Trường fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều

Mục đích nghiên cứu Mục đích của luận văn là tìm hiểu nghiên cứu về trường Spinor trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều D > 4, sử dụng hình thức luận Vierbein, chú trọng đặc b

TRẦN QUANG HOÀN

TRƯỜNG FERMION TRONG LÝ THUYẾT TƯƠNG

ĐỐI TỔNG QUÁT NHIỀU CHIỀU

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT

HÀ NỘI, 2013

Trước hết, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến GS.TSKH Đào Vọng Đức, người đã tận tình chỉ dạy, cung cấp cho tôi những kiến thức nền tảng, trực tiếp để tôi hoàn thành bài luận văn này Thầy cũng là người đã giúp tôi ngày càng tiếp cận và có niềm say mê khoa học trong suốt thời gian được làm việc cùng thầy

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô ở phòng Sau Đại Học, trong Khoa Vật Lí Trường Đại học sư phạm Hà Nội 2 và các Giáo sư, Tiến sĩ

đã trực tiếp giảng dạy, truyền đạt cho tôi những kiến thức quí báu về chuyên môn cũng như kinh nghiệm nghiên cứu khoa học trong thời gian qua

Cuối cùng, tôi xin chân thành gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình, bạn bè đã luôn giúp đỡ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thiện luận văn này

Hà Nội, ngày 25 tháng 06 năm 2013

Tác giả

Trần Quang Hoàn

Tên tôi là: Trần Quang Hoàn, học viên cao học khóa 2011 – 2013

chuyên nghành Vật lí lý thuyết & vật lí toán – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2

Tôi xin cam đoan đề tài: “Trường Fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều”, là kết quả nghiên cứu, thu thập của riêng tôi Các

luận cứ, kết quả thu được trong đề tài là trung thực, không trùng với các tác giả khác Nếu có gì không trung thực trong luận văn tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm trước hội đồng khoa học

Hà Nội, ngày 26 tháng 06 năm 2013

Tác giả

Trần Quang Hoàn

Mở đầu 6

Chương 1 Biến đổi tensor trong lí thuyết tương đối rộng 8

1.1 Biến đổi tổng quát không thời gian - Tenson Rieman 8

1.2 Metric rienmain và liên thông affine 10

1.3 Tensor độ cong ……… 12

1.4 Tác dụng bất biến tương đối rộng ……… 13

1.5 Phương trình Einstein ……… 15

Chương 2 Trường spinor hiệp biến tổng quát 19 2.1 Metric và vierbein ……… 19

2.1.1 Vierbein ……… 19

2.1.2 Vierbein và metric ……… 20

2.1.3 Biểu thức của vierbein 21

2.2 Ma trận Dirac 26

2.3 Ma trận Dirac trong không - thời gian D > 4 chiều … 29

Chương 3 Tương tác trường spinor - gause và hấp dẫn …… 35

3.1 Lagiangian tương tác ……… 35

3.2 Tương tác spinor và trường gause U(1) ……… 37

3.3 Tương tác trong mô hình Kluza-klein ……… 38

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Các hạt cơ bản nhất cấu tạo nên các hạt mọi thể loại là các Fermion thực hiện các biểu diễn cơ sở của nhóm đối xứng nội tại Chẳng hạn, đó là các quark và lepton ba thế hệ

Vì vậy tôi chọn đề tài “Trường Fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều”

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn là tìm hiểu nghiên cứu về trường Spinor trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều (D > 4), sử dụng hình thức luận Vierbein, chú trọng đặc biệt đến tương tác giữa trường này với trường gauge

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Tổng quan những nguyên lí cơ bản của lý thuyết tương đối tổng quát, metric Riemann, liên thông affine và tensor độ cong

- Triển khai các tính toán về hình thức luận Vierbein cho trường Spinor, ma trận Dirac - Sommerfeld cho không - thời gian nhiều chiều

- Nghiên cứu về tương tác giữa trường Spinor với trường Gauge trong không - thời gian với chiều phụ trội

4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Trường Fermion trong lý thuyết tương đối tổng quát nhiều chiều

