Sáng kiến kinh nghiệm . GV: Đặng Ngọc Liên Trờng THPT Ngọc Hồi KonTum. Kỉ Niệm Đề tài: tam thức bậc hai & ứng dụng. Phần i:Mở đầu I.Lý do chọn đề tài: Giải bài toán bằng cách sử dụng tam thức bậc hai là phần quan trọng toán đại số 10.Nó cho phép chúng ta tiếp cận nhanh những bài toán về phơng trình bậc hai phức tạp, cụ thể định giá trị tham số để phơng trình có nghiệm trong khoảng và trong đoạnvv.Chính vì vậy tôi chọn đề tài tam thức bậc hai & ứng dụng . . Nó thật sự có ích trong khi tôi dạy phần đại số lớp 10.Với hệ thống bài tập ít nh thế này,nhng tôi tin tởng rằng nó là phần không thể thiếu cho các em học sinh và các bạn đồng nghiệp tham khảo .Mong bạn đọc, các đồng nghiệp có nhiều đóng góp quý báu . xin cảm ơn. II.Nhiệm vụ nghiên cứu: Đa ra một số bài toán về tam thức bậc hai cũng nh những bài toán liên quan đến phơng trình bậc hai có cách giải và nhận xét rõ ràng với ứng dụng ,cụ thể đặc biệt ,đặc biệt giúp học sinh lớp 10 tiếp cận nhanh đễ nắm khi bớc vào học môn toán Đại số ở trờng THPT. III.Đối t ợng nghiên cứu: -Đối tợng nghiên cứu học sinh cấp ba ,lớp 10.THPT. -Cở sở nghiên cứu : Trờng THPT -Ngọc Hồi-Kon Tum. IV. Ph ơng pháp nghiên cứu: 1.Phơng pháp tiếp cận : Đa ra những câu hỏi cho nhiều đối tợng học sinh ( Học sinh yếu, Trung bình,Khá,Giỏi.) và dựa vào các câu trả lời để phân tích và thu thập để đến đề tài nghiên cứu.chẳng hạn nh : Trong bài toán về tam thức bậc hai dạng nào các em hứng thú học và không hứng thú học ? 1 Sáng kiến kinh nghiệm . GV: Đặng Ngọc Liên Trờng THPT Ngọc Hồi KonTum. Kỉ Niệm Các em biết đợc bao nhiêu dạng ,bao nhiêu cách giải tam thức bậc hai có logic và đầy đủ. Một bài toán định giá trị tham số để có nghiệm thuộc trong đoạn ,khoảng ,vv thì giải theo cách. 2 .Phơng pháp điều tra: Thờng xuyên gần với các em để nắm bắt tình hình học tập mọi đối tợng ,đồng thời đặt ra một số câu hỏi dới dạng trắc nghiệm cho tất cả các đối t- ợng học sinh để thu thập thông tin của các em mà kịp thời sửa chữa và hoàn thành. 3 . Đọc sách và tài liệu: +SGK lớp 10. +Giải toán đại số ( NXB giáo dục )-Trần Thành Minh. 4.Tích luỹ kinh nghiệm: +Dựa vào việc lên lớp hàng ngày,phần tích luỹ kinh nghiệm trong giáo án. +Tham khảo kinh nghiệm bạn đọc và kinh nghiệm đồng nghiệp. Phần II .Kết quả nghiên cứu. I.Thực trạng tình hình: Là một tỉnh miền núi ,cơ sở vật chất và trang thiết bị trong giáo dục cha đ- ợc đầy đủ,cha đáp ứng thiết thực của giáo viên trong việc dạy và học.Đặc biệt với mô hình trờng THPT ở địa bàn huyện cao- xa tỉnh ,nên rất đợc sự quan tâm của các ngành ,các cấp;cùng với sự quan tâm nhắc nhở của BGH nhà trờng ,đội ngũ giáo viên trẻ tự tin ,tin tởng tuyệt đối đờng lối,chủ t- ơng ,chính sách của đảng và của pháp luật nhà nớc.