu diễn hình học của nhị phân được mở rộng như thế nào để hình thànhkhái niệm Ψ−nhị phân và tìm ra biểu diễn hình học của nó Đồng thời chúngtôi trình bày những kết quả khi tiếp cận các bài toán đang được các nhà toánhọc trên thế giới quan tâm nghiên cứu Các Định lý 2.2.5, Định lý 2.3.4, Định

lý 2.3.5 là các kết quả chúng tôi đề xuất và chứng minh

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của T.S Phạm Ngọc Bội.Tác giả bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc vì những giúp đỡ tận tình của thầy trongcác bài giảng cũng như trong quá trình thực hiện đề tài

Tác giả cũng gửi lời cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán và khoa Đàotạo sau đại học, đặc biệt là các giảng viên trực tiếp giảng dạy chuyên ngành

vì những ý kiến đóng góp quý báu trong học tập và làm luận văn Cảm ơn

các anh, chị và các bạn học viên Cao học 13 - Toán vì những giúp đỡ, độngviên trong suốt khóa học.

Tôi cảm ơn gia đình, bạn bè đã dành sự quan tâm, ủng hộ cho bản thânkhi tôi học tập và cả trong quá trình hoàn thành luận văn

Vinh, tháng 12 năm 2007

Tác giả

CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA PHÉP CHIẾU NHỊ PHÂN

Sự phát triển theo hướng tự nhiên của lý thuyết ổn định cổ điển được phátsinh khi ta nhận thấy rằng điều kiện ổn định chỉ có trong một số hệ với cácđiều kiện chặt chẽ Lý thuyết nhị phân trong ổn định ra đời chính là sự thỏamãn cho một số câu hỏi trên

Trong chương này chúng tôi trình bày về lý thuyết nhị phân như là nhữngkiến thức cơ bản để làm cơ sở tìm kiếm những kết quả khi nghiên cứu về lýthuyết Ψ−nhị phân Nội dung chính của chương là trình bày các định nghĩacủa nhị phân, tìm ra các biểu diễn hình học đặc trưng của phép chiếu nhịphân cũng như các dấu hiệu chứng minh hệ có nhị phân và mối quan hệ vềtính có nghiệm của hệ không thuần nhất với tính có nhị phân của hệ thuầnnhất tương ứng

1.1 Các định nghĩa và tính chất hình học của phép nhị phân

Trong Rn xét hệ vi phân tuyến tính

trong đó n × n ma trận A(t) liên tục trên khoảng J mở trong R Các trườnghợp được nghiên cứu chủ yếu là khi J là các nửa đường thẳng R+, R− và toàn

bộ đường thẳng R Gọi X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ trên

1.1.1 Định nghĩa Một n × n ma trận P (t) được gọi là phép chiếu nếu thỏamãn P2(= P (t)

• Hệ phương trình (1.1) được gọi là có một nhị phân thường trên J nếu cácbất đẳng thức trên đúng với α = β = 0 hay tồn tại các hằng số dương

trong đó K0, L0, M0 là các hằng số dương và ξ là một vectơ hằng tùy ý

1.1.3 Nhận xét Trường hợp đặc biệt khi hệ (1.1) có nhị phân mũ với phépchiếu P = I thì mọi nghiệm x(t) của nó có tính chất:

kx(t)k 6 Ke−α(t−t0 )

kx(t0)k, t0 6 t; t, t0 ∈ J (*)Chứng minh Từ Định nghĩa 1.2 ta có

kX(t)X−1(t0)ξk 6 Ke−α(t−t0 )kξk; ∀ξ ∈ RnTrong công thức trên đặt ξ = x(t0) ta có kx(t)k = kX(t)X−1(t0)x(t0)k 6

