Chuyen de 3.NGUYEN HAM TUNG PHAN

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN1.. NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP Phương pháp này thường được sử dụng khi ta cần tính nguyên hàm của một tích... Ta được ln.

Chuyen de 3 PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

1 NỘI DUNG PHƯƠNG PHÁP

Phương pháp này thường được sử dụng khi ta cần tính nguyên hàm của một tích Giả sử cần tính

   

1 . 2

I   f x f x dx, ta làm như sau:

Đặt

 

 

1 2

v

dv f x dx











Từ đó I uv    vdu

P(x).ex .dx P(x).sinx.dx P(x).cosx.dx P(x).lnx.dx ex.sinx.dx ex.cosx.dx

u = P(x) ⇒

du=P'(x)dx

u = P(x) ⇒ du=P'(x)dx

u = P(x) ⇒ du=P'(x)dx

u = lnx ⇒ du=

dx x

u=ex ⇒

du = exdx

u=ex ⇒

du = exdx

dv = e dxx

⇒ v=ex

dv = sinxdx

⇒ v = -cosx

dv = cosxdx

⇒ v = sinx

dv = P(x)dx

⇒ v =

 P( x)dx

dv = sinxdx

⇒ v = -cosx

dv = cosxdx

⇒ v = sinx

2 CHÚ Ý

Thứ tự ưu tiên đặt u trong phương pháp Nguyên hàm từng phần:

Lôgarít  Đa thức 

sin ,cos

x

e





3 MỘT SỐ VÍ DỤ

1•I   x sin2 xdx

Theo thứ tự ưu tiên ở trên, với nguyên hàm này là tích của Hàm đa thức với Hàm lượng giác, nên

ta ưu tiên đặt u x 

Đặt

1

2

du dx

u x









2•

2 2 x

I   x e dx

Đặt

2

2 2

2 1 2

x x

du xdx

u x

v e

dv e dx





 







Tính

2 1

x

I   xe dx

Đặt

1 2 2

1

2

x x

du dx

u x

dv e dx











(Hàm lượng giác) (Hàm mũ)

Từ đó:

x

3•

1

x

I x xdxx  dx xdx x xdx x I

Tính 1

1 cos4 2

I   x xdx Đặt

1 1

2 2

1

4









1

Từ đó:

2

sin 4 cos 4

I  x  x x x C

4•I    2 x2   x 1  e dxx

Với bài này, khi mà bậc của P x    2, sử dụng phương pháp Nguyên hàm từng phần ta phải tiến hành hai lần Tuy nhiên, trong trường hợp này, ta cũng có thể sử dụng một cách khác được chỉ ra ở đây!

• Cách 1: Đặt:

2

2

Tính I1    4 x  1  e dxx Đặt



• Cách 2: Giả sử  2x2 x 1e dx x ax2bx c e  xC



 2     2 

Vậy  I   2 x2  3 x  4  ex  C

5•

2xcos3

I   e xdx

Đặt

2

1

3

x

x du e dx

u e



2 2 2

1

Đặt

2

1

3

x

x du e dx

u e



1

Từ đó:

I e x M  e x I  e x  e x I

1

13

x

5•

2ln

I   x xdx (ĐS:

ln

I  x x  x  C

)

6•

3ln

I   x xdx (ĐS:

ln

I  x x  x  C

)

7• 2ln  1  1 2ln  1  1 3 1 2 1 1 ln 1

I   x x  dx  x x   x  x  x  x   C

8•

2

1

x







Đặt

2 2 2

1 1 1

dx

x x

x













Ta được I x21lnx x21 x C

9•I   ln2 x  x2  1  dx

Đặt:

2

1

dx

x



2

1

xdx

x





xln 2x x2  1 2 x2  1.lnx x2  1 2x C

10•

2

ln x

x



Ta có

2 2

ln x

x

 

Đặt

2

2

2ln ln

1

dx

x dx







Ta được

ln

1 2

Tính I1 Đặt

2

1

dx



x

x

Từ đó ln

x

x

12•

1 ln 1

x

x









Đặt

2

2

2 1

1

1 2

dx

x







Từ đó

ln

x

x





13•

sin 2

13

x

14•

4

x

I x e dx    C

15•I    2 x3 5 x2  2 x  4  e dx2x

Giả sử: Q 2x35x2 2x4e dx2x ax3bx2cx d e  2xC

 2x35x2  2x4e2x 3ax2 2bx c e  2x2ax3bx2 cx d e  2x

 2x35x2  2x 4 2ax33a2b x 22b2c x c  2d

2 3

x

2 2 1 x 2 2 3 4 x

R x  x e dx  x  x e C

LUYEN TAP

Tìm nguyên hàm của các hàm số

a

x

xe dx

 b x2cosxdx c (x1).lnxdx

d

2ln

g os2

x dx

sin

dx x



Chuyen de 4 PHỐI HỢP ĐỔI BIẾN SỐ VÀ PHƯƠNG PHÁP TÍCH PHÂN TỪNG PHẦN

1• I   sin xdx

Đặt x t   x t  2 dx  2 tdt  I   sin 2 t  tdt    2 sin t tdt

Đặt

2 cos 2 cos 2 cos 2sin

Vậy I2sin x 2 xcos x C

2• I   sin ln  x dx  Đặt ln t

dx

x e





  

 



Từ đó

sin

2

3•

3

8 x

I   x e dx Đặt

2 3

3x dx dt

x t

x t



  



3

I t e dt x  x  e C

4•

x

I   e dx Đặt x t  x t  2 dx 2tdt I 2te dt t  2 xe x  2e x C