Đó là tiền đề quan trọng thúc đẩy sự nghiệp giáo dục của tỉnh nhà trong tơng lai. Riêng bản thân tôi, tôi an tâm công tác,còn riêng phần các em ý thức học tập cha cao .Các bậc phụ huynh còn cha thật sự quan tâm sát sao về sự nghiệp của tỉnh nhà. II.Tồn tại, nguyên nhân và biện pháp. 1.Tồn tại: - Chất lợng đầu vào còn thấp ,ý thức học tập của các em cha cao.Ngoài ra thành phần DTTS còn nhiều. -Đội ngũ giáo viên còn trẻ ,kinh nghiệm giảng dạy còn cha nhiều. 2.Nguyên nhân 2 Sáng kiến kinh nghiệm . GV: Đặng Ngọc Liên Trờng THPT Ngọc Hồi KonTum. Kỉ Niệm -Đa số đời sống của các phụ huynh cha đợc ổn định,an c lập nghiệp.Đó cũng là một yếu tố lớn ảnh hởng đến chất lợng học tập của các em. -Sự quan tâm gia đình cha tốt.Phơng pháp lấy học sinh làm trung tâm cha đợc thật sự hiệu quả cao. -Đội ngũ đoàn kết của giáo viên cha thật sự cao, cha thật sự về tính cần tiến cao. 3.Biện pháp: Tôi cố gắng đa ra những bài toán từ dễ đến khó,có sự nhận xét ,bổ sung và hoàn thiện đi lên. III.t am thức bậc hai và các bài tập. A.Nh đã nói trong phần mở đầu ,kiến thức về tam thức bậc hai là phần khó. Do đó trong học và dạy cần đảm bảo các nội dung sau : 1. Giải phơng trình bậc nhất. 2. Giải hệ bất phơng trình bậc nhất 3. Giải và biện luận phơng trình dạng ax 2 + bx +c =0 là phơng trình bậc hai. 4. Định lí về dấu của tam thức bậc hai. Do đó trong giảng dạy giáo viên cần làm nổi bậc những nội dung đã nêu.Với mục đích và yêu cầu nh vậy khi giảng dạy tôi đa ra một số lu ý khi dạy và đồng thời tôi cũng khai thác hệ thống một số bài tập trong sách giáo khoa để thấy rõ sự vận dụng và quan điểm trên thể hiện nh thế nào. B.Các dạng bài tập. Bài tập1 : Hãy tìm nghiệm của tam thức bậc hai sau a, f(x) = x 2 - 3x + 2 b, f(x) = x 2 5x +6 Giải a,Tam thức có các hệ số: a+b+c=0,suy ra tam thức có hai nghiệm: x 1 =1, x 2 = 2 b,Tam thức có: = 25 +24=49,suy ra tam thức có hai nghiệm : x 1 =2, x 2 =3 Nhận xét: Nghiệm của tam thức chính là nghiệm phơng trình bậc hai.Do đó trong khi dạy ,giáo viên cần làm nổi bậc trọng tâm. Bài tập2: Hãy xét dấu tam thức sau : a,f(x)= x 2 -3x +2 b,f(x)=-x 2 + 9x -20 Giải. a,Tam thức có dạng :a+b+c=0.Suy ra có hai nghiệm : x 1 = 1, x 2 = 2 BXD: 3 Sáng kiến kinh nghiệm . GV: Đặng Ngọc Liên Trờng THPT Ngọc Hồi KonTum. Kỉ Niệm x - 1 2 + f(x) + 0 - 0 + Vậy : f(x) >o , x (- ;1) (2;+ ) : f(x)<0 , )2;1( x b,Tam thức có : 18081 == .Suy ra có hai nghiệm : x 1 = 4 ,x 2 = 5 BXD. x - 4 5 + f(x) + 0 - 0 + Vậy : f(x) >0 , );5()4;( + x :f(x) <0 , )5;4( x Nhận xét: Học sinh rất khó phân biệt trong việc tìm nghiệm tam thức.Do đó giáo viên cần giảng rõ nghiệm của tam thức chính là nghiệm phơng trình bậc hai để cho học sinh nắm một cách dễ dàng.Ngoài việc tìm nghiệm còn có những giá trị lớn hơn không hay nhỏ hơn không đợc gọi là dấu của tam thức bậc hai. Bài tập3: Giải bất phơng trình: a,16x 2 +40x +25 >0 b, x 2 - x 6 0 . Giải. a, Tam thức f(x) = 16x 2 + 40x +25, có / = 20 2 - 16.25 = 0.Suy ra :f(x)>0 , 4 5 x Vậy 16x 2 + 40x + 25 >0, có nghiệm, 4 5 x b,Tam thức: f(x) = x 2 x 6, có = (-1) 2 4.1.