Ke−α(t−t0 )kx(t0)k Điều phải chứng minh

Từ hệ thức (*) ta có hệ là ổn định mũ

1.1.4 Định nghĩa Giả sử không gian X được phân tích thành tổng trựctiếp của hai không gian con X1, X2, góc giữa hai không gian con X1, X2 kýhiệu là Sn được xác định bởi Sn(X1, X2) := inf

kx 1 k=kx 2 k=1kx1 + x2k trong đó

x1 ∈ X1; x2 ∈ X2 và giá trị inf của mọi cặp véc tơ đơn vị của X1 và X2

Giả sử phép chiếu P có hạng k và hơn nữa traceP = k và cho trước

α, β > 0 thì ta có:

1.1.5 Nhận xét Hệ (1.1) có một nhị phân mũ trên R+ thì:

• Có một không gian k−chiều của không gian nghiệm bao gồm các nghiệmdần tới 0 theo tốc độ hàm mũ khi t → ∞.

• Có một không gian (n − k)−chiều của các nghiệm dần tới ∞ khi t → ∞cũng với tốc độ hàm mũ

• Góc giữa hai không gian con dương đủ lớn để không gần bằng 0

Chứng minh

*) Ta chứng minh nhận xét đầu tiên Từ đó, do không gian cơ sở n-chiều nênkhông gian nghiệm của hệ (2.1) cũng có chiều là n suy ra nhận xét thứ haicũng được chứng minh Thật vậy:

Giả sử ξ1, ξ2, , ξk là n vectơ độc lập tuyến tính trong không gian Rk(0) =

P (0)Rn trong đó ξi = (c1i, c2i, , cni), ∀i = 1, 2, Khi đó ma trận

Gọi y1(t), y2(t), , yk(t) là k nghiệm của hệ (1.1) sao cho y1(0) = ξ1, y2(0) =

ξ2, , yk(0) = ξk Ta chứng minh {y1(t), y2(t), , yk(t)} là cơ sở của không giancác nghiệm thỏa mãn bất đẳng thức đầu tiên

Hệ đầy đủ Giả sử ngược lại hệ phụ thuộc tuyến tính, khi đó tồn tại

α2y2(t) + + αkyk(t) nên hệ là hệ sinh

Dễ thấy các nghiệm thuộc không gian nghiệm thỏa mãn bất đẳng thức thứnhất dần tới 0 với tốc độ hàm mũ có chiều là k Khẳng định đầu tiên đượcchứng minh.

*) Để chứng minh nhận xét thứ ba ta chứng minh bổ đề sau:

1.1.6 Bổ đề Giả sử không gian X được phân tích thành tổng trực tiếp haikhông gian con đóng X1L X2 với các phép chiếu tương ứng là P1, P2 thì

1

kPkk 6 Sn(X1, X2) 6 2

kPkk (k = 1, 2)Chứng minh Ta chọn một hằng số δ > Sn(X1, X2), khi đó tồn tại cặp vectơđơn vị x1, x2 của X1, X2 sao cho kx1 + x2k < δ

Trở lại với chứng minh nhận xét, ta gọi

X1 = {u|u = x(0); x(t) là nghiệm của hệ (1.1)}

đồng thời gọi P1, P2 là các phép chiếu không gian cơ sở lên X1 và không gianphụ với nó Suy ra tại thời điểm t bất kỳ thì Pk(t) = X(t)Pk(0)X−1(t) Kếthợp với bổ đề ta có

Sn(t) > 1

kPk(t)k =

1kX(t)Pk(0)X−1(t)k > 1

M > 0

Do M là hằng số, Nhận xét được chứng minh

Như vậy, ta thấy ý nghĩa hình học của nhị phân chính là sự phân tíchkhông gian nghiệm thành tổng trực tiếp của hai không gian trong đó khichiếu các nghiệm lên một không gian thì nghiệm sẽ tiến tới 0 với tốc độ hàm

