Chương 5 Đạo hàm tập 1 toán 11

ĐẠO HÀM – ALBA – CHƯ SÊ- GIA LAI NGUYỄN BẢO VƯƠNG... KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM NGUYỄN BẢO VƯƠNG Mục Lục KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM .... Tính đạo hàm bằng định nghĩa ...

Trang 1

CHƯƠNG V ĐẠO HÀM –

ALBA – CHƯ SÊ- GIA LAI

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Trang 2

GIÁO VIÊN MUỐ N MUA FILE WORD LIÊN HỆ 0946798489 1

CHƯƠNG V ĐẠO HÀM

TẬP 1 KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM VÀ CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐẠO HÀM

NGUYỄN BẢO VƯƠNG

Mục Lục

KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM 2

Vấn đề 1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa 2

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP 4

CÁC QUY TẮC TÍNH ĐẠO HÀM 8

Vấn đề 1 Tính đạo hàm bằng công thức 8

Vấn đề 2 Sử dụng đạo hàm để tìm giới hạn 24

Vấn đề 3 Đạo hàm cấp vao và vi phân 27

ĐẠO HÀM TỔNG HỢP 33

Trang 3

CHỦ ĐỀ: ĐẠO HÀM

KHÁI NIỆM ĐẠO HÀM

1 Đạo hàm tại một điểm

Hàm số y f x( ) liên tục trên ( ; )a b , được gọi là có đạo hàm tại x0 ( ; )a b nếu giới hạn sau tồn tại (hữu hạn):

0

0 0

0

( ) ( )'( ) lim

0

( ) ( )'( ) lim

0

( ) ( )'( ) lim

x x

f x

Hệ quả : Hàm f x( )có đạo hàm tại x0 (f x0) và f x'( 0) đồng thời f x'( 0 ) f x'( 0)

3 Đạo hàm trên khoảng, trên đoạn

Hàm số f x( ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên ( ; )a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( ; )a b Hàm số f x( ) có đạo hàm (hay hàm khả vi) trên [ ; ]a b nếu nó có đạo hàm tại mọi điểm thuộc ( ; )a b

đồng thời tồn tại đạo hàm trái f b'( ) và đạo hàm phải f a'( )

4 Mối liên hệ giữa đạo hàm và tính liên tục

Định lí: Nếu hàm số f x( ) có đạo hàm tại x0 thì f x( ) liên tục tại x0

Chú ý: Định lí trên chỉ là điều kiện cần, tức là một hàm có thể liên tục tại điểm x0 nhưng hàm đó không

x

Vấn đề 1 Tính đạo hàm bằng định nghĩa Phương pháp:

0

0 0

0

( ) ( )'( ) lim

0

( ) ( )'( ) lim

0

( ) ( )'( ) lim

x x

f x

Hàm số y f x( ) có đạo hàm tại điểm x x0 f x'( 0) f x'( 0)

Hàm số y f x( ) có đạo hàm tại điểm thì trước hết phải liên tục tại điểm đó

Trang 4

2( 1)( 1 2)

( ) (0) 1 1 1 1lim lim lim

Trang 5

Khi đó, ta có:

2

12( ) (1) 1lim lim 1

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tính đạo hàm của các hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra

Trang 6

Câu 1 f x( ) sin 2x tại 0

2lim 2 lim 2

4lim lim 2

Vậy f'(1) 3

Trang 7

2 3 1( ) 2 7 4

khi 11

x khi x

f x x x x

x x

Vậy hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 1

Nhận xét: Hàm số y f x( ) có đạo hàm tại x x0 thì phải liên tục tại điểm đó

Trang 8

Bài 4

Câu 1 Tìm ,a b để hàm số

2 1( )

a

3331

a

31

a b

1 0( )

f x f

a a x

Hàm số có đạo hàm tại điểm x 0 a 1

Vậya 1,b 1 là giá trị cần tìm

Trang 9

( ) ( )