(-6) = 25.Suy ra,tam thức có 2 nghiệm: x 1 =1,x 2 =-2 BXD. x - -2 3 + f(x) + 0 - 0 + Vậy nghiệm của bất phơng trình : 32 x Nhận xét: Khi giáo viên dạy phần này cần giảng giải các em nắm tìm nghiệm của bất phơng trình là tìm những giá trị của x cùng chiều bất phơng trình đã cho. Bài tập4: Với giá trị nào của m thì phơng trình sau có nghiệm: 4 Sáng kiến kinh nghiệm . GV: Đặng Ngọc Liên Trờng THPT Ngọc Hồi KonTum. Kỉ Niệm x 2 + 2(m+2)x -2m-1 =0,m tham số.(1) Phơng trình (1), / =(m+2) 2 +2m +1 0 (m+2) 2 + 2m+1 0 m 2 +6m + 5 0 (2) Tam thức : f(m) = m 2 + 6m +5 ( a+ b +c =0 ) Suy ra có hai nghiệm : m 1 = -1 ; m 2 = -5 BXD: x - -5 -1 + f(x) + 0 - 0 + Vậy nghiệm của bất phơng trình(2) : mm 15 ,hay ).;1[)5;( + m thì phơng trình (1) luôn có nghiệm. Nhận xét: Tìm điều kiện của tham số để phơng trình có nghiệm,chúng ta quy về giải bất phơng trình theo tham số.Nghiệm của bất phơng trình đó chính là điều kiện để phơng trình có nghiệm. Bài tập 5. Tìm những giá trị của m để các phơng trình sau có nghiệm : a , (m-5)x 2 + 4mx +m 2 = 0 (1) b , (m-2)x 2 + 2(2m -3)x + 5m -6 = 0 (2) Giải. a , Nếu m-5 =0 m=5.Suy ra phơng trình (1):-20x +3 = 0 20 3 = x là nghiệm. Nếu m-5 5 m 5 .Phơng trình (1) có nghiệm / 0 4m 2 -(m-5)(m-2) 0 3m 2 +7m-10 0 1 3 10 mm Vậy );1[] 3 10 ;( + m thì phơng trình đã cho ở trên luôn luôn có nghiệm. b, Nếu m-2 =0 m=2. Suy ra phơng trình (2): 2x+4=0 x=-2 là nghiệm phơng trình . Nếu m-2 0 m 2 .Để phơng trình(2) có nghiệm / 0 (2m-3) 2 (m-2)(5m-6) 0 -m 2 +4m -3 0 m 2 -4m +3 0 1 3 m Vậy m =2 31 m thì phơng trình đã cho luôn có nghiệm. Nhận xét: 5 Sáng kiến kinh nghiệm . GV: Đặng Ngọc Liên Trờng THPT Ngọc Hồi KonTum. Kỉ Niệm Trong dạng bài toán này là hệ số a vẫn chứa tham số .Do đó khi trình bày phải xét a = 0 và a 0 . Lập luận đa về giải bất phơng trình ta tìm nghiệm của bất phơng trình đã cho ,.Khi đó ta đợc giá trị của tham số để phơng trình có nghiệm . Bài tập 6: Xác định m để tam thức sau dơng với mọi x: a, f(x) = 3x 2 + 2 ( m-1 )x + m + 4 b , f(x) = 2x 2 + (m-2)x m + 4 Giải. a, Để tam thức dơng với mọi x thuộc số thực a >0 <0 3>0 (hiển nhiên) (m-1) 2 3(m-4) < 0 m 2 5m + 13 < 0 vô lí với mọi m thuộc số thực ( do oa >< ,0 ) Vậy không có giá trị nào của m để tam thức dơng với mọi x. b, Để tam thức dơng với mọi x a>o <0 2>0(hiển nhiên) (m-2) 2 -8(4-m) <0 m 2 + 4m -28 <0 242 < m < 242 + ,thì tam thức dơng với mọi x thuộc số thực . Nhận xét : Để giải bài toán này , giáo viên cần hớng dẫn học sinh dựa vào định lí về dấu bằng cách lập luận tìm đợc nghiệm của bất phơng trình ,khi đó tìm nghiệm theo m là giá trị của bài toán đa ra . Bài tập 7: Với giá trị nào của m thì bất phơng trình sau vô nghiệm : a , (m+2)x 2 - 2(m-1)x + 4 <0 (1) b, (m-3)x 2 + (m+2)x 4 >0 (2) Giải. a, Khi m +2 =0 m = -2.Suy ra (1) : 6x +4 < 0 x <- 3 2 (loại ) Khi m + 2 0 m 2 .Bất phơng trình (1) vô nghiệm m +2 >0 , 0 m + 2 >0 m 2 6m 7 0 m > -2 - 1 7 m - 1 7 m thì bất phơng trình đã cho vô nghiệm. b, Khi m- 3 = 0 m = 3 .Suy ra bất phơng trình (2) : 5x 4 > 0 x > 5 4 (loại) Khi m- 3 0 m 3 .