tài liệu về giới hạn - đại số lớp 11

1 Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn.. 2 Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn... PHƯƠNG PHÁP GIẢI  Dãy u n có giới hạn 0 nếu mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số h

GIỚI HẠN – LIÊN TỤC Vấn đề 1 GIỚI HẠN CỦA DÃY SỐ

A - GIỚI HẠN HỮU HẠN

 Giới hạn hữu hạn





n lim u n = 0  u n  có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi

 Dãy số (u n ) có giới hạn là L nếu:



n lim v n = L 



n lim (v n – L) = 0

 Lưu ý: Ta có thể viết gọn: lim u n = 0, lim u n = L

 Giới hạn đặc biệt

1) lim

n

1

1

n = 0 4) u n = 0  lim u n = 0 5) lim C = C (với C  R) 6) lim q n = 0 nếu q < 1) 7) lim k

n

1

= 0 (k  N*) 8) lim q n = +  nếu q > 1 9) lim n k = +  với k  N*

 Định lí về giới hạn

• Nếu hai dãy số (u n ) và (v n ) cùng có giới hạn thì ta có:

1) lim(u n  v n ) = lim u n  lim v n 2) lim(u n v n ) = lim u n lim v n

3) lim n

n

u

v =

n n

limu limv (Nếu lim v n  0) 4) lim(k.u n ) =k lim u n (k  R)

u limu (nếu u n  0) (căn bậc chẵn) 7) lim2k 1 2k 1

u limu (căn bậc lẻ) 8) Nếu u nv và n lim v n 0 thì limu n 0

- Định lí kẹp về giới hạn của dãy số: Cho ba dãy số (u n ), (v n ), (w n ) và L  Nếu u n  v n  w n ,  n

 N* và lim u n = lim w n = L thì (v n ) có giới hạn và lim v n = L

• Nếu lim u n = a và lim v n =   thì lim n

n

u

v = 0

1) Dãy số tăng và bị chặn trên thì có giới hạn

2) Dãy số giảm và bị chặn dưới thì có giới hạn

 Chú ý: e = lim 

n 1 1+

n  2,718281828459…, là một số vô tỉ

 Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

1

Chủ đề

 Định lí  n

n

1 lim u = + thì lim = 0

u



Neáu

 Nếu lim u n =0 (u n  0,  n  N*)  lim

n

1

u = 

 Một vài qui tắc tìm giới hạn

Qui tắc 1:

Nếu lim u n =  

và lim v n =   ,

thì lim(u n v n ) là:

Qui tắc 2:

Nếu lim u n =  

và lim v n = L  0, thì lim(u n v n ) là:

Qui tắc 3:

Nếu lim u n = L, lim v n = 0 và v n > 0 hoặc v n < 0

kể từ một số hạng nào đó trở đi

thì:

[[[ [[

Dạng 1 Dãy có giới hạn 0

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Dãy (u n ) có giới hạn 0 nếu mỗi số dương nhỏ tùy ý cho trước, mọi số hạng của dãy số, kể từ một số hạng nào đó trở đi, đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dương đó

Khi đó ta viết: lim( u ) 0 hoặc n  limu n0 hoặc u n0

      *    

 Một số kết quả: (xem phần tóm tắt lý thuyết)

 Chú ý: Sử dụng phương pháp quy nạp để chứng minh, đánh giá biểu thức lượng giá, nhân liên hợp của

căn thức, …

B BÀI TẬP MẪU

a) un 1

n 3



n n

( 1) u

n 4





 c) n 2

1 u n

k

1 u n

 , k nguyên dương

c) un 1n

3

n

( 1) u

2



 c) un (0,99)n d) un  ( 0,97)n

L Dấu của v n lim n

n

u v

+ +





+



+



+ 

 

 

+ 

lim u n Dấu của L lim(u n v n )

+ 

+ 

 

 

+



+



+ 

 

 

+ 

lim u n lim v n lim(u n v n )

+ 

+ 

 

 

+ 

 

+ 

 

+ 

 

 

