Đường thẳng vuông góc với BA tại A cắt đường tròn O’ tại C khác A.. Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn luôn đi qua một điểm cố định.. Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC luôn t
Trang 2{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}
Trang 5{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}
Trang 9SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH
−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN : TOÁN HỌC Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 01/11/2011 (Đề thi có 01 trang)
Bài 1 (5 điểm)
1 Giải bất phương trình sau trên tập số thực :
x − x+ + x> x − x+ + −x
2 Giải hệ phương trình sau trên tập số thực :
2 2
2 2
Bài 2 (5 điểm)
Chứng minh rằng sinx 2x
π
> đúng với mọi (0; )
2
Từ đó chứng minh rằng
2 2
4 cosx 1 x
π
≤ − đúng với mọi ( ; )
2 2
x −π π
Bài 3 (5 điểm)
Cho hình chóp S ABC có 0
90
4
SA= cm AB= cm BC = cm Tính thể tích khối chóp S ABC
Bài 4 (5 điểm)
Giải phương trình sau trên tập số thực :
3cot x+2 2 sin x=(2 3 2) cos+ x
−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−HẾT−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Trang 10Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TÌNH LỚP 12 THPT
- -
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN Ngày thi 01/11/2011 (Hướng dẫn chấm này gồm có 03 trang)
Bài 1.1
(2,5 điểm)
Điều kiện : 0≤ ≤ x 4
BPT đã cho tương đương với BPT
x − x+ − x − x+ > − −x x
4
− +
4
− +
Kết hợp với điều kiện, nghiệm của BPT đã cho là 2< ≤x 4.
0,5đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ Bài 1.2
(2,5 điểm) Hệ đã cho được viết lại :
2 2
−
Đặt u= +x y v, = − ta được hệ x y
2
2 7
(1) (
7
2)
⇔
2
1
3
v v v
=
= −
Hệ (1) và (2) có 3 cặp nghiệm : (7 ; 1), (5 ; 2), (−5 ; −3)
Hệ đã cho có 3 cặp nghiệm : (4;3), ( ; ), ( 4; 1)7 3
2 2 − −
1,0đ
0,5 đ
0,5đ
0,5đ
Bài 2
(5 điểm) Xét hàm số
2 ( ) sin x
π
Ta có f/( )x cosx 2
π
( ) 0
f x = có duy nhất nghiệm 0 (0; )
2
Dựa vào BBT ta có ngay ( ) sin 2 0, (0; )
2
x
π
1,0đ
1,0đ
x / ( )
f x ( )
f x
0 x 0
2
π
0 − +
Trang 11Trang 2
Vì hàm số y=cosx và hàm số
2 2
4
y
π
= − là các hàm số chẵn nên ta chỉ cần chứng
minh
2 2
4 cosx 1 x
π
≤ − đúng với mọi [0; )
2
Theo trên, [0; )
2
∀ ∈ ta có sinx 2x 0
π
≥ ≥ Do đó,
Mặt khác, cos 0, [0; )
2
> ∀ ∈ nên ta được
2 2
4 cosx 1 x
π
≤ − đúng với mọi [0; )
2
1,0đ
1,0đ
1,0đ Bài 3
(5 điểm) ∆ABC vuông tại B nên
5
AC= AB +BC =
Gọi H là hình chiếu của S lên mp(ABC)
Vì AC vuông góc đoạn xiên SA nên AC vuông góc hình chiếu HA
Tương tự, BC ⊥ HC Suy ra HC song song AB
Do đó, HCA=CAB Vì vậy, ACH∆ ∼∆BAC
Vì AH AC
4