Để bất phơng trình đã cho vô nghiệm m- 3 < 0 0 m < 3 m 2 + 8m 8 0 m < 3 -22 2 m 222 m là giá trị cần tìm để bất phơng trình vô nghiệm 6 Sáng kiến kinh nghiệm . GV: Đặng Ngọc Liên Trờng THPT Ngọc Hồi KonTum. Kỉ Niệm Nhận xét : Dạng bài toán trên cho trong trờng hợp hệ số còn chứa tham số .Do đó giáo viên hớng dẫn các em xét a = 0 và a 0 , sau đó lập luận bất phơng trình vô nghiệm ,dựa vào định lí về dấu tìm đợc giá trị của tham số để bất phơng trình vô nghiệm . Học sinh khó nắm trong dạng này nên các em khó trình bày trôi chảy bài toán . Do đó trong khi dạy giáo viên cần phân tích diễn giải để học sinh dễ nắm trọng tâm nội dung . Bài tập 8 : Cho bất phơng trình : x 2 + 2(m+2)x m 2 0 a, xác định m để bất phơng trình vô nghiệm . b, Xác định m để bất phơng trình thỏa mãn với mọi 0 x Giải. a, Do tam thức ở vế phải có đồ thị là parabol (hình vẽ) quay lên nên bất phơng luôn luôn có nghiệm .Vậy không có giá trị nào của m thì bất phơng trình vô nghiệm . b, Bất phơng trình thoả mãn với mọi x 0 .Ta xét trong trờng hợp x 2 , 0 , >0 0 x 1 <x 2 Ta có : , = (m + 2) 2 + (m +2 ) = (m + 2)(m +3) Do đó : , 0 23 m (1) * , >0 m <-3 m >-2 *0 x 1 < x 2 S = x 1 + x 2 >0 P = x 1 x 2 0 -2(m + 2) > 0 -(m+2) 0 m < -2 Kết luận : , >0 ta đợc m < -3 (2) Từ( 1) ,(2) ,suy ra m cần tìm là : m 2 Vậy m ]2;( là giá trị m để bất phơng trình thỏa mãn điều kiện đã cho . Nhận xét : Dạng bài toán này là mở rộng từ những bài toán đơn giản về dấu của tam thức bậc hai . Do đó khi dạy giáo viên cần phân tích kỹ và rõ nội dung để học sinh dễ tiếp cận .Xét các trờng hợp và các khả năng xảy ra nh thế nào ? *Một số bài tập có liên quan(tham khảo tự đa ra cách giải .): Bài tập 1 Phân tích đa thức P(x) = x 4 + x 3 -2x 2 + 7x + 3 thành tích của hai tam thức bậc hai . Bài tập2. Tìm điều kiện m để : f(x) = 2x 2 + mx + 3 ]1;1[,0 t ( Thi ĐHKT -1978 ) 7 Sáng kiến kinh nghiệm . GV: Đặng Ngọc Liên Trờng THPT Ngọc Hồi KonTum. Kỉ Niệm Bài tập3. Cho phơng trình : ax 2 + bx + c = 0 ,với 2a +3b +6c = 0 a, Đặt f(x) = ax 2 + bx + c .Tính a ,b, c theo f(0) ,f( 2 1 ) , f(1) . Chứng tỏ rằng : f(0) ,f( 2 1 ) , f(1) , không cùng âm hoặc không cùng dơng . b, Chứng minh phơng trình trên có nghiệm x )1;0( ( Thi ĐH 1981) Bài tập4. Chứng minh phơng trình : (1 m)x 2 + mx + 2(m-2) = 0 Luôn luôn có nghiệm với mọi m. ( Thi ĐH 1977) Bài tập 5. Cho phơng trình : mx 2 - 2( m -1)x + m 3 = 0 , m tham số. a, Tìm m để phơng trình có hai nghiệm dơng b, Tìm mọi giá trị m để phơng trình có hai nghiệm trái dấu . c, Tồn tại m hay không để cho phơng trình có hai nghiệm âm . d, Xác định m để phơng trình có hai nghiệm x 1 , x 2 thỏa mãn : -1<x 1 < 1 < x 2 x 1 < -1 < 1 < x 2 e, Tìm hệ thức độc lập đối với m giữa các nghiệm . g, Khi phơng trình có hai nghiệm phân biệt x 1 ,x 2 .Chứng minh trên trục hoành các điểm M( x 1 ) , N( x 2 ) luôn liên hợp điều hoà với hai điểm cố định A,B ( với mọi: m > -1 ) .Tìm các điểm A, B đó . ( Bộ Đề ĐH 1987 ) Kết quả vận