Động lực học công trình dương văn thứ

NG L C H C CÔNG TRÌNH

NHÀ XU T B N KHOA H C T NHIÊN VÀ CÔNG NGH

HÀ N I - 2010

3.2 DAO NG T DO KHÔNG CÓ L C C N C A THANH TH NG TI T DI N H NG

S - TÍNH CH T TR C GIAO C A CÁC D NG DAO NG RIÊNG 50 3.2.1 Ph ng trình vi phân dao đ ng t do không có l c c n 50 3.2.2 Gi i PTVP (3-6)-Xác đ nh quy lu t dao đ ng t do 51 3.2.3 Gi i PTVP (3-7) - Xác đ nh t n s dao đ ng riêng và d ng dao đ ng riêng 51 3.2.4 Xác đ nh t n s dao đ ng riêng c a các d m m t nh p 54 3.2.5 Tính ch t tr c giao c a các d ng dao đ ng riêng 55 3.2.6 Phân tích t i tr ng theo các d ng dao đ ng riêng 56

3.3 DAO NG C NG B C KHÔNG CÓ L C C N C A THANH TH NG TI T DI N

3.3.1 Tr ng h p l c kích thích phân b b t k q(z,t) 58 3.3.2 Tr ng h p l c kích thích phân b đ u quy lu t đi u hoà q(z,t) = q 0 sinrt 60

3.3.4 Dao đ ng c ng b c không c n c a d m m t nh p, ti t di n không đ i, ch u tác

đ ng c a t i tr ng và d ch chuy n g i t a bi n đ i đi u hoà 65

i tr ng tác d ng vào công trình, d a vào tính ch t tác d ng, đ c phân thành hai lo i:

T i tr ng tác d ng t nh và t i tr ng tác d ng đ ng

T i tr ng tác d ng đ ng là t i tr ng khi tác đ ng vào công trình làm cho công trình chuy n đ ng có gia t c Do công trình có kh i l ng, nên khi chuy n đ ng có gia t c, trong công trình s xu t hi n thêm l c quán tính

T i tr ng đ ng là t i tr ng có tr s thay đ i theo th i gian, th m chí v trí tác d ng

c ng có th thay đ i theo th i gian; nh t i tr ng đ c sinh ra do kh i l ng l ch tâm trong

đ ng c khi đ ng c ho t đ ng, t i tr ng gió bão, áp l c n , áp l c thu đ ng, t i tr ng đ ng

đ t vv

Các công trình xây d ng ngày càng có hình dáng thanh m nh nh các ti n b v m t

v t li u xây d ng và công ngh xây d ng, nên r t nh y c m v i các tác d ng đ ng D i tác

d ng c a t i tr ng đ ng, các đ i l ng phát sinh trong công trình nh : Ph n l c liên k t, n i

l c, bi n d ng, chuy n v vv đ u thay đ i theo th i gian

Nhi m v chính c a môn ng l c h c công trình là nghiên c u các ph ng pháp đ xác đ nh giá tr l n nh t (biên đ ) c a các đ i l ng nghiên c u phát sinh trong công trình khi công trình ch u tác d ng c a các t i tr ng đ ng đ ph c v bài toán ki m tra c ng nh bài toán thi t k Ngoài ra môn h c c ng nghiên c u các ph ng pháp đ xác đ nh các t n s dao đ ng riêng c a công trình đ tránh hi n t ng c ng h ng có th x y ra làm cho công trình b phá ho i do n i l c, chuy n v vv có th t ng lên r t l n

Trong khuôn kh m t cu n sách ph c v h c t p cho sinh viên tr ng i h c Thu l i

v i th i l ng hai tín ch , trong giáo trình này chúng tôi ch trình bày các ki n th c c b n

nh t c a môn h c “ ng l c h c công trình” Cu n sách c ng có th làm tài li u tham kh o

cho sinh viên các tr ng i h c k thu t khác, cho các h c viên cao h c, và cho nh ng

ng i quan tâm t i vi c tính toán công trình d i tác d ng c a t i tr ng đ ng

Do th i gian và trình đ có h n, nên khó tránh kh i các thi u sót trong công vi c trình bày n i dung cu n sách; chúng tôi chân thành c m n các ý ki n đóng góp c a các đ ng nghi p và các b n đ c g n xa

Các tác gi c ng g i l i c m n t i gi ng viên tr Lý Minh D ng đã nhi t tình tham gia ch b n và v hình cho cu n sách này

Hà N i, n m 2010

Tác gi

T

Xét h trên hình 1.1 H g m kh i l ng M đ c g n vào m t đi m c đ nh nh lò xo

có đ c ng K (là ph n l c phát sinh trong lò xo khi lò xo bi n d ng m t l ng b ng đ n v )

Kh i l ng M ch u tác đ ng c a m t l c P(t) có ph ng theo ph ng c a chuy n đ ng (ph ng y), còn chi u và tr s thay đ i theo th i gian

Kh i l ng M chuy n đ ng, l c phát sinh trong lò xo thay đ i làm

cho v t th c hi n m t dao đ ng c h c

Tu thu c vào quan h gi a l c lò xo và bi n d ng c a lò xo là

tuy n tính, hay phi tuy n, mà ta có bài toán dao đ ng tuy n tính hay dao

đ ng phi tuy n

Dao đ ng c a v t thu n túy do l c lò xo sinh ra khi M d ch chuy n

kh i v trí cân b ng ban đ u (do m t nguyên nhân b t k nào đó gây ra

r i m t đi) đ c g i là dao đ ng t do hay là dao đ ng riêng

D ng chuy n v c a v t M đ c g i là d ng dao đ ng riêng N u

trong quá trình dao đ ng luôn luôn t n t i l c đ ng P(t), ta có bài toán dao đ ng c ng b c