mũ và lên không gian còn lại thì nghiệm sẽ tiến tới ∞ cũng với tốc độ hàmmũ

1.1.7 Ví dụ Hệ vi phân x0 = A0x, với A0 là ma trận hằng, có một nhị phân

mũ trên R+ nếu không có giá trị riêng nào của A0 có phần thực bằng 0 và cómột nhị phân thường nếu mọi nghiệm có phần thực bằng 0 đều không có ước

sơ cấp đơn

Chứng minh

*) Nếu mọi nghiệm của A0 đều có phần thực khác 0

Gọi λ1, λ2, , λn là các nghiệm của đa thức đặc trưng A0 − λI sao choReλi < 0 (i = 1, 2, , k) và Reλi > 0 (i = k + 1, k + 2, , n) Khi đó tagọi X1 là không gian con của Rn sinh bởi các giá trị ban đầu của các nghiệm

λ1, λ2, , λk và X2 là không gian con của Rn phụ với X1 và P là phép chiếu

Rn lên X1 Khi đó với mọi t > s > 0 và α = sup

|X(s)(I − P )X−1(t)| 6 e−β(s−t)Vậy hệ có một nhị phân mũ

*) Hoàn toàn tương tự ta chứng minh được ảnh của nghiệm cơ bản của hệ là

bị chặn trên R+ qua các phép chiếu lên không gian con sinh bởi giá trị banđầu của các nghiệm có phần thực không dương và phép chiếu phụ với nó nên

hệ có nhị phân thường trên R+

1.2 Các tính chất cơ bản của nhị phân hệ vi phân tuyến tính thuầnnhất

1.2.1 Mệnh đề Phương trình (1.1) có một nhị phân mũ trên R+ nếu tồntại các hằng số dương T > 0, S > 0 và 0 < β < 1 sao cho mọi nghiệm x(t)

của phương trình (1.1) thỏa mãn

|x(t)| 6 C|x(s)| với 0 6 s 6 t 6 s + Tvà

|x(t)| 6 θ sup

|u−t|6T |x(u)| với mọi t > T (1.4)Chứng minh Trước hết giả sử x(t) là nghiệm không tầm thường bị chặn của(1.1) và với s> 0 đặt

|x(tn)| 6 θ sup

06u6t n +T

|x(u)|

và |x(u)| < θ−1|x(tn)| với 0 6 u 6 tn+1, giả sử t 6 s và tm 6 t < tm+1,

là không gian con phụ với với V1 Với vectơ đơn vị ξ ∈ V2, đặt x(t) = x(t, ξ)

là nghiệm có giá trị bằng ξ tại t = 0 thì x(t, ξ) là không bị chặn và từ đó tồntại giá trị bé nhất t1 = t1(ξ) sao cho |x(t1, ξ)| = θ−1C Chúng ta sẽ chứng tỏrằng giá trị t1(ξ) là bị chặn Thật vậy, ngược lại giả sử tồn tại dãy các vectơđơn vị ξν ∈ V2 sao cho t(ν)1 = t1(ξν) → ∞ Theo tính chất compact của hìnhcầu đơn vị trong V2 chúng ta có thể giả sử rằng ξν → ξ, ở đây |ξ| = 1 Thì

x(t, ξν) → x(t, ξ) với mọi t > 0,

Từ |x(t, ξν)| < θ−1c với0 6 t < t(ν)1 kéo theo

|x(t, ξ)| 6 θ−1c với 0 6 t < ∞,Đây là điều mâu thuẫn bởi vì ξ ∈ V2

Vì vậy tồn tại T1 > 0 sao cho t1(ξ) 6 T1 với mọi ξ,và mọi nghiệm x(t) vớix(0) ∈ V2 thì thoả mãn

|x(t)| 6 Ke−α(s−t)|x(s)| với T1 6 t 6 s < ∞

Chúng ta tiếp tục xét khả năng biến đổi phép chiếu trong một phép chiếunhị phân với hàm ma trận cơ bản đã cho Giả sử phương trình (1.1) có mộtnhị phân mũ hoặc nhị phân thường (1.2) với phép chiếu P, tương ứng với matrận cơ bản X(t) với X(0) = I Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng nếu P0 là phépchiếu có miền ảnh trùng với miền ảnh của P thì phương trình (1.1) có mộtnhị phân mũ hoặc nhị phân thường với phép chiếu P0