AH = Suy ra, SH = SA2−AH2 =5
SABC ABC
S
0,5đ 1,0đ
1,0đ 1,0đ 1,0đ
0,5đ
Bài 4
(5 điểm) ĐK sinx 0 x k
π
≠ ⇔ ≠ Đặt t=cosx, −1 < t < 1
PT đã cho trở thành :
2 2t +(2 3 2)+ t −(4 2−3)t −(2 3 2)+ t+2 2 =0
Vì t = 0 không là nghiệm nên chia hai vế của phương trình cho 2
t ta được 2
2
2 2(t ) (2 3 2)(t ) 3 4 2 0
+ + + − + − = (1)
0,5đ 1,0đ
0,5đ
Trang 12Trang 3
Đặt y t 1
t
= − ta được 2 2
2
1
2
t
(1) trở thành 2
3 2
2 2
y
y
= −
= −
Với 3
2
y = − ta được t = −2 (loại ) và 1 2
π
Với 2
2
y = − ta được t = − 2 ( loại ) và 2 2
π
Vậy nghiệm PT là 2
3
π
4
π
0,5đ
1,0đ
0,5đ
0,5đ
0,5đ
HẾT
Trang 13{[[W+bz0FkV43GmRt7u4DpvuYxd]]}
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TỈNH
−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−− −−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN : TOÁN HỌC Thời gian : 180 phút (không kể thời gian giao đề)
Ngày thi : 02/11/2011 (Đề thi có 01 trang)
Bài 5 (7 điểm)
Cho hai số thực , x y thỏa mãn đẳng thức 2 2
3
x +y +xy= Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức
M =x y − xy x+y Bài 6 (6 điểm)
Trong mặt phẳng cho hai đường tròn không bằng nhau ( ; )O R và (O R , tiếp xúc ngoài với nhau tại /; /)
A Điểm B di động trên đường tròn (O) Đường thẳng vuông góc với BA tại A cắt đường tròn (O’) tại C (khác A)
1 Chứng minh rằng đường thẳng BC luôn luôn đi qua một điểm cố định
2 Chứng minh rằng trọng tâm G của tam giác ABC luôn thuộc một đường tròn cố định, khi B thay đổi Bài 7 (7 điểm)
Chứng minh rằng với mỗi số nguyên n, phương trình 2 2 2
x +y =z + có vô số nghiệm nguyên n dương , ,x y z
−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−HẾT−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−−
Trang 14Trang 1
SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI VÒNG TÌNH LỚP 12 THPT
- -
HƯỚNG DẪN CHẤM ĐỀ THI CHÍNH THỨC
MÔN TOÁN Ngày thi 02/11/2011 (Hướng dẫn chấm này gồm có 02 trang) Bài 1
(7 điểm) Đặt S x y P, xy
= + = ĐK : S2 ≥4P
Ta có x2 +y2 +xy= ⇔3 S2− = ⇔P 3 S2 = + ≥ ⇒ ≥ −P 3 0 P 3
Đẳng thức có thể xảy ra, chẳng hạn khi x= = −y 3
Vì S2 ≥4P và S2 = +P 3 nên P+ ≥3 4P⇔P≤1
Đẳng thức có thể xảy ra, chẳng hạn khi x = y = 1
Tóm lại, tập giá trị của P là [−3 ; 1]
Ta có, M =x y3 3−3xy x( 2+y2+xy+xy)=P3−3 (3P +P)=P3−3P2−9P
1 [ 3;1]
P
P
= ∉ −
( 3) 27, ( 1) 5, (1) 11
[ 3;1]
minM min{M( 3),M( 1),M(1)} M( 3) 27
[ 3;1]
maxM min{M( 3),M( 1),M(1)} M( 1) 5
0,5đ 1,5đ
1,0đ 0,5đ 1,0đ 1,0đ
0,5đ 0,5đ 0,5đ
Bài 2
(6 điểm) 1 Ta có ∆AOB cân đỉnh O nên 0
180 2
Ta có ∆AO’C cân đỉnh O’ nên 0
Suy ra OB // O’C
Gọi I là giao điểm của BC và OO’ ta có IC O C' R' IC R'IB
IB = OB = R ⇒= R