L c đ ng P(t) còn đ c g i là l c kích thích

S các dao đ ng toàn ph n c a kh i l ng th c hi n trong m t đ n v th i gian, ch ph

thu c vào các đ c tr ng c h c c a h , g i là t n s dao đ ng riêng hay t n s dao đ ng t

do , và đ c ký hi u là f Th i gian đ th c hi n m t dao đ ng toàn ph n đ c g i là chu k

dao đ ng, và đ c ký hi u là T N u T đo b ng giây (s) (trong ng l c h c công trình th i gian th ng đ c đo b ng giây), thì th nguyên c a f là 1/s V tr s f và T là ngh ch đ o c a nhau

1.1.2 Dao đ ng đi u hoà và véc t quay

Sau đây ta xét m t d ng dao đ ng quan tr ng đ c g i là dao đ ng đi u hòa ây là

d ng dao đ ng c b n th ng g p trong c h c, m t khác, các dao đ ng có chu k luôn luôn

có th phân tích thành các d ng dao đ ng đi u hòa đ n gi n này

Xét dao đ ng đi u hòa,

này nh chuy n d ch c a đi m mút véc t OA

(có đ l n b ng A) lên m t tr c S nào đó khi véc

t này quay quanh đi m c đ nh O v i v n t c góc ω.(xem hình 1.2)

Lúc này, tr s A đ c g i là biên đ dao đ ng, còn v n t c góc ω đ c g i là t n s

vòng c a dao đ ng - là s dao đ ng toàn ph n c a h th c hi n trong 2π giây

= = , do đó ω =2 fπTóm l i, trong dao đ ng đi u hòa ta có các quan h sau,

f T

ωπ

1 2

T f

πω

Sau này trong tính toán th c t , ng i ta hay dùng ω h n f

Kh o sát ba dao đ ng đi u hòa cùng biên đ A và chu k T, nh ng biên đ đ t đ c các th i đi m khác nhau; C ng có ngh a là th i đi m b t đ u c a ba dao đ ng này là l ch nhau Ta nói ba dao đ ng l ch pha nhau - xem hình 1.3;

Dao đ ng (c) b t đ u s m h n dao đ ng (b) m t kho ng th i gian t 0; Ngh a là, sau khi

véc t quay OA bi u di n dao đ ng (c) quay đ c m t góc ϕ = ωt 0 thì dao đ ng (b) m i b t

đ u Ta nói t 0 là đ l ch pha, còn ϕ là góc l ch pha (hay góc pha) T ng t , dao đ ng (a)

có góc pha là π/2

Cách bi u di n dao đ ng đi u hòa d i d ng véc t quay nh trên hình 1.2, giúp ta th c

hi n thu n ti n vi c h p các dao đ ng đi u hòa Ví d , xét h p c a hai dao đ ng đi u hòa cùng t n s (có th khác biên đ và l ch pha)

nh trên hình 1.4 H p c a hai dao đ ng S1 và S2 chính là h p c a hai véc t OA1 và OA2

cho ta véc t OA có đ l n, theo qui t c hình bình hành, là

Hình 1.3

T

Ab)

t

s( ) Asin( t)

A tg

A A c

ϕβ

ϕ

=

Nh v y, h p c a hai dao đ ng đi u hòa cùng t n s là m t dao đ ng đi u hòa cùng

t n s , có biên đ A đ c tính theo (1-7) và góc l ch pha β đ c tính theo (1-8)

l c c n L c c n do nhi u nguyên nhân gây ra nh : ma sát gi a các m t ti p xúc mà ta g i là

l c c n ma sát; s c c n c a môi tr ng nh không khí, ch t l ng… hay l c n i ma sát mà ta

N là thành ph n pháp tuy n c a l c sinh ra gi a hai m t ti p xúc khi chuy n

đ ng (nó ph thu c vào v n t c chuy n đ ng)

2- L c c n nh t tuy n tính Newtont l b c nh t v i v n t c chuy n đ ng

Hình 1.4

0

Trong đó: C2là h s c n nh t

v là v n t c chuy n đ ng, v = S(t)&

ây là mô hình l c c n đ c dùng nhi u trong th c t xây d ng; và đ c mô t b ng

m t pít tông chuy n đ ng trong ch t l ng nh t nh trên hình 1.6d

3- L c c n t l b c cao v i v n t c (th ng là b c hai) L c c n này th ng x y ra khi

v t chuy n đ ng trong môi tr ng ch t l ng hay ch t khí v i v n t c t ng đ i l n

kh i l ng thì ph i chuy n t ng đ ng v đ t t i kh i l ng M t trong các cách chuy n

t ng đ ng nh v y s đ c trình bày chi ti t m c 2-4 K t c u đ c đ t trong h t a đ

yz nh trên hình v

Khi trên h ch a ch u tác đ ng c a l c đ ng P(t), nh ng do tr ng l ng c a kh i l ng M,(G = Mg), h có bi n d ng và chuy n d ch t i v trí ‘1’ nh trên hình 1.6a; Tr ng thái

t ng ng v i v trí này c a h ta g i là tr ng thái cân b ng t nh ban đ u c a h Khi h ch u

tác d ng c a t i tr ng đ ng P(t), h s dao đ ng xung quanh v trí cân b ng này Gi s , đ n

th i đi m t nào đó, h đang chuy n đ ng h ng xu ng và t i v trí ‘2’ nh trên hình 1.6a;

9

Do đây ta ch xét nh h ng c a l c đ ng P(t), đ ng th i do gi thi t bi n d ng bé, nên tr ng thái cân b ng t nh ban đ u có th coi g n đúng nh tr ng h p ch a có bi n d ng (Hình 1.6b) T t nhiên, khi xác đ nh m t đ i l ng nghiên c u nào đó, ta ph i k t i giá tr do

