Moment từ dị thường của electron và phương pháp pauli-villars trong lý thuyết trường lượng tử

18 2.2 Các gi năđ FeynmanăchoăđóngăgópăvƠoămomentăt d th ng ..... Các gi ản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng ....

Hà N i - 2014

GS.ăTSKH.ăăNGUY NăXUÂNăHĩN

Hà N i - 2014

L I C M N

L iăđ u tiên, em xin gửi l i c mă năsơuăsắc t i Th y giáo, GS TSKH

trong su t th i gian h c t p và hoàn thành B n lu năvĕnăth căsƿăkhoaăh c này

Emăcũngăgửi l i c mă năchơnăthƠnhănh t t i t t c các Th y Cô, T p th

cán b B môn V t lý lý thuy t, cùng toàn th ng i thân, b năbèăđưăgiúpăđỡ,

d y b o,ăđ ng viên, và trực ti păđóngăgóp,ătraoăđ i những ý ki n khoa h c quý báuăđ em có th hoàn thành B n lu năvĕnănƠy

Qu aăđơy,ăemăcũngăchơnăthƠnhăgửi l i c mă năt i các Th y C« Khoa

trình h c t p và hoàn thành B n lu năvĕnănƠyă

Hà N i, 16 thángă1ăănĕmă2014

H c viên

M C L C

M Đ U 1

CH NGă1ă- PH NGăTRỊNHăPAULIăVĨăMOMENTăT C A ELECTRON 4

1.1ăăPh ngătrìnhăPauli 4

1.2ăPh ngătrìnhăDiracăchoăelectronă tr ng ngoài trong gi i h năphiăt ngăđ i tính 5

1.3 Các b chínhăt ng đ iătínhăchoăph ngătrìnhăPauli 8

CH NGă2ă- CÁC GI NăĐ FEYNMANăCHOăĐịNGăGịPăVĨOăMỌMENTă T D TH NG C A ELECTRON 18

2.1 S-ma tr n 18

2.2 Các gi năđ FeynmanăchoăđóngăgópăvƠoămomentăt d th ng 22

2.3 H s d ngăđi n t 23

CH NGă3ă- B CHÍNH CHO MOMENT T D TH NG 27

3.1 B chính cho moment d th ng trong g năđúngăm t vòng 27

3.2 Moment t d th ng cùng v i các b chínhăl ng tử 35

K T LU N 37

TÀI LI U THAM KH O 38

PH L C A 39

PH L C B 43

PH L C C 44

DANH M C HÌNH V Ẽ

Hình 2 1 Các gi ản đồ Feynman cho tán xạ electron ở trường ngoài theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến trong gần đúng một vòng 19

B NG KÝ HI U CÁC CH VI T T T

QED: Đi năđ ng lực h căl ng tử

M Đ U

Lý thuy tăl ng tử về t ngătácăđi n t c a các h tătíchăđi n hay còn g i là

đi năđ ng lực h căl ng tử QED,ăđưăđ c xây dựng khá hoàn ch nh Sự phát tri n

c a QEDă liênă quană đ n nhữngă đóngă gópă c a Tomonaga, J Schwinger, R Feynman Dựa vào lý thuy t nhi u lo n hi p bi n do tác gi đưănêuăcùngăv i vi c tái chuẩn hóa kh iăl ngăvƠăđi n tích c a electron, QED đưălỦăgi i thích thành công các quá trình v tălỦăquaăt ngătácăđi n t , c đ nh tính l năđ nhăl ng Ví d

nh ăsự d ch chuy n Lamb c a các m cănĕngăl ng trong nguyên tử Hydro hoặc moment t d th ng c a electron, k t qu tính toán lý thuy t và s li u thực nghi m trùng nhau v iăđ chính xác cao./1, 4, 6-13, 15,17/

