aTìm quãy tích tâm của họ C khi m thay đổi m b.Cmr khi m thay đổi, họ C luôn đi qua hai điểm cố đinh.
Trang 1Chuyên đề II Đờng tròn
Phơng trình của đờng tròn
I.Kiến thức cơ bản
1.định nghĩa
2.Phơng trình chính tắc , vớiI a;b( )
(I ,R :) ( ) (2 )2 2
x a− + −y b =R
3.Phơng trình tổng quát
x +y + Ax+ By C+ = , 2 2
R= A +B −C vàI(− −A; B)
4.Bài toán cơ bản:
Bài toán1:Lập phơng trình đờng tròn
1.Biết tâm và bán kính
-Ví dụ:Viết phơng trình đờng tròn, biết tâmI( )2 1; và Bkính R=3
2.Đi qua A x ; y và tâm( 0 0) I a;b( )
-Ví dụ:Viết phơng trình đờng tròn( )C , biết ( )C đi qua A(−3 1; ), và tâmI ;( )1 2
3.Đi qua ba điểm có toạ độ cho trớc
-Ví dụ:
a)Viết phơng trình đờng tròn( )C , biết ( )C đi qua A ;( ) (1 4 ,B −4 0; ,C) (− −2 2; )
b)(ĐHQG-96) Lập phơng trình ( )C ngoại tiếp ABC∆ ,3 cạnh có pt lần lợt là:
5y x= −2, y x= +2, y= −8 x
c)(ĐHTNguyên-98)
Cho∆ABC,biết( )AB : x y2 − + =4 0,( )BC : x y+ − =1 0,( )AC : x+4y+ =2 0
Xác định tâm và tính bán kính đờng tròn ngoại tiếp ABC∆
d)Lập phơng trình đờng tròn( )C , biết ( )C đi qua A(−2 4; ) (,B ;6 2− ) ( ),C ;5 5
e) Viết phơng trình đờng tròn( )C , biết ( )C đi qua A ;(1 2− )và qua giao điểm của
( )d : x−7y+ =10 0 và( )C : x2+y2−2x+4y−20 0=
4.Đi qua hai điểm và có tâm nằm trên ( )∆ : Ax By C+ + =0
-Ví dụ:
a)Viết ptrình đờng tròn( )C , biết ( )C đi qua A ; ,B ; và tâm nằm trên ( ) ( )3 1 5 5 Ox
b)Lập pt đờng tròn, biết đi quaA ; ,B ;( ) ( )0 1 1 0 và có tâm nằm trên( )d : x y+ + =2 0
c) Viết ptrình đờng tròn( )C , biết ( )C đi qua A ;( ) ( )1 2 ,B ; và tâm nằm trên2 1
( )d : x3 +4y+ =7 0
5.Biết tâmI a;b và tiếp xúc với đờng thẳng( ) ( )∆ : Ax By C+ + =0
-Ví dụ:
a)Viết pt ( )C ,biết tâm I(−1 1; ) và( )C tiếp xúc với( )d : x3 +4y− =12 0
b) Viết pt ( )C ,biết tâm I(−1 2; )và( )C tiếp xúc với( )d : x−2y− =2 0
6 Đi qua A x ; y , và tiếp xúc với hai trục toạ độ.( 0 0)
-Ví dụ:
a) (ĐHBK-97)Viết pt( )C , biết ( )C đi qua A ;(2 1− )và tiếp xúc với hai trục toạ độ
b)Đi quaA ;( )4 2 và tiếp xúc với hai trục toạ độ
c)Viết phơng trình đờng tròn( )C , biết tâm nằm trên ( )∆ : x y2 − + =4 0và tiếp xúc với hai trục toạ độ?