M gây ra theo nguyên lý c ng tác d ng

Xét h dao đ ng ch u l c c n nh t tuy n tính Newton, thì dao đ ng c a h trên hình 1.6b có th đ c mô hình hóa nh trên hình 1.6d; g m kh i l ng M đ c treo vào lò xo có

đ c ng K, và g n vào pít tông chuy n đ ng trong ch t l ng nh t có h s c n C

Xét h th i đi m t nào đó đang chuy n đ ng h ng xu ng cùng chi u v i l c P(t)

Khi đó h ch u tác d ng c a các l c sau: l c đ ng P(t); l c đàn h i sinh ra trong lò xo ph

thu c đ d ch chuy n y c a kh i l ng, Rđh(y) = K.y(t), có chi u h ng lên; l c quán tính Z(t) = -M ÿ(t) có chi u h ng xu ng cùng chi u v i chuy n đ ng; và l c c n nh t tuy n tính

Rc = C y(t)& có chi u h ng lên ng c v i chi u chuy n đ ng (xem hình 1.6f) H tr ng thái cân b ng đ ng, nên:

Rđh + Rc(t) - Z(t) - P(t) = 0 Hay My t&&( )+Cy t&( )+Ky t( )=P t( ) (1-12)

Ph ng trình (1-12) là ph ng trình vi phân (PTVP) dao đ ng ngang t ng quát c a h

đàn h i tuy n tính m t b c t do ch u l c c n nh t tuy n tính Trong đó, C là h s c n có th nguyên là [ l c × th i gian / chi u dài]; K là đ c ng c a h , là giá tr l c đ t t nh t i kh i

l ng làm cho kh i l ng d ch chuy n m t l ng b ng đ n v , và có th nguyên là [l c / chi u dài ]

Ph ng trình (1-12) c ng có th đ c thi t l p d a vào bi u th c chuy n v Th t v y,

n u ký hi u δ là chuy n v đ n v theo ph ng chuy n đ ng t i n i đ t kh i l ng (hình 1.6c)

- còn g i là đ m m c a h m t b c t do - thì d ch chuy n y(t) c a kh i l ng t i th i đi m t

do t t c các l c tác d ng trên h gây ra, theo nguyên lý c ng tác d ng s là:

Gi i PTVP (1-12) s xác đ nh đ c ph ng trình chuy n đ ng, v n t c, và gia t c chuy n đ ng c a kh i l ng; T đó có th xác đ nh đ c các đ i l ng nghiên c u trong h Sau đây ta s gi i bài toán trong m t s tr ng h p

1.3 DAO NG T DO-T N S DAO NG T DO (HAY T N S DAO NG RIÊNG)

tr ng l ng c a kh i l ng, G, đ t t nh theo ph ng chuy n đ ng gây ra (xem hình 1.6a); còn

g là gia t c tr ng tr ng Ph ng trình vi phân (1-14) có nghi m t ng quát là:

( ) os t+A sin

y t = A c ω ωt (a) Các h ng s tích phân A1và A2đ c xác đ nh t các đi u ki n đ u: T i th i đi m b t đ u dao

đ ng (t=0), gi s h có chuy n v ban đ u y o và v n t c ban đ u v 0

0 0

v( ) os t+ sin

i u này có ngh a là, dao đ ng t do không c n c a kh i l ng là h p c a hai dao đ ng

đi u hòa cùng t n s ω và l ch pha π/2 S d ng khái ni m véc t quay, theo (1-7) và (1-8),

β =  ω

Nh v y, dao đ ng t do c a h m t b c t do (BTD), khi không có l c c n, là m t dao

đ ng đi u hòa, có t n s ω đ c tính theo (1-15), có biên đ và góc l ch pha đ c tính theo

(1-19), còn chu k dao đ ng đ c tính theo (1-6)

Nhìn vào (1-15) ta th y ω ch ph thu c yt(M),c ng t c là ph thu c δ hay K, ngh a là

ch ph thu c vào đ đàn h i c a h Nên t n s dao đ ng t do ω còn đ c g i là t n s dao

đ ng riêng c a h ; Nó là m t đ c tr ng c a h dao đ ng

Dao đ ng t do không c n có d ng nh trên hình 1-3; Ph thu c đi u ki n ban đ u mà

có d ng (hình 1.3a, b, hay c) Ví d , khi không có chuy n v ban đ u (y0 = 0), thì β = 0, nên

d ng dao đ ng nh trên hình 1.3b; Khi không có v n t c ban đ u (v0 = 0), thì góc pha b ng

π/2, d ng dao đ ng nh trên hình 1.3a; Còn d ng dao đ ng trên hình 1.3c t ng ng v i khi

chuy n đ ng, do l c P = 1 gây ra, theo công th c

Maxwell - Mohr là (xem hình 1.8b):

k =∑k α

G=Mg a)

Trên khung ba kh p có đ t v t n ng tr ng l ng G (hình 1.9a) B qua nh h ng c a

kh i l ng khung, l c c t, và l c d c t i bi n d ng Hãy xác đ nh t n s dao đ ng riêng theo

ph ng đ ng và ph ng ngang c a h

Gi i: Chuy n v đ n v theo ph ng đ ng δđg, và ph ng ngang δng t i n i đ t kh i

l ng đ c tính theo công th c Maxwell - Mohr T các bi u đ mô men đ n v trên hình 1.9b, và c, ta đ c:

EJg G

g

đ

148

3

=

δ ; ωng = G(h h l)s

EJg G

g

ng

13

( ) ( ) ( ) 0

My t&& +Cy t& +Ky t = (1-21) Hay y t&&( ) 2+ αy t&( )+ω2y t( )=0 (1-21)’ đây ta đã đ t 2 c

không khi α = ω) Do đó c hai nghi m λ tính theo (a) đ u

âm Nh v y, chuy n đ ng c a kh i l ng khi l c c n l n

và trung bình, theo (1-23), là t ng c a hai hàm s m âm

H không dao đ ng mà chuy n đ ng ti m c n d n t i v trí cân b ng nh trên hình 1.10;

i i

ω ω

hay là, ( ) t[ 1cos 1 2sin 1 ]

y t =+e−α B ωt B ωt (1-23)’’ Trong đó: B1 = A1 + A2 ; B2 = i (A1 - A2) (c)

Các h ng s B1, B2xác đ nh đ c t các đi u ki n đ u (1-16)

B1 = y0 ; B2 = (v0 + αy0) / ω1 (d) Thay (d) vào (1-23)’’, và l i áp d ng khái ni m véc t quay đ h p hai dao đ ng đi u hòa trong d u móc vuông, ta đ c ph ng trình dao đ ng t do c a h m t b c t do khi l c

yv

D ng dao đ ng trong tr ng h p này đ c th hi n trên hình 1.11;

T (1-26), hay t hình 1-11 ta th y, dao đ ng t do c a h m t b c t do khi l c c n

bé, c ng là m t dao đ ng đi u hòa có t n s vòng ω1 tính theo (1-24), và chu k T1 tính theo (1-28)

T1 =

1

2 =

2 2

T 1

song biên đ dao đ ng gi m d n theo lu t hàm s m âm : Ae -αt

nghiên c u đ t t d n c a dao đ ng, ta xét t s gi a hai biên đ dao đ ng li n k nhau (cách nhau m t chu k T1) Ký hi u biên đ đ t đ c t i th i đi m t nào đó là An, còn

t i th i đi m (t + T1) là A n+1, thì t (1-26) ta có:

1 1 1

T t t T

t t n

e

e T

t Ae

t Ae

A

α

α α

α

βω

β

++

Nh v y, t s gi a hai biên đ li n k nhau là m t h ng s ; còn logarit t nhiên c a t

s này, ký hi u là χ, là m t đ i l ng ph thu c vào h s c n và đ ng nhiên là c 1 c a

h , dùng đ đánh giá đ t t d n c a dao đ ng, ng i ta g i là h s c n logarit, hay là

Dekremen logatit c a dao đ ng t do có c n bé

H s c n logarit χ đóng vai trò quan tr ng trong th c t Nó giúp xác đ nh h s c n α

nh thí nghi m đo biên đ dao đ ng An và An+1 Sau đây là m t s k t qu thí nghi m tìm

6, V i d m bê tông c t thép: = (0,17 ∼ 0,39); trung bình 0,28

7, V i khung bê tông c t thép: = (0,08 ∼ 0,16); trung bình 0,12

So sánh hai ph ng trình dao đ ng t do không c n (1-18) và có c n bé (1-26) ta th y,

t n s riêng khi có c n bé ω1< ω khi không có c n, còn chu k T1 > T; Có ngh a là, khi có

c n bé, dao đ ng ch m h n so v i không có l c c n Tuy nhiên, s sai khác này c ng r t nh

Do đó trong xây d ng, do ch y u là c n bé, ng i ta th ng coi g n đúng ω1 ≈ ω, và T1 ≈ T trong tính toán

0,11

− = 0,994ω ≈ ω

Tr l i tr ng h p l c c n trung bình (c n gi i h n) α2 = ω2

Lúc này,

χ = αT = ω.2 = 2π; Do đó:

1 n

Ngh a là biên đ dao đ ng sau m t chu k đã gi m đi 529 l n, hay nói cách khác, khi h

ch u l c c n trung bình, h g n nh không dao đ ng mà ch chuy n đ ng ti m c n d n t i v

trí cân b ng ban đ u i u này nh t quán v i k t lu n đã đ c đ c p t i m c a

Nghi m y0(t) tính theo (1-26), còn nghi m riêng y1(t) có th xác đ nh b ng nhi u cách,

ví d ph ng pháp bi n thiên h ng s Lagrange Song thu n ti n h n, đây ta gi i b ng

ph ng pháp n a ng c nh sau:

Gi thi t nghi m riêng d i d ng t ng quát sau

y1(t) = A1sinrt + A2cosrt Hay là y1(t) = A0 sin(rt - ϕ) (1-31) Trong đó r là t n s l c kích thích đã bi t, còn A0 và ϕ là biên đ và góc l ch pha ch a

bi t Rõ ràng là n u ta tìm đ c m t A0, và m t ϕ đ (1-31) th a mãn ph ng trình (1-30), thì (1-31) là m t nghi m riêng c a (1-30) Th t v y, thay y1(t) và các đ o hàm c a nó

Bi u th c (d) ph i b ng không v i m i t tùy ý; Mu n v y, các bi u th c h s c a sinrt

và cosrt ph i b ng không T đó suy ra:

A0 = M[ ( r )cosϕ 2rαsinϕ]

P

2 2

Trong đó: A, β tính theo (1-27) ch a các đi u ki n đ u y 0 và v 0

A0, ϕ tính theo (1-32) ch a biên đ P 0 và t n s r c a l c kích thích đi u hòa Phân tích

(1-33) ta th y:

S h ng th nh t liên quan t i dao đ ng t do c a h Trong th c t luôn luôn t n t i

l c c n Nh ng cho dù l c c n là bé, thì ph n dao đ ng t do này, s m hay mu n, c ng s

m t đi sau m t kho ng th i gian nào đó Dao đ ng c a h lúc này đ c coi là đã n đ nh, và