1.2 Đạo hàm của hàm số hợp

Cho hàm số y f u x( ( )) f u( ) vớiu u x( ) Khi đóy'x y' 'u u x

2 Bảng công thức đạo hàm các hàm sơ cấp cơ bản

( )'c 0( )'x 1

1

(x )' x

1'2

x

1

1'

u u

u

1

''

n

n n

u u

cos

u u

u

2

'cot '

sin

u u

u

Vấn đề 1 Tính đạo hàm bằng công thức Phương pháp: Sử dụng các quy tắc tính đạo hàm

x x y

x

Lời giải

Trang 10

1 Ta có: y' x3 3x 1' 3x2 6x 2

2 Ta có: y' x3 3x 1' 3x2 3

3 Ta có:

' 4

2 2

4 2'( ) 4

2 1 2 1

f x

x x x x

Trang 11

Suy ra f x'( ) 0 1 2x x2 x 1 1 2x x2 x 1

2 2

(1 2 )(1 2 ) 0

1 3 1 3(1 2 ) 1 2

1'( )

2 3 6 2 3 4

Trang 12

5 Ta có:

2

[sin(tan ) cos(cot )]''

x f x x x x f hàm số không liên tục tại x 1, suy ra hàm

số không có đạo hàm tại x 1

Bài 1 Tính đạo hàm các hàm số sau

Trang 13

21

x

C.

2 2

21

x x

Bài làm 4 Ta có ' (2 1)( 1) (2 2 1) 2 22

( 1) ( 1)

x x x x x x y

( ) ( )

a b

c d

ad cb y

cx d cx d

Câu 6

2

, ' 0' '

( ' ')

ax b a x b a ax bx c y

aa x ab x bb a c

a x b

Câu 1 y x x2 1

Trang 14

11

x x

C.

2 2

4 11

x x

D.

2 2

2 11

x x

Bài làm 1 Ta có: 2 2 2 2

2

( 1)'' ' 1 1 ' 1

2 2

2 11

3 (2 5) 12(2 5) 12'

2 2

1

x x y

x

A.

2

2 2

2 6 21

x x x

C.

2 2 2

2 6 21

x x x

D.

2 2 2

2 6 21

x x x

Bài làm 3 Ta có 2 2 2

(2 2)( 1) 2 ( 2 2) 2 6 2'

( 1) ( 1)

x x x x x x x y

Bài làm 4 Ta có: ' (3 2 tan )' 3 2(1 tan2 ) 5 2 tan2

2 3 2 tan 2 3 2 tan 2 3 2 tan

y

Câu 5 y sin (32 x 1)

A.3sin(6x 2) B.sin(6x 2) C. 3sin(6x 2) D.3cos(6x 2)

Bài làm 5 Ta có: y' 2 sin(3x 1) sin(3x 1)' 2 sin(3x 1).3cos(3x 1) 3sin(6x 2)

4 5 3

2 1

x x

Trang 15

Bài làm 6 Ta có 2 2

2 1 4 5 3' 1 ( 1)

x x

Bài làm 2 2

2 2 2 2

2( 1) 2 2 2 2'

( 1) ( 1)

x x x x y

54

C.

2 2

5' 4

Câu 6 y (x 2) (3 x 3)2

A.y' 3(x2 5x 6)3 2(x 3)(x 2)3 B.y' 2(x2 5x 6)2 3(x 3)(x 2)3

Trang 16

3 2

x x y

2 3 2

x x y

2 3 2

x x y

x x

Bài làm 2

3 2

3 6'

2 3 2

x x y

a y

( )

a y

y

x x C. 2

1'

y

3 1'

2

x x y

Câu 11 1

1

x y

x

A.

3

1 3'

(1 )

x y

x

B.

3

1 3'

3 (1 )

x y

x

C.

3

1 1 3'

3 2 (1 )

x y

x

D.