Trang 27.Tiếp xúc với hai đờng thẳng( )∆1 : A x B y C1 + 1 + 1=0,( )∆2 : A x B y C2 + 2 + 2 =0và có tâm nằm trên ( )∆ : Ax By C+ + =0
-Ví dụ: Viết pt( )C , biết ( )C tiếp xúc với hai đờng thẳng a)( )d : x y1 2 + − =1 0,
( )d : x y2 2 − + =2 0và có tâm nằm trên ( )d : x y3 − − =1 0
b)( )d : x y1 2 − =0, ( )d : x2 −2y+ =2 0và có tâm nằm trên ( )d : x y3 + − =1 0
8.Có tâm nằm trên( )∆ : Ax By C+ + =0, và giao với hai đờng tròn(có pt cho trớc) dới 1 góc vuông(tt tại giao điểm của đờng tròn này đi qua tâm của đờng tròn kia)
-Ví dụ: a)Viết pt( )C ,biết tâm thuộc( )d : x+2y+ =2 0, và giao với hai đờng tròn
C : x +y − x= ,( ) 2 2
C : x +y + y= dới 1 góc vuông?
b) Viết pt( )C ,biết tâm thuộc( )d : x y2 + + =2 0, và giao với hai đờng tròn
C : x +y − x= ,( ) 2 2
C : x +y + y= dới 1 góc vuông?
Bài toán2:Viết phơng trình các tiếp tuyến(tt) của đờng tròn
1)Viết pt tt của( )C :( ) (2 )2 2
x a− + −y b =R tại M x ; y( 0 0) ( )∈ C
Pt tt: (x0−a x x) ( − 0) (+ y0−b y y) ( − 0) =0
-Ví dụ:a)Viết pt tt của( )C : x2+y2−2x−8y− =8 0tại M( )4 0;
b) Viết pt tt của( )C : x2+y2−2x−6y− =6 0, biết tt đi qua M ;(1 1− )
2)Pt tt của( )C :( ) (2 )2 2
x a− + −y b =R , biết tt đi quaA x ; y( 0 0) ( )∉ C
Phơng pháp1
b1/ Lập pt ( )∆ đi qua A x ; y ,( 0 0) ( ) ( ( ) ) ( )
0
y k x x y : n x x m y y ,n m
x x η y y
b2/ Dùng Đkiện tiếp xúc buộc( )∆ là tt của( )C
( )∆ la tt của( )C <=> d I ,( ( )∆ =) R Từ đó suy ra các tt cần tìm !
-Phơng pháp2
b1/Họ tt của( )C có pt d : x a cosα ( − ) α+(y b sin− ) α =R
1
Acos B sin R
A x ; y d
cos sin
α
∈ <=> + =
cos n sin m
α α
=
<=> =
Từ đó suy rat t cần tìm !
-Ví dụ: a)Viết pt tt của( )C : 2 2
2 8 8 0
x +y − x− y− = , biết tt đi qua A(− −4 6; )
b) Viết pt tt của( )C : 2 2
2 2 1 0
x +y − x− y+ = , biết tt đi quaA(−2 2; )
3) Viết pt tt của ( )C , biết tt có hệ số góc κcho trớc(Trực tiếp, hoặc gián tiếp)
b1/ Lập pt đờng xiên có hệ số góc κ:( )∆ : y=κx b+ <=>κx y b+ + =0
b2/( )∆ la tt của( )C <=> d I ,( ( )∆ =) R
Từ đó suy ra các tt cần tìm !
-Ví dụ: Viết pt tt của( )C : x2+y2−2x−6y+ =9 0, biết tt :
a) Song song với( )d : x y− + =2 0
b) Vuông góc với( )∆ : x3 −4y− =1 0
c) Tạo với ( )a : x y− − =1 0 một góc 450
Trang 34)Viết pt tt chung của hai đờng tròn ( ) ( )C & C1 2
Phơng pháp1:
b1/ Ta có: ( ) 2 2
: Ax By C , A B
b2/( )∆ là tt chung của ( ) ( )C & C1 2 <=> ( )
d I , R
d I , R
∆ =
Từ đó suy ra giàng buộc gữa A,B,C suy rat t cần tìm!