đi u hòa P 0 sinrt, khi đã n đ nh, là m t dao đ ng đi u hòa có cùng t n s và chu k v i t n

s và chu k c a l c kích thích, còn biên đ A 0 và góc pha đ c tính theo (1-32)

Biên đ dao đ ng A0c ng th ng đ c bi u di n d ng khác ti n l i h n nh sau:

0 2

2 2

2 2 0

r

2rr

rM

P

r

2r1

1r

MP

0 2

2 2 2 2 0

4rr

1

P4r

rM

Kđ =

4

2 2 2 2

2

4rr

1

1+

i u này có ngh a là, khi h ch u tác d ng c a t i tr ng đ ng đi u hòa P0sinrt, thì biên

đ chuy n v đ ng A0 l n g p Kđ l n so v i chuy n v khi P0 đ t t nh gây ra Kđ đ c g i là

1 thì Kđ ∞ Ngh a là, khi t n s l c kích thích l n h n nhi u t n s riêng c a h , h s đ ng có giá

tr nh , th m chí biên đ dao đ ng còn nh h n c chuy n v t nh do Po gây ra Có th lý gi i

đi u này là do khi r> , Kđ có tr s âm, v m t ý ngh a, đi u này có ngh a là dao đ ng c a

kh i l ng ng c pha v i l c kích thích (chi u chuy n đ ng ng c v i chi u c a l c kích thích), nên l c kích thích ch ng l i chuy n đ ng

Khi r< , Kđ d ng, ngh a là dao đ ng c a kh i l ng và l c kích thích cùng pha Khi r ≈ , Kđ t ng lên r t l n, biên đ dao đ ng t ng r t nhanh Hi n t ng này đ c

g i là hi n t ng c ng h ng Trong th c t , khi t s r/ n m trong kho ng t 0,75 đ n 1,25,

c kM

γ =

19

Trong tr ng h p này, Kđ không nh ng ph thu c t s r/ , mà còn ph thu c vào h

s c n Trên hình 1.12b cho ta các đ ng cong quan h này ng v i các h s c n khác nhau, và th y r ng:

h s Kđ luôn luôn nh h n m t Tr ng h p riêng khi h s c n l y d u b ng trong công

th c (1-37) đ c g i là h s c n lý t ng; và có ý ngh a quan tr ng khi ch t o các thi t b

đo dao đ ng

b 2- Khác v i tr ng h p không c n, khi có l c c n, h s đ ng có giá tr l n nh t không

ph i khi r/ b ng m t, mà khi t s này nh h n m t Th t v y, kh o sát bi u th c Kđ theo t

dKđ = 0 suy ra ωr 2 2

2 2

2

2M

c12

1− = −

(B qua bi n đ i chi ti t) Tuy nhiên s sai khác này là nh , nên th c t v n coi g n đúng Kđ đ t giá tr l n nh t khi r/ ≈ 1

t ng đ i ng n Tuy th i gian ch t t i ng n, nh ng ta c ng không th b qua y u t th i gian này trong tính toán

Ký hi u P0 là giá tr l n nh t mà t i tr ng đ t đ c, f(t) là hàm bi u di n lu t bi n đ i

c a t i tr ng theo th i gian, còn g i là hàm ch t t i Khi đó có th bi u di n t i tr ng kích

đ ng d i d ng t ng quát nh sau (hình 1.13)

Do ch u t i kích đ ng, nên tr ng thái nguy hi m c a k t c u x y ra khá nhanh sau khi

ch u t i B i v y, trong tr ng h p này ng i ta th ng b qua nh h ng c a l c c n PTVP dao đ ng t ng quát có d ng:

Ti p theo, ta l i th c hi n các phép tính theo đúng th t nh trên nh ng nhân hai v

c a (1-39)’ v i cos t; Sau c ng và tr vào v trái hàm (ωy&sinωt), r i tích phân hai v

Các ph ng trình (1-40) và (1-40)’ ch là d ng khác c a (1-39)’ nh các bi n đ i t ng

đ ng Bây gi ta l i nhân hai v c a (1-40) v i cos t, và v i (1-40)’ là sin t; r i tr hai

ph ng trình cho nhau, v i chú ý các quan h l ng giác sau:

sin(a-b) = sina cosb - cosa sinbcos(a-b) = cosa cosb + sina sinb (d)

0

( ) os (t-t ) sin ( ) ( ) sin ( )

t P t t

Chú ý: L i gi i (1-41), hay (1-43) là l i gi i t ng quát không nh ng cho tr ng h p t i

tr ng kích đ ng nh trình bày trên, mà cho t i tr ng đ ng b t k có th bi u di n đ c

d ng (1-38)

Hàm K(t) đóng vai trò nh h ng c a tác d ng đ ng, nó là hàm c a th i gian, đ c g i

là hàm nhân t đ ng hay là hàm đ ng l c Giá tr l n nh t c a K(t) chính là h s đ ng Trong

th c t tính toán, ta c n xác đ nh giá tr l n nh t này

Sau đây ta xét m t s d ng t i tr ng kích đ ng th ng g p, v i gi thi t ban đ u h

tr ng thái t nh, ngh a là y0 = 0, và v0= 0 Lúc này ph ng trình chuy n đ ng c a h là (1-43)

T

là đã có th coi nh tr ng h p (1) - xem hình 1.5c; Lúc này Kđ ≈ 2 Còn t1 càng

l n thì t n s càng l n đây, T là chu k dao đ ng t do

3- T i tr ng t ng tuy n tính r i sau đó không đ i(nh trên hình 1.16a.)