Thật vậy

P0P = P, P P0 = P0,

nên (1.1) có một nhị phân với phép chiếu P’, hằng số α, β không đổi và hằng

số K, L tương ứng là nhân của 1 + L|P0 − P |, 1 + K|P0− P |

Trong trường hợp nhị phân mũ thì phép chiếu P là xác định duy nhất nếuX(0) = I, ảnh của P không đổi là không gian con chứa các giá trị ban đầucủa mọi nghiệm bị chặn

Tuy vậy, trong trường hợp là nhị phân thường chúng ta có thể chọn phépchiếu P khác Đặt V là không gian véctơ cơ sở , V1 là không gian con của Vchứa các giá trị ban đầu mọi nghiệm bị chặn của phương trình (1.1), và V0 làkhông gian con của V1 chứa các giá trị ban đầu của các nghiệm của phươngtrình (1.1) dần tới 0 khi t → ∞ Thì

1.2.2 Mệnh đề Cho X(t) là ma trận nghiệm cơ bản của phương trình (1)với X(0) = I Nếu phương trình (1.1) có nhị phân (1.2) với phép chiếu P thì

nó cũng có một nhị phân với phép chiếu Q nếu và chỉ nếu:

Ta chứng minh điều kiện thứ hai của (1.5).

Đặt P0 là phép chiếu với ảnh là không gian V0 và có không gian khôngchứa không gian không của P Thì V00 = (P − P0)V là một không gian concủa P V phụ với V0 Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng tồn tại một hằng số N > 0thoả mãn

|X(t)ξ| > N|ξ| với ξ ∈ V00 và t > 0Mặt khác tồn tại một dãy các vectơ ξv ∈ V00 với |ξv| = 1 và một dãy các số

tv > 0 sao cho |x(tv)ξv| → 0 Theo tính chất thu hẹp dãy con ta có thể giả sử

ξv → ξ, trong đó ξ ∈ V0

0 và |ξ| = 1 Từ

|X(tv)ξ| 6 |X(tw)ξv| + |X(tv)(ξ − ξv)|

6 |X(tw)ξv| + K|ξ − ξv|điều này chứng tỏ rằng |X(tv)ξ| → 0, suy ra ξ ∈ V0, (mâu thuẫn)

Suy ra với mọi vectơ ξ ∈ V ta có với 06 s 6 t

|X(t)(I − P0)ξ| 6 |X(t)(I − P )ξ| + |X(t)(P − P0)ξ|

6 (1 + N−1K)K|X(s)ξ| với mọi 0 6 t 6 s

Suy ra (1) có một nhị phân với phép chiếu P0

Bây giờ chúng ta giả sử Q là một phép chiếu thoả mãn điều kiện (5) Từ cácchứng minh trên ta có thể giả sử rằng P V ⊆ QV, thậm chí QP = P Tồn tạimột hằng số N0 > 0 thoả mãn

Nên (1.1) có một nhị phân với phép chiếu Q Điều phải chứng minh

1.3 Sự tồn tại nghiệm của hệ không thuần nhất và nhị phân của hệthuần nhất tương ứng

Tiếp theo giả sử X(t) là một nghiệm cơ bản của hệ phương trình (1.1) saocho X(0) = I

Một hàm f (t) được gọi là khả tích địa phương trên R+ nếu nó đo được vàR

J

|f (t)|dt < ∞ với mọi khoảng compact J ∈ R

Nếu f (t) là khả tích địa phương thì với một nghiệm của hệ phương trình viphân không thuần nhất

chúng ta sẽ xác định một hàm hoàn toàn liên tục y(t) thỏa mãn (1.6) với hầuhết mọi t.

