ĐỀ tài BIẾN đổi BIỂU THỨC hữu tỉ

MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Toán học là môn học chiếm vị trí quan trọng trong nhà trường phổ thông. Dạy học toán tức là dạy cho các em phương pháp suy luận khoa học. Học toán tức là rèn khả năng tư duy lôgic. Giải các bài toán là việc làm tốt nhất giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển tư duy, hình thành kỹ năng, kỹ xảo. Trong toán học, các bài toán về Biến đổi biểu thức hữu tỉ đã cuốn hút và làm say mê lòng người. Các bài toán về Biến đổi biểu thức hữu tỉ luôn luôn có trong các đề thi học sinh giỏi các cấp và nó luôn là thách thức đối với các thí sinh dự thi. BiÓu thøc h÷u tØ vµ biÕn ®æi c¸c biÓu thøc h÷u tØ cã vai trß quan träng trong viÖc h×nh thµnh kÜ n¨ng cña häc sinh THCS , nã lµ mét phÇn c¬ b¶n trong ch­¬ng tr×nh To¸n cña THCS. ChÝnh v× vËy, mçi gi¸o viªn kh«ng chØ d¹y cho häc sinh biÕt c¸ch biÕn ®æi mét mét thøc h÷u tØ mµ cßn ph¶i ®Þnh h­íng mçi häc sinh ph¸t huy ®­îc hÕt kh¶ n¨ng cña m×nh ®Ó t×m tßi , kh¸m ph¸ nh÷ng kiÕn thøc, bµi to¸n liªn quan . Trong ch­¬ng tr×nh To¸n 8. S¸ch gi¸o khoa ®• cho häc sinh nghiªn cøu rÊt kÜ vÒ mét trong nh÷ng d¹ng biÕn ®æi mét biÓu thøc h÷u tØ, cô thÓ lµ ch­¬ng Ph©n thøc ®¹i sè. Tuy nhiªn bªn c¹nh ®ã chóng ta cßn thÊy rÊt nhiÒu c¸c bài to¸n liªn quan vµ n©ng cao mµ cã ý nghÜa ¸p dông cho häc sinh ph¸t huy hÕt kh¶ n¨ng t×m tßi, s¸ng t¹o ®Æc biÖt lµ ®èi víi häc sinh kh¸ giái Nh»m môc ®Ých ph¸t huy kh¶ n¨ng häc To¸n cña mçi häc sinh. Em xin ®­a ra mét sè bµi to¸n còng nh­ ®Þnh h­íng vÒ c¸ch gi¶i mét sè d¹ng To¸n liªn quan ®Õn BiÕn ®æi biÓu thøc h÷u tØ cña häc sinh líp 8 THCS. Để thực hiện được đề tài mà em đã chọn, em xin gửi lời cảm ơn chân thành đến Ban giám hiệu, các phòng, khoa thuộc Trường Cao đẳng Hải Dương và các thầy cô giáo đã nhiệt tình hướng dẫn, giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp đỡ em trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thiện đề tài nghiên cứu khoa học này. Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Giảng viên Phạm Ngọc Hoa Cô đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình thực hiện đề tài. Tuy nhiên, điều kiện về năng lực bản thân còn hạn chế, đề tài nghiên cứu khoa học của em chắc chắn không tránh khỏi những thiếu sót. Kính mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo, bạn bè để bài nghiên cứu của em được hoàn thiện hơn

NỘI DUNG ĐỀ TÀI

I PHẦN I: Lí THUYẾT

II Phần II: CÁC dạng toán biến đổi biểu thức hữu tỉ

3 Chứng minh giỏ trị của biểu thức khụng phụ thuộc vào biến 13

5 Tỡm giỏ trị nguyờn của biến để giỏ trị của biểu thức là 1 số nguyờn 16

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toỏn học là mụn học chiếm vị trớ quan trọng trong nhà trường phổ thụng Dạyhọc toỏn tức là dạy cho cỏc em phương phỏp suy luận khoa học Học toỏn tức là rốnkhả năng tư duy lụgic Giải cỏc bài toỏn là việc làm tốt nhất giỳp học sinh nắmvững tri thức, phỏt triển tư duy, hỡnh thành kỹ năng, kỹ xảo