K(t)

P

t P(t)

t

b)

Hình 1.15

0,6 0,4 0,2 0

1 2 max k(t)

1

t T

0,8 c)

Khi 0 ≤ t ≤ t1, có P = P0(

1

t

t); Còn f(t) =

1

t

t

; Thay vào (1-42) ta đ c hàm đ ng l c trong tr ng h p này là:

K(t) =

1

t

t -

1

t

tsinω

T

π )sin t (d1) Khi t1 ≤ t, có P = P0; Còn f(t) = 1; Nên trong tr ng h p này

K(t) = 1 + (

1

t2

T

π )[sin (t-t1) - sin t] (d2) Trong đó, T= 2 là chu k dao đ ng t do

th bi n đ i c a K(t) theo th i gian, ng v i các t1 khác nhau, nh trên hình 1.16b; Còn quan h gi a maxK(t) = Kđ v i t s

T

t1

nh trên hình 1.16c Ta th y, khi t1 càng nh (t1 0), nó ti n d n t i tr ng h p (1): Kđ 2

4, T i tr ng kích đ ng d ng tam giác(nh trên hình 1.17a.)

Khi 0≤ t ≤

2

t1, có P = 2(

1

t

t)P0; Còn f(t) =

1

t

2t); Nên ta đ c:

K(t) = 2 -

1

t

2t + (

S bi n đ i c a K(t) ng v i các t1 khác nhau nh trên hình 1.7b; Còn quan h gi a maxK(t) = Kđ v i

T

t1

nh trên hình 1.17c Và ta th y Kđ luôn luôn nh h n 2

3 2 1 0

1 2 max k(t)

1

t T

4 c)

3t 1

2t 1

t 1

0 1 2 k(t)

Qua các ví d trên, ta có th rút ra m t s nh n xét quan tr ng

a, Khi ch u tác d ng c a t i tr ng kích đ ng, h s đ ng có giá tr nh h n, ho c

b ng hai

b, Khi th i gian ch t t i kích đ ng t1 là nh so v i chu k dao đ ng riêng, ta có th gi i

g n đúng bài toán v i gi thi t: kh i l ng ch b t đ u chuy n đ ng sau th i gian t1 Nh v y,

d a vào nguyên lý đ ng l ng ta có:

0 0

Ngh a là, có th thay bài toán h ch u t i kích đ ng có t1 nh , b ng bài toán h chuy n

đ ng có v n t c ban đ u v0 gi i đ n gi n h n nhi u L i gi i lo i bài toán này có th tìm th y trong các tài li u

2.1 KHÁI NI M BAN U

Nh đã trình bày ch ng 1; h m t BTD đ c đ c tr ng b ng m t d ng dao đ ng riêng v i t n s T ng t nh v y, dao đ ng t do c a h nhi u b c t do c ng đ c đ c

tr ng b ng các t n s dao đ ng riêng, và ng v i m i t n s riêng h có m t d ng dao đ ng

riêng t ng ng Hay nói cách khác nh sau này s ch ng minh, h có bao nhiêu b c t do

s có b y nhiêu t n s dao đ ng riêng, và trong các đi u ki n nh t đ nh, ta có th làm cho

t t c các kh i l ng - t i m t th i đi m nào đó- ch th c hi n dao đ ng t ng ng v i m t

t n s nào đó trong s các t n s riêng Nh ng d ng dao đ ng nh v y đ c g i là nh ng

d ng dao đ ng riêng chính, hay d ng dao đ ng chu n T t nhiên dao đ ng t do c a h là

t ng h p c a t t c các d ng dao đ ng riêng này

Vi c nghiên c u các d ng dao đ ng riêng chính là r t quan tr ng vì nó đ n gi n (nh h

m t b c t do); sau đó h p các dao đ ng này s cho dao đ ng t ng c ng Trong th c t ta

c ng g p nhi u bài toán có s BTD h u h n, b i vì ng i ta th ng chuy n bài toán có vô

h n BTD (gi i ph c t p) v bài toán có s BTD h u h n đ gi i đ n gi n h n

2.2 PH NG TRÌNH VI PHÂN DAO NG NGANG T NG QUÁT C A

H CÓ n B C T DO

Xét h có n BTD, n kh i l ng t p trung M1,M2, , Mn, nh trên hình 2.1 (b qua

kh i l ng k t c u) H dao đ ng d i tác d ng c a h l c đ ng P1(t), P2(t), , Pn(t), trong

tr ng h p t ng quát, gi thi t đ t t i t t c các kh i l ng, và có ph ng theo ph ng chuy n đ ng Tr ng h p có các t i tr ng không đ t t i kh i l ng, thì ta ph i chuy n t ng

đây, k là kh i l ng th k;(k = 1, 2, ….n); Còn l c đàn h i Rđh(t) không ph i là ngo i

Song trong tr ng h p này, s d ng bi u th c chuy n v t ra thu n ti n h n

Chuy n v c a các kh i l ng t i th i đi m nào đó, gi s xét kh i l ng th k,

n

M M M

ph n t là các chuy n v đ n v t i n i đ t các kh i l ng, theo ph ng chuy n đ ng

[M] là ma tr n kh i l ng, là ma tr n đ ng chéo Các ph n t trên đ ng chéo chính

l n l t là các kh i l ng t p trung đ t trên h

[C] là ma tr n c n Vi c xác đ nh các ph n t c a [C] khá ph c t p Trong tính toán

th c t , ng i ta th ng coi g n đúng [C] t l v i ma tr n c ng [K]

{ } { } { }y t( ) ; y t&( ) ; &&y t( ) , l n l t là véc t chuy n v , véc t v n t c, và véc t gia t c

chuy n đ ng c a h , mà các ph n t c a nó, l n l t là chuy n v , v n t c, và gia t c chuy n

