CHUYEN DE BIEN DOI BIEU THUC HUU TY ON THI HSG

CHUYÊN ĐỀ BIẾN DDOOIOR BIỂU THỨC ĐẠI SỐ HAY DANH CHO ÔN THI HSG TOÁN 9

CHUYÊN ĐỀ 2: BIẾN ĐỔI BIỂU THỨC HỮU TỶ

I CÁC BIỂU THỨC HƯU TỶ:

Bài 1: Cho các số thực a; b; c; x; y; z khác 0 thỏa mãn: x y z d

a   và b c

0

x   Tính giá trị của biểu thức y z A x22 y22 z22

Giải

Ta có:

 

2 2 2 2

2

2

1

xyz c b a

abc z y x

Lại có: c b a 0 2 

z   y x

Từ (1) và (2) suy ra: 2

Bài 2: Cho a;b;c là các số thực thỏa mãn a bc  2 5

Tính giá trị của biểu thức

2

5

P

Giải

Từ 2

a bc a b khác 0

Khi đó ta có:

2

5

P

5

a b a a bc a b a a c a b ca b a b

2 2

1

a a b

a b a

Chú ý: Ta có thể lấy mẫu số của một trong ba phân thức đó cho làm mẫu chung

cho ba phân thức đó

Các bài tập tương tự:

1: Cho a; b; c thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng

1

1 a ab1 b bc1 c ca 

2: Cho biết abcd = 1, Hãy tính tổng sau

G =

abc ab a bcd bc b cda cd c dab da d

3 Cho x,y,z là các số thực thỏa mãn đẳng thức 15

xyz





   



P

Bài 3: Giả sử x;y;z là các số thực khác 0 thỏa mãn hệ thức:

 

 

          



   



Với nN n, lẻ

Tính giá trị biểu thức: P 1n 1n 1n

Giải

1 x yz  y xz z yx  2xyz

2 2 2 2 2 2  

 2 2   2 2  2  

 2   2 

0

  2

0

yxxzyz 0

0 0 0

 





  



 





  



Với x  thay vào (2) ta được y n 1 1

z    ( với n là số tự Nhiên lẻ) z

1

P

Với y   ; z z   là tương tự ta cũng có: x P  1

Vậy P = 1

Bài 4: Cho các số thực a;b;c; x;y;z thỏa mãn

Tính giá trị của biểu thức 2 2 2

Pa x b y c z

Giải

Với x  y z 0 nên ta có:

a x y z  a xa ya z (1)

b x y z  b xb yb z (2)

c x y z  c xc yc z (3)

Từ (1); (2) ;(3) suy ra:

0

a x b y c z x a bc y b ac z c ab

a x b y c z a x b y c z xbc yac zab

 2 2 2 

2 a x b y c z 0

0

a x b y c z

0

Pa x b y c z

Cách 2:

Doa   nênb c 0 a b c ax bycz0

0

0

P

a    ) b c

Bài 5: Cho a,b,c là các số thực thỏa mãn: a b c  và 0 a   b c 0

Tính giá trị biểu thức: P 2 12 2 2 12 2 2 12 2

Giải

a    c b ac b  c a   bc

0

P

  

Bài 6: Cho a,b,c là các số đôi một khác nhau và a b c 0

Tính giá trị của biểu thức:

  2  2 2

P

Giải

  

0

Do đó:

       





Tương tự ta có:

       





       





Từ (1); (2); (3) suy ra:

  2  2 2

P

Bài 7: Cho các số dương a,b thỏa mãn 100 100 101 101 102 102

Tính giá trị của biểu thức 2015 2015

Giải

Từ giả thiết ta suy ra:

 101 101 2 100 100  102 102

a b  a b a b

202 101 101 202 202 100 100 2 2 202

100 100 2 2

 2

0

a b

   ( với a;b là các số dương )

 

Với a thì từ giả thiết ta có: b 102 101

a a      a a b

Vậy 2015 2015

Bài 8:

Cho x,y,z là ba số thỏa mãn điều kiện

4x 2y 2z 4xy4xz2yz6y10z34 0

Tính:  2015  2015  2015

Giải

Ta có:

4x22y22z24xy4xz2yz6y10z34 0

  2  2 2

Do đó:  2015  2015  2015

Bài 9: Cho a, b là các số thỏa mãn điều kiện:

3 2

2 2 2





2015 2015

Giải

Ta có:

 2

a  b  b  a   b  a      (1) a

2

2

1

b

b

Từ (1) và (2) suy ra: a   1

Với a   thì từ giả thiết ta có: 1 2

b  b    b

Vậy:  2015 2015

Bài 10: Cho x; y; z là các số thực thỏa mãn:

  2  2  2  2  2 2

Chứng minh rằng: x  y z

Giải

Đặt a x y b;  y z c;  z x thì a   b c 0

a   b c a b  b c  a c

2 2 2

 2 2 2  2

Từ đó suy ra: x  y z

Bài 11: Cho các số a;b;c thỏa mãn 1 1 1 1

a   b c a b c

  Chứng minh rằng: Với n là số tự nhiên lẻ thì: 1n 1n 1n n 1n n

Giải

 

    0

0 0 0

 





  



 





  



Nếu n n

a     ( với n là số tự Nhiên lẻ ) b b a

Do đó: 1n 1n 1n 1n; n 1n n 1n

Suy ra: 1n 1n 1n n 1n n

Đẳng thức được chứng minh tương tự với b   ;c c   a

Vậy 1n 1n 1n n 1n n

  với mọi số tự nhiên n

Bài 12:

c  abacbc  bc a  b c

 

2 2

2 2





Giải

Ta có:

Tương tự:

2

2

Do đó:

 

                 

2

2

2 2

Bài 13: Cho x, y, zđôimột khác nhau và 0

z

1 y

1 x

1   

Tính giá trị của biểu thức:

xy 2 z

xy xz

2 y

xz yz

2 x

yz













Giải

2

Tương tự ta có:

  

2

2

  

2

2

Khi đó:

 yz   xz   xy 

A

 yz   xz   xy 

A

A



yz y z x z z x y x x y

A

x y z x y z



Biến đổi:

  2    

y zz xx y

x yz xy z 1

A

Bài 14:

Cho a; b; cđôi một khác nhau thỏa mãn điều kiện  2 2 2 2

a b c  a  b c

Rỳt gọn:

P

Giải

0

a b c  a   b c ab bc ca

Ta có:

a  bca  bcab bc caa bcab ca  a b a c (1) Tương tự ta có:

2

2

b  ac ba b c (2)

2

2

c  ab c a c b (3)

Thay (1); (2);(3) vào P ta được:

        

P

   

a b a c b c



    1

Bài 15:

Cho a  b c 0 a b c 0 Rút gọn biểu thức sau

2 2 2

A

Giải

2

b c    a b c a a   b c bc

Tương tự ta có:

2 2 2

2

b   a c ac

2 2 2

2

Do đó:

A

 

abc

abc

Bài 16:

Cho axbycz0

Rỳt gọn phân thức:

A



Giải

Ta có:

 2 2 2  2 2 2  2 2 2  2

 2 2 2  

Do đó:

1

A

a b c

 

Bài 17: Cho biểu thức

A

a) Chứng minh rằng nếu A = 1 thì trong 3 số x;y;z có một số bằng tổng hai số kia và trong biểu thức A co một phân thức bằng -1 hoặc 2 phân thức cũn lại bằng 1

b) Nếu x; y; z là độ dài các đoạn thẳng và A > 1 thì x; y; z là độ dài 3 cạnh của một tam giác

Giải

a) Ta có:

A

2

xyz

 

2

xyz

2

xyz



2

xyz

0 0 0

Nếu z y x   ta có:

2

1

2

1



2 1

Các trường hợp cũng lại chứng minh tương tự: Vậy trong biểu thức A co một phân thức bằng -1 hoặc 2 phân thức cũn lại bằng 1