Trong toỏn học, cỏc bài toỏn về Biến đổi biểu thức hữu tỉ đó cuốn hỳt và làm say mờ lũng người Cỏc bài toỏn về Biến đổi biểu thức hữu tỉ luụn luụn cú trong

cỏc đề thi học sinh giỏi cỏc cấp và nú luụn là thỏch thức đối với cỏc thớ sinh dự thi

Biểu thức hữu tỉ và biến đổi các biểu thức hữu tỉ có vai trò quan trọng trong việc

hình thành kĩ năng của học sinh THCS , nó là một phần cơ bản trong chơng trìnhToán của THCS Chính vì vậy, mỗi giáo viên không chỉ dạy cho học sinh biếtcách biến đổi một một thức hữu tỉ mà còn phải định hớng mỗi học sinh phát huy

đợc hết khả năng của mình để tìm tòi , khám phá những kiến thức, bài toán liênquan

Trong chơng trình Toán 8 Sách giáo khoa đã cho học sinh nghiên cứu rất kĩ

về một trong những dạng biến đổi một biểu thức hữu tỉ, cụ thể là chơng Phân thức

đại số Tuy nhiên bên cạnh đó chúng ta còn thấy rất nhiều các b i toán liên quanài toán liên quan

và nâng cao mà có ý nghĩa áp dụng cho học sinh phát huy hết khả năng tìm tòi,sáng tạo đặc biệt là đối với học sinh khá - giỏi

Nhằm mục đích phát huy khả năng học Toán của mỗi học sinh Em xin đa

ra một số bài toán cũng nh định hớng về cách giải một số dạng Toán liên quan đến

Biến đổi biểu thức hữu tỉ của học sinh lớp 8 - THCS.

Để thực hiện được đề tài mà em đó chọn, em xin gửi lời cảm ơn chõn thành đếnBan giỏm hiệu, cỏc phũng, khoa thuộc Trường Cao đẳng Hải Dương và cỏc thầy cụgiỏo đó nhiệt tỡnh hướng dẫn, giảng dạy và tạo mọi điều kiện thuận lợi giỳp đỡ emtrong suốt quỏ trỡnh học tập, nghiờn cứu và hoàn thiện đề tài nghiờn cứu khoa học

này Đặc biệt, em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới Giảng viên Phạm Ngọc Hoa

Cơ đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ em trong quá trình thực hiện đề tài Tuy nhiên,điều kiện về năng lực bản thân cịn hạn chế, đề tài nghiên cứu khoa học của emchắc chắn khơng tránh khỏi những thiếu sĩt Kính mong nhận được sự đĩng gĩp ýkiến của các thầy cơ giáo, bạn bè để bài nghiên cứu của em được hồn thiện hơn

2 Điều tra thực trạng trước khi nghiên cứu

Trong thực tế khi giảng dạy toán tôi nhận thấy rằng: việc làm cho các emhệ thống được kiến thức và biết vận dụng các kiến thức đã học để giải cácdạng bài toán và nhất là dạng bài toán về biến đổi biểu thức hữu tỉ là côngviệc rất quan trọng và không thể thiếu được của người dạy toán Vì thông quađó có thể rèn luyện được tư duy logic, khả năng sáng tạo, khả năng vận dụngcho học sinh Để làm được điều đó người thầy giáo ngoài việc phải hệ thốngcho học sinh các kiến thức cơ bản liên quan, các phương pháp vận dụng vàbiến đổi phù hợp cũng cần giúp cho học sinh hiểu được thực châùt của vấn đềđể từ đó có các kĩ năng giải toán một cách thành thạo Mặt khác các em vậndụng làm bài tập một cách thụ động chưa linh hoạt, chưa có kĩ năng quan sát,nhận xét, phân tích để tìm ra cách giải đúng và phù hợp, các em đã bị nhầmlẫn giữa thứ tự các phép toán trong biểu thức, phép toán nào làm trước, phéptoán nào làm sau các em không xác định được kể cả đối với các em có thểnói là đã làm thành thạo các phép toán vẫn bị lúng túng và mắc phải sai lầmvề thứ tự phép tính Như vậy dạng bài tập về biến đổi các biểu thức hữu tỉ cóliên quan đến rất nhiều các dạng bài tập mà học sinh được tiếp tục học trongchương trình toán lớp 8, điều đó lại càng chứng tỏ rằng nếu các em không

nắm chắc kiến thức về biến đổi biểu thức hữu tỉ thì nó sẽ ảnh hưởng đến kếtquả của cả năm học