So sánh hai ph ng trình (2-5) và (1-12) ta th y chúng hoàn toàn gi ng nhau v hình

th c, cho nên cách gi i c ng có ph n t ng t nhau Tuy nhiên, gi i h ph ng trình (2-5)

ph c t p h n r t nhi u, vì [M], [C], [K] là các ma tr n ch không ph i là các con s nh trong (1-12), còn { } { } { }y t( ) ; y t&( ) ; &&y t( ) là các véc t hàm Sau đây ta s gi i m t s tr ng

h p riêng

2.3 DAO NG T DO C A H CÓ n B C T DO - PH NG TRÌNH

T N S

2.3.1 T n s và ph ng trình t n s

Khi nghiên c u dao đ ng h m t b c t do ta th y r ng, khi l c c n bé, t n s riêng 1≈ ;

B i v y, đ i v i h nhi u b c t do, khi nghiên c u dao đ ng t do, ta quan tâm ch y u t i

Trong đó, {A} = {A1, A2, …An}T là véc t c t ch a các biên đ dao đ ng c a các kh i

l ng th nh t, th hai, , th n, và đ c g i là véc t biên đ dao đ ng t do c a h Do ph i

t n t i dao đ ng, ngh a là {A} ≠ {0} T đó suy ra đ nh th c

s riêng bé nh t 1 đ c g i là t n s c b n, và có vai trò quan tr ng trong tính toán k t c u

khi ch u t i tr ng đ ng i u này s đ c sáng t các ph n sau

Ph ng trình t n s (2-10) c ng có th bi u di n qua ma tr n đ m m Mu n v y, ta nhân bên trái hai v c a (2-9) v i [N]( 12 ) đ c:

đ nh d dàng h n nh công th c tính chuy n v Maxwell- Mohr quen thu c

M

2 22 1

21

2 12 1

11

−

−

D m đã cho là siêu t nh, công th c

Maxwell- Mohr đ tính chuy n v là (Xem giáo

trình c h c k t c u)

0 i 0 k

48

Ml u

7768

Ml u

N u ta thay l n l t các t n s dao đ ng riêng 1, 2, , n vào ph ng trình (2-9), s

xác đ nh đ c n véc t t s biên đ dao đ ng ký hi u là{a1}, {a2}, {an} ng v i t ng t n

s riêng Ví d , ng v i t n s riêng th i ta có véc t biên đ dao đ ng {ai} có các ph n t

ký hi u là (a1i, a2i, , aki, , ani); là biên đ dao đ ng c a các kh i l ng th (1, 2, , k, , n)

ng v i t n s riêng i:

{ } {a i = a1i a2i a ki a ni}T

(2-12) Các aki (k = 1, 2, , n) là nghi m c a ph ng trình (2-9)’’ sau đây,

4

l

332

l

o k

M

P k =1 c)

4

l

o k

M

P k =1 e)

4

l

px f)

y

đx g)

y

Hình 2.2

C n chú ý r ng, đây ta ch xác đ nh đ c d ng c a các dao đ ng riêng, hay nói cách khác, ch xác đ nh đ c t s (quan h ) gi a các biên đ dao đ ng c a các kh i l ng ng v i

m t t n s c th S d nh v y là vì, (2-9)’’ là ph ng trình đ i s tuy n tính thu n nh t, s

có vô s nghi m Mu n xác đ nh m t h nghi m nào đó, ta ph i gi thi t tr c m t bi n aki

nào đó làm bi n c s ; Sau đó s gi i n t (n-1) bi n còn l i qua bi n c s aki này Rõ ràng, khi cho bi n c s các tr khác nhau ta s đ c các véc t {ai} khác nhau Tuy v y, t s gi a các ph n t trong véc t này v i bi n c s ch n tr c luôn không đ i

N u ch n n c s ban đ u aki = 1, thì các t s này chính là các ph n t trong véc t (2-12) Trong th c t , ng i ta th ng ch n n c s ban đ u là a1i = 1, khi đó véc t biên đ dao đ ng ng v i t n s riêng is là:

Trong đó, các aki(k = 2, 3, , n) là nghi m c a ph ng trình (2-9)’’ ng v i a1i =1 Các ph n t c a véc t biên đ (2-12)’ cho ta d ng dao đ ng c a h ng v i t n s riêng

th i đ c g i là d ng dao đ ng riêng th i (hay d ng dao đ ng chính th i) Nh v y, h có

bao nhiêu b c t do s có b y nhiêu d ng dao đ ng riêng

N u ta đ t t t c các véc t bi u di n các d ng dao đ ng riêng vào trong m t ma tr n

vuông, ký hi u là [A], thì [A] đ c g i là ma tr n các d ng dao đ ng riêng c a h

C ng c n ph i nói thêm r ng, (2-9) hay (2-9)’là bài toán tr riêng đi n hình, nên vi c

gi i ph ng trình (2-9)’ đ xác đ nh các t n s dao đ ng riêng và các d ng dao đ ng riêng

t ng ng nh đã trình bày trên, th c ch t là xác đ nh các giá tr riêng và các véc t riêng

t ng ng c a bài toán tr riêng này nh ta đã quen thu c trong đ i s h c

b) Tính ch t tr c giao gi a các d ng dao đ ng riêng

Các d ng dao đ ng riêng c a h nhi u b c t do có tính ch t tr c giao Th t v y, xét hai

d ng dao đ ng th i và th k Thay i và k vào (2-9) r i chuy n v , ta có:

Tr hai ph ng trình cho nhau: ( 2 2) { } [ ] { }

( ) ' ( ) 'c − b = ωi −ωk a i T M a k = 0

Vì i ≠ k, ta suy ra: { }a i T[ ]M { }a k = 0 (2-14)

