GT 12 - Chương III : Bài 1 : Nguyên hàm

Chương III : Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Chương III : Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng Bài 1 Biên soạn : Phạm Quốc Khánh Chương trình sách giáo khoa mới của bộ GD – ĐT 2008 cl

Chương III : Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Chương III : Nguyên hàm - Tích phân và ứng dụng

Bài 1

Biên soạn : Phạm Quốc Khánh

Chương trình sách giáo khoa mới của bộ GD – ĐT 2008

click

I - NGUYÊN HÀM VÀ TÍNH CHẤT

1 Nguyên hàm :

Bài toán nêu ra : Tìm hàm số F(x) sao cho F’(x) = f(x) nếu :

x

 

Kí hiệu K là khoảng hoặc đoạn , hoặc nửa khoảng của R

Định nghĩa : Cho hàm số f(x) xác định trên K

Hàm số F(x) được gọi là nguyên hàm của hàm số f(x) trên K

Nếu F’(x) = f(x) với mọi x  K

Ví dụ 1 :

a) Hàm số F(x) = x3 là một nguyên hàm của hàm số y = 3 x2 trên (- ; +∞) , vì ) , vì F’(x) = (x3)’ = 3 x2 với mọi x  (- ; +∞) , vì )

b) Hàm số F(x) = tan x là một nguyên hàm của hàm số

x

 

x

 

Nêu thêm một số ví dụ khác :

c) Hàm số F(x) = 3x2 + 2 là một nguyên hàm của hàm số : f(x) = 6 x trên R

d) Hàm số F(x) = ln x là một nguyên hàm của hàm số : f x   1 x  0; 

x

Định lý 1 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì với mỗi hằng số

C , hàm số G(x) = F(x) + C cũng là một nguyên hàm của f(x) trên K

Hãy tự chứng minh định lý này

Định lý 2 : Nếu F(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên K thì mọi nguyên hàm

của f(x) trên K đều có dạng F(x) + C , với C là một hằng số

Chứng minh :

Giả sử G(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K , tức là G’(x) = f(x) mọi x

 K Khi đó (G(x) – F(x))’ = G’(x) – F’(x) = f(x) – f(x) = 0 , x  K Vậy G(x) – F(x) là một hàm số không đổi trên K , nên G(x) – F(x) = C Hay G(x) = F(x) + C mọi x  K

F(x) + C , C  R được gọi là họ tất cả các nguyên hàm của f(x) trên K Kí hiệu :

 f x dx = F x + C

Chú ý ;

Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f9x0 , vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx

Ví dụ 2 : a) Với x  (-  ; +  ) ,  2xdx  x2  C

Chú ý ;

Biểu thức f(x)dx là vi phân của nguyên hàm F(x) của f9x0 , vì dF(x) = F’(x) dx = f(x) dx

a) Với x  (-  ; +  ) ,  2xdx  x2  C

b) Với x  ( 0 ; +  ) , 1

ln



c) Với x  ( -  ; +  ) ,  cos x dx  sin x C 

2 Tính chất của nguyên hàm :

Tính chất 1 :  f x dx = f x + C '     Suy ra từ định nghĩa nguyên hàm

Ví dụ 3 :   cos x  ' dx     sin x dx   cos x C 

Tính chất 2 :  k f x dx =   k  f x dx  

Chứng minh :

Gọi F(x) là một nguyên hàm của kf(x) , ta có : kf(x) = F’(x)

Vì k ≠ 0 nên    

'

'( )

  Theo t/c 1 ta có :

 

'

1 ( )

k f x dx k F x dx

k

1

k

 

    k f x dx  

Tính chất 3 :    f x    g x     dx = f x dx      g x dx  

Tự chứng minh t/c này

Ví dụ 4 : Tìm nguyên hàm của hàm số f x   3sin x 2  0; 

x

Giải : Với x  ( 0 ; + ∞) , vì ) , ta có :

3sin x dx 3 sin xdx 2 dx 3cos x 2 ln x C

3 Sự tồn tại của nguyên hàm :

Định lý 3 : Mọi hàm số f(x) liên tục trên K , đều có nguyên hàm trên K

Công nhận định lý này

Ví dụ 5 : a) Hàm số  

2 3

f x  x Có nguyên hàm trên ( 0 ; +  )

