BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT( PHẦN 3)

BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)BỘ ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TOÁN 9 CÓ ĐÁP ÁN MỚI NHẤT ĐÃ THẨM ĐỊNH ( PHẦN 3)

ĐỀ SỐ 1

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 9 - Năm học 2015-2016

MÔN :TOÁN

Thời gian làm bài : 150 phút

(Đề thi gồm 5 câu, 1 trang)

a/ Giải phương trình (1) khi m = 2

b/ Tìm giá trị của m để phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt sao cho

1 Chứng minh CDEF nội tiếp

2 Kéo dài DE cắt AC ở K Tia phân giác của góc CKD cắt EF và CD tại M và N Tia phângiác của góc CBF cắt DE và CF tại P và Q Tứ giác MPNQ là hình gì? Tại sao ?

3 Gọi r1, r2, r3 theo thứ tự là bán kính đường tròn nội tiếp các tam giác ABC, ADB, ADC.Chứng minh: r2 = r12 + r22

- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm

- Điểm bài thi: 10

2 2.1 (1.0 điểm)

điểm) a Khi m = 2 phương trình (1) có dạng x

2 – 6x + 2 = 0Xét = 9 – 2 = 7 > 0

Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Kết hợp với điều kiện vậy : và m 1

Q

N M

2 (1.0 điểm)

BEP BCQ (g-g)

Hay KPQ cân tại K

CNK EMK (g-g)

Hay BMN cân tại B

Suy ra MN PQ và MN cắt PQ tại trung điểm mỗi đường

Nên tứ giác MPNQ là hình thoi

0,25

0,250,250,25

ĐỀ SỐ 2

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 9 - Năm học 2015-2016

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

3.1 Tính giá trị của biểu thức P=

3.2 Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác Chứng minh:

ab + bc + ca a2 + b2 + c2 < 2(ab + bc + ca )

(2điểm)

2.1 (1điểm ) Phương trình có nghiệm khi D ≥ 0 Û p2 + 4q ≥ 0

Gọi x1 x2 là nghiệm của phương trình Theo viet ta có

Mà p + q = 4 Þ x1.x2 – (x1 + x2) = 4 Û (x1 – 1)(x2 – 1) = 5 = 5.1 = (-5)(-1)

0,25

0,25

0,25

02,5

0,254.2 (1điểm )

Gọi I là giao điểm của MN và EF; H là giao điểm của MN và AD

0,250,25

4.3 (1điểm ) Do MENF là hình chữ nhật, nên

Trong đường tròn (O) có: =>

Suy ra đồng dạng (g – g) => ,

hay ME.MA = MF.MD

0,25

0,250,25

0,255

- Thí sinh làm theo cách khác nếu đúng thì cho điểm tối đa ứng với câu đó

- Điểm bài thi là tổng điểm các câu làm đúng và không làm tròn

Hết

ĐỀ SỐ 3

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 9 - Năm học 2015-2016

MÔN: TOÁN HỌC Thời gian làm bài: 150 phút

( Đề thi gồm 05 câu 01 trang)

1 Cho phương trình , trong đó là tham số

Tìm để phương trình có hai nghiệm phân biệt không âm.

A của đường tròn (O;R) tại M, MB cắt CH tại K

a) Chứng minh 4 điểm M, A, O, C cùng thuộc một đường tròn Suy ra MC là tiếp tuyếncủa (O;R)

b) Chứng minh K là trung điểm của CH

c) Xác định vị trí của điểm C để chu vi tam giác ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trịlớn nhất đó theo R

Bài 5 (1.0 điểm)

Có 17 nhà bác học viết thư cho nhau Mỗi ngưòi viết thư cho tất cả những người khác Các thưchỉ trao đổi 3 đề tài Từ cặp hai nhà bác học chỉ viết thư cho nhau cùng một đề tài Chứngminh rằng không ít hơn 3 người viết thư cho nhau cùng một đề tài

-Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 3)

Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016

MÔN:TOÁN HỌC

Bài Đáp án Điểm1(2điểm) 1.(1điểm)

+ Điều kiện của ẩn : x, y, z  1/4

+Nhân vế với vế cả ba phương trình với 2 rồi cộng lại, ta được phương 0,25

xy(xy + 1) là hai số nguyên liên tiếp khác 0 nên chúng nguyên tố

cùng nhau Do đó không thể cùng là số chính phương

Vậy nghiệm nguyên của phương trình là (x; y) = (0; 0); (1; -1);

b

Mà x 2y =>

Do đó M khi x=2y thi M=

Vậy giá trị nhỏ nhất của M=

0,250,25

a.(0,75 điểm)