3

1 3'

2 (1 )

x y

x

Trang 17

Bài làm

3

11

1 3

2 1'

1 2 (1 )

x x

3 tan (1 tan ) (1 cot 2 )

3 tan (1 tan ) (1 cot 2 )'

3 tan (1 tan ) (1 cot 2 )

3 tan (1 tan ) (1 cot 2 )'

3 8 cos (2 )sin(2 )

4 4'

3 8 cos (2 )sin(2 )

4 4'

6 8 cos (2 )sin(2 )

4 4'

3 8 cos (2 )sin(2 )

4 4'

3 8 cos (2 )sin(2 )

4 4'

Trang 18

A.y' sin(2sin3x)sin2xcosx B.y' 6sin(2sin3x)sin2xcosx

C.y' 7 sin(2sin3x)sin2xcosx D.y' 3sin(2sin3x)sin2xcosx

Bài làmy' 3sin(2sin3x)sin2xcosx

x B.

sin cos'

sin

x x x y

x C.

sin cos'

sin

x x y

sin cos'

sin

x x x y

x

Bài làm ' sin 2cos

sin

x x x y

Trang 19

Bài làm Bài 4 '( ) 2 '(1) 2; '( ) 4 cos '(0) 4

1

4( 1)(4 ) 0

0 0

0(1 2 ) 0 1 2 0

0 khi 0

x

Trang 20

B.

2 1 khi 1'( ) 1

khi 11

f x

x x

C.

2 1 khi 1'( ) 1

khi 11

f x

x x

D.

2 1 khi 1'( ) 1

Bài 8 Tìm ,a b để các hàm số sau có đạo hàm trên

Câu 1

2 2

1 khi 1( )

a

2321

a

31

a b

Bài làm 1 Với x 1 thì hàm số luôn có đạo hàm

Trang 21

Do đó hàm số có đạo hàm trên hàm số có đạo hàm tại x 1

Bài làm 2 Tương tự như ý 1 ĐS: a 0,b 1

23

3 3

y x

2 4' 2 1

Trang 22

A.y' 12 sin 2 cos 22 x x 6 tan 3 1 2 tan 3x 2 x cos 4x 4 sin 4x x

B.y' 12 sin 2 cos 22 x x 6 tan 3 1 tan 3x 2 x cos 4x xsin 4x

C.y' 12 sin 2 cos 22 x x tan 3 1 tan 3x 2 x cos 4x 4 sin 4x x

D.y' 12 sin 2 cos 22 x x 6 tan 3 1 tan 3x 2 x cos 4x 4 sin 4x x

Bài làm 4 Ta có: y' 12 sin 2 cos 22 x x 6 tan 3 1 tan 3x 2 x cos 4x 4 sin 4x x

Câu 5 sin 2

cos 3

x x y

2 sin 1

x x y

2 2 sin 1

x x y

2 sin 1

x x y

2 2 sin 1

x x y

x x

Bài làm 7 Ta có: 2

2 3

2 sin 2 3'

2 2 sin 1

x x y

x x

Câu 8 y x2 1 2x 1

Trang 23

A.

2

2 2

2 1'

( 1) 1 2 1

x x y

( 1) 1 2 1

x x y

2 ( 1) 1 2 1

x x y

2 ( 1) 1 2 1

x x y

'

2 1 2 1 2 ( 1) 1 2 1

x

x x x

A.y' tan 2x 2 1 tan 2x 2 x tanx (x 1)(tan2 1)

B.y' tan 2x x 1 tan 22 x tanx (x 1)(tan2 1)

C.y' tan 2x 2 1 tan 2x 2 x tanx 2(x 1)(tan2 1)

D.y' tan 2x 2 1 tan 2x 2 x tanx (x 1)(tan2 1)

Bài làm 9 Ta có: xtan 2x' tan 2x 2 1 tan 2x 2 x

Trang 24

1 1

f x x

Trang 25

0

( ) ( )'( ) lim

x x

g x A

( ) ( )lim '( )

x x

F x B

( ) ( )

'( )lim

( ) ( ) '( )

x x

f x f x

x x f x B

3 2 1

2 1 3 2lim

3 2 4

2 0

1 1 2lim

1( ) 1 '( )

2 3'( )