Vậy làm thế nào để các em có khả năng tư duy, quan sát, phân tích, các

em biết xác định được đúng thứ tự phép toán khi làm các dạng bài tập này?Làm thế nào để các em có thể nắm vững kiến thức và cách làm bài tập dạng

“biến đổi biểu thức hữu tỉ” để vận dụng vào làm các bài tập có liên quan? Làmthế nào để nâng cao được chất lượng bộ môn toán? Đó chính là những câu hỏimà tôi và các bạn đồng nghiệp đang muốn tìm được câu trả lời

Qua các buổi dự giờ mơn Tốn các lớp 8 của trường, tơi thấy các em thường

tỏ ra lúng túng khi gặp các bài tốn về Biến đổi biểu thức hữu tỉ Các em chỉ làmđược một số bài ở dạng đơn giản, cịn những bài tốn ở dạng phức tạp thì các emtrình bày lủng củng, các kết luận khơng cĩ căn cứ và trình bày lời giải khơng khoahọc

Để đánh giá khả năng giải tốn của các em học sinh, tơi tiến hành kiểm tra 20

em học sinh khá-giỏi lớp 8 ( Lớp chọn) ở trường trong đợt sinh hoạt chuyên mơnvới thời gian làm bài là 30 phút:

2 2



 x x

ab a





2 2

9 6

3 5 2

b a ab

b ab a

bn ab an a

Qua bài kiểm tra tơi thấy nhiều em học sinh khơng làm được bài 3 hoặc một số

em giải dài dịng, phức tạp song lại khơng đầy đủ Vì vậy việc xây dựng đề tài vềBiến đổi biểu thức hữu tỉ để áp dụng vào giảng dạy bồi dưỡng cho học sinh, đặcbiệt học sinh khá giỏi là rất cần thiết và cần được triển khai ngay

3 Nguyên nhân

Chất lượng giáo dục thấp nói chung và chất lượng học môn toán còn thấpnói riêng không phải là điều trăn trở của riêng bản thân tôi nhất là đối với đốitượng học sinh của tôi là học sinh ở vùng nơng thơn, ở địa phương có điều kiệnkinh tế còn khó khăn, không ổn định, bố mẹ đi làm xa và cơng ti ,.,khơng quantâm nhiều tới việc học của con em mình nên ít nhiều cũng ảnh hưởng đến việchọc của các em Một phần ảnh hưởng đến việc học của các em nữa đó là cáctệ nạn xã hội đang dần đi vào trong trường học như: đánh bài, à nổi trội hơn cả

là các trò chơi game online cũng tác động không nhỏ đến việc học của các em.

Bên cạnh đó, một số học còn có tâm lí chán nản và sợ học môn toán,một tiết học qua đi trong tâm trạng nặng nề, các em tiếp thu kiến thức một cách

thụ động, một tiết học mà có em học sinh đã tâm sự với tôi là “khô khan”,

những kiến thức mà các em đã được học cho dù có liên quan đến kiến thức mớihọc hay không các em cũng dường như bị quên hết mà như chúng ta vẫn nói là

“bị hổng kiến thức”, thường thì các em không có khả năng tư duy, phân tích,

tổng hợp các bài toán mà các em chỉ biết bắt tay vào làm bài tập mà không

biết “cái gì làm trước, cái gì làm sau”…

Vậy làm thế nào để có thể kích thích được khả năng tư duy, phân tích bàitoán, làm thế nào để các em nhớ lâu hơn về các kiến thức mới, dễ dàng tái hiện

được kiến thức cũ và làm thế nào để các em không còn cảm thấy bị gò bó,nhàm chán, khô khan trong các giờ học toán, hơn thế nữa làm sao để giúp các

em sẽ có được “niềm tin” trong học tập. Và điều đặc biệït hơn cả là làm thế nàođể tạo được không khí vui vẻ, nhẹ nhàng, thân thiện giữa thầy và trò, giữa các

em học sinh trong giờ học và có một khoảng thời gian nào đó để dành cho các

em học lực còn yếu?