5 Phương pháp nghiên cứu

Sử dụng phương pháp vật lí lý thuyết và vật lí toán để khai triển tính toán

6 Cấu trúc luận văn

Chương 1: Biến đổi tensor trong lý thuyết tương đối rộng

Chương 2: Trường spinor hiệp biến tổng quát

Chương 3: Tương tác trường spinor - gauge và hấp dẫn

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 BIẾN ĐỔI TENSOR TRONG LÝ THUYẾT TƯƠNG ĐỐI RỘNG

1.1 Biến đổi tổng quát không thời gian- Tenson Rieman

Nguyên lí bất biến tương đối rộng khẳng định rằng mọi quá trình đều điễn ra như nhau trong mọi hệ quy chiếu Có nghĩa là mọi hệ quy chiếu đều bình đẳng, mọi phương trình phải bất biến đối với phép biến đổi tổng quát:

f (x) là hàm thực bất kì

Biến đổi Lorentz chỉ là một trường hợp đặc biệt của (1.1) khi:

Với phép biến đổi (1.1) ta định nghĩa:

Tensor đối biến hạng r là tập hợp các thành phần T 1 2 r(x) biến đổi theo quy luật:

Với vector đối biến ta có:

x ' x

1.2 Metric Riemann và liên thông affine

Xét các vecter F và ( x ) G(x), đạo hàm bình thường được viết:

F (x) F (x) (x)F (x) (1.11) trong đó (x) được gọi là liên thông affine, được chọn sao cho F là tensor, tức là

Quy luật (1.13) chưa xác định liên thông affine một cách đơn trị Đặc biệt nếu (1)

(x) và (2) (x) là hai liên thông affine thì (x) = C1 (1) (x) + C2 (2) (x) , C1 + C2 = 1 (1.16) cũng thỏa mãn điều kiện (1.13) và do đó cũng là một liên thông affine

Trong mục này ta tính liên thông affine khi thỏa mãn các điều kiện:

1 Điều kiện đối xứng (x) = (x) (1.17)

2 Điều kiện tương thích metric g 0 (1.18)

Từ quy luật biến đổi (1.13) ta thấy rằng đại lượng

là một tensor hạng (1,2) Tensor này được gọi là tensor độ xoắn Trong trường hợp liên thông affine là đối xứng (1.17) thì T = 0 và ta nói rằng không – thời gian không xoắn

Bây giờ ta tính liên thông affine thỏa mãn điều kiện không xoắn (1.17)

và điều kiện tương thích metric (1.18)

Viết 3 phương trình điều kiện tương thích metric với các chỉ số ( , , ) hoán vị vòng như sau:

được gọi là tensor độ cong Riemann

Có thể thử trực tiếp các tính chất đối xứng của R

R = R (1.29)

R + R + R = 0 (1.30)

Bên cạnh R cũng thường dùng R liên hệ với nhau bởi metric tensor

1.4 Tác dụng bất biến tương đối rộng

Trong lý thuyết tương đối hẹp, khi Lagrangian bất biến L(x) thì tác dụng định nghĩa bởi 4

A d xL(x) cũng bất biến

Trong lý thuyết tương đối tổng quát thì không như vậy Để xây dựng tác dụng bất biến thay vì 4

d x ta phải tìm phần tử bất biến tương ứng

Từ quy luật biến đổi của metric g (x)

ta tìm quy luật biến đổi của định thức

ta viết lại (1.36) thành

T '

g1

S 8 d x gT g (1.50)

( )1

được gọi là phương trình Einstein cho trường hấp dẫn

Từ (1.52) ta có: R 8 g T( ) 8 T( ) (1.53) thay ngược lại vào (1.52), ta có:

( ) ( )

Trong chân không T( ) 0 , và phương trình (1.54) cho R 0

Các kết quả này dẫn đến kết luận sau:

Tính chất hình học của không - thời gian được quyết định bởi trường vật chất ở trong đó Ta cũng nhận xét rằng vế trái phương trình Einstein (1.52) là phạm trù hình học, còn vế phải là phạm trù vật lí Trong tinh thần đó người ta diễn tả một cách hình ảnh phương trình Einstein là:

HÌNH HỌC = VẬT LÍ

CHƯƠNG 2 TRƯỜNG SPINOR HIỆP BIẾN TỔNG QUÁT

v (x) thỏa mãn điều kiện:

Cùng với các vierbein a

v (x) ta cũng đưa vào vierbein v (x) thỏa mãn điều (a )kiện: a

v (x) v (x) = (b) ab (2.2) Các chỉ số a, b… được gọi là các chỉ số vierbein Chú ý rằng vì là vector nên a

v (x) và v (x) biến đổi theo quy luật: (a )

Nhân hai vế phương trình (2.2) với v (x) ta có: (a )

qua vierbein như sau:

ds g (x)dx dx v (x)v (x).dx dx dx dx (2.11) trong đó ta định nghĩa (a )

dx là thành phần vierbein của dx (a) (a)

nhân hai vế với v(a ) và sử dụng (2.5) ta có hệ thức ngược lại:

(a) (a)

Tương tự như (2.12), ta định nghĩa thành phần vierbein của vector A như

và A(a) abA(b) abv A(b) v A (a) (2.15)

Một cách tổng quát các thành phần vierbein của một tensor (n, m) là:

T là bất biến đối với phép biến đổi tọa độ tổng quát

Kí hiệu (g) là ma trận 4x4 với phần tử hàng cột là g , (v) là ma trận 4x4 với phần tử hàng a cột là v(a ), ( ) là ma trận 4x4 với phần tử hàng a cột b là ab, ta viết lại hệ thức (2.10) như sau:

T

và từ đó ta có: 2

trong đó g det(g), v det(v)

Ta hãy định nghĩa “đạo hàm dọc theo phương a” (a ) F

x là:

(a ) (a )

2.1.3 Biểu thức của vierbein

Để tìm biểu thức tường minh của vierbein, ta xuất phát từ hệ thức (2.10) liên hệ vierbein với metric: g (x) = ab a

có dạng (2.21)

Rõ ràng để được như vậy, ta có thể đặt

(0)

dx e dt, dx(1) rd , dx(2) r sin d , dx(3) e dr (2.24) Tiếp theo ta diễn tả dt,d ,d ,dr qua 4

dx dt,dx,dy,dz , ta tính như sau: 0

Để diễn tả rsin d ta dùng hệ thức x rsin cos

dx dr.sin cos d rcos cos d rsin sin

dx d r sin cos sin cos dr rcos cos d r sin sin d

cos cos dx sin dx sin cos e dx2

dx d r sin sin sin sin dr rcos sin d r sin cos d

cos sin dx cos dx sin sin e dx

dx d(rcos ) cos dr r sin d sin.dx e cos dx

Từ đây ta suy ra

1 (0) 1 (1) 1 (2) 1 (3) 2 (0) 2 (1) 2 (2) 2 (3) 3 (0) 3 (1) 3 (2) 3 (3)

hoặc dưới dạng ma trận:

ab(g ) (v ) ( )(v ) =

0 cos cos sin e sin cos

0 cos sin cos e sin sin

trong đó ta đã sử dụng các hệ thức liên hệ tọa độ Decarter với tọa độ cầu

x rsin cos , y r sin sin , z rcos Chẳng hạn, ta có:

g cos cos sin e sin cos

2 00

0i i0

i k 2

Dĩ nhiên rằng kết quả này trùng với kết quả tính theo công thức:

(x)(x)

Trong lý thuyết tương đối tổng quát thay vì metric ta phải dùng metric Riemann g (x) , và để tương ứng ta phải dùng các ma trận (x) phụ thuộc x

và thỏa mãn hệ thức giao hoán

(x), (x) 2g (x) (2.39)

Để có sự nhất quán, ta dùng các chỉ số Latin a, b, … cho các đại lượng gắn với không – thời gian phẳng (chỉ số vierbein), các chỉ số Hylap , … cho các đại lượng gắn với không – thời gian cong, các ma trận Dirac được kí hiệu lại là (a ), a =1, 2, 3 và (2.36) được viết lại (a ), (b) 2 ab (2.40)

Nhân hai vế (2.40) với (a ) (b)

v (x).v (x) (và lấy tổng theo a, b) ta có ngay (2.39), trong đó:

(a )

(a )(x) v (x) , g (x) abv (x)v (x) (a) (b) (2.41)

Chú ý rằng vì (a )

v (x) là các vector nên (x) định nghĩa bởi (2.41) cũng là

ma trận – vector, tức là biến đổi theo quy luật

dưới tác dụng của phép biến đổi tọa độ tổng quát

Đạo hàm hiệp biến của (x) và (x) g (x) (x) được định nghĩa như đối với các vector thông thường, cụ thể là:

thì D (x) 0 (2.45) vì:

2.3 Ma trận Dirac trong không - thời gian D > 4 chiều

Trong không thời gian D chiều, spinor Dirac hạng 1 có

D 2

2 thành phần, trong đó

Ta kí hiệu các ma trận Dirac là A trong trường hợp tổng quát, và vẫn dành các ký hiệu cho các ma trận Dirac cho trường hợp D = 4

Ta xét trường hợp không gian Minkowski, có metric

AB dig(1, 1, 1, , 1) (2.47)

và tìm A thỏa mãn các tính chất:

A, B 2 AB , A AA A (2.48) Ngoài các ma trận ở (2.37), ta sử dụng thêm ma trận

Các ma trận A có thể xây dựng theo cách như sau:

2 hàng và cột, J là các ma trận với cùng số hàng và cột như vậy và thỏa mãn các tính chất:

Vậy công việc còn lại là xây dựng các ma trận J với các tính chất (2.50)

Ta hãy minh họa qua các ví dụ với D = 5, 6, …, 11

D = 5 :

D 2

2 = 4,

D 4 2

2 = 1 Đặt 1 = 1, và (2.49) cho

, 5 i 5 (2.51)

D = 6, 7 :

D 2

2 = 8,

D 4 2

2 = 2 Đặt j là các ma trận Pauli

( ) 01

2 = 16,

D 4 2

2 = 4 Đặt J qua các ma trận Dirac 4 chiều, 1 i , 1 2 i 2 , 3 i , 3 4 0 ,

2 = 32,

D 4 2

5

5

5 (6)

5

5

5 (6)

CHƯƠNG 3 TƯƠNG TÁC TRƯỜNG SPINOR – GAUGE VÀ HẤP DẪN

Ví dụ, ta tìm biểu thức của Lagrangian tương tác giữa trường hấp dẫn

và các trường khác trong khuôn khổ lý thuyết trường với không – thời gian phẳng, ta xuất phát từ tác dụng bất biến (1.40) và (1.42):

trong đó ta đã sử dụng tính chất đối xứng của liên thông affine

Thay vào (3.8) các giá trị gần đúng của g , g và g , ta được kết quả là:

4

S d x L (A) L (h,A) với

int

Các trường hợp khác cũng làm tương tự Lúc đó nói chung cần tính liên thông affine xuất hiện trong đạo hàm hiệp biến Trong gần đúng bậc nhất theo

h ta có:

1

3.2 Tương tác spinor và trường gauge U(1)

Trường spinor tương ứng với hạt spin 1

2 Lagrangian mô tả trường spinor tự do có dạng:

trong đó là thông số của phép biến đổi

Trong trường hợp (x), ta có phép biến đổi

được gọi là U(1) gauge

Đưa vào trường A (x) , gọi là trường gauge, lập đạo hàm hiệp biến theo công thức:

' ' ' ' iq ( x )

sau đó thay thế (x) trong Lagrangian tự do bằng D (x)

Kết quả cho ta Lagrangian trường (x) tự do cùng với Lagrangian mô

tả tương tác giữa trường (x) và trường gauge A (x)

int

L ( , A ) q A (3.18)