1) Chứng minh 4 điểm M, A, O, C cùng thuộc một đường tròn

AOC cân tại O suy ra

Suy ra AOM = COM=>

Suy ra A, C cùng thuộc đường tròn đường kính OM hay M, A, O, C

cùng thuộc một đường tròn

Suy ra MC là tiếp tuyến của đường tròn tâm O

0,250,25

0,25b.(1 điểm)

Chứng minh K là trung điểm của CH

MAB có KH//MA (cùng AB)

(1)Chứng minh cho CB // MO (đồng vị)

Từ (1) và (2) suy ra CH = 2 KH CK = KH

K là trung điểm của CH

0,250,25

0,250,25c.(1 điểm)

Xác định vị trí của C để chu vi ACB đạt giá trị lớn nhất? Tìm giá trị

.Đẳng thức xảy ra khi AC = CB C là điểm chính giữa cung AB.

Suy ra , dấu "=" xảy ra khi C là điểm chính giữa cung AB

Vậy max đạt đợc khi C là điểm chính giữa cung AB

0,25

0,255

(1 điểm)

(1 điểm)

Ta có mỗi nhầ bác học trao đổi với 16 người còn lại về ba đề tài mà

16 = 3.5 + 1; do đó theo nguyên tắc Derichlet thế nào cũng có ít nhất 6 người cùng trao đổi về một đề tài

Nếu trong 6 người này có một cặp cùng trao đổi về cùng một đề tài thì bài toán được chứng minh

Nếu 6 người đó chỉ trao đổi về 2 đề tài ta lấy 1 nhà khoa học A nào dó trong 6 người này để xét Bởi vì A phải trao đổi với 5 người còn lại về hai đề tài, mà 5= 2.2 + 1 do đó theo nguyên tắc Derichlet thì ít nhất có 3 người trao đổi với nhau về cùng một đề tài

Vậy ta có trong bất kì trường hợp nào, cùng có không ít 3 người viết thưcho nhau về cùng một đề tài

0,25

0,25

0,250,25

Lưu ý : - Học sinh làm cách khác đúng cho điểm tương đương

- Bài hình không có hình vẽ hoặc hình vẽ sai không cho điểm

-Hết -ĐỀ SỐ 4

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 9 - Năm học 2015-2016

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

( Đề thi gồm 3 câu, 2 trang)

z

zy

y

yx

x

3623

2423

223

3 3 3

Câu 3 (2,0 điểm):

3.1- Tìm một số điện thoại có 4 chữ số biết rằng nó là một số chính phương và nếu tathêm vào mỗi chữ số của nó một đơn vị thì cũng được một số chính phương

3.2- Cho hai số dương x, y có x + y = 1 Chứng minh rằng:

Câu 4 (3,0 điểm): Cho đường tròn (O; R) và hai đường kính AB và MN Đường thẳng

BM và BN cắt tiếp tuyến tại A của đường tròn (O) tương ứng ở M’, N’ Gọi P và Q theo thứ tự là trung điểm của M’A và N’A

4.1) Chứng minh tứ giác MNN’M’ nội tiếp được đường tròn

4.2) Chứng minh rằng các đường cao của BPQ cắt nhau tại trung điểm của bán kính OA4.3) Giả sử đường kính AB cố định, đường kính MN thay đổi Tính giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác BPQ theo R

Câu 5 (1,0 điểm): Tìm tất cả các tam giác vuông có số đo các cạnh là các số nguyên

dương và số đo diện tích bằng số đo chu vi

Hết

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 5)

(2 điểm) 2.1 - (1,0 điểm)Coi phương trình đã cho là phương trình bậc hai ẩn x:

x2 + (6 - 6y)x + 9y2 + 7 - 9y = 0 (1) Nếu (x; y) là nghiệm của phương trình đã cho thì phương trình (1)

0,25

Như vậy y lớn nhất bằng khi đó phương trình (1) có nghiệm kép:

Vậy cặp số cần tìm là

0,25

0,250,25

2.2- (1,0 điểm)Biến đổi tương đương hệ ta có

2(

)2(2)1)(

2(

2)1)(

2(

2 2 2

xz

z

zy

y

yx

x

Nhân các vế của 3 phương trình với nhau ta được:

(x - 2)(y - 2) (z - 2)(x+1)2(y+1)2(z+1)2 = - 6(x - 2)(y - 2) (z - 2)

Û (x - 2)(y - 2) (z - 2)(x1)2(y1)2(z1)2 6 = 0

Û (x - 2)(y - 2) (z - 2) = 0

Û x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2Với x = 2 hoặc y = 2 hoặc z = 2 thay vào hệ ta đều có x = y = z = 2Vậy với x = y = z = 2 thoả mãn hệ đã cho

0,25

0,25

0,250,25

Câu 3

(2 điểm)

3.1 - (1,0 điểm)Giả sử số điện thoại là

Vậy số điện thoại cần tìm là 2025

0,25

0,25

0,25

0,253.2- (1,0 điểm)

Vì x, y là hai số dương nên ta có

0,25

Từ các chứng minh trên suy ra 8(x4 + y4) + 5

Dấu đẳng thức xảy ra khi x = y =

Q A

P

N M

0,254.2)- (1,0 điểm)

-Hết -ĐỀ SỐ 6

ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 9 - Năm học 2015-2016

MÔN: TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút

( Đề thi gồm 05câu,01 trang)

AC

4.1- Chứng minh I là trung điểm của EF và K, M, I, N thẳng hàng

4.2- Gọi r là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COD Chứng minh

4.3- Gọi r1, r2 lần lượt là bán kính đường tròn nội tiếp tam giác COE và DOE

Chứng minh rằng

Câu 5 (1 điểm)

Bạn An có 5 bút chì và có 6 bút mực Trước khi đi học bạn rút ra 3 chiếc bút Tính xác suất

để bạn An lấy được cả hai loại bút trên

……… Hết ………

ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 6)

Ta thấy x = 0 không phải là nghiệm của phương trình

Chia cả 2 vế của phương trình cho x2 ta được:

Với n=1 A=1!=1 là số chính phương

Với n=2 A=1!+2! = 1+1.2=3 không là số chính phương

Với n=3 A=1!+2! +3!= 1+1.2+1.2.3=9 là số chính phương

Với n=4 A=1!+2!+3!+4! = 1+1.2+1.2.3+1.2.3.4=33 không là số

B

D

E K

1 + kéo dài BE cắt Ax tại Q

+ chứng minh được CEQ cân tại C và CAE cân

Mà ABDC là hình thang có AC//EF//BD; K, I, K’ lần lượt là trung điểm

của AC, EF, BD nên K, I, K’ thẳng hàng

Vậy K, M, I, N thẳng hàng

0,5đ0,25đ

0,25đ4.2- (1,0 điểm)

Đặt CD = a ; OC =b ; OD =c ( a > b; a > c )

+ vì r là bán kính đường tròn nội tiếp COD

+ Trong COD có b+c > a suy ra a+ b +c > 2a

Gọi P là nửa chu vi tam giác

r là bán kính của đường tròn nội tiếp tam giác

S là diện tích tam giác

0 , 2 5 đ

ĐỀ SỐ 7

ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ

LỚP 9 – Năm học 2015 – 2016

MÔN : TOÁN Thời gian làm bài: 150 phút ( Không kể thời gian giao đề)

( Đề thi gồm 05 câu, 01 trang)

3.1 Tìm số nguyên tố p sao cho 8p2  1 là số nguyên tố

3.2 Cho 3 số dương x, y, z thỏa mãn điều kiện x + y+ z = 2 Tìm GTNN của biểu thức:

Câu 4:(3điển)

Cho đường tròn (O ; R), trên đó lấy một điểm cố định A và vẽ đường tròn (A ; R) Lấyđiểm H di động trên (A ; R), cát tuyến của (O) đi qua A và H cắt (O) tại điểm thứ hai K Dựngtrung trực của đoạn HK cắt (O) tại B và C

4.1 Chứng minh rồi suy ra H là trực tâm của tam giác ABC

4.2.Trong trường hợp H nằm trong đường tròn (O) kẻ đường kính GF của (O) vuông gócvới BC tại M Chứng minh tứ giác OBFC là hình thoi

4.3 Tính số đo góc A của tam giác ABC

Câu 5 ( 1điểm)

Hỏi có hay không 16 số tự nhiên, mỗi số có ba chữ số được tạo thành từ ba chữ

số a, b, c thỏa mãn hai số bất kỳ trong chúng không có cùng số dư khi chia cho 16?

