Khử phân kỳ bằng phương pháp cắt xung lượng lớn trong lý thuyết trường lượng tử

MỞ ĐẦU Những thành tựu của điện động lực học lượng tử Quantum Electrodynamics - QED dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn hóa khối lượng và điện tíc

MỞ ĐẦU

Những thành tựu của điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics - QED) dựa trên cơ sở của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến với phương pháp tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích đã cho phép tính toán các quá trình vật lý phù hợp khá tốt với số liệu thu được từ thực nghiệm, với độ chính xác đến bậc bất kỳ của hằng

số tương tác theo lý thuyết nhiễu loạn

lý thuyết tương tác giữa các hạt quark - gluon, tương tác yếu hay các lý thuyết thống nhất các dạng tương tác như lý thuyết điện yếu và tương tác mạnh và được gọi là

mô hình chuẩn [6, 7, 13, 18]

Việc tính các quá trình vật lý theo lý thuyết nhiễu loạn ở bậc thấp của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến (các giản đồ cây Feynman, không chứa vòng kín) ta không gặp các tích phân phân kỳ, nhưng tính các bổ chính lượng tử bậc cao cho kết quả thu được, ta gặp phải các tích phân kỳ ở vùng xung lượng lớn của các hạt ảo, tương ứng

với các giản đồ Feynman có vòng kín của hạt ảo Các giản đồ này diễn tả sự tương

tác của hạt với chân không vật lý của các trường tham gia tương tác và quan niệm hạt điểm không có kích thước cũng như không có thể tích

Việc tách phần hữu hạn và phần phân kỳ của các tích phân kỳ phải tiến hành theo cách tính toán như thế nào? Phần phân kỳ và phần hữu hạn sẽ được giải thích vật lý ra sao? Bỏ phần phân kỳ vào đâu để có kết quả thu được cho quá trình vật lý

là hữu hạn Lưu ý: việc loại bỏ phân kỳ trong lý thuyết trường là nhiệm vụ trọng yếu của vật lý lý thuyết kể từ khi ra đời đến nay, vậy ta cần phải nghiên cứu, tìm hiểu và giải quyết

Ý tưởng tái chuẩn hóa – gộp phần phân kỳ vào điện tích hay khối lượng của electron đầu tiên được Kraumer – Bethe, sau được các tác giả Schwinger Feynman Tomonaga hiện thực hóa trong QED [13,20] Cách xây dựng chung

S - ma trận và phân loại các phân kỳ do Dyson F đề xuất [10] Cách chứng minh tổng quát sự triệt tiêu phân kỳ trong các số hạng được tái chuẩn hóa của chuỗi lý thuyết nhiễu loạn do Bogoliubov – Parasyk tiến hành [8] Trong QED sử dụng việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron, giúp ta giải quyết hợp lý phần phân kỳ trong tính toán, kết quả ta thu được là hữu hạn cho các biểu thức đặc trưng cho tương tác, bao gồm: tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã và thời gian sống của hạt Khi so sánh, kết quả thu được khá phù hợp với số liệu thực nghiệm Lý thuyết trường lượng tử sau khi tái chuẩn hoá cho kết quả hữu hạn đối với đặc trưng của các

quá trình vật lý, được gọi là lý thuyết tái chuẩn hoá [7, 8, 19, 15] Các phương

pháp khử phân kỳ thông dụng trong lý thuyết trường hiện nay bao gồm: phương pháp cắt xung lượng lớn [7], phương pháp Pauli – Villars, phương pháp điều chỉnh thứ nguyên và phương pháp R - toán tử do N.N Bogoliubov khởi xướng [14]

Mục đích của bản luận văn Thạc sĩ này vận dụng cách khử phân kỳ tử ngoại bằng cách điều chỉnh thứ nguyên của hạt ảo trong gần đúng một vòng kín và minh họa quá trình tái chuẩn hóa khối lượng và điện tích của electron trong QED ở bậc thấp nhất của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến cho quá trình vật lý

Bản luận văn Thạc sĩ gồm phần Mở đầu, ba chương, phần Kết luận, tài liệu tham khảo và một số phụ lục