3 3 3

5

x dx  x  C



b) Hàm số   12

sin

g x

x

 Có nguyên hàm trên ( k ; (k+1) ) , kZ

2

1 cot sin x dx  x C 



4 Bảng nguyên hàm của một số hàm số thường gặp :

0dx  C



dx   x C



1

1

1 1

x dx x C











1

ln



e dx  e  C



 0 1  ln

x

a



cos x dx  sin x C 



sin x dx  cos x C 



2

1

cos x dx  x C 



2

1

sin x dx  x C 



Ví dụ 6 : Tính :

2

3 2

1

x



2

2 x dx x dx

   

1

3 3

2

3

3 x x C

 1  

  3 cos  xdx  1 3  3xdx

1 3 3sin

3 ln 3

x

1

3 3sin

ln 3

x



Chú ý ; Từ đây yêu cầu tìm nguyên hàm của hàm số được hiểu là tìm nguyên hàm trên

từng khoảng xác định của nó.

II - PHƯƠNG PHÁP TÍNH NGUYÊN HÀM

1 Phương pháp đổi biến số :

a) Cho :

  x  1 10 dx Đặt u = x – 1 Hãy viết (x – 1 )10 dx , theo u và du

b) Cho :

ln x

dx x

 Đặt x = et Hãy viết biểu thức trong dấu  , theo t và dt

Định lý 1 : Nếu . f u du    F u    C Và u = u(x) là hàm số có đạo hàm liên tục thì :

 



Chứng minh :

Theo công thức đạo hàm của hàm hợp , có : (F(u(x)))’ = F’(u).u’(x)

vì : F’(u) = f(u) = f(u(x)) nên (F(u(x)))’ = f(u(x)).u’(x)

Hệ quả : Với u = ax + b ( a ≠ 0) , ta có  ax b  1  ax b 

a

Ví dụ 7 : Tính :  sin 3  x  1  dx

Giải : Vì  sin udu  cos u  C Nên theo hệ quả ta có :

sin 3 1 cos 3 1

3

x  dx  x   C



Chú ý ; Nếu tính nguyên hàm theo biến số mới u ( u = u(x)) , thì sau khi tính nguyên hàm

ta phải trở lại biến x ban đầu bằng cách thay u bởi u(x)

Ví dụ 8 : Tính :

 1 5 .

x

dx

x 



Giải : Đặt u = x + 1 , thì u’ = 1 và

 5 5

1 1

u x







Khi đó :

 5 5

1 1

u x







1 1

3 4

1 1 1 1

3 u 4 u C

Thay u = x + 1 vào kết quả , có :

 5  3

.

x

x





2 Phương pháp tính nguyên hàm từng phần :

Ta có : (x.cos x)’ = cos x – x.sin x Hay - x.sin x = (x.cos x)’ – cos x Hãy tính :

 x cos x  ' dx & cos x dx

  Từ đó tính :  x sin x dx

Định lý 2 : Nếu hai hàm số u = u(x) và v = v(x) có đạo hàm liên tục trên K thì :

  '       '    

Chứng minh :

Theo công thức đạo hàm của tích , có : (u.v)’ = u’.v + v’.u Hay u.v’ = (u.v)’ – u’.v nên có : u x v x dx  '   u x v x     '.dx  u x v x dx'   

Vậy có : u x v x dx  '  u x v x     u x v x dx'   

Ví dụ 9 : Tính : a )  xe dxx b )  x cos x dx c )  ln x dx

Giải : a) Đặt u = x và dv = ex dx , thì du = dx và v = ex nên có :

  x e. x  e x C

b) Đặt u = x và dv = cos x dx , thì du = dx và v = sin x nên có :

  x.sin xcosx C

c) Đặt u = ln x và dv = dx , thì 1

x

 và v = x Do đó :

ln x dx x.ln x dx

  x.ln x x C

điền u và dv thích hợp vào ô trống theo phương pháp tích phân từng phần

  x

P x e dx

  P x   .cos x dx  P x   .ln x dx

u

dv

 

P x

.

x

e dx

P(x)

????? ????? P(x)

cosx.dx

????? ????? lnx.dx

Ví dụ trắc nghiệm : Tính :

1

dx x



 Kết quả là :

A

1

C x

1  x  C