+ 

VD 1.2 Chứng minh các dãy sau có giới hạn là 0: a) un 1

n(n 1)



 b)

n

( 1) cos n v

n 2







VD 1.3 Tính các giới hạn sau: a) un sin n n 5   b) n cos 3n u n 1   c) n n n ( 1) u 3 1    d) n n sin 2n u (1, 2)  

VD 1.4 Tính: a) 3 3 n 2 sin(n 1) lim n n 2 n    b) n 3n ( 2) lim 3 4   c) lim  n 1   n  d) lim 2  n2  1 n 

VD 1.5 Chứng minh các dãy sau có giới hạn bằng 0: a) 3 3

n

u  n 1  n b) vn  3 n3  1 n

VD 1.6 Cho dãy số (un) với un nn 3  a) Chứng minh n 1 n u 2 u 3   với mọi n b) Chứng minh rằng dãy (un) có giới hạn 0

VD 1.7 Cho dãy số (un) với 2 n 1 n 1 n u 1 u , u u , n 1 4  2     a) Chứng minh 0 un 1 4   với mọi n b) Tính limun

Dạng 2 Khử dạng vô định 



A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Đối với dãy





thừa lớn nhất của n ở tử n m hoặc mẫu n k , việc này cũng như đặt thừa số chung cho n m hoặc mẫu n k rồi rút gọn, khử dạng vô định Kết quả:









0 n 0

a

b

(dấu + hoặc –  tùy theo dấu của 0

0

a

b )

 Đối với biểu thức chứa căn bậc hai, bậc ba thì cũng đánh giá bậc tử và mẫu để đặt thừa số chung rồi

đưa ra ngoài căn thức, việc này cũng như chia tử và mẫu cho lũy thừa số lớn của n ở tử hoặc mẫu

 Đối với các biểu thức mũ thì chia tử và mẫu cho mũ có cơ số lớn nhất ở tử hoặc mẫu, việc này cũng

như đặt thừa số chung cho tử và mẫu số hạng đó

 Biến đổi rút gọn, chia tách, tính tổng, kẹp giới hạn, … và sử dụng các kết quả đã biết

B BÀI TẬP MẪU

a) lim2n 1



2 2

n 3n 5 lim

3n 4

 

 c)

3 2

3 2

n n n 1 lim

2n n 2

  

  d)

4 4

2n 1 lim

3n n 2



 

VD 1.9 Tính các giới hạn sau:

a)

2

3n n 1 lim

n 4n 6

 

4 5

n 4 lim

n 5



3

2n 3n 2 lim

3n 2

  

 d)

5 4

n n 3n 2 lim

4n 6n 9

  

(n 2)(3n 1) lim

2 3

(2n 1) (4 n) lim

(3n 5)

 



VD 1.10 Tính các giới hạn sau:

a)

4

2

n 3n 2

lim

2n n 3

 

  b)

3 6 3

n 7n 5n 8 lim

n 12

  

 c)

2 2

2n n lim

1 3n



 d)

4

6n n 1 lim

2n 1

 



VD 1.11 Tính các giới hạn sau: a) n n n 4 lim 2.3  4 b) n n n 3 2.5 lim 7 3.5   c) n 1 n 1 n 3.2 2.3 lim 4 3     d) 2n n 2 n n 2 5 lim 3 5.4   

Dạng 3 Khử dạng vô định  - 

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

 Đối với dãy u n a n m ma m 1 n m 1  a , a 0 m0 thì đặt thừa số chung m cho thừa số lớn nhất của n

là n m Khi đó: limu n  nếu a m0 và limu n   nếu a m0

 Đối với biểu thức chứa căn thức thì nhân, chia lượng liên hợp bậc hai, bậc ba để đưa về dạng:



2





3  3

3











3  3

3









2





3 2 3 3 2











3 2 3 3 2





 Đặc biệt, đôi khi ta thêm, bớt đại lượng đơn giản để xácđịnh các giới hạn mới có cùng dạng vô định,

chẳng hạn:

 Đối với các biểu thức khá, biểu thức hỗn hợp thì xem xét đặt thừa số chung của mũ có cơ số lớn nhất,

lũy thừa của n lớn nhất

B BÀI TẬP MẪU

a)  2 

lim n  14n 7  b)  2 

lim  2n  3n 19  c) lim 2n2 n 1 d) lim3 8n3n2 n 3

VD 1.13 Tính các giới hạn sau:

a)  2 

lim n    n 1 n b) lim  n 1   n n  c) 3 3 2 3 3 

lim n  n  n  1

d) 3 3 

lim n   1 n e) 3 3 2 2 

lim n  n  n  3n f)

lim

VD 1.14 Tính các giới hạn sau:

a) lim n n   2 n 1   b) 3 2 

d) lim  n2  n 2  n 1   e) lim 1

n  2  n 1  f)

2 lim

3n  2  2n 1 

Dạng 4 Cấp số nhân lùi vô hạn

A PHƯƠNG PHÁP GIẢI

Một cấp số nhân có công bội q với q < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn

Ta có : S = u 1 + u 1 q + u 1 q 2 + … = u 1

1 q  (với q < 1)

B BÀI TẬP MẪU

VD 1.16 Tổng của một cấp số nhân lùi vô hạn là 5 3, tổng ba số hạng đầu tiên của nó là 39 25 Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số đó

BÀI TẬP CƠ BẢN NÂNG CAO VẤN ĐỀ 1 1.1 Tìm các giới hạn sau:

1) lim( 2n3 + 3n + 5) 2) lim 3n45n37n 3) lim(3n3  7n + 11)

4) lim 4 2

2n n n2 5) lim3 3

1 2n n 6) lim( n3  3n2  2)

1.2 Tìm các giới hạn sau:j

1)

2 2

4n n 1 lim

3 2n

 

3

3 2

2n 3n 1 lim

n n

3 2

3n 5n 1 lim

n 4

 

 4)

5

(2 3n) (n 1) lim

1 4n

2n 3 lim 4n 5



2 2

3n 2n 1 lim

4n 5n 2

 

  7)

2 3

4n 3 lim

n 3n 1



(n 1)(2n 1) lim

(3n 2)(n 3)

n(3n 2)(4n 5) lim

(2n 3)

10)

2(n 1) (n n 1) lim

(n 2n 5)(3 2n)

9

(2n 1) (n 3) lim

3(n 1)

2

(n 1)(n 3) n 2 lim

(2n 1)(3 n)

13)

3 2

n 2n 1 lim

2n n 3

 

5

2

4n n 1 lim

(2n 1)( n 1)(n 2)

 

    15)

3 3

6n 2n 1 lim

2n n

 

 16)

3

(n 1)(n 1) lim

(n 1)(3n 2)

3 2n 3n 2 lim

3n 2

 

3 2n n 3 lim

5n 1

 



1.3 Tìm các giới hạn sau:

1)

2 2

3n 1 n lim

1 2n

 

2n n lim

n 2n 1 3)

n 1 lim

n 1



 4)

3n3 n lim

n 2



2 2

n 2 n 3 lim

2n n n

(2n n 1)( n 3) lim

(n 1)(n 3)

7) lim2n n2 3

n n 1



n 1 2 3 2n lim

3n n 2

   

2n n 3 lim

n 3 n 2



1.4 Tìm các giới hạn sau:

1)

n n 1 4n 2 lim

n 3

2 2

2n 1 n 2n 4 lim

3n n 7

3)

2 2

4n 3 2n 1 lim

n( n 3 2n)

  

 

4)

2 2

4n 3 2n 1 lim

n 2n n

  

 

5)

3n 1 n 1 lim

n

6)

1 lim

n 2 n 4 7)

3 3 2

n( 2 n n) lim

n 1 n

 

 

8) lim 2n 1 n

3n 1

 

2 2

lim

n 2n



10)

2 2

4n 1 2n 1 lim

n 4n 1 n

  

  

11)

2 2

n n 1 n lim

3n n 1

  



12)

2 2

4n 3 2n 1 lim

n 4n n

  

 

1.5 Tìm các giới hạn sau:

1) lim n( n2 1 n22 ) 2) lim n( n2 1 n22 ) 3) lim(1 n 2 n43n 1) 4) lim(2n 1  4n26n7 ) 5) lim( n23n n5) 6) lim( n22nn 1)