dụng các biện pháp : Sau một thời gian triển khai vận dụng ở khối 10 , kết quả thu đợc theo thống kê nh sau : Khối Tổng Số Giỏi Khá Trung Bình Yếu Kém 10 40 S L % S L % S L % S L % S L % 3 7,5 13 32,5 20 50 4 10 0 0 (kiểm tra qua một lớp dạy , một số học sinh bất kỳ các lớp khác ) 8 Sáng kiến kinh nghiệm . GV: Đặng Ngọc Liên Trờng THPT Ngọc Hồi KonTum. Kỉ Niệm Phần III : kết luận . A.Kết luận : Trên đây là những bài tập đợc giải nó bằng cách sử dụng tam thức bậc hai là một phơng pháp đợc xem nh là tối u . Tôi cố gắng trình bày logic có hệ thống của từng kiểu bài tam thức bậc hai ,từ dễ đến khó ,dễ nắm ,cụ thể : tìm nghiệm tam thức bậc hai , xét dấu ,giải bất phơng trình , định giá trị tham số để bất phơng trình bậc hai có nghiệm với mọi ẩn ,vô nghiệm ,và phơng trình có nghiệm ; Định giá trị tham số để bất phơng có nghiệm trong khoảng , trong đoạn ,vv. Với cách trình bày nh thế tôi tin tởng rằng học sinh dễ nắm những dạng toán về tam thức bậc hai một cách có hệ thống . Những kết quả nêu trên chỉ là bớc đầu , chắc chắn cha phải là cách dạy hay nhất .Dù vậy tôi cũng xin trình bày để đồng nghiệp, bạn đọc tham khảo .Mong các bạn coi đây nh là một gợi ý trên con đờng tìm tới sáng tạo của mình .Rất mong sự đóng góp , góp ý của các bạn ,đồng nghiệp ,của hội đồng s phạm nhà trờng .Xin trân thành cảm ơn. B. Đề xuất - kiến nghị : 1. Đề xuất . -Giáo viên cần nghiên cứu linh hoạt , khai thác triệt để ,để việc dạy theo phơng pháp nêu vấn đề kết hợp vấn đáp mới có hiệu quả . -Giáo viên dạy nên để tinh thần học tập của các em phải thoải mái ,xử lý cân bằng trong học tập. 2. Kiến nghị. -Đối với ngành: các đề thi nên tránh đến việc đánh đố kiến thức đối với các em,mà nên cho xen vào đó có suy nghĩ cao. -Đối với giáo viên : Tăng cờng kiểm tra kiến thức các em bằng các bài thực hành .Nâng cao ý thức soạn giảng theo hớng đổi mới ,hạn chế việc truyền thụ và kiểm tra theo hình thức buộc học sinh phải nhớ máy móc . -Đối với học sinh :có ý thức học tập đúng đắn tích cực làm các bài thực hành trên lớp. Có các dụng cụ học tập đầy đủ. Tài liệu tham khảo: 1. SGK Đại Số 10 Trần Văn Hạo . 2. Các ví dụ và các bài toán chọn lọc Nguyễn Tiến Quang & Vũ Dơng Thụy. 3. Phơng pháp giải toán Đại Số - Nguyễn Trọng Khâm . 9 Sáng kiến kinh nghiệm . GV: Đặng Ngọc Liên Trờng THPT Ngọc Hồi KonTum. Kỉ Niệm Mục lục Phần I. Mở Đầu : I. Lý do chọn đề tài:. II.Nhiệm vụ nghiên cứu . 10 [...].. .Sáng kiến kinh nghiệm Trờng THPT Ngọc Hồi KonTum GV: Đặng Ngọc Liên Kỉ Niệm III.Đối tợng và cơ sở nghiên cứu IV.Phơng pháp nghiên cứu Phần II.Kết quả nghiên cứu I.Thực trạng tình hình II Tồn tại , nguyên . DTTS còn nhiều. -Đội ngũ giáo viên còn trẻ ,kinh nghiệm giảng dạy còn cha nhiều. 2.Nguyên nhân 2 Sáng kiến kinh nghiệm . GV: Đặng Ngọc Liên Trờng THPT Ngọc. trình đã cho luôn có nghiệm. Nhận xét: 5 Sáng kiến kinh nghiệm . GV: Đặng Ngọc Liên Trờng THPT Ngọc Hồi KonTum. Kỉ Niệm Trong dạng bài toán này là hệ số