Ph ngă trìnhă Dirac cho electron tr ngă đi n t ngoƠi,ă t ngă tácă c a electron v iătr ngăđi n t , s ch a thêm s h ngăt ngătácăt tính m i.ăC ngăđ

c aă t ngă tácă nƠyă đ c mô t bằng moment t electron, và nó bằng

0

1,003875

  , giá tr nƠyă đ c g i là moment t d th ng c a electron J.Schwinger /13/ lƠăng iăđ u tiên tính b chính cho moment t d th ng c a electronăvƠoănĕmă1948ăvƠăôngăthuăđ c k t qu phù h p v i thực nghi m ( b chính cho moment t c a electron khi tính các gi năđ b c cao cho QED, sai

s tính toán v i thực nghi m vào kho ng 10 10%) Bi u th c gi i tích c a moment

t d th ng electron về mặt lý thuy tăăđưăthuăđ c :

v i nhau

M căđíchăb n lu năvĕnăTh căsƿăkhoaăh c này là tính b chính m t vòng cho moment t d th ng c a electron trong QED Vi c lo i b phân kỳ trong quá trình tính toán gi năđ Feynman, ta sử d ngăph ngăphápăđiều ch nh Pauli -Villars

N i dung Lu năvĕnăTh c sỹ khoa h c bao g m ph n m đ u,ăbaăch ng,ăk t

lu n, m t s ph l c và tài li u tham kh o

Ch ngă1.ăPh ng trình Pauli vƠ moment t c a electron.ăPh ngătrìnhă

Pauli và moment t d th ng có th thu nh n bằng hai cách: Trong m c 1.1 xu t phát t ph ngă trìnhă Schrodingeră bằng tư duy hiện tượng luận taă thuă đ c

ph ngătrìnhăPauliăv i s h ngăt ngătácăc a moment t electron v iătr ng ngoài /1/ M c 1.2 dành cho vi c nh năph ngătrìnhăPauliăbằng vi c l y g năđúngăphiă

t ngăđ iătínhăph ngătrìnhăDiracă tr ngăđi n t ngoài trong g năđúngă v

c , v

ậ là v n t c c a h t, còn c là v n t c ánh sáng Các b chínhăt ngăđ i tính ti p theoăchoăph ngătrìnhăPauliă g năđúngăb c caoăh nă v

c thuăđ c bằng vi c sử

d ng phép bi năđ i Fouldy - Wouthuyen m c 1.3

Ch ngă 2.ă Các gi n đ Feynman cho đóng góp vƠo moment t d

th ng c a electron Xu t phát t Lagrangceăt ngătácăc a electron v iătr ng

ngoài ta nêu vắn tắt các xây dựng S-ma tr n trong m c 2.1 cho bài toán tán x electron v iătr ngăđi n t ngoài Trong m c 2.2 ta phân tích các gi năđ Feynman trong g năđúngăm tăvòngăđóngăgópăchoămomentăt d th ng c a electron M c 2.3 dành cho vi c th o lu năỦănghƿaăv t lý c a h s d ngăđi n t ,ăđặc bi t trong

g năđúngăphiăt ngăđ i tính

Ch ngă3.ăMoment t d th ng c a electron trong g n đúng m t vòng

Trong m c 3.1 sử d ngăph ngăphápăPauli - Villars ta tách ph n hữu h n và ph n phân kỳ cho gi năđ Feynman trong g năđúngăm t vòng Vi c tính bi u th c b chính cho moment t d th ng trong g năđúngăm tăvòngăđ c ti n hành m c

3.2

Ph n k t lu n ta h th ng l i những k t qu thuăđ c và th o lu n vi c t ng quát hóa s ăđ tính toán cho các lý thuy tăt ngătự Trong b n lu năvĕnănƠyăchúngătôi s sử d ng h đ năv nguyên tử   và metric Feynman Các véct ăph n c 1

bi n là t aăđ :

x x0 t x, 1 x x, 2  y x, 3 z t x, thìăcácăvéct ăt aăđ hi p bi n:

CH NG 1 - PH NG TRỊNH PAULI VÀ MOMENT T C A

ELECTRON

Ph ngătrìnhăPauliăvƠăs h ngăt ngătácăgiữa moment t c a electron v i

tr ngăđi n t ngoài có th thuăđ c bằng hai cách: i/ T ngăquátăhóaăph ngătrìnhăSchrodinger bằng cách k thêm spin c aăelectronăvƠăt ngătácăc a momen t v i

tr ngăngoƠiăđ c gi i thi u m c 1.1; ii/ T ph ngătrìnhăDiracăchoăelectronă

tr ngăđi n t ngoài, thực hi n phép g năđúngăphiăt ngăđ i tính g năđúngăb c

 v

c taăcóăph ngătrìnhăPauliăchoăelectronăv i moment t Nghiên c u các b chínhăt ngăđ iătínhăchoăph ngătrìnhăPauliă g năđúngăb c cao ta ph i sử d ng phép bi năđ i Fouldy - Wouthuyen

1.1 Ph ng trình Pauli

Ph ngătrìnhăPauliămôăt h t có spin bằng ½ chuy năđ ngătrongătr ngăđi n

t ngoài v iăđiều ki n v n t c c a h t nh h nănhiều v n t căánhăsáng.ăPh ngătrình Pauli có d ngăph ngătrìnhăSchrodingeră(khiăh t có spin bằng không), song hàm sóng  trongăph ngătrìnhăPauliăkhông ph i là m tăvôăh ng có m t thành

ph n  r t, ph thu c vào các bi n không gian và th i gian, mà còn ch a bi n s spin c a h t là s z K t qu đ cho hàm sóng r s t, ,z  là m t spinor hai thành

2

0

( ) 2

1.2 Ph ng trình Dirac cho electron tr ng ngoƠi trong gi i h n phi

Đ nghiên c u gi i h năphiăt ngăđ iătínhăchoăph ngătrìnhă(1.7),ăthu n

( ) 0 ( ) 2

2 0

liên h v i uvƠătrongătr ng h p nghi m âm thì spinor u liên h v i d th a

s  v

c Thay (1.11) và (1.12) vƠoăph ngătrìnhăcònăl i c aă(1.9)ăđ cho nghi m

d ngătaăcó:

1 ( / ) u

VƠăđ cho nghi m âm:

2 0

m c trùng v iăph ngătrìnhăPauliăđ cho h tăcóăspină½ătrongătr ngăđi n t ngoài

Th tă đángă chúă Ủă đặc bi t ch quá trình gi i h nă phiă t ngă đ i tính hóa c a

ph ngătrìnhăDirac tr ng ngoài s tự đ ng d năđ n s h ngăt ngătácăMB

giữa mômen t (hay spin) c a h t v i t tr ngă ngoƠi,ă trongă đóă electronă cóămoment t đúngăkhácăv i t s t h i chuy năđúngăđắn:

Ng c l iătrongăph ngătrìnhăPauliăs h ngănƠyăđ aăvƠoăph ngătrìnhătheoă

ki u hi năt ng lu n ậ “đ aăvƠoăbằngătay”

Đ i v i h t không ph iălƠăc ăb n,ănh ăcácăprotonăhayăcácăneutronăquáătrìnhă

gi i h n trên d nă đ n các k t qu sai  p / 

p

M  eS m c Rõ ràng trong những

tr ng h p này liên k t t i thi uăkhôngăđ đ k thêmătr ngăđi n t ngoài Chính

vì v y v i những h t này, chúng ta có th nh năđ căph ngătrìnhăphiăt ngăđ i tính v i các moment t đúngăđắn ph i bằng cách hi năt ng lu n là c ngă“bằng tay”ăcácăs h ng moment

Đ hoàn ch nh ph nănƠy,ăchúngătaăcũngăph iăl uăỦăcácăbi u th căđ cho m t

đ xác su t và m tăđ dòng xác su t t ngă ng v iăph ngătrìnhă(1.16)ăv iăđ chính xác  2