- Chương I: Các giản đồ phân kỳ một vòng

Chương này dành cho việc giới thiệu lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến Trong mục 1.1 giới thiệu vắn tắt S - ma trận và quy tắc Feynman để mô tả các quá trình vật lý Mục 1.2 dành cho việc trình bày các hàm Green của photon, electron, và hàm đỉnh trong QED Phân tích các bậc phân kỳ trong QED ở

- Chương II: Tách phân kỳ trong giản đồ một vòng bằng phương pháp điều

chỉnh thứ nguyên

Trong chương này chúng ta tách phần hữu hạn và phần phân kỳ bằng phương pháp điều chỉnh thứ nguyên trong QED Mục 2.1 xem xét toán tử phân cực bậc hai của photon – giản đồ năng lượng riêng của photon Trong mục 2.2 xem xét giản đồ năng lượng riêng của electron Trong mục 2.3 xem xét hàm đỉnh ở bậc thấp nhất Đồng nhất thức Ward –Takahashi được được chứng minh bằng đồ thị ở mục 2.4

- Chương III: Tái chuẩn hóa trong QED

Trong chương này ta tái chuẩn hóa cho giản đồ một vòng trong QED Mục

3.1 dành cho việc tái chuẩn hóa điện tích electron Mục 3.2 dành cho việc tái chuẩn hóa khối lượng Mục 3.3 tái chuẩn hóa hàm đỉnh Chứng minh một cách định tính: trong việc tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của electron, các tích phân phân kỳ “biến mất” vào điện tích vật lý và khối lượng vật lý của electron Mục 3.4 trình bày việc chứng minh việc tái chuẩn hóa QED trong gần đúng một vòng

- Phần kết luận tóm tắt các kết quả thu được trong luận văn và thảo luận khả

năng vận dụng hình thức luận đã tính toán cho các lý thuyết trường tương

tự

Trong bản luận văn này chúng tôi sẽ sử dụng hệ đơn vị nguyên tử   c 1 và

metric giả Euclide (metric Feynman - hay metric Bogoliubov [7]) tất cả bốn thành

phần véctơ 4 - chiều ta chọn là thực AA A0,  gồm một thành phần thời gian và các thành phần không gian, các chỉ số  0,1, 2, 3,và theo quy ước ta gọi là các thành phần phản biến của véctơ 4 - chiều và ký hiệu các thành phần này với chỉ số trên

Chương 1

Các giản đồ phân kỳ một vòng

Trong chương này chúng ta giới thiệu vắn tắt những luận điểm cơ bản của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến S - ma trận cho tương tác điện từ, quy tắc Feynman, các giản đồ phân kỳ thường gặp trong gần đúng một vòng

1.1 S - ma trận và giản đồ Feynman

Biên độ xác suất của các quá trình tán xạ được xác định bằng các yếu tố của S –

ma trận tán xạ, mà chúng liên hệ các trạng thái đầu và các trạng thái cuối của quá trình vật lý:

là Lagrangian của tương tác điện từ, e là điện tích “trần” của electron Mỗi đỉnh 0

tương tác sẽ có ba đường vào ra, trong đó có một đường photon, hai đường electron hay positron Sử dụng phép khai triển hàm mũ

2 0

n z

Yếu tố ma trận trận của các quá trình vật lý có thể biểu diễn dưới dạng:

Ở đây  và i|  f | là các véctơ trạng thái đầu và cuối của hệ, M là biên độ f i

xác suất dời chuyển, có ý nghĩa trong việc xác định tiết diện tán xạ, tốc độ phân rã hay thời gian sống của hạt Hàm delta diễn tả định luật bảo toàn năng xung lượng của quá trình vật lý Thay công thức (1.2) vào  f S i| |  ta có:

4 int 2

4 4 int int

Quy tắc Feynman cho tương tác điện từ trong không gian xung lượng:

Hạt và trạng thái của nó Thừa số trong yếu tố ma trận Yếu tố giản đồ

Electron ở trạng thái đầu

1 2

2

12

r

m

u p p

2

12

r

m

u p p

Positron ở trạng thái đầu

1 2

2

12

e k k

ˆ2ˆ2

1.2 Hàm Green và hàm đỉnh

Trong QED các giản đồ Feynman sau đây:

- Các phần năng lượng riêng của photon

- Các phần năng lượng riêng của của electron

- Các phần đỉnh

- Phần tán xạ photon – photon diễn tả sự tương tác của hạt với chân không vật lý Các giản đồ này liên quan đến việc tính các số hạng bổ chính bậc cao theo lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến, hay cụ thể hơn là tính hàm Green của photon, hàm Green của electron và hàm đỉnh trong lý thuyết tương tác giữa trường electron – positron với trường điện từ

Hàm Green hai điểm là tổng các giản đồ liên kết yếu mà mỗi thành phần của nó

là giản đồ liên kết mạnh1 của một hạt

Hàm Green của photon, được xác định bằng công thức:

trong đó | 0  là véctơ trạng thái chân không của các trường tương tác, còn A x ( )

và A y ( ) là các toán tử trường điện từ trong biểu diễn Heisenberg

1

Giản đồ liên kết mạnh (strong connected diagramms) - chặt một đường không tách thành

Hàm Green của photon (1.5) có thể được biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau:

Hình 1.1 Hàm truyền đầy đủ của photon và ten xơ phân cực của chân không Hàm Green của electron, được xác định tương tự bằng công thức sau

G  xy  i T   x   y   (1.6) Trong đó  ( )x ,  ( )y là các toán tử trường electron – positron trong biểu diễn Heisenberg Hàm Green của electron có thể được biểu diễn bằng tổng các giản đồ sau:

Hình 1.2 Các đồ thị để cho hàm truyền đầy đủ của electron

và phần năng lượng riêng Hàm đỉnh được cũng được xác định bằng

Giản đồ Feynman (1.7) tương ứng

Hình 1.3 Đỉnh riêng đầy đủ  và sơ đồ xương  *



 Các đường ngoài bị bỏ

1.3 Bậc hội tụ của các giản đồ Feynman

Khi tính toán các giản đồ Feynman (trong biểu diễn xung lượng), theo qui tắc chung chúng ta phải lấy tích phân theo tất cả các đường xung lượng trong của giản

đồ Tất cả các tích phân này đều có dạng:

( , , , )n n

Trong đó: F p p( , , , )1 2 p là hàm hữu tỉ và là tỉ số của hai đa thức: n là số n

đường xung lượng trong Tương ứng với mỗi đường xung lượng trong của fermion -

Trong mỗi vòng kín (loop) các đường xung lượng trong, số các đường trong

bằng số đỉnh: n  , đồng thời lưu ý hai điểm sau: v

+ Mỗi đỉnh tương ứng với 1 đường photon, như vậy số đỉnh bằng tổng số đường photon, cũng phải chú ý rằng số đường trong phải được tính đến hai lần vì nó nối với hai đỉnh

Số biến lấy tích phân là n, nhưng tại mỗi đỉnh các giá trị xung lượng vào ra phải tuân theo định luật bảo toàn năng xung lượng Định luật này được thể hiện ở dạng của hàm delta Theo tính chất của hàm delta: f p( ) ( ) p d p0 4  f p( )0 thì số biến độc lập phải lấy tích phân sẽ giảm xuống

Nếu có n đường trong thì số hàm delta chỉ chứa biến là các đường trong sẽ là (n-1), và số biến sẽ tiếp tục giảm đi Tổng số đường trong là (F e F p)

p

Đưa vào tham số mới

Thay (1.15) và (1.16) vào biểu thức của (1.18) ta thu được:

Hình 1.4 Giản đồ năng lượng riêng của electron

Hình 1.5 Giản đồ năng lượng

riêng của photon

Tính toán bậc phân kỳ của các giản đồ trên:

Hình 1.4: Số đường phôtôn ngoài bằng 0, số đường electron ngoài là 2, bậc

phân kỳ là: K    Phân kỳ tuyến tính 1

Hình 1.5: Số đường photon ngoài bằng 2, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

phân kỳ là:K    Phân kỳ bậc hai 2

Hình 1.6: Số đường photon ngoài bằng 1, số đường electron ngoài bằng 2, bậc

phân kỳ là: K   Phân kỳ loga 0

Hình 1.7: Số đường photon ngoài bằng 4, số đường electron ngoài bằng 0, bậc

phân kỳ là:K   Phân kỳ loga 0

Các giản đồ này diễn tả sự tương tác của các hạt với chân không

Giản đồ Hình 1.6 diễn tả sự tương tác của electron với các dao động không (các

thăng giáng) của các phôtôn, hay nói một cách khác là sự tương tác với chân không của trường điện từ Giản đồ này diễn tả sự xuất hiện năng lượng riêng trường điện

từ của electron (hiệu ứng tự tương tác)

Giản đồ Hình 1.5 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường

electron - positron - hay gọi là giản đồ năng lượng riêng của phôtôn

Giản đồ Hình 1.7 diễn tả sự tương tác của phôtôn với chân không của trường

electron - positron hay quá trình tán xạ của ánh sáng - ánh sáng qua việc sinh cặp electron - positron và sau đó lại hủy cặp này Đây là một quá trình vật lý đặc biệt của điện động lực học lượng tử chúng tôi không xem xét ở đây Nghiên cứu quá trình này chúng ta sẽ tính được những bổ chính phi tuyến cho phương trình Maxwell Trong điện động lực học cổ điển quá trình tán xạ ánh sáng - ánh sáng không tồn tại vì sự tuyến tính của phương trình Maxwell

Giản đồ Hình 1.6 được gọi là giản đồ đỉnh và khi tính toán giản đồ này ta cũng

thu được biểu thức phân kỳ

Các giản đồ phân kỳ bậc thấp nhất của QED:

Giản đồ chân không Giản đồ này có thể không xét

Giản đồ năng lượng riêng của electron Sơ bộ,

nó phân kỳ tuyến tính, song thực tế nó phân kỳ loga

Gồm 4! giản đồ, khác nhau bằng việc hoán vị của các đường ngoài Thực tế, nó hội tụ từ bất biến chuẩn

2.1 Giản đồ phân cực photon

Hình 2.1 Giản đồ phân cực photon

Biểu thức toán học tương ứng của giản đồ này viết trong D – biểu diễn theo phương pháp chung của chỉnh thứ nguyên:

Ta tính vết của tử thức (2.5), lưu ý rằng vết của tích lẻ các ma trận Dirac bằng không và tích phân đối xứng của hàm lẻ bằng không Vì vậy, ta chỉ tính phần:

Tính (1)( )k

2 2 (1)

2

2( )

D D

p p iDe

2 2 2

Cuối cùng:

1 (3) 0

2 2

0 2

2 2

2 0

2

2 2

2 0

2 0

2 0

1 2 2 0

2 1

2 0

2 1

2 0

2 1

2 1

m k

2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron

Hình 2.2 Giản đồ năng lượng riêng của electron

Giản đồ năng lượng riêng của electron tương ứng với biểu thức (sau khi đã chỉnh thứ nguyên):

ˆˆ

Trong đó m là khối lượng bất kỳ, tham số  có thứ nguyên khối lượng,  2

thêm vào để tích phân có thứ nguyên đúng Ở đây ta đặt D  4 2

ˆˆ

ˆˆ

Sử dụng cách tham số hoá tích phân Feynman:

1

2 0

Tích phân thứ nhất trong biểu thức trên bằng không do hàm trong dấu tích phân

là lẻ Tích phân thứ hai được tính nhờ công thức tích phân D chiều sau:

2 2

(2)

2 0

4ˆ



2 1(2)

Từ biểu thức (2.29) ta có thể tách ra phần hữu hạn và phân kỳ:

4 (1 ) ln

11

2 1

116

D i

0( ) 1

D D

1( , ', )

giải thích này xuất phát từ dạng của dòng j      mà nó có mặt trong dòng bảo toàn Chứng minh bằng giản đồ được minh họa ở Hình 2 4