Với thực tế này tơi xác định phải tự tìm cho mình một phương pháp

Hướng dẫn học sinh làm bài tập dạng “Biến đổi biểu thức hữu tỉ ” để qua đógiúp các em nâng cao chất lượng của bài mơn tốn, các em có tư dy để linh hoạtvào giải toán khi cần thiết, các em thấy hứng thú và yêu thích mơn học hơn,giúp các em có niềm tin để lĩnh hội tốt, học tốt các kiến thức sau này và cũng

tạo được “môi trường học thân thiện, học sinh tích cực” trong từng giờ dạy

-học

4 Mục đích nghiên cứu

Thứ nhất: Xuất phát từ nhu cầu thực tế vận dụng của học sinh, trước những thiênhướng tốt, chưa tốt mà tơi thấy cần phân loại và trang bị một số phương pháp giảicho các em

Thứ hai: Bản thân người thầy cũng rất cần trau dồi tự học và tham khảo nhưnglàm chủ kiến thức

- Nghiên cứu xác định nội dung kiến thức cơ bản cần thiết để giảng dạy

- Dựa vào căn cứ yêu cầu, lựa chọn hệ thống bài tập phục vụ cho việc giảngdạy nĩi chung

- Nghiên cứu tìm ra phương pháp giải cơ bản, dễ hiểu, khoa học, chính xác đểhọc sinh học tập, vận dụng theo

- Rèn luyện cho học sinh nền nếp học tập có tính khoa học, rèn luyện thao tác

tư duy, phương pháp học tập chủ động, tích cực, sáng tạo Thông qua đó,giáo dục cho học sinh giá trị đạo đức, tư tưởng, lối sống phù hợp với mụctiêu đào tạo Đồng thời giúp các em có kĩ năng vận dụng kiến thức vào thựctiễn cuộc sống, giải quyết một số vấn đề thường gặp trong cuộc sống của bảnthân, gia đình và cộng đồng Và quan trọng nhất là giúp các em tự tin tronggiải toán

5 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu những vấn đề lí thuyết về “ Biến đổi biểu thức hữu tỉ” trongchương trình Toán lớp 8,9

Nghiên cứu về phương pháp dạy toán đã được học

Nghiên cứu qua những tài liệu tham khảo, những chuyên đề bồi dưỡng họcsinh giỏi

Khảo sát học sinh nên đã nắm vững được những điểm còn hạn chế và những vướng mắc của học sinh khi gặp những bài toán về Biến đổi biểu thức hữu tỉ

Trao đổi, học hỏi kinh nghiệm của bạn bè đồng nghiệp, những người đã có nhiều năm công tác, có thành tích

6 Nhiệm vụ của đề tài

- Trang bị cho học sinh một số phương pháp giải bài tập về Biến đổi biểu thức hữutỉ

- Rút ra được một số nhận xét và chú ý với từng dạng bài, cách giải quyết Từ đó dần hình thành khả năng tổng hợp, khái quát và các năng lực tư duy khác cho học sinh

Đề tài đề cập tới việc phân dạng và hướng dẫn học sinh giải các bài tập về Biến đổibiểu thức hữu tỉ Có đi sâu phân tích để tìm ra cách giải và những sai lầm thường mắc phải của học sinh

Đề tài này ỏp dụng được với mọi học sinh bậc trung học cơ sở Tuy nhiờn với mỗi đối tượng thỡ giỏo viờn cần hướng dẫn và lựa chọn bài tập cho phự hợp.

trong đó A,B là đa thức , A là tử thức , B làmẫu thức

(* phân thức là một dạng đơn giản của biểu thức hữu tỉ)

2- Khái niệm biểu thức hữu tỉ.

a, Một biểu thức chỉ chứa các phép toán ( cộng ,trừ ,nhân ,chia ) và chứa biến ở mẫu

đợc gọi là biểu thức phân.

b, Một đa thức còn đợc gọi là biểu thức nguyên.

c, Khi thực hiện các phép tính cộng ,trừ ,nhân, chia để đa một biểu thức phân về

dạng một phân thức đại số gọi là biến đỏi biểu thức hữu tỉ.

3- Giá trị của biểu thức phân

- ứng với mỗi giá trị của biến ,biểu thức phân nhận đợc giá trị tơng ứng

- giá trị của biểu thức phân chỉ đợc xác định với điều kiện giá trị của mẫu khác 0

4 - Chú ý:

Một phân thức đại số có thể đợc viết dới dạng tổng của một đa thức và mộtphân thức mà bậc của tử nhỏ hơn bậc của mẫu

II Phần II: Các dạng toán biến đổi biểu thức hữu tỉ

1>Đơn giản biểu thức (rút gọn biểu thức).

* Đây là dạng bài tập cơ bản nhất của phần biến đổi Biểu Thức Hữu Tỉ.

Nó là cơ sở cho hầu hết cho các dạng bài tập khác (tính giá trị của biểu thức,chứng

minh chia hết, ) Về kiến thức của phần này tuy đơn giản song HS thờng hay

nhầm lẫn Do vậy GV cần cho HS có kỹ năng trình bày lời giải cho dạng bài tậpnày

Lí thuyết :

Trong quá trình rút gọn cần nắm chắc đợc:

1-Phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

2-Sử dụng các phép toán và tính chất của các phép toán

3-Sử dụng 7 hằng đằng thức đáng nhớ (trong SGK Đại số 8)

-Viết các biểu thức sau về dạng phân thức

Chú ý:-Ta cần chú ý đến thứ tự thực hiện các phép tính khi rút gọn.

-Ta cã

D

C B A D

6 4 3 2

6 2 2

21 4

m

m n

6 4 3 2

m

m n mn

12 12 21

4 2

m

m m

9 12

4 2

m

m m

) 3 2

3 2 (

2 9 6

24

4 ).

7 1 (

3 3 6 9

2 5 3

3 3

x x

x x

;

B =

xy

x y z zx

z x y yz

y z x

xy

x y z zx

z x y yz

y z x

) ( ) ( ) (

) ( ) ( )

C =

x

x x

x x

x x x

3 1

1 1

3 1

1 1 3 1

3 1

1 1

3 1

1 1 1

* Đây là dạng bài toán khó và hay, nó thờng gặp đối với HS, đặc biệt là HS lớp 8

học sinh thờng khó khăn khi giải bài tập dạng này Qua thực tế đang giảng dạy tôirút ra kinh nghiệm sau :

Trớc tiên phải dạy cho HS phơng pháp chứng minh, sau đó có những ví dụ cụ

thể minh hoạ (từ đơn giản đến phức tạp)

C A

ab a



2 2

9 6

3 5 2

b a ab

b ab a

bn ab an a

*Đối với câu a và câu b ta có nhận xét VT còn ở dạng phức tạp, còn VP là biểu

thức đơn giản Do vậy ta sẽ áp dụng phơng pháp giải là biến đổi VT (theo kiểu

2 2



 x x

x x x x

=

) 3 )(

1 (

2 2

x x

x

x x

*Đối với câu c, ta nhận xét vì VT và VP đều ở dạng phức tạp nên ta áp dụng ph ơngpháp 





C B

C A

Rút gọn VT ta đợc VT=

a b

b a

b a





3  VT=VP (đpcm)

(*Đối với câu a, ta cũng có thể áp dụng phơng pháp : Xét hiệu A-B)

Ghi chú : Đối với dạng này có rất nhiều bài tập để GV cho HS áp dụng

Ví dụ 2.2 Chứng minh đẳng thức sau:

2 3 4

) 16 (

a a

a a

a a

:

a a a

a

4 4

1 2 3

4 2

1

2 2

2 2

b a

b a a

2 2



 x x

Để chứng minh giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến ( biến phải thoả

mãn điều kiện của bài ), ta phải sử dụng phơng pháp biến đổi để rút gọn biểu thức

về dạng đơn giản mà không còn có biến trong kết quả đó

Khi hớng dẫn học sinh thực hiện giáo viên cần phải cho HS hiểu đợc khái

niệm " không phụ thuộc vào biến " là gì, từ đó mới định hớng đợc cách giải.

Sau đây là một số ví dụ minh hoạ cho cách giải

(*Để làm đợc dạng bài này đòi hỏi HS phải có kỹ năng rút gọn biểu thức)

Sơ đồ giải : A = = k (k R) , trong đó A là biểu thức hữu tỉ.

Ví dụ 3.1:

Chứng minh rằng giá trị của biểu thức sau:

a, A= (b-1)2(

1 2

1 2



 b

1 2

1 2



1 2

4

1 2



1 2



) 2



4 4

1 2



 x x

2 2

1 2



 a

) 5 (  a 2

không phụ thuộc vào a với a 5

4> Tính giá trị của biểu thức hữu tỉ.

*Đây là dạng bài tập không phải là mới đối với HS lớp 8 Xong để làm đợc nó đòi

hỏi HS phải có kỹ năng rút gọn biểu thức

Ph ơng pháp :

Giả sử biểu thức hữu tỉ ở dạng đã đợc thu gọn;thì ta chỉ việc thay giá trị của

biến vào biểu thức rồi tính toán

Nếu biểu thức cha đợc thu gọn thì ta cần phải thu gọn biểu thức rồi mới thay

giá trị của biến rồi tính

Tóm tắt : Để tính giá trị của biểu thức ta có thể làm nh sau:

B1: -Rút gọn biểu thức (nếu có thể)

B2:-Thay giá trị thích hợp của biến vâo rồi tính

Ví dụ 4.1: Tính giá trị của biểu thức :

P =

xy

x y z zx

z x y yz

y z x

xy

x y z zx

z x y yz

y z x

) ( ) ( ) (

) ( ) ( )

Tính giá trị của biểu thức sau tại x=2004, y=2005, z=2006

z x y yz

y z x

xy

x y z zx

z x y yz

y z x

) ( ) ( ) (

) ( ) ( )

) ( ) ( ) (

2 2

2

3 3

3

x y z z x y y z x

x y z z x y y z x

z y x x z z y y x

)(

(

) )(

x

x x

1

2 1 3 4 2

) 1 (

2 ) 1 (

3 4

2

x x x

x x x

x

x x x

x x x x

2 2

2

2 2 2

=

x

x x

=

x

x x

1 (

=x-1

tại x=2006(có thể cho x với giá trị bất kỳ cho phù hợp )

Sau đó thay x=2006 vào rồi tính  P=2005.

(*Có rất nhiều bài tập để cho HS vận dụng)

Ví dụ 4.3: Tính giá trị của biểu thức A , B, P, Q :

A=

6 3

2 9 6

24 6

3

4 ).

7 1 (

3 3 6 9 6

2 5 3

3 3

x x x

x x x x

x x

tại x=1000

B =

2 2 2

2 2

n m

n m

x x x

3 1

1 1

3 1

1 1 3 1

3 1

1 1

3 1

1 1 1

5> Tìm giá trị nguyên của biến để giá trị của biểu thức là một số nguyên.

*Đây là dạng toán không phải là mới đối với HS nó đã có từ lớp 6 nhng đã đợc

phát triển qua từng lớp (6  7  8).ở lớp 8 nó đã đợc trình bày khoa học hơn vànhiều bài tập hơn ;HS đã có những công cụ để giải dạng bài tập này,về mặt phơngpháp thì HS tiếp cận cũng dễ dàng hơn Để giải bài tập dạng này HS cần nắm chắcphơng pháp giải ;đặc biệt là kỹ năng rút gọn biểu thức ,phép chia đa thức

Dạng 3: Nếu A là đa thức bậc nhất ,còn B là một số thì cho A là bội của B.

(Chú ý: Ta có thể rút gọn biểu thức trớc khi đi vào giải chính thức.)

Ví dụ 5.1:

Cho biểu thức P =

1

) 1 ( 3

2 3

Tìm x nguyên để P nhận giá trị nguyên.

2 3

x

=

) 1 ( ) (

) 1 ( 3 2 3

x

=

) 1 ( ) 1 (

) 1 ( 3 2

x x

=

) 1 )(

1 (

) 1 ( 3 2







x x

x

=

) 1 (

3 2

Với x2+1=-3  không có giá trị nào của x thoả mãn

Kết luận: Vậy với x = 0 thì P nhận giá trị nguyên

Ví dụ 5.2: ( Y/c nh VD 5.1)