3.3 Tương tác trong mô hình Kluza-klein

Mô hình Kaluza-Klenin xây dựng trên cơ sở lý thuyết tương đối tổng quát trong không- thời gian mở rộng năm chiều, bao gồm bốn chiều không-thời gian thông thường và một chiều không gian phụ trội Ta quy ước dùng các chữ cái A,B,…làm các chỉ số Lorentz mở rộng nhận các giá trị 0,1,2,3,5

để phân biệt với các chỉ số Lorentz thông thường , , … nhận các giá trị 0,1,2,3 Ta cũng kí hiệu metric bởi GAB(x) để phân biệt với metric g (x) của không thời gian bốn chiều thông thường Ý tưởng chủ đạo là gắn trường điện

từ A (x) ( cùng với trường hấp dẫn h (x) ) vào trong các thành phần của metric GAB(x), cụ thể đặt là:

Trong đó (x) là một trường vô hướng nào đó, W( )được gọi là thừa

số kích cỡ loại Weyl

Các biểu thức (3.19) có thể viết gộp dưới dạng ma trận 5 5 như sau:

AB(G ) W( )

Metric đối biến AB

G có thể tính được bằng cách như sau:

Xét phép biến đổi A ' A

x x với '

Trong đó g (x) là metric không – thời gian bốn chiều thỏa mãn điều kiện

f (x 2 R ) f (x ), 0 x5 2 R 5 (3.29)

R

n

f (x , x ) f (x ).e (3.30)

Lý thuyết hiệu dụng tại miền năng lượng thấp có thể xây dựng trên cơ

sở xem tensor metric GABkhông phụ thuộc x5

n 5

1

2 R

Tổng quát: Trong trường hợp số chiều không - thời gian là D (với D - 4 chiều không gian ngoại phụ), khi các chiều ngoại phụ co gọn đơn giản nhất thành hình xuyến D - 4 chiều với các bán kính R kK, 5,6, , D

Ta có công thức triển khai như sau:

k K

K

k K

K K K

x

i n R (n , ,n )

x (2 R ) n

G (x , x , , x ) G e

1

KẾT LUẬN

Luận văn đã trình bày về các vấn đề liên quan đến các trường tensor và spinor, tác dụng bất biến tương đối rộng, phương trình Einstein, tương tác spinor - gauge và mô hình Kaluza – Klein thống nhất trường hấp dẫn và trường điện từ trong không - thời gian 5 chiều

Những kết quả chính của luận văn có thể tóm tắt như sau:

- Trình bày tổng quan về phép biến đổi tensor trong lý thuyết tương đối rộng, trường spinor hiệp biến tổng quát, quan tâm đặc biệt đến tương tác trường spinor – gauge

- Triển khai các tính toán chỉ ra tương tác spinor – gause

- Nghiên cứu tổng quát hóa mô hình thống nhất kiểu Kaluza – Klein cho trường hợp tương tác trường hấp dẫn và trường điện từ

Những kết quả này có thể sử dụng để bước đầu tìm hiểu và nghiên cứu các mô hình lý thuyết thống nhất tương tác, bao gồm cả tương tác hấp dẫn trong không – thời gian với các chiều phụ trội

TÀI LIỆU THAM KHẢO

[1] Đào Vọng Đức, (2011 – 2012), “Các bài giảng về Vật Lý Lý Thuyết tại

các lớp cao học ĐHSP Hà Nội 2”

[2] Đào Vọng Đức, (2007), Các nguyên lý cơ bản của lý thuyết Siêu Dây

lượng tử, NXB khoa học tự nhiên và công nghệ

[3] Đào Vọng Đức, Phù Chí Hòa, (2011), Lý thuyết hạt cơ bản, NXB khoa

[6] S.Weinberg, (1995), The quantum theory of fields, Cambridge University

Press, New York

[7] NV.Mitzkevich, (1969), Physical fields in Genenral Theory of Relativity,

Science Publishing House, Moscow

[8] B.Dewitt, P.Fayet, P.Van Niewenhuizen, (1984), Suprsymmetry and

Supergravity, World Scientific

[9] J Yepez, (2011), Einstein’s vierbein field theory of curwed space