b) Để

2

xyz

y x zy x zx z y0Do x y z; ; 0

0 0 0

Vậy x; y; z là ba cạnh của một tam giác

Bài 18: Cho a, b, c  Z thỏa mãn điều kiện       

2

Chứng minh rằng: a3 b3 c3 3

Giải

Từ giả thiết

2

Từ (*) dễ thấy khi a, b, c  Z thì 3 3 3

a  b c 3, đpcm

Bài 19: Tìm các số tự nhiên a, b, c phân biệt sao cho biểu thức sau nhận giá trị

abc

ca bc

ab

P 1 1 1

Giải

Điều kiện có nghĩa là a, b, c  0

P nguyên S =

abc c

b a

1 1 1

a b c abc

        hay S < 3

Hơn nữa ta có

abc a

c b a

1 1 1 1 1







Do đó S = 1 hoặc S = 2

+) S = 1 Ta có 1 =

abc c b a

1 1 1

1    <

c b a

1 1

1   <

a

3 

a

3

>1  a =1 hoặc a = 2

Với a = 1  1 = 1 1 1 1

b  c bc  không xảy ra

Từ đó 2 b 4  b = 3 Thay vào được c = 5 Vậy a = 2, b = 3 , c = 5

+) S = 2 Ta có: 2 1 1 1 1

   <

a

3



2

3



a  a =1

Thay vào được 1 1 1 1

b   b =1 loại với không thỏa mãn b > a

Kết hợp các trường hợp và do vai trò bình đẳng nên các số (a, b, c) cần tìm là:

(2,3,5), (2,5,3), (3,5,2), (3,2,5), (5,3,2), (5,2,3)

Bài 20: Cho   3 2

1 3 3

x

f x



  Hãy tínhgiá trị của biểu thức sau:

A f   f    f   f  

Giải

Nhận xét Nếu x y 1 thì f x  f y  1

Thật vậy, ta có  

         

3 3

1 1

x x



     

3 3

1

x x



Vậy, nhận xét được chứng minh Ta có 1 1

f    

 

Theo nhận xét trên ta có:

2012 2012 2012 2012

1005 1005,5

           

          

          

Bài 21: Cho các số nguyên a, b, c thỏa mãn:

abc c b a

1 1 1 1





Chứng minh rằng: (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) là số chính phương

Giải

Theo đề ra, ta có:

abc c

b a

1 1 1 1





 => ab + bc + ca = 1

Khi đó, ta có:

1 + a2 = ab + bc + ca + a2 = a(a + b) + c(a + b) = (a + b)(a + c) (1)

1 + b2 = ab + bc + ca + b2 = b(a + b) + c(a + b) = (a + b)(b + c) (2)

1 + b2 = ab + bc + ca + c2 = c(a + c) + b(a + c) = (a + c)(b + c) (3)

Từ (1), (2) & (3), suy ra:

(1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) =[(a + b)(b + c)(c + a)]2

Với a, b, c là các số nguyên thì (a + b)(b + c)(c + a) là số nguyên

Vậy (1 + a2) (1 + b2) (1 + c2) = [(a + b)(b + c)(c + a)]2 là số chính phương

Bài 21: Cho a, b, c là ba số hữu tỉ thỏa mãn: abc = 1

và

c là bình phương của một số hữu tỉ

Giải

Ta có:

 3 2 3 2 3 2 3 3 3

1

do a b c abc

 2 2 2 3 2  3 2 3   3 2 3   3 

0

a b c a c b a a b c b c a b c abc

0

a c b a ba b a c b a bc b a

0

 2  2  2 

0

a b

b c hoặc 2

c a

Vậy ít nhất một trong ba số a, b, c phải là bình phương của một số hữu tỉ

Bài 22: Cho ba số x, y, z thoả mãn:

x y z 2010

x y z 2010

  





   

Tính giá trị của biểu thức:  2007 2007 2009 2009 2011 2011

Giải

Từ giả thiết suy ra x, y, z khác 0 và

x    y z x y z

 

0

     

 

    xxyy z x x yy z 0

 

xy xz yz z

x y xz yz z xy 0

   2  

x y  xz z yz xy  0

x y z z x y z x 0

      

x y y z z  x 0

Do đó: P = 0

Bài 23: Chứng minh rằng : Với a,b,c là các số hữu tỉ khác nhau đôi một thì :

2 2

2

) (

1 )

(

1 )

(

1

a c c b b

a

N











Giải

Ta có :

2 2

2

) (

1 )

(

1 )

(

1

a c c

b b

a

N



































































) )(

(

1 )

)(

(

1 )

)(

(

1 2

1 1

a c c b a c b a c b b a a

c c b b

a

N

) )(

)(

( 2 1

1

a c c b b a

b a c b a c a

c c b b

a

N











































0 2 1

1























a c c b b

a

N

2

1 1

1

























a c c b b

a

N



















b b c c a a

1 1

1

Q Vậy N là bình phương của một số hữu tỉ

Bài 24: Chứng minh rằng:

Giải

Đặt x y S x y; P

Suy ra:

 2

 3  

Biến đổi vế trái:

1

VT

x y







13 23 2 23 2 64 64

13 31 3

VP

Bài 5: Cho    

3

0

   