7) lim( n22nn 1) 8) lim( n2n n21) 9) lim 1

3n2 2n 1 10) lim 1

n2 n 1 11)

2 lim( n n2 n 1) 12) lim( n 1  n )

13) lim( n2n 1 n) 14)

2

n 1 n 1 lim

3n 2

  

lim( 2nn n 1) 16) lim(3 n3 n2  n ) 17) lim( n3 32n2 n) 18) lim( n3 32n2 2n 1) 19) lim( n3 n3 n) 20) lim( n3 3 1 n) 21) lim( 23 n3 n)

22)

3 3

n( 2 n n) lim

n 1 2n

 

 

23) lim( 8n3 3n2  1 3 2n) 24) lim( n3 33n n24n )

1.6 Tìm các giới hạn sau:

1) lim[4n ( 2) ]n 2) lim 2n 1

n



n n 1

( 2) 4.5 lim

2.4 3.5



 

 4)

n n n

lim

-4

   

  

5)

n n

1 2 lim

1 2



n n

n 1 n 1

( 2) 3 lim

( 2)  3 

 

7)

n n

n n

3 4 lim

3 4



n 1 n 1

n n

lim

2 3

 



n n n 3

n n 1 n 1

2 3 4 lim



 

 

10)

2 n 1

n ( 1) lim

2n ( 1) 

 

n n

3 4 lim

1 3.4



n n n

n n n 1

3 4 5 lim

3 4 5 

 

  13)

n n 1

2 3 lim

2 5.3





n n

n n

3 4 1 lim

2.4 2

 

n n 1

n n

4.3 7 lim

2.5 7





 16)

n

3 2.5 lim

7 3.5



n n n 2

n 1 n 2 n 1

2 3 4.5 lim



 

   

   



1.7 Tính tổng vô hạn:

1) S 1 1 1 1

2 4 8

      2) S 1 1 1 1

3 9 27

      3) S 1 2 3 4

2 4 8 27

    

2

2 1 2 2



   5) S = 8 + 4 + 2 + 1 + 1

2 6)

1 1 1 1

3 9 27 81

S3 9 27 81 

7) 1 + 0,9 + (0,9)2 + (0,9)2 + … 8) S 34 34 34

100 10000 1000000

1.8 Tìm phân số phát sinh ra số thập phân vô hạn tuần hoàn sau:

1) 34,(12)… 2) 0,(25)… 3) 3,(123)… 4) 2,131131…

1.9 Cho hai dãy số (un) và (vn) Chứng minh rằng nếu lim vn = 0 v  un  vn với mọi n thì lim un = 0

Áp dụng tính giới hạn của các dãy số sau:

1) un 1

n!

n n

( 1) u

2n 1





 3)

n

2 n( 1) u

1 2n

 



n n

u (0,99) cos n 5) un 5n cos n

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TN1.1 Chọn mệnh đề đúng trong các mệnh đề sau:

A Nếu limu   n , thì lim u   n B Nếu limu   n , thì lim u   n

C Nếu lim u  , thì n 0 limu  n 0 D Nếu lim un   , thì a limu n a

TN1.2 Cho dãy số  u n với

4

u  n và 1

1

n n

u u



 Chọn giá trị đúng của lim u trong các số sau: n

A

4

1 B

2

1

4

3 D 1

TN1.3 Dãy số nào sau đây có giới hạn khác 0?

A n 1

n

 B 1

1 1

cos n

n

TN1.4 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A 3

2

n

 

 

5 4

n



2 3

n

 

 

4 3

n



 

TN1.5 Dãy nào sau đây không có giới hạn?