Đầu tiên giả sử rằng (1.1) có một nhị phân mũ trên R+ Suy ra tồn tại mộtphép chiếu P và các hằng số K, α sao cho:

|X(t)P X−1(s)| 6 Ke−α(t−s) với 0 6 t 6 s

|X(t)(I − P )X−1(s)| 6 Ke−α(s−t) với 0 6 s 6 t (1.7)Khi đó với mọi hàm liên tục bị chặn f (t) phương trình không thuần nhấttương ứng (1.6) có một nghiệm bị chặn Dễ thấy

1.3.2 Mệnh đề Phương trình không thuần nhất (1.6) có ít nhất một nghiệm

bị chặn với mọi hàm f ∈ M nếu và chỉ nếu phương trình thuần nhất tươngứng (1.1) có một nhị phân mũ

1.3.3 Mệnh đề Giả sử (1.1) có tính tăng bị chặn thì phương trình khôngthuần nhất tương ứng (1.6) có ít nhất một nghiệm bị chặn với mọi hàm f ∈ Cnếu và chỉ nếu phương trình thuần nhất (1.1) có một nhị phân mũ

CÁC TÍNH CHẤT HÌNH HỌC CỦA PHÉP CHIẾU Ψ-NHỊ

PHÂN

Trên cơ sở nghiên cứu về phép chiếu nhị phân và các tính chất hình họccủa chúng, trong chương này chúng tôi mở rộng nghiên cứu tính chất hìnhhọc của Ψ-nhị phân, đặc biệt là nghiên cứu về mối quan hệ giữa Ψ−nhị phâncủa hệ thuần nhất và tính khả nghiệm của hệ không thuần nhất tương ứngvới điều kiện của hàm nhiễu f

• Ψ-bị chặn trên J nếu Ψ(t)f (t) là bị chặn trên J

• Ψ-khả tích trên J nếu f (t) đo được và Ψ(t)f (t) là khả tích Lebesgue trên

J

• Ψ-khả tích bị chặn nếu nó là đo được và tích phân Lebesgue

Rt+1

t kΨ(u)f (u)kdu là bị chặn đều với t ∈ R+ bất kỳ

Chúng ta vẫn sẽ xem xét các phương trình sau:

19

trong đó A(t) là ma trận liên tục trên R+, f : R → bRn là hàm liên tục.Gọi hàm liên tục tuyệt đối thỏa mãn hệ với mọi t ∈ R+ Đặt Y (t) là matrận nghiệm cơ bản của (2.1) với Y (0) = Id,là ma trận đơn vị d × d Ký hiệu

Y1 là không gian con của Rn bao gồm các giá trị ban đầu của mọi nghiệmΨ-bị chặn của (2.1) và đặt Y2 là không gian con đóng của Rn phụ với Y1.Đồng thời đặt P1, P2 là các phép chiếu Rn lên Y1, Y2

kΨ(t)x(t)k 6 CkΨ(s)x(s)k với 0 6 s 6 t 6 s + h (2.5)2.1.4 Chú ý Với Ψi = 1, i = 1, 2, , n ta có khái niệm nhị phân mũ và nhịphân thường tương ứng với các khái niệm Ψ−nhị phân mũ và Ψ−nhị phânthường

Nhưng tính có nhị phân của hệ và tính có Ψ−nhị phân của hệ không chỉtương đương trong trường hợp trên mà chỉ cần điều kiện bị chặn của hàm Ψ

và Ψ−1 Thật vậy

2.1.5 Mệnh đề Nếu Ψ và Ψ−1 là hàm bị chặn thì tính có Ψ−nhị phân vàtính có nhị phân của hệ (2.1) là tương đương

Chứng minh Chúng ta chỉ chứng minh cho trường hợp nhị phân mũ

Do Ψ và Ψ−1 là bị chặn nên tồn tại N>0 sao cho |Ψ(t)| 6 N và |Ψ−1(t)| 6 N