Tính giá trị của biểu thức:

A

Bài 6: Cho các số a b c  ; ; 1 và các số x y z ; ; thỏa mãn điều kiện

0

x by cz

y cz ax

z ax by

x y z



  



  



   



.Tínhgiá trị biểu thức A = 1 1 1

1 a 1 b 1 c

Bài 7: Cho

1 1 1

2

0

a b c

a b c abc abc

   





  







.Tínhgiá trị của 12 12 12

a b c

Bài 8: Cho

a b c a b c

a b c a b c

   



 





Chứng minh rằng

2013 2013 2013 2013 2013 2013

a b c a b c

Bài 9: Cho ba số a b c; ; khác 0, thỏa mãn ab bc ca   0.Tính B = bc2 ca2 ab2

a b  c

Bài 10: Cho a; b; c; x; y; z thỏa mãn

2 2 2 2 2 2

2 2 2 2 2 2

HãyTínhgiá trị của

2013 2013 2013

2012

x y z

Bài 11: Cho a; b; c là 3 số đôimột khác nhau Chứng minh đẳng thức sau

a b a c b c  b c b a c a  c a c b a b  a b2 b c2 c a2

Bài 12: Biết a +b + c = 0,Tínhgiá trị biểu thức C =

2 2 2 2 2 2 2 2 2

b c a c a b a b c

      

    nếu abc 0 và

3 3 3

3

a b c  abc

y z z t t x x y

y z t  z t x t x y  x y z

Bài 15: Tínhtổng sau với x ; y ; zđôimột khác nhau và khác 0

F =

 2013 x   2013 y   2013 z 

x x y x z y y z y x z z x z y

a b c

     Chứng minh rằng tồn tại ớt nhất một trong ba số a; b; c bằng 1

Bài 17: Cho

(1 ) (1 )



  với x y yz; 1;xz1;xy0

Chứng minh rằng : x y z 1 1 1

x y z

    

Bài 18: Chứng minh rằng

2 2 2

2 2 2 1

a b c  nếu có x y z 1

a  b c hoặc a b c 0

x  y z

b cc aa b 

Tính giá trị biểu thức H =

  2  2 2

b c  c a  a b

2

c  acbc ac và bc; a b c thì

 

 

2

2

2

2

b c





 

Bài 21: Chứng minh rằng nếu

    

thì ta có

Bài 22: Cho

a b c  a b c a b c

      , chứng minh rằng nếu abc 0 và

các mẫu

thức khác 0 thì ta có

x y z  x y z  x y z

Bài 23: Cho ba số a ;b ;c khác 0 Chứng minh rằng nếu ta có

a b c a b c thì

a)

a bcb cac ab

a bcb cac ab

2

b a



Bài 25: Chứng minh đẳng thức

2 2 2

a b c

Bài 26: Chứng minh rằng

   2013     2013     2013 

   2013  2013 20132013 2013 2013 

a b b c c a a b b c c a

Nếu cho a; b; c thỏa mãn điều kiện    2 2 2

3 ab bc ca  2 a b c

Chứng minh rằng

b c a c a b a b c

n

thì ta có x1 = x2 =… = xn hoặc x x x1 2 3 x  n 1

Bài 30: Cho

1 2013

by cz

a b c







  

2 2 2

ax by cz

ab x y bc y z ca z x

 

Bài 31: (chuyờn Toỏn Lờ Hồng Phong năm 2012 - 2013)

Cho các số phân biệt a ;b ;c thảo mãn abc 0 và a 2 b 2 c 2

     Tínhabc ?

Bài 32: (chuyờn Toỏn Lờ Hồng Phong năm 2012 - 2013)

Tỡm số nguyờn dương n thoả

mãn: 4.14 4.24 4.34 44 220

n n

Bài 33: (chuyờn Toỏn Lờ Hồng Phong năm 2012 – 2013)

Chứng minh rằng nếu x; y; z là 3 số phân biệt thì M có giá trị là số nguyờn

M =

x y x z  y z y x  z x z y

Bài 34: (chuyờn Toỏn Lờ Hồng Phong năm 2010 – 2011)

Giả sử x; y; z là các số thực thay đổi sao cho 3 3 3

0

x y z 

 3 3 3

1

0 6

2

xyz x y z

x y z

  

    

 

Bài 35:Tỡm các số x; y; zđôimột khác nhau và thỏa mãn điều kiện

0

0