Hình 2.4 Chứng minh bằng giản đồ đồng nhất thức Ward Dấu chéo ký hiệu việc thay đường photon với xung lượng bằng không vào đường electron

Đồng nhất thức Ward - Takahashi tổng quát ở những dạng tương đương

Chương 3

Tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng

electron trong QED

Đặc điểm quan trọng nhất của QED nói riêng cũng như lý thuyết trường lượng

tử nói chung là tồn tại phân kỳ, nó xuất hiện do việc lấy tích phân theo xung lượng lớn của các hạt ảo Bản chất vật lý của sự phân kỳ này liên quan đến sự tương tác của hạt với chân không vật lý

Dựa vào lý thuyết nhiễu loạn, Dyson đã xây dựng một lý thuyết tái chuẩn hoá ở dạng thích hợp cho QED Điện tích và khối lượng trong các phương trình của QED

khi chưa tương tác người ta gọi là điện tích "trần" e và khối lượng “trần” 0 m 0

Khi tương tác cả điện tích "trần" e và khối lượng “trần” 0 m đều thay đổi Các 0

tích phần phân kỳ trong QED tại từng bậc của lý thuyết nhiễu loạn hiệp biến được

chia tách thành hai phần riêng biệt: phần hữu hạn và các phần phân kỳ e  và m  ,

sau đó chúng ( e  và m  ) sẽ được gộp với điện tích "trần" và khối lượng "trần"

Các giá trị mới thu được e vatly e0  e và m vatly m0  mchúng ta đồng nhất

với điện tích vật lý và khối lượng vật lý mà người ta có thể đo được chúng trên thực nghiệm Việc gộp các giá trị điện tích "trần", khối lượng "trần" với các phần phân

kỳ trong tính toán những giản đồ Feynman tương ứng được gọi là quá trình tái

chuẩn hoá QED dựa vào lý thuyết nhiễu loạn và quá trình tái chuẩn hoá khối

lượng vật lý mvật lý của electron cho phép ta thu được kết quả tính toán phù hợp với

số liệu thực nghiệm với độ chính xác tùy ý

Quá trình tái chuẩn hóa điện tích

e m là điện tích và khối lượng trần, còn ,   lần lượt là phần phân kỳ tương e m

ứng của điện tích và khối lượng

Hai đại lượng vô hạn trong tham số điện tích và khối lượng của electron khử lẫn nhau trong lý thuyết tái chuẩn hóa Chứng minh tổng quát cho sự tái chuẩn hóa của QED khá cồng kềnh và bài toán khá phức tạp Để hiểu rõ bản chất của vấn đề tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng của hạt chúng tôi giới hạn một vài ví dụ minh họa rõ cơ chế làm phân kỳ biến mất và sau khi tái chuẩn hóa điện tích và khối lượng electron trong gần đúng một vòng sẽ diễn ra như như thế nào?

3.1 Tái chuẩn hóa điện tích:

Thực hiện việc tái chuẩn hóa điện tích của electron, thì ta phải thiết lập sự liên

hệ giữa điện tích trần và điện tích vật lý của electron bằng lập luận sau đây:

Trong vùng góc tán xạ nhỏ thì biên độ tán xạ hai hạt electron “khá nặng” (có nghĩa cùng với khối lượng tiến đến vô cùng  , điều này có nghĩa xét biên độ tán

xạ này trong gần đúng phi tương đối tính) trùng với biên độ tán xạ Coulomb Như vậy hằng số tương tác e đúng là điện tích của electron Với độ chính xác tới 0 4

0

e

Hình 3.1 Tán xạ hai electron khá nặng

Các giản đồ thứ hai thứ ba ở vế phải Hình 3.1 khi giới hạn m   sẽ bằng

không, vì trong đó chúng chứa các hàm truyền của electron:

với khối lượng ở mẫu số m   Vì vậy biên độ tán xạ hai hat, mà ta quan

tâm bằng giản đồ Feynman thứ nhất cộng với giản đồ Feynman 4 của Hình 3.1

Hình 3.2