-Phơng pháp2:
b1/Họ tt của( )C có pt1 d : x a cosα ( − 1) α + −(y b sin1) α =R1
Họ tt của( )C có pt2 d : x a cosβ ( − 2) β+ −(y b sin2) β =R2
b2/ ( ) ( )C & C có tt chung1 2 <=>dα ≡dβ
x a cos y b sin R
x a cos y b sin R
α β
=
U cos V sin W cos sin
sin n cos m
α α
=
=> =
Thay vào ta đợc tt cần tìm !
-Ví dụ: viết pt tt chung của( ) 2 2 ( ) ( ) (2 )2
C : x +y − x− y+ = & C : x− + +y = 5) Bài toán khác:
1 Lập phơng trình đờng thẳng đi qua M( )2; 4 và cắt ( ) ( ) (2 )2
C x− + −y = tại hai điểm ,
A B sao cho AM MB=
2.Lập pt ( )∆ đi quaM( )3; 4 và cắt đờng tròn( ) ( ) (2 )2
: x 2 y 4 9
ω − + − = tại hai điểm ,A B sao
choMA=2MB?
4 Cho( )C : x2+y2+2x−4y− =4 0
Hãy viết pt các tt kẻ từ A ; tới ( )3 5 ( )C
b)Giải sử các tt trên tiếp xúc với ( )C tại M & N Tính MN =?
4 Cho ( )C : x m 2+y2−2mx+4(m−2) y+ − =6 m 0
a) Tìm m để họ ( )C là đờng tròn? m
b) Tìm quỹ tích tâm của ( )C khi m thay đổi m
c)Tìm tất cả các điểm cố định mà họ( )C đi qua khi m thay đổi? m
5.Cho( )C : x m 2+y2−2(m+1)x+4my− =5 0
a)Tìm tập hợp tâm của họ ( )C khi m thay đổi m
b) CMr có hai đờng tròn trong họ( )C ttiếp xúc với m ( )C : x2+y2− =1 0
6.(ĐHNNI-98)Cho ABC∆ , biếtA( ) ( ) ( )3;1 ,B 0;7 ,C 5; 2
a) Cmr: ∆ABC vuông , tính diện tích?
b)Giải sử M chạy trên ( )ω ngoại tiếp∆ABC Cmr khi ấy trọng tâmGcủa∆ABC luôn chạy trên một đờng tròn, viết pt chính tắc của đờng tròn đó?
7.Cho ( ) 2 2
2 4 4 0
C : x +y − x− y− = Hãy viết pt các tt kẻ từA(−2 2; ) tới ( )C Giải sử các tt
tiếp xúc với( )C tại M & N Tính diện tích AM N∆ ?
8.Cho( ) 2 2
4
C : x +y = vàA ;( )2 4 Từ kẻ 2tt MT ,1 MT tới 2 ( )C Trong đó T ,T là các tiếp 1 2
điểm
a)Viết pt TT1 2 b)viết pt tt của ( )C , bết tt song song với TT1 2
Trang 4II Bài tập đề nghị
Cho( )C : x2+y2−2x−2y+ =1 0 Viết pt tt của( )C , biết tt tạo với ( )d : x y+ =0 góc α =600
Viết pt tt chung của ( ) 2 2
C : x +y − x+ = và( ) 2 2
C : x +y − x− y+ = (ĐHQGHN-97)Cho ( )C : x2+y2 −2x−4y− =4 0 Viết pt ( )∆ đi qua M( )2 1; và cắt tại hai
điểm ,A B sao cho AM MB=
5.Cho( )C : x m 2+y2−(m−2)x+2my− =1 0
a)Tìm quãy tích tâm của họ ( )C khi m thay đổi m
b.Cmr khi m thay đổi, họ ( )C luôn đi qua hai điểm cố đinh Hãy tìm các điểm đó? m
c) khi m=2viết pt các tt kẻ từM( )3 0; tới ( )C ?2