tr ng h p nghi măd ng, các bi u th c này trùng v i công th c c a lý thuy t phi

t ngăđ i tính

1.3 Các b chính t ng đ i tính cho ph ng trình Pauli

Taăđưăch ra rằng vi c l y gi i h năphiăt ngăđ iătínhăph ngătrìnhăDiracă

tr ngăđi n t ngoƠiătaăthuăđ c lý thuy tăPauliăđúngăt i b c  2

2

v

c và sai sót trong Hamilton b c  3

3

v

c Trong gi i h n này n r

H lƠăchéoănh ngăcácănghi m

âm vƠăd ngălƠăhoƠnătoƠnă“phơnălyă”.ăĐ chéo hóa toán tử Hamilton các b c cao

h năm t cách h th ng, thì ta ph i k thêm các b chínhăt ngăđ i tính, bằng cách

sử d ng phép bi năđ i Fouldy ậ Wouthuyenăchoăph ngătrìnhăDirac.ă

Đ đ năgi n ta bắtăđ u t b c v c/  vƠăph ngătrìnhăDiracă d ng:

2

m c K  K     (1.19)

Sử d ng vi c ch n phép bi nă đ i Fouldy ậ Wouthuyen thích h p

Và:

3  ,  , , ,  55

v O c

                    

  (1.33)

B qua t t c các s h ng  5

5

v O

c (hayă caoă h n)ă ta nh nă đ c toán tử

v O

c v i vi c chéo hóa Hamilton:

x e  e  x

      (1.40)

T t c đơy,ătaăth y vi c chéo hóa thành công c a toán tử Dirac Hamilton cho những b căcaoăh năcó th thực hi n v c/  V yătaăđưăgi thi t m t s đi m sauăđơy:

i j i i j k k i j i i j k k

         

- Khi các S S, , là tự liên h p, thì các ma tr n bi nă đ i Fouldy ậWouthuyen U U , , cũngălƠănhững phép bi năđ iăunita.ăĐiềuănƠyăcóănghƿaăb t

bi n c a giá tr trungăbìnhănh ăphépăbi năđ i U .U1

- Đ cho toán tử Dirac ậ Hamilton,ăđiềuănƠyăcóănghƿaă  A/ t 0 khi sự bi n

đ hàm sóng cùng v iăkíchăth c so v iăb c sóng Compton c a h t

- Ph ngăphápăFouldyăậ Wouthuyen ch ch p nh n cho những v năđề v t lý trongăvùngăđúngăđắn c a m t h t đ y phép khai tri n Fouldy ậ Wouthuyen là h i

t

- Phép bi n đ i Fouldy ậWouthuyen cho lý thuy t Dirac Phép bi năđ i

Fouldy ậ Wouthuyenăđưăcungăc păph ngăphápăchéoăhóaăHamiltonăDiracăt i b c

b t kỳ hữu h nănƠoăđ y Vi tăph ngătrìnhăDiracă(1.7)ăd i d ng:

2 (0) (0) (0) (0) (0)

m c K   K     (1.43) Cùng v i các toán tử chẵn  ,   0   (0) O v 2 /c2 và toán tử lẻ

  0 O v c / 

  lặp l i các h th c này theo:

( )n ( )n ( )n ( 1)n ( 1)n ( 1)†n

K     U  K  U  (1.44) ( )n   n 1  n 1  

Ta nh năđ c bi u di n m i c a lý thuy tăDiracămƠătrongăđó:

v O

c





- Electron trong th xuyên tơm tĩnh đi n Đ k t thúc ta tr l iăph ngătrìnhă

(1.16).ă Ph ngă trìnhă nƠyă cóă th d nă đ n d ng quen thu c bằng vi c xem xét

tr ng h p electron trong th xuyênătơmătƿnhăđi n:

(1.48)

ph n th nĕmălƠăb chínhăt ngăđ iătínhăchoătr ng xuyên tâm mà ta bi t Darwin term và có th gia t c chuy năđ ng lắc c a electron Thành ph n cu i cùng ch a nĕngăl ngăt ng tác giữa spin c a electron (hoặc là moment t ) và moment góc quỹ đ o Nh n th y rằng trong thành ph nănƠyăđ c l y m t cách chính xác bằng

th a s 4 trong m u s 1.ăTrongătr ng h p c a th Coulomb V r  Ze2/r hai thành ph n cu i cùng là:

1Trongăc ăh căl ngătửăphiăt ngăđ iătínhăs ăh ngănƠyăđ căgi iăthíchăc ăđi nănh ăsau:ăL trongăh ăngh ăc aălựcătrungătơmăsinhăraăt ătr ngă ăv ătríăc aăelectronăvƠăt ngătácăv iăspinăc aănó.ăTuyănhiên,ăkhiăchuy n đ ngăkhôngăđ ngănh tăc aăelectronăkhôngăph iălỦădoăxemăxétăthìăs ăh ngănƠyăquáăl năvƠăl năh nă2

   

eA V x V r A

T ng k t

- B c th p nh t (gi i h năphiăt ngăđ i tính) phép g năđúngăphiăt ngăđ i tính c aăph ngătrìnhăDiracăs d năđ n vi c chéo hóa toán tử Hamilton tự liên h p

T đơyăsuyăraăhaiălỦăthuy t m t h tăđ cho h t và ph n h t,ămƠătr căđơyănóăđ ng

nh tăchoăph ngătrìnhăphiăt ngăđ i tính Pauli cho h t có spin bằng ½

- Nói chung khác v iătr ng h p tự do, toán tử Dirac ậ Hamilton là toán tử chéo ch là g năđúng.ăĐiều này có th đ tăđ c bằng cách sử d ngăph ngăphápăFouldy ậ WouthuyenămƠătrongăđóătoánătử Hamiltonăđ c chéo hóa thành công các b căcaoăh năv c/ .ăĐ i v i ph n chẵn c a toán tử đ c chéo hóa và toán tử Hamilton tự liên h pălƠăđúngăđắnăđ n b căđ c nghiên c u v c/ , mà t đơyătaăthuăđ c lý thuy t m t h tăđ cho h t và cho ph n h t

- Phép bi năđ i Fouldy ậ Wouthuyen,ăt ngătự nh ăphépăbi năđ i Feshbach

- Villars, là phép bi năđ iăkhôngăđ nh x và b “loangăraă”ăc a bi n s t aăđ m t

đ dài có th so sánh v iăb c sóng Compton

- Ph ngăphápăFouldyăậ Wouthuyen ch thích h p cho cácătr ng h p, th

nh t phép khai tri n v c/  là h i t ; th hai là cách gi i thích m t h tăđ c ch p

  - magneton Bohr

Theo thực nghi m phát hi n moment t d th ng c a electron:

CH NG 2 - CÁC GI N Đ FEYNMAN CHO ĐịNG GịP VÀO

MOMENT T D TH NG C A ELECTRON

Xu t phát t Lagranceăt ngătácăc a electron v iătr ng ngoài ta vi t S-ma

tr năt ngă ng m c 2.1 cho bài toán tán x electron v iătr ngăđi n t ngoài

trongăđóăp p1 , 2 lƠăcácăxungăl ng tr ngătháiăđ u và tr ng thái cu i c a electron

Quá trình tán x này có th mô t b i các gi năđ Feynman / 2,3,4/ theo lý thuy t nhi u lo n hi p bi n Gi năđ Feynman trong g năđúngăb c th p nh t (a) theoăđi n tích e, và các gi năđ Feynman ti p theo mô t các b c cao (b chính)

cho quá trình tán x này (xem Hình 2.1)

Gi ải thích hình vẽ 2.1: Gi năđ (1a) electron có xungăl ng p1 bay vào vùngăcóătr ngăđi n t b tán x bay ra v iăxungăl ng p2 g năđúngăb c th p

nh t Các gi năđ mô t các b chính b căcaoăchoăt ngătácăc a electron v i chân không v t lý - chân không c aătr ngăđi n t và chân không c aătr ng electron -pozitron

Trong b n lu năvĕnănƠyăchúngătaăch gi i h n các gi năđ Feynman (a) và (b1)ăchoăđóngăgópăvƠoămoment t d th ng c a electron, còn ba gi năđ còn l i (b2),ă(b3),ă(b4)ăliênăquanăđ n vi c chuẩn hóa kh iăl ng c a electron, chuẩn hóa

