Bài 1: Nguyên Hàm

ÑÒNH LYÙ Người ta kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số fx là fxdx đọc là tích phân bất định của fx hay họ các nguyên hàm của fx.. Như vậy, theo định nghĩa fxdx = Fx + C trong đ

NGUYÊN HÀM

 Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng (a; b) nếu với mọi số x  (a; b) ta

cĩ F’(x) = f(x)

 Nếu thay cho khoảng (a;b) là đoạn [a;b] thì ta phải cĩ thêm F’(a+) = f(a) và F’(b) = f(b)

1) Định nghĩa

NGUYÊN HÀM

 Mọi hàm số dạng F(x) = x2 + C (C là hằng số tuỳ ý) đều là nguyên hàm của f(x) = 2x và mọi hàm số G(x) = tgx +

C (C là hằng số tuỳ ý) đều là nguyên hàm của g(x) = 1/cos2x

hàm số f(x) trên khoảng (a; b) thì

cũng là nguyên hàm của f(x) trên khoảng đĩ

Nhận xét:

2) Định lí:

ÑÒNH LYÙ

f(x) trên khoảng (a;b) đều có thể viết dưới

dạng F(x) + C với C là một hằng số Nói cách khác:

 F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên

khoảng (a; b) suy ra F(x) + C với C  R là

họ các nguyên hàm của f(x).

ÑÒNH LYÙ

 Người ta kí hiệu họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f(x) là

f(x)dx đọc là tích phân bất định của f(x) hay họ các nguyên hàm của f(x) Như vậy, theo định

nghĩa f(x)dx = F(x) + C trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x)

và C là hằng số tuỳ ý

TÍNH CHAÁT

 3) Các tính chất của nguyên hàm

 a) (f(x)dx)’ = f(x) Tính chất này suy ra từ định nghĩa Chú ý rằng

f(x)dx là họ các nguyên hàm có dạng F(x) + C, trong đó F(x) là một nguyên hàm của f(x) và C là một hằng số tuỳ ý Do đó bao giờ ta cũng

có (F(x) + C)’ = F’(x) = f(x) Đó là

kí hiệu (f(x)dx)’

 b) af(x)dx = af(x)dx (a ≠ 0)

CHỨNG MINH

af(x)dx theo định nghĩa là các họ nguyên hàm của hàm số af(x) Mặt khác nều F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) thì ta cĩ: af(x)dx = a(F(x) + C) = aF(x) + C

 Vì (aF(x))’ = aF’(x) = af(x) nên aF(x) là một nguyên hàm của af(x) Vì a ≠ 0 và C là một hằng số tuỳ ý, nên aC cũng là một hằng

số tuỳ ý Do đĩ đẳng thức trên chứng tỏ rằng af(x)dx cũng là họ các nguyên hàm của hàm

số af(x) Vậy ta cĩ: af(x)dx = af(x)dx (a ≠ 0)

Chứng minh:

 c) (f(x) + g(x))dx = f(x)dx + g(x)dx chứng minh tương tự tính chất 2

 d) f(t)dt = F(t) + C  f(u(x))u’(x)dx = F(u(x)) + C

 Nói cách khác: Nếu F(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) thì F(u(x)) là một nguyên hàm của hàm số f(u(x))u’(x)

 Chứng minh: Chỉ cần chứng minh rằng (F(u(x)))’ = f(u(x))u’(x)

 Thật vậy, đặt u = u(x), theo quy tắc tính đạo hàm của hàm số hợp ta có (F(u(x)))’ = F’(u)u’(x) Vì theo giả thiết F’(t) = f(t) nên F’(u) = f(u) = f(u(x)) Do đó: (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x)

 4) Sự tồn tại của nguyên hàm

 Ta thừa nhận định lí sau:

 Định lí: Mọi hàm số f(x) liên tục trên

đoạn [a; b] đều có nguyên hàm trên đoạn đó

Từ đây trở đi, ta giả thiết tất cả các hàm số được xét đều liên tục, đo đó chúng đều có

nguyên hàm.

  5) Bảng các nguyên hàm ( SGK )

CUÛNG COÁ BAỉI HOẽC

Tỡm các tích phân bất định sau:

a

5

)

4 ) dx

b

x

3 4

d x x dx

x

1 ) x

e dx

x