2 3 2

3 (2 1)

f x

x x

1 2 3 5 '(1)

2 f 3 2 9

Trang 26

3 Đặt

0

( ) (0) 3( ) n1 3 lim '(0)

1 2 1 3lim

1 2 1 3

( )lim lim

0 0

1 2 1 3lim ( ) lim 0

CÁC BÀI TOÁN LUYỆN TẬP

Bài 1 Tìm các giới hạn sau

Câu 1

3 4 0

(1 3 ) (1 4 )lim

1 1

n m

m a C

n b D.

ma C nb

Trang 27

2 1lim

1

x

x x D

1 2

x

x A

2 2( ) 2 1 1 '( ) '(1)

( ) (1)( ) ( ) (1) '(1) 3

1

f x f

f x f x f x f A

2 1 1lim

1 2( ) 2 1 1 '( )

( ) (0)( ) '(0)

26 1 80 1lim

Trang 28

Bài làm 3 Đặt ( ) 1 '( ) 1 '(1) 1

22

( ) (1)( ) '(1) 27

4 2 4 2lim

2 2

x

x x x x E

x

Lời giải

Trang 29

Ta có:

2

7'

( 2)

y

7.2''

( 2)

y

7.2.3'''

( 2)

y x

Bằng quy nạp ta chứng minh: ( )

1

( 1) 7 !( 2)

n n

n

n y

k k

k

k y

x

Ta có:

' ( 1)

( 1) 7 ! ( 1) 7 !.( 1)( 2) ( 2)

k k k

( 1) 7.( 1)!

( 2)

k k

k x

Nên (2) đúng với mọi số tự nhiên n

Ví dụ 2 Cho đa thức f x( ) x3 5x2 1 Viết f x( ) dưới dạng lũy thừa của x 2

Trang 30

Bài 1 Cho hàm số y sin 2x

Câu 1 Tính y''

A.y'' sin 2x B.y'' 4sinx C.y'' sin 2x D.y'' 4sin 2x

Bài làm 1 Ta có y' 2cos 2x y'' 4sin 2x

Bài làm 2 Ta có y''' 8cos 2 , x y(4) 16sin 2x

Suy ra '''( ) 8 cos2 4; (4)( ) 16 sin 16

Theo nguyên lí quy nạp ta có điều phải chứng minh

Bài 2 Tính đạo hàm cấp n của các hàm số sau

1

(1) 3 !( 2)

n n

n

n y

1 ( )

1

( 1) !( 2)

n n

n

n y

x

C.

1 ( )

1

( 1) 3 !( 2)

n n

n

n y

1 ( )

1

( 1) 3 !( 2)

n n

n

n y

x

Bài làm 1 Ta có

' 2

3 ( 2)

3 3.2' , ''

( 2) ( 2) ( 2)

x

Trang 31

1

( 1) 3 !( 2)

n n

n

n y

1

( 1) 3 !( 2)

k k

k

k y

n

a n y

ax b B.

( )

1

( 1) !( 1)

n n n

n

a n y

( )

1

( 1) !( )

n n

n

n y

ax b D.

( )

1

( 1) !( )

n n n

n

a n y

n

a n y

k

a k y

ax b

1 1 1( 1) ( )

x x

A. ( )

1 1

(2) 7 ! (1) 5 !( 2) ( 3)

n n n

Trang 32

Nên ( ) ( 1) 7 !1 ( 1) 5 !1

( 2) ( 3)

n n n

2 1

( 1) 3.5 (3 1)(2 1)

n n

n

n y

x

B.

1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n

n y

x

C.

1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n

n y

x

D.

1 ( )

2 1

( 1) 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n

n y

x

Bài làm 5 Ta có

1 1 3' , '' , '''

2 1

( 1) 3.5 (2 1)(2 1)

n n

n

n y

x

Câu 6 22 1

3 2

x y

x x

A. ( )

1 1

5.( 1) ! 3.( 1) !( 2) ( 1)

n n n

Trang 33

Câu 3 y sin 2x sin3x

A.dy cos 2x 3sin2xcosx dx B.dy 2 cos 2x 3sin2xcosx dx

C.dy 2 cos 2x sin2xcosx dx D.dy cos 2x sin2xcosx dx

Bài làm 3 dy 2 cos 2x 3sin2xcosx dx

1( 1)

x

B.