A 2

3

n

 

 

2 3

n



  C   0, 99 n D    1 n

TN1.6   1

lim

2

n

n



 có giá trị bằng

A 1

2 B 0 C 1 D

1 2



TN1.7 lim 1 2

4

n n



  có giá trị bằng

A 1

4 B

1 4

 C 1

2 D

1 2



TN1.8 lim3 5

5

n



có giá trị bằng

A 1 B 0 C 3

5 D

8

5

TN1.9

3 4

lim

n n

  có giá trị bằng

A  B 2 C 0 D 6

TN1.10

4 4

lim

n n

 

 có giá trị bằng

A 0 B 2

3 C  D

2

5

TN1.11

lim



  có giá trị bằng

TN1.12 lim22 4

n n

  có giá trị bằng

A 2 B 0 C  D 2

TN1.13     

2 2 1 4 5 lim

3 1 3 7

   có giá trị bằng

A 0 B 8

3 C 1 D 

TN1.14   

4

2 3 1 lim

2 1 7

  có giá trị bằng

A 1 B 3 C 3

2

 D 

TN1.15  3 2 

lim  2 n  2 n  3 có giá trị bằng

A 2 B 1 C  D 

TN1.16  4 2 

lim 3 n  4 n   n 1 có giá trị bằng

A  B  C 3 D 7

TN1.17

2

lim

3 2

n

  

 có giá trị bằng

A 1 B 3 C 0 D 

TN1.18  2 2 

lim n 4 n 1 có giá trị bằng

A 3 B 1 C 0 D 

TN1.19  2 2 

lim n 2n 1 2n n có giá trị bằng

A 1  2 B  C 1 D 

TN1.20  2 

lim n 2n 3 n có giá trị bằng

A 1 B 0 C  D 1

lim 2n   n 1 2n 3n2 có giá trị bằng

A 1 B 0 C  D 

TN1.25 Nếu lim un  L thì lim 1

9

n

u  có giá trị bằng

A 1

3

1 9

1 3

1 9

L 

TN1.26

3 3

1 lim

8

n n



 có giá trị bằng

A 1 B 1

2 C

1

8 D 

TN1.27

2

8 2 1 lim

2 1

n

 



có giá trị bằng

A 2 B 2 C 1 D 

TN1.28 lim 3 ( 1) cos 3

1

n

n

có giá trị bằng

A 3

TN1.29 lim 3  n 5n

 

  có giá trị bằng

A 3 B  C  D  5

TN1.30  

 

1 1

5 2 1 lim

5.2 5 3

n n

n n





 

 

có giá trị bằng

A 1

3

 B 1

2 5

 D 1

5



TN1.31

2

2 2

lim



  có giá trị bằng

A 1 B 1

4 C  D 1

TN1.32

2 2

1 lim

2

 

 

có giá trị bằng

A 1 B 2 C 0 D 1

TN1.33 lim3 3 2 

n - 2n - n có giá trị bằng

A 2

3

 B 1

3 C 1 D 0

TN1.34 lim3 n - n + n 2 3  có giá trị bằng

A 1

3 B  C 1 D 0

TN1.35 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 0?

A 12.

3

n

n u

n n





1 3 3

n

n u





 C

1 2

5

n

n u

n





1 2 5

n

n u

n







TN1.36 Dãy số nào sau đây có giới hạn là ?

A

2 2

2

n

u





1 2

3 3

n

n u

n





 C

2

2

n

n u

n





2 3

2 5

n

n u





TN1.37 Dãy số nào sau đây có giới hạn là ?

A

2 2

3 2

n

u

n n





2018 2017

1

n

n u

n







C u n 2017n2016n2. D u n n21.

TN1.38 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 1?

A

2 3

n n



3 3

n n



2

n



3 2

3

1

n n



TN1.39 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào bằng 0 ?

A

2 3

n n



3 2

n



2 4

2

2

n n



3 2

3 5

1

n n





TN1.40 Trong các giới hạn sau đây, giới hạn nào là 1?

A

2 3

2

4

n n



3 2

2

n n n





4 2

3 2

n n





TN1.41 Dãy số nào sau đây không có giới hạn?

A lim 1 sin

2

n

n





C lim cos







TN1.42 Dãy số nào sau đây có giới hạn bằng 1?

A lim sin n   B lim cos n   C lim sin 2

n

n 



D lim n cos2n 2

n



TN1.43 Tổng 1 12 1

5 5 5n

S      có giá trị bằng

A 1

5 B

1

4 C

2

5 D

5

4

1

n