đi n tích c a electron, các hàm sóng c a electron và hàm sóng c aătr ngăđi n t ngoài Ngoài ra ta còn b qua phân kỳ h ng ngo iă liênă quană đ n kh iă l ng photon, và ch giữ l i ph nă đóngă gópă ch y u nh t liên quană đ n gi nă đ đ nh Feynman (b1) cho moment t d th ng c a electron

Y u t ma tr n trong b c th p nh t c a lý thuy t nhi u lo n,ăt ngă ng v i

gi năđ Hình 2 1(a) theo quy tắc Feynman có th vi tăănh ăsau:

4 1



   (2.4)

Vìătr ng ngoài ext( )

A x không ph i là toán tử mà là hàm s thôngăth ng nên ta có th b ra ngoài N-tích và p2 | | p1 ,ăđ ng th i khai tri n các toán tử ( )x

1 1

2 2

10

22

   2  1

1 2

12

Thayă(2.6b)ăvƠoă(2.4)ătaăđ c y u t ma tr n cho quá trình tán x đƠnătínhă

c a electron tr ngăđi n t ngoài trong b c th p nh t c a lý thuy t nhi u lo n :

1 2

ex

10 20

2 1

th Coulomb) trong g năđúngăb c nh t c a lý thuy t nhi u lo n theo electron

2.2 Các gi n đ Feynman cho đóng góp vƠo moment t d th ng

Đ k thêm các b chính b c cao, thì chúng ta c n thay u2u1bằngă đ i

l ng t ngăquátăh nămƠănóăt ngă ng v i các gi năđ Feynman mà ta g i là các

gi năđ đ nh Những gi năđ nƠyăđ c chia làm hai lo i: lo i gi năđ đíchăthực và

lo i gi năđ khôngăđíchăthực 2 Các gi năđ đíchăthựcăătr căđơyăđ c g i là « m t

h t b t kh quy Ầăđ c k t n i v i nhau mà ta không th tách làm hai ph n bằng

vi c cắt b m tă đ ng trong Các gi nă đ khôngă đíchă thựcă đ c l ng vào các

đ ng ngoài c a gi năđ vƠăchúngăchoăđóngăgópăvƠoăvi c tái chuẩn hóa l i kh i

l ng c aăcácăđ ngăngoƠi,ăt ngă ng v i các h t ngoài

L y t ng các gi năđ đ nhăđíchăthực, b qua các hàm sóng ngoài, ta xác

đ nh « ph năđ nhăđíchăthực » 

p p1, 2  p p1, 2 (2.10) trongăđóăă lƠăđ nh « tr n » , còn p p1, 2 đ căxácăđ nh bằng t p h p các

gi năđ Hình 1 Ti t di n tán x b c nh tătheoătr ng ngoài cùng v i t t c các

b chínhă đ c k đ n,ă đ că xácă đ nh bằng,ă mƠă trongă đóă taă thayă u2u1 bằng

2 Ti ếng Anh là từ « proper » và « improper » - tiếng Nga gọi là « Compact » và

« không Compact », có th ể gọi « thích hợp » hay « không thích hợp »

trongăđóăs h ng  lƠăđ nhă“tr n”ă,ăcònăăp p2, 1 đ căxácăđ nh b i t p h p

các gi năđ Ti t di n tán x g năđúngăb c nh t v iătr ng ngoài, cùng v i các

b chính thì bi u th c u p 2 u p 1 đ c thay th bằng u p  2  p p u p2, 1  1

Bằng l p lu n b t bi năLorentz,ăhƠmăđ nh có th bi u di năd i d ng:

p p2, 1c p1 1 c p2 2 c3 c4p1 c5p2 (2.14) trongăđóăăc i, i 1, 2,3, 4,5 là các hàm s c a c a p1 và p2,ăĐặt:

1,

Sử d ng sự khai tri n c a Gordon:

2 1 2  1

12

1 2 1

2 u F P E F i M k u m

Đ lƠmărõăỦănghƿaăv t lý c a các h s d ng đi n,ăchúngătaăxemăxétătr ng

h p tán x phíaătr c g năđúngăphiăt ngăđ iătínhămƠătrongăđó: