bài tập và lý thuyết cơ bản, nâng cao của phần giới hạn hàm sô, dãy số của lớp 11 hỗ trợ việc học tập của học sinh đồng thời đây cũng là chương trình năm sau cũng có thể có trong đề thi đại học
Trang 1GIỚI HẠN DÃY SỐ
A / Lý thuyết:
Nếu u n v n n, limv n 0 limu n 0 limcc
limu n L limu n L 3 3
limu n L lim u n L;
limu n L u, n 0 n L 0, lim u n L
1
u
q
1
n
u
u
3
lim 0; lim 0; lim 0;
limq n 0nếu q 1 1 *
lim k 0,k N
lim c k 0
3 limn ; lim n ; lim n ;
limq n nếu q1;
* limn k ,k N
limu n ,limv n limu n , limv n L 0
limu n L 0, limv n 0 limu n limv n limu v n n limu n Dấu của
L
limu v n n Dấu của
L
Dấu của
n
n n
u v
B/ Bài Tập:
Bài 1 tìm các giới hạn sau:
1 lim2 1
1
n
n
2
2 2
lim
3
3 3
4 lim
n
lim
n
5 lim 2 1
2
n n
6 lim 2 4
n
lim
n
8
3
2 lim
1
n n
2 3
lim
n
Bài 2 tìm các giới hạn sau:
1
2
1 lim
n
n
2 lim 2 1
2 2
n n
ds2
1
n
n
ds1
1
n
ds0
5
3 3
2 lim
2
n
ds1
6
3 3 2
1 1 lim
3 2
n n
7
3
2
1 lim
1 3
n n
Bài 3 tìm các giới hạn sau:
1 lim n 1 nds0
lim n 5n 1 n n ds3
lim 3n 2n 1 3n 4n8 ds
3
lim n 4nn ds-2
Trang 2THUVIENDIENTU.ORG [TỦ SÁCH LUYỆN THI ĐẠI HỌC]
lim n n 3 ds0 6 lim n 1 n
lim n n n ds1/3
lim n n1 ds0
9
2
1 lim
1
lim n 3n 1 n 4n
Bài 4 tìm các giới hạn sau:
1 lim1 4
1 4
n n
2
1 2
lim
n n
3 lim3 4 5
4
1 1
lim
n n
5
2 2
lim
2n
n
Bài 5 tìm các giới hạn sau:
1.limsin
1
n
n
sin10 cos10 lim
2
Bài 6 tìm các giới hạn sau:
1 lim1 3 5 (22 1)
n n
2 lim1 2 3 2
3
n n
3
lim
( 1)( 2)
n
1.2 2.3 n n( 1)
1.3 3.5 (2n 1)(2n 1)
Bài 7 Tính các tổng sau:
1 1 1 1
2 4
S
3 9 27
S
3 S 1 0,1 (0,1) 2(0,1)3
4 S 2 0,3 (0,3) 2(0,3)3
Bài 8:đổi số thập phân vô hạn tuần hoàn ra phân số:
1 1,1111…
2 2,3333…
3 0,2222…
4 0,212121…
5 0,23111…
GIỚI HẠN HÀM SỐ
A/Lý thuyết :
0
0
lim
x x x x
0
lim
x x C C
xx lim 1k 0
xx lim k
, 2 1
k x
x
x x f x L x x f x x x f x L
0
lim
x x f x
0
lim
x x g x
0
0
0
Trang 3THUVIENDIENTU.ORG [TỦ SÁCH LUYỆN THI ĐẠI HỌC]
B/ Bài tập:
Bài 1:Dùng định nghĩa tính các giới hạn sau:
1
2
3
9 lim
3
x
x
x
1
3
2 3
9 lim
4
x
x x
4
2 2
lim
4
x
x x
Bài 2 Tìm các giới hạn sau::
1
2
lim
x x
đs2
2 lim2 3
2
0
5
1
5 2 lim
1
x
x x
đs7/2
6
2 2
lim
1
x
x
7
2
lim
1
x
x
Bài 3:Tìm các giới hạn sau:
3
2 2
lim
x
x
đs5/2
4
2 2
lim
x
x
đs5/2
5
4
lim
x
x
đs1/2
6
4
lim
x
x
đs1/2
7 lim 3 2 1
x
x x
đs0
8 lim 3 2 1
x
x x
đs0
9
2 3
lim
x
x x
đs0
10
2 3
lim
x
x x
đs0
11
2
lim
1
x
x
đs
12
2
lim
1
x
x
đs
13 lim 2 2
đs
14 lim 2 2
15
2
lim
x
x x
đs
2 3
16
4 2
lim
x
đs
1 2
17
2 2
3 4 lim
x
đs5 , -1
18
lim
1
x
x
Bài 4 Tìm các giới hạn sau::
1
3
lim
3
x
x x
đs
2
3
lim
3
x
x x
đs
3
3
5 2
lim
3
x
x
x
đs
4
3
5 2 lim
3
x
x x
đs
5
2 2
lim
2
x
x
đs
6
2
2
lim
2
x
x
đs
Bài 5 Tìm các giới hạn sau::
Cho hàm số : 2 2 3 1 , 2
3 7 , 2
f x
0
xx xx0 xx0 g x
L>0
0
Trang 4THUVIENDIENTU.ORG [TỦ SÁCH LUYỆN THI ĐẠI HỌC]
Tìm các giới hạn sau:
1
lim
x f x
3
lim
x f x
2
lim
x f x
Bài 6 Tìm các giới hạn sau::
Cho hàm số : 1 2 2 , 1
5 4 , 1
f x
Tìm các giới hạn sau:
0
lim
x f x
3
lim
x f x
1
lim
x f x
Bài 7 Tìm các giới hạn sau::(dạng 0
0)
1
2
3
2 15 lim
3
x
x
đs8
2
2
2 1
lim
1
x
x
đs2
3
2
2 2
lim
2
x
đs1/2
4
2
2
2
lim
6
x
đs1/5
5
2 1
1 lim
x
đs0
6
lim
x a
x a
đs4a
3
0
lim
h
h
đs2x
8
3
lim
x
đs-36/5
9
5 3 1
1 lim
1
x
x x
đs5/3
10
1
1 lim
1
m n x
x x
đsm/n
11
2 1
lim
1
x
x
Bài 8 Tìm các giới hạn sau::(dạng 0
0)
1
1
1 lim
1
x
x
x
đs1/2
3
1 2 lim
9
x
x
x
đs1/24
1
lim
1
x
x x
đs-1/8
2
lim
4
x
x x
đs1/6
2
lim
2
x
6
3 2
lim
2
x
x x
đs1/3
Bài 9Tìm các giới hạn sau:(dạng 0
0)
1
3
2
1
1 lim
1
x
x
x
đs1/6
2
2
2 lim
x
x
đs9/8
3
3 0
1 1
lim
3
x
x x
đs1/9
4
3 2 1
1 lim
3 2
x
x x
đs-2/3
5
3
1
7 2 lim
1
x
x
x
đs1/2
6
3 1
1 lim
1
x
x x
đs2/3
7
3 0
lim
x
x
đs5/6
8
0
lim
x
x
9
0
lim
x
x
10
2 1
lim
1
x
x
Bài 10:Tìm các giới hạn sau
Trang 51 2
lim
5
xlim (x x2 5x) (Đs:-5/2)
6
xlim ( x2 x x2 1) (Đs:1/2)
Bài 11:Tìm các giới hạn sau
1
lim
1
lim
1
lim
BÀI 3: HÀM SỐ LIÊN TỤC
Bài 1: Xét tính liên tục của hàm số tại điểm x0
1 f(x) =
2 9
3 3
6 3
x khi x x
khi x
tại x0=3
2 f(x) =
2 25
5 5
9 5
x
khi x x
khi x
tại x0=5
3
2
khi 2
1 khi 2
x
x
tạix0=2
4
3 3
2 khi 1 1
4 khi 1 3
x x
f x
x
tại x0= -1
5 1 2 3 khi 2
2
1 khi 2
x
x
x
tại x0=2
6
3
khi 2 2
3 khi 2 4
x
x x
f x
x
tại x0=2
7
2 khi 4
5 3 3
khi 4 2
x
x x
f x
x
tại x0=4
8 2+4 2
2 1 2
f x
3 2 1
f x
10 2 0
1 0
f x
11
5 khi 5
3 khi 5 2
x
x x
f x
x
tại x0=5
12 3 2 2 1
2
f x
x
tại x0=2
13 f(x)=
5
1 4
x
x
x tại x0 = 5
14 Chứng minh các hàm số
a)
2
khi 1 1
4 khi 1
x
x
liên tục trên R
b)
3 3
2 khi 1 1
4 khi 1 3
x x
f x
x
liên tục trên R
Trang 6THUVIENDIENTU.ORG [TỦ SÁCH LUYỆN THI ĐẠI HỌC]
- 6 -
c)
2 2
7 4 khi 3
5 6 3
khi 3 4
x
x
f x
x
liên tục trênR\ 2
15 tìm a để hàm số liên tục trên R
1) 2 1
f x
1-a 2
f x
x khi x
3)
2 4
2 2
a 2
x khi x
khi x
16 Cho hàm số f(x) = 3 2 2 5 0
4 1 0
Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.(Đs:gián đọan tại x = 0)
17 Tìm a để hàm số liên tục tại x0
1 a+1 khi 1
x
x
x
tại x0=1
b) f(x) = 2
2 2
2 4
2
x
khi x x
tại x0=2
c)
khi 1 1
4
-a khi 1
2
x x
f x
x x
tại x0=1
d)
3
khi 2 2
1 khi 2 4
x
x x
f x
tại x0=2
18 cho các hàm số f(x) chưa xác định tại x=0
a) x2 2x
f x
x
f x
x
Cĩ thể gán cho f 0 một giá trị bằng bao nhiêu để hàm số f x liên tục tại x=0
19 Cho hàm số f(x) = 2 2
3 2
khi x
Tìm a để hàm số liện tục tại x=2, vẽ đồ thị hàm số với a tìm được
20 Chứng minh rằng phương trình x3 + 3x2 +5x-1= 0 có ít nhất 1 nghiệm trong khoảng (0;1)
21 Chứng minh rằng phương trình x3-3x+1= 0 có 3 nghiệm phân biệt
22 Chứng minh rằng phương trình x5-3x4 +5x-2= 0 có ít nhất 3 nghiệm phân biệt nằm trong khoảng (-2 ;5 )