V m t toán h c, (2-14) là đi u ki n tr c giao c a hai véc t {ai} và {ak}, c ng t c là

c a hai d ng dao đ ng riêng th i và th k ây là đi u ph i ch ng minh

Th c hi n phép nhân ma tr n, đi u ki n (2-14) có th vi t d ng khai tri n nh sau:

a M a

=

c) Chu n hóa các d ng dao đ ng riêng

N u ta thay véc t d ng dao đ ng riêng th i, {ai} b ng véc t {bi} th a mãn đi u ki n

thì véc t {bi} đ c g i là véc t bi u di n d ng dao đ ng riêng th i đã đ c chu n hóa, hay

g i ng n g n là véc t chu n hóa d ng dao đ ng riêng th i

N u đ t các véc t {bi} vào trong m t ma tr n vuông, ký hi u là [B],

S d ng d ng chu n hóa c a các d ng dao đ ng riêng k t h p v i h t a đ chính s

cho phép ta chuy n vi c gi i bài toán có n BTD v gi i n bài toán có m t BTD đ n gi n h n

nhi u đã đ c trình bày chi ti t trong ch ng 1

Ký hi u ma tr n

2 1 2 2

2

n

ωω

đ c g i là ma tr n các t n s dao đ ng riêng, hay ma tr n t n s

Thay (2-16) vào ma tr n [A] (2-13), r i thay vào (2-9) ta đ c:

VÍ D 2.2 Xác đ nh các t n s dao đ ng riêng và các d ng dao đ ng t ng ng c a

d m conson trên đó có đ t hai kh i l ng t p trung nh trên hình 2-3a D m có EJ không đ i

và b qua kh i l ng d m khi tính Cho M =

4

ml

(m là c ng đ kh i l ng phân b ) Bài gi i:

H có hai BTD Các chuy n v đ n v tính đ c theo công th c Maxwell- Mohr và cho

C ng nh ví d 2-1, thay (a) vào ph ng trình t n s (2-11) ta đ c m t ph ng trình

b c hai đ i v i u, gi i ph ng trình này ta đ c (b qua tính toán chi ti t):

kh i l ng th nh t và th hai, các d ch chuy n này cho ta d ng dao đ ng t ng ng C th :

D ng dao đ ng th nh t: Thay u1 vào ph ng trình th nh t (ho c th hai) c a (2-9)’

và cho a11 = 1 ta đ c m t ph ng trình ch a m t bi n a21 nh sau,

(M1 11δ −u1) (× a11= +1) M2 12δ a21 = 0Thay M1, M2, 11, 12, u1 vào r i gi i ta đ c, a21 = 3,05472; Véc t biên đ dao đ ng cho ta d ng dao đ ng riêng th nh t là:

{ } {a1 = a11 a21} {T = 1, 0 3, 05472}T

D ng dao đ ng này nh trên hình 2-3b

D ng dao đ ng riêng th hai hoàn toàn t ng t , thay u2 vào (2-9)’ r i cho a12 = 1, ta

s gi i đ c a22 = -0,655 Do đó véc t biên đ cho ta d ng dao đ ng riêng th hai là:

{ } {a2 = a12 a22} {T = 1, 0 −0, 65472}T

D ng dao đ ng riêng th hai nh trên hình 2-3c

Ma tr n các d ng dao đ ng riêng c a bài toán này là:

1,01,0

aa

aa

22 21

12 11

3 Chu n hóa các d ng dao đ ng riêng

xác đ nh ma tr n chu n hóa các d ng dao đ ng riêng [B] ta ph i tính các h s d i

02

1,0M

10

02

= 2,42866M, suy ra d 2 = 1,55842 M Bây gi l i thay d1,d2 vào (2-16) s đ c ma tr n chu n hóa [B] nh sau:

{b1} =

1

d

1{a1} =

M

10,90747

0,29713,05472

1,0M

M

10,42012-

0,641680,65472

-1,0M

[B] =

M

10,420120,90747

0,6416770,29707

{ }

1 2

( ) ( )

( )

( )

( )

(d ng chính th i) Nh v y theo (2-22), ta đã phân tích véc t t i tr ng {P(t)} thành t ng c a

{ }

'

1 '

2 '

'

'

( )( )

i i

ki

n ni ni

T i

1- Khi s d ng công th c (2-24)’ c n l u ý: (2-24)’ có hai th a s , (m i th a s đ c

đ t trong d u ngo c đ n), và ph i tính riêng t ng th a s ; Th a s th nh t là m t véc t có n

ph n t ; th a s th hai cho ta m t con s ; Tích hai th a s này là m t véc t có n ph n t chính là véc t t i tr ng t ng ng v i d ng dao đ ng th i

L n l t cho (i= 1, 2, , n) vào (2-24)’; ta xác đ nh đ c n véc t t i tr ng t ng ng

v i n d ng dao đ ng riêng c a h , đ c tách ra t h t i tr ng đã cho ban đ u Có th ki m tra

s đúng đ n c a phép phân tích t công th c (b), ho c (2-22)

2- B ng cách t ng t , ta c ng có th phân tích chuy n v theo các d ng dao đ ng riêng

Nh phân tích h t i tr ng đã cho theo các d ng dao đ ng riêng, và nhi u khi c chuy n

v , mà sau này, khi nghiên c u dao đ ng c ng b c c a h nhi u b c t do, ta c ng có th

chuy n vi c gi i bài toán h nhi u b c t do ph c t p v gi i nhi u bài toán nh h m t b c t

Có nhi u cách chuy n t ng đ ng nh v y, song ch là g n đúng Sau đây là m t trong

các cách chuy n t ng đ ng nh v y d a trên gi thi t g n đúng cho r ng: Hai h l c t ng

đ ng là hai h l c gây ra chuy n v t nh t i các kh i l ng b ng nhau Ký hi u véc t h l c

thay th đ t t i n kh i l ng là,

{P t( )} {= P t1( ) P t2( ) P t n( )}T (2-27)