2 3

3( 1)

x

C.

2 3

2( 1)

x

D.

2 3

x x

A. ( ) ( 1) 3 !1 ( 1) 2 !1

( 3) ( 2)

n n n

Trang 34

n n n

Trang 35

y x x

x C.

3 2 1' 2

y x x

x D.

3 2 1' 8

3 2'

3

x

/ / /

y x x

x C.

3 2 1' 8 3

y x x

x D.

3 2 1' 8

Trang 36

Trang 37

x

C.5 3

x x

D.5 2

x x

2 22

x

C. 2

4x 3 D. 2

2

4x 3

/

2 1'

4 3

x y

4 3

x y

2x 1

C.

2

26

2x 1

D.

2

36

2x 1

/ /

1 3x

C.

2

25

1 3x

D.

2

5

1 3x

/

2 1'

1 3

x y

x

Trang 38

1'

1

x x y

x x

2 2

x

B.

2 2

2.1

x

C.

2 2

2.1

x x

D.

2 2

2.1

x x

x

B.

2 2

2 11

.3

x

C.

2 2

12 11

.3

x x x

D.

2 2

2 12 11

.3

Trang 39

Trang 40

3 2 1

.1

x

B.

2 4

2 1

.1

x x

C.

2 4

2 1

.1

x x

D.

2 4

3 2 1

.1

x x

1

x u

11

5 2 11

x

x x

C.

6 2

2 11

x

x x

D.

6 2

2 11

Trang 41

/ 5

1

x y

Trang 42

' 1 2 ' 2 2

22

2 x

x

C.

2 2

3 111

2 x x

x

D.

2 2

1 111

x

/ 2

Trang 43

Câu e) 1

1

x y

x

A.

2

1 1' 2

1 1

x y

1 1' 2

1 1

x y

1 1' 2

1 1

x y

1

x u

x

Trang 44

2

1 1 1 1'

Trang 45

22

x

x y

x x

2

2 2

4 2 4 1

4 2 4 1 82

1 3'

12

1

x x y

x x x

B.

3 2 2 3

1 2'

12

1

x x y

x x x

C.

3 2 2 3

1 2 3'

11

x x y

x x x

3 2 2 3

1 2 3'

12

1

x x y

x x x

/ 3 3

1'

12

1

x y

x x x

1 2 3

'

12

1

x x y

x x

x

3 2

.2

Trang 46

2 /

2 / 2 1 2 6 1 1 2' 3 1 1 2 1 1 2 3 1 1 2

2 1 2 2 1 2

x x

Bài 5 Tính đạo hàm các hàm số sau:

Câu a).y xcosx

A.cosx sin x B. xsin x C.xsin x D.cosx xsin x

B.

2 2

3 sin

1 cos

x x

C.

2 2

2 sin

1 cos

x x

D.

2 3

3 sin

1 cos

x x

1 cos

x u

cos cos sin 1

1 cos

x x

Vậy

Trang 47

A.sin 22 x 1 cos 2x 1 B.12 sin 22 x 1 cos 2x 1

C.3sin 22 x 1 cos 2x 1 D.6 sin 22 x 1 cos 2x 1

Vậy y' sin 23 x 1 / 3sin 22 x 1 sin 2x 1 /

Tính sin 2x 1 /: Áp dụng sin u , với / u 2x 1

Ta được: sin 2x 1 / cos 2x 1 2x 1/ 2 cos 2x 1

x x

C.1.cos 2 2

2 x

2 cos 2 2

x

x x

/ 2 /

2 2

2' cos 2 2 cos 2 cos 2

x

x x C.

2

Câu f) y 2sin 42 x 3cos 53 x

A. ' sin 8 45cos 5 sin10

Trang 48

sin 4x 2 sin 4 sin 4x x 2 sin 4 cos 4 4x x x 4 sin 8 x

Tương tự: cos 53 x/ 3cos 5 cos 52 x x / 3cos 5 2 x sin 5 5x x/

15cos 5 sin 52 15cos 5 sin10

A.y' 6 sin 4 2x sin 22 x3 B.y' 3sin 4 2x sin 22 x2

C.y' sin 4 2x sin 22 x2 D.y' 6 sin 4 2x sin 22 x2

' 6 sin 4 2 sin 2

Câu i).y sin cos2x.tan2x

A.y' cos cos2x.tan2x sin 2 tanx 2x 2 tanx

B.y' cos cos2x.tan2x sin 2 tanx 2x tanx

C.y' cos cos2x.tan2x sin 2 tanx 2x tanx

D.y' cos cos2x.tan2x sin 2 tanx 2x 2 tanx

Bài làm: Áp dụng sinu/, với u cos2xtan2x

Trang 49

x

A.

2

1 1' sin

11

x y

11

x y

11

x y

11

x y

x

1 1 1 1 1' 2.cos cos 2.cos sin

x y

Trang 50

x

sin.cos 2

x

2 cos 2

.sin 2

x

2 sin 2.cos 2

x x

Câu m) y sin cos 2x x

A. cos 2x5 B. cos 2x4 C.4 cos 2x5 D.2 cos 2x 5

Câu n) y cos4x sin4x 5

A. 10 cos 2 4 x B. cos 2 sin 2 4 x x C. 10cos 2 sin 4 x x D. 10cos 2 sin 2 4 x x

' 5.cos 2 cos 2 5.cos 2 sin 2 2 10 cos 2 sin 2

Câu o) y sin cos tan 32 4 x

A.y' sin 2 cos tan 34 x sin tan 34 x 4 tan 3 1 tan 3 33 x 3 x

B.y' sin 2 cos tan 34 x sin tan 34 x tan 3 1 tan 3 3 x 3 x

C.y' sin 2 cos tan 34 x sin tan 34 x 4 tan 3 1 tan 33 x 3 x

D.y' sin 2 cos tan 34 x sin tan 34 x 4 tan 3 1 tan 3 33 x 3 x

Trang 51

Câu p) y sin 2 cos 23 x 3 x

A.sin 4 cos 4 2 x x B.3sin2 cos

Câu q) y sinx cosx 3

A.3 sinx cosx2 cosx sinx B.3 sinx cosx2 cosx sinx

C. sinx cosx2 cosx sinx D.3 sinx cosx2 cosx sinx

' 3 sin cos sin cos 3 sin cos cos sin

Câu r) y 5sinx 3cosx

A.5cosx 3sin x B.cosx 3sin x C.cosx sin x D.5cosx 3sin x

Câu s) y sin x2 3x 2

Trang 52

Bài 6 Tính đạo hàm các hàm số sau:

Câu a).y sin x

A. 1 cos x

1.cos x

1.sin x

1.cos

A. sin 2 x B.sin 2 x C.cos 2 x D.2sin 2 x

A.4cos8x cos 2x B.cos8x cos 2x C.4cos8x cos 2x D.4cos8x cos 2x

2 2 2 2 2

Trang 53

x

x x

C. sin 2 2.sin cos

x

x x

D. 2 sin 2 2.sin cos

x x

cos sin sin cos

.sin

x x x x x x x x x x x x x x

Câu Câu h).y sin cosx cos sinx

A sin x cosx B. sin x cosx C sin cos x D. sin x

Trang 54

Trang 55

A.sin 4 x B.2 sin 4 x C.cos 4x sin 4 x D. sin 4 x

x x x

A.

2

2.cos sin

x

x x

C.

2 2

2

.cos sin

cosx cosx xsinx xsinx

Tính cosx xsinx/ sinx x'.sinx x sinx /

sinx sinx xcosx xcosx

Định dạng
Số trang	56
Dung lượng	3,96 MB