1 chuyên đề KSSBT và vẽ ĐTHS

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị.. - Lấy thêm một số điểm nếu cần - điều này làm sau khi hình dung hình dạng của đồ thị.. - Lấy thêm một số điểm nếu cầ

Chuyên đề 1 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ

VÀ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

(Thời lượng 20% - 25%)

Chủ đề 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số Bài toán dùng đồ thị biện luận theo m số nghiệm của phương trình

1 Một số kiến thức bổ trợ

a) Đưa ra hệ thống các ví dụ ôn lại lý thuyết

* Kiến thức cần nhớ

+, Đạo hàm của hàm số luỹ thừa: y= x n ⇒ = y , nx n 1− n N, ∈ và n >1

(C)' 0;(x)' 1; = =

+, Đạo hàm của tổng hay hiệu hai hàm số:

(u+v)’=u’+v’

(u-v)’=u’-v’

Nhận xét: Ta có thể mở rộng cho tổng hay hiệu nhiều hàm số có đạo hàm

Trên tập xác định D là: ( )'

u v w ± ± ± = ± ± ± u' v ' w '

+, Đạo hàm của tích hai hàm số : (u.v)’=u’.v+u.v’ và (k.u)’=k.u’.

Đặc biệt nếu k là hằng số thì: ( ) ' ( )

k.u x k.u' x

+, Đạo hàm của thương hai hàm số

'

2

u u' v uv '

.

−

  =

 ÷

a) Trên ( −∞ ∪ +∞ ;0) (0; ) , ta có '

2

.

  = −

 ÷

 

b) Nếu v = v(x) có đạo hàm trên D và v x( ) ≠ ∀ ∈ 0; x D thì trên D ta có: '

2

.

  = −

 ÷

* Sơ đồ khảo sát hàm số:

1 Tập xác định

2 Sự biến thiên.

* Xét chiều biến thiên của hàm số

+, Tính đạo hàm y’

+, Tìm các điểm tại đó đạo hàm y’ bằng 0 hoặc không xác định

+, Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

* Tìm cực trị

+, Tìm các giới hạn tại vô cực, các giới hạn vô cực và tìm tiệm cận (nếu có)

+, Lập bảng biến thiên (Ghi các kết quả tìm được vào bảng biến thiên)

3 Đồ thị.

Dựa vào bảng biến thiên và các yếu tố xác định ở trên để vẽ đồ thị

Ví dụ 1 Tính đạo hàm của hàm số:

a) y x = 5

b) y = x3+ x

a) Ta có y / = 5.x 4

b) Ta có y’ = (x3+x)’ = (x3)’+(x)’ = 3x2 + 1

Ví dụ 2 Tính đạo hàm của hàm số:

( ) 8 5

3

4

f (x) (x ) 7(x ) 9(x) 3 8x 7.5x 9 0 6x 35x 9

Ví dụ 3 Tính đạo hàm của hàm số:f(x)= x(x+1)(x+4) tại điểm x0= 1?

Giải

Ta có: f’(x)=(x)’(x+1)(x+4)+x(x+1)’(x+4)+x(x+1)(x+4)’

= (x+1)(x+4) + x(x+4) + x(x+1);

Khi đó: f’(1) = 17

Ví dụ 4 Tính đạo hàm các hàm số sau: y 3x 1

4x 3

+

= +

Giải

(3x 1)'.(4x 3) (3x 1)(4x 3)' 3(4x 3) 4(3x 1) 5

b) Các dạng bài tập tương tự cho học sinh tự làm

Bài tập: Tìm đạo hàm của hàm số:

a) y 2x 3

3x 7

+

=

−

b) y x = 3 − 3x 2 + 2

c) y 5x = 4 − 4x 2 − 1

d) y=(x+2)(x+3)

2 Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề

a) Ví dụ ôn lại kiến thức cơ bản

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ HÀM BẬC BA: y = ax 3 + bx 2 + cx + d (a ≠

0)

1 Tập xác định D=R

2 Sự biến thiên

- Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm: y' 3ax +2bx+c = 2

+ y' 0 = ⇔ 3ax +2bx+c=0 2 ( Bấm máy tính nếu nghiệm chẵn, giải ∆ ∆ ; 'nếu nghiệm lẻ- không được ghi nghiệm gần đúng)

Chú ý: Đến buớc này cần lập bảng biên thiên ra nháp, sau đó dựa vào bảng biến thiên kết luận các bước tiếp theo

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

- Tìm cực trị

- Tìm các giới hạn tại vô cực (x → ±∞)

(Hàm bậc ba và các hàm đa thức không có TCĐ và TCN.)

- Lập bảng biến thiên.

Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên

3 Đồ thị

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= d => (0; d)

- Giao của đồ thị với trục Ox: y 0 = ⇔ ax +bx +cx+d 0 3 2 = ⇔ = x ?

- Các điểm CĐ; CT nếu có

(Chú ý: Nếu nghiệm bấm máy tính được 3 nghiệm thì OK, còn nếu được 1 nghiệm

nguyên thì phải đưa về tích của một hàm bậc nhất và một hàm bậc hai để giải

nghiệm Trường hợp cả ba nghiệm đều lẻ thì chỉ ghi ra ở giấy nháp để phục vụ cho việc vẽ đồ thị).

- Lấy thêm một số điểm (nếu cần) - (điều này làm sau khi hình dung hình dạng

của đồ thị Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian).

Ví dụ 1 Cho hàm số y = x 3 − 6x 2 + 9x (1)

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

b) Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3− 6x2+ 9x m=

Giải

1 TXĐ: D = R

2 Sự biến thiên:

a Chiều biến thiên:

2 2

1

3

x

x

=



Trên khoảng (−∞ ;1) và (2;+∞) , y' 0 > nên hàm số đồng biến Trên khoảng ( )1;3 , y' 0 < nên hàm số nghịch biến

b Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x = 1, yCĐ= y(1)= 4 Hàm số đạt cực tiểu tại x = 3, yCT= y(3)= 0

c Giới hạn:

x x

x x

d Bảng biến thiên:

Đồ thị:

Giao Với trục Oy tại điểm (0;0)

Giao Với trục Ox tại điểm (0;0),

b Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1) biện luận theo m số nghiệm của phương trình

3 6 2 9

x − x + x m=

Ta có: x 3 − 6x 2 + 9x m = (*)

Số nghiệm của phương trình (*) là số giao điểm của đồ thị hàm số (1) Với đường thẳng y = m Dựa vào đồ thị hàm số (1) ta có:

Nếu m >4 hoặc m< 0 thì phương trình (*) có một nghiệm

Nếu m = 4 hoặc m = 0 thì phương trình (*) có hai nghiệm

Nếu 0 < <m 4thì phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt.

Ví dụ 2 Cho hàm số y = -x3+3x-2 (2)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (2)

b Biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình x3-3x+2+m=0

Giải

1 Tập xác định: D = R

2 Sự biến thiên

a Chiều biến thiên y' = -3x2+3 = -3(x2-1)

= −



′ = ⇔  0  = 1

1

x y

x

Trên khoảng (− 1;1) , y’>0 nên hàm số đồng biến

Trên khoảng (−∞ − ; 1) và(1; +∞) , y’<0 nên hàm số nghịch biến

b Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại x=1 => yCĐ = 0

Hàm số đạt cực tiểu tại x=-1 => yCT = -4

c Giới hạn

3 3

lim ( 3 2)

x

x

→−∞

→+∞

d Bảng biến thiên.

x −∞∞ -1 1 +

y/ + 0 - 0 +

y

+ ∞ 0

-4 -∞

3 Đồ thị

Giao Với Ox tại A(1;0) và B(-2;0)

Giao Với Oy tại C(0;-2)

b Dựa vào đồ thị (C) biện luận số nghiệm của phương trình x3-3x+2+m=0

Ta có: x3-3x+2+m=0 ⇔ -x3+3x-2 = m (*)

Số nghiệm của phương trình (*) bằng số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y=m

- 4 < m < 0 phương trình (*) có 3 nghiệm phân biệt

m = -4 hoặc m= 0 phương trình (*) có 2 nghiệm phân biệt

m> 0 hoặc m< - 4 phương trình (*) có 1 nghiệm

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐT HÀM SỐ TRÙNG PHƯƠNG y = ax 4 + bx 2 + c (a ≠ 0)

1 Tập xác định D=R

2 Sự biến thiên

- Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm y' 4ax +2bx = 3

+ Ta có: y' 0 = ⇔ 4ax +2bx=0 3 ⇔ 2x(2ax +b)=0 2

2 2

x 0

x 0

b x 2ax +b=0

2a

=



=

 =

+ Xét dấu đạo hàm y’ và suy ra chiều biến thiên của hàm số

Chú ý: Đến bước này cần lập bảng biên thiên ra nháp, sau đó dựa vào bảng biến thiên kết luận các bước tiếp theo

Tìm cực trị

- Tìm các giới hạn tại vô cực (x → ±∞) (Hàm trùng phương không có TCĐ

và TCN.)

- Lập bảng biến thiên.

Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên

3 Đồ thị

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= c => (0;c)

- Giao của đồ thị với trục Ox: y 0 = ⇔ ax +bx +c 0 4 2 = ⇔ = ⇒ x ? (?;0)

- Các điểm CĐ; CT nếu có

(Chú ý: Giải phương trình trùng phương- các bạn bấm máy tính như giải pt

bậc 2 nhưng chỉ lấy nghiệm không âm, sau đó giải để tìm ra x).

- Lấy thêm một số điểm (nếu cần) - (điều này làm sau khi hình dung hình dạng

của đồ thị Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian).

Ví dụ 3: Cho hàm số y x = 4 − 8x 2 + 10

a) Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b) Dựa vào đồ thị (C) hãy biên luận theo tham số m số nghiệm của phương trình:

x 4 − 8x 2 + − = 10 m 0 (*)

Giải

a)

1.Tập xác định: D = ¡

2 Sự biến thiên:

a Chiều biến thiên: y’ = 4x3 -16x = 4x(x 2 − 4)

y’ = 0 

x 0

x 2

=



 = −



 =



y’ > 0 với mọi x ( 2;0) (2; ∈ − ∪ +∞ ), suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng ( -2 ; 0) và

( 2 ; +)

y’ < 0 với mọi x ( ∈ −∞ − ∪ ; 2) (0;2), suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng ( -; -2) và ( 0 ; 2)

b Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại điểm x = 0 ,yCĐ = 10

Hàm số đạt cực tiêu tại điểm x = ± 2 ; yCT = -6

c Giới hạn:

xlim y = +→−∞ ∞; xlim y = + →+∞ ∞

Hàm số không có tiệm cận

+) Bảng biến thiên:

x -  -2 0 2

+

y’ - 0 + 0 - 0 +

y

+ 10 +

-6 -6

3 Đồ thị (C ) :

Đồ thị (C) cắt trục Oy tại điểm (0; 10), cắt trục Ox tại 4 điểm ( ± 4 − 6 ;0)) và ( ± 4 + 6 ;0)

Đồ thị (C) nhận trục Oy là trục đối xứng:

b) Ta có (*) ⇔ x 4 − 8x 2 + 10 m =

Do đó, số nghiệm của phương trình (*) bằng Với số giao điểm của đồ thị (C) và đường thẳng y = m Nên dựa vào đồ thị (C), ta có:

+) Nếu m < -6 thì phương trình (*) vô nghiệm

+) Nếu m = -6 thì phương trình (*) có hai nghiệm kép

+) Nếu -6 < m < 10 thì phương trình (*) có 4 nghiệm phân biết

+) Nếu m = 10 thì phương trình (*) có 3 nghiệm (1 kép và 2 đơn)

+) Nếu m > 10 thì phương trình (*) có hai nghiệm phân biệt

Ví dụ 4: Cho hàm số y = -x + 2x + 3 (C) 4 2

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C)

b Tìm m để Phương trình: x - 2x m 0 4 2 + = có 4 nghiệm phân biệt

c Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm có hoành độ x = 2

Giải

a Khảo sát:

1 Tập xác định: D = ¡

2 Sự biến thiên:

+) Chiều biến thiên: y’ = - 4x3 +4x = -4x(x2 -1)

y’ = 0 

x 0

x 1

=



 = −



 =



y’ > 0 với mọi x ( ∈ −∞ − ∪ ; 1) (0;1), suy ra hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (-

 ; -1) và

( 0 ; 1)

y’ < 0 với mọi x ( 1;0) (1; ∈ − ∪ +∞ ), suy ra hàm số nghịch biến trên mỗi

khoảng ( - 1 ; 0) và

( 1 ; +)

+) Cực trị:

Hàm số đạt cực đại tại hai điểm x = - 1 và x =1; yCĐ = 4

Hàm số đạt cực tiêu tại điểm x = 0 ; yCT = 3

+) Giới hạn:

xlim y = - →−∞ ∞

xlim y = - →+∞ ∞

+) Bảng biến thiên:

x -  -1 0 1 +

y’ + 0 0 + 0

-y

4 4

-  3 -

3 Đồ thị

Cắt Oy tại điểm (0; 3), cắt Ox tại 2 điểm ( - 3 ; 0) và ( 3 ; 0)

Nhận Oy là trục đối xứng

b Phương trình đã cho tương đương với phương trìnhx -2x +m = 0 4 2  -x + 2x + 3 = m + 3 4 2

Do đó, số nghiệm của phương trình đã cho bằng số điểm chung của đồ thị (C) Với đường thẳng y = m +3

Căn cứ vào đồ thị để phương trình có 4 nghiệm phân biệt thì 3 < m + 3 < 4 vậy 0 <

m < 1

SƠ ĐỒ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐT HÀM SỐ y = ax b (c 0, ad bc 0)

cx d

+

1 Tập xác định D R \ d

c

−

2 Sự biến thiên

- Xét chiều biến thiên của hàm số

+ Tính đạo hàm y' ax b ' ad-bc2

cx d (cx+d)

+

+

+ y’ không xác định khi x d

c

−

= ; y’ luôn âm (hoặc dương) với mọi x d

c

−

≠

+ Hàm số đồng biến (nghịch biến) trên các khoảng ( ; d)

c

c +∞

- Tìm cực trị: Hàm số đã cho không có cực trị

- Tiệm cận:

Ta có:

ax+b a lim y lim

cx+d c

→±∞ = →±∞ = nên y a

c

= là TCN

ax+b

cx+d

ax+b

cx+d

Do đó x d

c

−

=

- Lập bảng biến thiên.

Thể hiện đầy đủ và chính xác các giá trị trên bảng biến thiên

3 Đồ thị

- Giao của đồ thị với trục Oy: x=0 =>y= b

d => (0; b

d)

- Giao của đồ thị với trục Ox: y 0 ax+b 0 ax b 0 x b ( b;0)

- Lấy thêm một số điểm (nếu cần) (điều này làm sau khi hình dung hình dạng

của đồ thị Thiếu bên nào học sinh lấy điểm phía bên đó, không lấy tùy tiện mất thời gian.)

- Nhận xét về đặc trưng của đồ thị Đồ thị nhận điểm I( d a; )

c c

−

là giao hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng

Ví dụ 5: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số y x 1

x 1

−

= +

Giải

1 Tập xác định : D = R \ {-1}

2 Sự biến thiên:

a Chiều biến thiên:

y' 2 2

(x 1)

=

+ > 0 ,∀ x ≠ - 1 Hàm số đồng biến trên các khoảng (-∞;-1) và (-1;+∞)

b Cực trị: Hàm số không có cực trị

c Tiệm cận :

x lim y x lim y 1

→−∞ = →+∞ = ⇒ đường thẳng y = 1 là tiệm cận ngang

lim y ; lim y

+ − ⇒ đường thẳng x = - 1 là tiệm cận đứng

d Bảng biến thiên:

3 Đồ thị :

Giao với trục Oy tại điểm ( 0 ; - 1)

Giao với trục Ox tại điểm ( 1 ; 0 )

Tâm đối xứng là điểm (-1; 1)

Ví dụ 6: Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số:

y 2x 1

x 1

+

=

−

Giải

1.Tập xác định : D = R \ {1}

2 Sự biến thiên:

a, Chiều biến thiên:

y' 3 2

(x 1)

−

=

− < 0 ,∀ x ≠ 1 Hàm số nghịch biến trên các khoảng (-∞;1) và (1;+∞)

b Cực trị : Hàm số không có cực trị

c Tiệm cận :

x lim y x lim y 2

→−∞ = →+∞ = ⇒ đường thẳng y = 2 là tiệm cận ngang

lim y ; lim y

+ − ⇒ đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng

d Bảng biến thiên:

3.Đồ thị :

Giao với trục Oy tại điểm ( 0 ; - 1)

Giao với trục Ox tại điểm ( 1

2

− ; 0 )

Tâm đối xứng là điểm (1; 2)

b Các dạng bài tập tương tự tại lớp:

Bài 1: Cho hàm số y= − +x3 3x2 (1)

a.Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (1)

b.Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (1)

biện luận theo m số nghiệm của phương trình: x3− 3x2+ =m 0

Bài 2: Cho hàm số y=2x3+3x2−1 (2)

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (2)

b Dựa vào đồ thị (C) của hàm số (2) biện luận theo m số nghiệm của phương trình 2x3+ 3x2− + = 1 m 0

Bài 3: Cho hàm số y x = 4 − 2x 2 + 1 có đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến Với đồ thị (C) tại điểm cực đại của (C)

c Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình

4 2

x − 2x + − = 1 m 0

Bài 4:

a) Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số (C) y = f(x) = x4 – 2x2

b) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của nó đường thẳng y

= 8

c) Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình: x4 – 2x2 – m = 0

Bài 5 :

a) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số y x 1

x 2

−

= +

b) Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

Bài 6: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C )của hàm số y 3x 2

x 1

−

= +

CHỦ ĐỀ 2: PHƯƠNG TRÌNH TIẾP TUYẾN CỦA ĐỒ THỊ HÀM SỐ

1 Một số kiến thức bổ trợ

*Bài toán 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) tại điểm

M 0 (x 0 ;f(x 0 ))

B1 Tính y’ = f’(x), suy ra f’(x0)

B2 Phương trình tiếp tuyến tại điểm M0(x0;f(x0)) là y = f’(x0)(x - x0) + y0 (*)

* Bài toán 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) khi biết trước hệ số góc k

Biết k = y’(x0) => x0, y0 thay vào (*)

(Hai đường thẳng vuông góc thì k’.k = -1, hai đường thẳng song song thì hệ số góc bằng nhau)

* Bài toán 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua M(x 1 ;y 1 )

Giả sử đường thẳng d đi qua M có hệ số góc k, đường thẳng d có dạng y = k(x – x1) +

y1 (1) Để đường thẳng d là tiếp tuyến thì hệ sau có nghiệm f(x) k(x x ) y1 1

f '(x) k





Giải hệ tìm được k thay vào (1)

2 Tiến hành giải quyết nội dung chuyên đề:

a Ví dụ ôn lại kiến thức cơ bản:

Bài tập 1: Cho hàm số y = x 3 − 6x 2 + 9x (1)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số (1)

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)

c Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó song song với đường thẳng y = -6x + 1

Giải

b.Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2)

' 3 12 9, ' 2 3

Vậy phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A(2;2) là:

3 2 2

3 8

⇔ = − +

c Vì tiếp tuyến song song với đường thẳng y = -6x + 1

nên k = y’(x0) = -6⇔ 2 0

0

= −





Với x0 = -5 => y0 = -320 Phương trình tiếp tuyến là: y = -6x – 350

Với x0 = -1 => y0 = - 16 Phương trình tiếp tuyến là: y = -6x – 22

Bài 2: Cho hàm số y x = 4 − 8x 2 + 10

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm cực đại của đồ thị (C)

Giải

b) Theo kết quả của ý a thì điểm cực đại (0;10)

Ta có f (0) 0 ' = suy ra phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm cực đại là: y=10

Bài 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số y x 2

2x 1

+

= +

a) Tại điểm có hoành độ bằng 1

b) Tại điểm có tung độ bằng 4

5

Giải