Vậy I là tâm vị tự ngoài của (O) và (O’)
Vì vậy, BC luôn luôn đi qua điểm I cố định ( đpcm )
2 Gọi M là trung điểm của BC ta có 2
3
AG= AM
Gọi K là trung điểm của OO’ Vì MK là đường trung bình của hình thang
CO’OB nên '
2
KM = +
0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ 0,5đ
0,5đ
0,5đ 1,0đ
Trang 15Trang 2
Do đó M thuộc đường tròn tâm K bán kính bằng '
2
R+R
* Ta có 2
( , ) 3
( ) A
và M thuộc đường tròn (K , '
2
R+R ) cố định nên G chạy trên đường tròn cố
định, là ảnh của đường tròn ( K , '
2
R+R ) qua phép vị tự tâm A tỷ số k = 2
3
K
M
I
C
B
0,5đ 0,5đ
0,5đ
Bài 3
(7 điểm)
* Xây dựng được các bộ nghiệm
* Chứng được tính nguyên dương của các bộ nghiệm đã xây dựng
* Chứng được tính “vô số” của các bộ nghiệm đã xây dựng
Chẳng hạn,
Ta xây dựng các bộ nghiệm nguyên dương ( , , )x y z như sau :
Đặt z= + ta có y 1 2 2
(2 1)
y −z = − y+ Khi đó ta có
2
2
A= x= + n + k∈ ℕ gồm vô số phần tử x là số nguyên dương, khác tính chẵn−lẻ với n.và thỏa điều kiện x2− − > Vì vậy, n 1 0
2 1 2
y= − −
là số nguyên dương với mọi x thuộc A
Rõ ràng mỗi bộ
, với x∈ , đều là nghiệm của A phương trình đã cho
4đ 2đ 1đ
HẾT
Trang 20SỞ GIÁO DỤC & ĐÀO TẠO
QUẢNG NAM
KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 THPT
NĂM HỌC 2013 - 2014 Ngày thi : 02/10/2013
Môn thi : TOÁN
Thời gian: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
Câu 1 (5 ,0 điểm)
3x − − 2 x 1 + = 2x − − x 3
b) Giải hệ phương trình:
3
y
¡
Câu 2 (4 ,0 điểm)
2
2014 u
2013 2u + u 2u , n *
=
b) Tìm tất cả các hàm số f liên tục trên ¡ thỏa mãn:
f(3x – y + α ) = 3f(x) – f(y), ∀ x, y ∈ ¡ trong đó α là số thực cho trước
Câu 3 (5 ,0 điểm)
a) Cho tam giác ABC có diện tích bằng 1 Gọi M là điểm bất kỳ nằm trong mặt phẳng chứa tam giác ABC Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
(với ha, hb, hc lần lượt là độ dài các đường cao vẽ từ A, B, C)
b) Cho tam giác ABC có hai đỉnh B, C cố định và đỉnh A thay đổi Gọi H và G lần lượt là trực tâm và trọng tâm của tam giác ABC Gọi E là điểm đối xứng với H qua G Tìm tập hợp các điểm A, biết rằng điểm E thuộc đường thẳng BC
Câu 4 (3 ,0 điểm)
a) Tìm tất cả các số nguyên dương a, b, c sao cho:
a + 2b = c và a3 + 8b3 = c2 b) Cho đa thức f(x) có bậc n > 1, có các hệ số đều là các số nguyên và thỏa mãn điều kiện f(a + b) = a.b, với a, b là hai số nguyên cho trước (a, b khác 0)
Chứng minh rằng f(a) chia hết cho b và f(b) chia hết cho a
Câu 5 ( 3,0 điểm)
Cho ba số thực dương a, b, c thỏa mãn a.b.c = 8
k 1
2 (a b)(a b )(a b ) (a − b − ) (b c)(b + c )(b c ) (b − c − ) (c a)(c + a )(c a ) (c − a − ) ≥ −
- Hết -
ĐỀ CHÍNH THỨC