-Hết -ĐÁP ÁN ĐỀ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI THÀNH PHỐ(ĐỀ SỐ 7)

Lớp 9 - Năm học 2015 - 2016

MÔN: TOÁN (Hướng dẫn chấm gồm 5 trang)

1

2 2.1 Phương trình (1) có D’ = m2 -4m +8 = (m-2)2 + 4 >o nên có 2

nghiệm phân biệt với mọi m

Do đó, theo Viet, với mọi m, ta có: S = ; P =

Khi m = 1 ta có nhỏ nhất

Û (x+1)2 + y = 1 Û

(x+1)2 – y = -1 -1 + y = -1 - y

(x+1)2 + y = -1

Þ y = 0 Þ (x+1)2 = 1 Û x+1 = ±1 Þ x = 0 hoặc x = -2Vậy ( x, y ) = ( 0, 0 ); ( - 2, 0 )

0,250,25

0,250,25

3 3.1

*Mọi p nguyên tố lớn hơn 3, p không chia hết cho 2 và 3 nên

, từ đó hay p =

* Xét p>3 thay p = vào biểu thức A= thấy (loại)

thay trực tiếp p =3, A=73 (nhận)

p=2, A=33 (loại)

0,5

0,53.2

Suy ra:

Do đó: , nên CE là đường cao thứhai của tam giác ABC

H là giao điểm của hai đường cao AI và CE của tam giác ABC, vậy H

là trực tâm của tam giác ABC

0,5

0,25

0,254.2

Trong đường tròn (O) hai dây AK và FG song song nên chắn hai cung

(1)

Tứ giác OHAG có OG // = AH = R nên OHAG là hình bình hành, suy

ra:

AG = OH (2)

Từ (1) và (2) suy ra KF = HO, nên HKFO là hình thang cân

Mà BC là trung trực của HK nên cũng là trung trực của OF

H

+ Trường hợp H ở trong đường tròn (O):

Mà (góc nội tiếp và góc ở tâm cùng chắn

cung BC)

+ Trường hợp H ở ngoài (O) nhưng vẫn ở trên nửa đường tròn (A)chứa

điểm O, đường kính PQ là tiếp tuyến của (O) tại A

Khi đó tam giác ABC có 2 góc nhọn và một góc tù (góc C tù chẳng

hạn)

(góc nội tiếp cùng chắn cung KC), nên , suy ra: BH AC tại D Vậy H là trực tâm của tam giác ABC

Chứng minh tương tự trên, ta có M là trung điểm của OF và

là trung điểm của bán kính OF

5 Không tồn tại 16 số như vậy

Thật vậy, giả sử trái lại, tìm được 16 số thỏa mãn Khi đó, ta có

D

Q P

G M

F

E C

B

I K

O A H

16 số dư phân biệt khi chia cho 16:

0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15; trong đó có 8 số chẵn, 8 số lẻ

Do đó, ba chữ số a, b, c khác tính chẵn lẻ, giả sử hai chữ số chẵn

là a, b và chữ số lẻ là c

Có 9 số lẻ được tạo thành từ những chữ số này:

Gọi là các số có hai chữ số thu được từ các số ở trên

bằng cách bỏ đi chữ số c (ở hàng đơn vị) Khi đó

không là ước của tức là không chia hết cho 8

Nhưng trong 9 số chỉ có ba số lẻ nên 8 số bất kỳ trong 9 số luôn có hai số có cùng số dư khi chia cho

( Đề thi gồm 5 câu,01 trang)

4.1 Chứng minh rằng các điểm A, E, F thẳng hàng.

4.2 Chứng minh rằng tích AMAN không đổi

4.3 Chứng minh rằng A là trọng tâm của tam giác BNF khi và chỉ khi NF ngắn nhất

Do nên: 0,25

Þ

0,25b) Ta có do đó N chỉ có thể nhận được một giá trị

2.1 +) ∆’ = m2 – 2m + 3 = (m – 1)2 + 2 > 0 với mọi m => phương

trình luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m

Gọi 2 nghiệm là x1 ; x2

Để hai nghiệm cùng dấu <=> x1x2 = > 0 <=> 2m – 3 > 0 <=>

Vậy thì phương trình có hai nghiệm cùng dấu

Xét x1 + x2 = 2m Với => 2m > 0

Vậy 2 nghiệm cùng dương

+) Khi m = 2 => phương trình có 2 nghiệm dương

Theo Viet ta có :

Xét P2 = x1x2 (x1 + x2 + 2 ) = 6 mà P > 0 => P =

0.5

0,250.25

Từ (1) suy ra a ≥ 2 hoặc a ≤ -2 Nếu a ≥ 2 thì (2) đúng Nếu a ≤ -2 thì

(2) cũng đúng Bài toán được chứng minh

0.50.250.25

3.2 Ta có

Do đó B = - 1

0.750.25

F

E N

Chia mỗi cạnh của hình lập phương thành 13 phần bằng nhau Như thế hình

lập phương đã cho được chia thành 133 = 2197 hình lập phương nhỏ Do

11000>5.2197 = 10985, nên tồn tại ít nhất một hình lập phương nhỏ, mà hình

lập phương này chứa ít nhất sáu điểm Như đã biết nếu gọi cạnh hình vuông

băng a, thì hình càu ngoại tiếp nó có bán kinh R, với Vì thế hình

cầu ngoại tiếp hình lập phương nhỏ ( cạnh của nó là ) là

0,5

0,25Hình cầu bán kính 1 này dĩ nhiên chứa ít nhất sáu điểm trong số 11000 điểm

( Đề thi gồm 5 câu, 1trang)

Bài 1: (2,0 điểm)

3.1 Tìm số tự nhiên n sao cho: là số chính phương?

Chứng minh rằng:

Bài 4: (3,0 điểm): Cho đường tròn (O;R) và đường tròn tiếp xúc ngoài tại A Trên đường tròn (O) lấy điểm B sao cho AB = R Gọi M là điểm thuộc cung lớn AB của (O), tia MA cắt đường tròn (I) tại điểm thứ hai ở N Qua N kẻ đường thẳng song song với AB cắt đường thẳng MB ở P4.1 Chứng minh OM//IN

4.2 Chứng minh độ dài đoạn NP không phụ thuộc vào vị trí của M

4.3 Xác định vị trí của M để đạt giá trị lớn nhất Tính giá trị đó theo R

Bài 5: (1 điểm) Cho 13 điểm khác nhau nằm trong hoặc trên cạnh của một tam giác đều có cạnh

bằng 6 cm Chứng minh rằng luôn tồn tại 2 hai điểm trong số 13 điểm đã cho mà khoảng cách giữa chúng không vượt quá

0.5điểm

1.2 (1 điểm)

Điều kiện::

Ta có:

0.25điểm

0.5điểm

0.25điểm

2.2 (1 điểm)

0.5điểm

Ta có:

điểm)

0.5điểm

Vậy với n=2 thì là số chính phương

0.25điểm

3.2 (1 điểm)

Vì a, b, c > 0 và a+b+c = abc nên BĐT cần chứng minh tương đương với:

0.5điểm

Áp dụng BĐT Côsi ta có : 

Tương tự ta có:

0.5điểm

Cộng ba BĐT trên ta có được BĐT (*) đpcm

Đẳng thức xảy ra

0.25điểm

Mà (O;R) và (I: ) tiếp xúc tại A O, A, I thẳng hàng ( đối

đỉnh) (3)

0.25điểm

Từ (1); (2) và (3)

OM//IN (đpcm)

0.25điểm4.2 (1 điểm)

+Ta có: OM//IN

0.5điểm

+ Do AB//PN ( gt)

Vậy độ dài đoạn PN không đổi

0.5điểm

0.25điểm

khi đó vuông tại A nên ta có:

0.25điểm

đạt giá trị lớn nhất = (đvdt)Khi M thuéc cung lín AB vµ

0.25điểm

5

(1 điểm)

+ Kẻ các đường trung bình của tam giác đều đã cho để chia tam giác này thành 4

+ Từ tâm của mỗi tam giác đều nhỏ, kẻ các đường vuông góc đến các cạnh đề chia

mỗi tam giác đề nhỏ thành 3 tứ giác bằng nhau điểm0.25+ Sau hai bước trên ta đã chia tam giác đều đã cho thành 12 tứ giác bằng nhau, mỗi

tứ giác có hai góc đối là góc vuông, nội tiếp đường tròn đường kính bằng

0.25điểm+ Khi cho 13 điểm vào tam giác đã cho thì 13 điểm này thuộc 12 tứ giác nội tiếp

Theo nguyên tắc Đi-rích-lê có ít nhất 2 hai điểm cùng thuộc một tứ giác nội tiếp và

do đó khoảng cách giữa chúng không vượt quá

0.25điểm

Hết

-ĐỀ SỐ 10