1-CHUYEN DE 1-NGUYEN HAM - TICH PHAN - UNG DUNG (GIAI CHI TIET)-CT

1-CHUYEN DE 1-NGUYEN HAM - TICH PHAN - UNG DUNG (GIAI CHI TIET)-CT

CHUYÊN Đ 1: Ề 1:

NGUYÊN HÀM - TÍCH PHÂN VÀ NG D NG ỨNG DỤNG ỤNG

A KI N TH C TR NG TÂM ẾN THỨC TRỌNG TÂM ỨNG DỤNG ỌNG TÂM

I NGUYÊN HÀM

1) Đ nh nghĩa: ịnh nghĩa: Cho hàm s ố f x xác đ nh trên   ịnh trên K Hàm s ố F x đ c g i là nguyên hàm c a hàm  ược gọi là nguyên hàm của hàm ọi là nguyên hàm của hàm ủa hàm

s ố f x trên K n u   ếu F x f x  v i m i ới mọi ọi là nguyên hàm của hàm x thu c ộc K

2) H t t c các nguyên hàm c a hàm s ọi là nguyên hàm của hàm ất cả các nguyên hàm của hàm số ả các nguyên hàm của hàm số ủa hàm ố f x ký hi u là   ệu là f x  F x C.

Chú ý: Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên i ta ch ng minh đứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ược gọi là nguyên hàm của hàm ằng: “Mọi hàm số liên tục trên c r ng: “M i hàm s liên t c trên ọi là nguyên hàm của hàm ố ục trên K đ u có nguyên hàm trên ều có nguyên hàm trên K ”

3) Tính ch t c a nguyên hàm ất của nguyên hàm ủa nguyên hàm.

(2) kf x x k f x x( )d   ( )d v i m i s th c ới mọi ọi là nguyên hàm của hàm ố ực k khác 0

(3)  f x x( )d f x( )C

4) Công th c đ i bi n s : ức đổi biến số: ổi biến số: ến số: ố: f u x u x x F u x[  ]  d  [  ]C .

5) Công th c nguyên hàm t ng ph n: ức đổi biến số: ừng phần: ần: u v uvd   v ud .

6) B ng nguyên hàm và vi phân ảng nguyên hàm và vi phân

1) Đ nh nghĩa ịnh nghĩa: :

( ) ( ) ( ) ( )

b

b a a

a) Ph ươ cấp ng pháp đ i bi n s ổi biến số: ến số: ố:

* Đ i bi n s d ng 1: ổi biến số: ến số: ố: ạng 1: Cho hàm s ố f liên t c trên đo n ục trên ạn [ ; ].a b Gi s hàm s ả các nguyên hàm của hàm số ử hàm số ố u u x ( ) có đ o hàm liênạn

t c trên đo n ục trên ạn [ ; ]a b và  u x( ) . Gi s có th vi t ả các nguyên hàm của hàm số ử hàm số ể viết ếu f x( )g u x u x x( ( )) '( ), [ ; ],a b v i ới mọi g liên t c trênục trên

( ) ( )

( ) ( )

u b b

D u hi u nh n bi t và cách tính tính phân ất của nguyên hàm ệu nhận biết và cách tính tính phân ận biết và cách tính tính phân ến số:

TT D u hi u ất của nguyên hàm ệu nhận biết và cách tính tính phân Có th đ t ể đặt ặp Ví dụ

3 3

x dx I

* Đ i bi n s d ng 2: ổi biến số: ến số: ố: ạng 1: Cho hàm s ố f liên t c và có đ o hàm trên đo n ục trên ạn ạn [ ; ].a b Gi s hàm s ả các nguyên hàm của hàm số ử hàm số ố x (t) có

đ o hàm và liên t c trên đo n ạn ục trên ạn [ ; ]  (*) sao cho  ( )a, ( )  b và a ( )t b v i m i ới mọi ọi là nguyên hàm của hàm t[ ; ].  Khi đó:

P(x): Đa th cức đổi biến số:

Q(x): sin kx  hay cos kx 

P(x): Đa th cức đổi biến số:

S x là di n tích thi t di n c a v t th b c t b i m t ph ng vuông góc v i tr c ệu là ếu ệu là ủa hàm ật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ể viết ịnh trên ắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục ởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ặt ẳng ới mọi ục trên Ox t i đi m ạn ể viết x ,

(a x b£ £ Gi s ) ả các nguyên hàm của hàm số ử hàm số ( )S x là hàm s liên t c trên đo n ố ục trên ạn [ ; ]a b

b) Th tích kh i tròn xoay: ể đặt ố: Th tích kh i tròn xoay để viết ố ược gọi là nguyên hàm của hàmc sinh ra khi quay hình ph ng gi i h n b i cácẳng ới mọi ạn ởi hai mặt phẳng vuông góc với trục

đười ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ng y=f x( ), tr c hoành và hai đục trên ười ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ng th ng ẳng x a = , x b= quanh tr c ục trên Ox:

B BÀI T P TR C NGHI M ẬP TRẮC NGHIỆM ẮC NGHIỆM ỆM

M C Đ 1 ỨNG DỤNG Ộ 1

Câu 1 H t t c các nguyên hàm c a hàm s ọ tất cả các nguyên hàm của hàm số ất cả các nguyên hàm của hàm số ả các nguyên hàm của hàm số ủa hàm số ố f x sinx 3x là

cos 22

Câu 4 Tìm nguyên hàm c a hàm s ủa hàm số ố f x( ) 3 x28sinx

A. 6x 8cosx C B. 6x8cosx C C x3 8cosx C D. x38cosx C

Câu 5 Tìm nguyên hàm c a hàm s ủa hàm số ố f x( ) 4 x 5cosx

0d

I 

172

I 

52

I 

Câu 10 Bi t ếu  

3 1

f x dx

b ng ằng

Câu 11 Cho hàm s ố f x xác đ nh trên   ịnh trên K và F x là m t nguyên hàm c a   ộc ủa hàm f x trên K Kh ng đ nh  ẳng ịnh trên

A f x  x B  

1

1

x x



Câu 14 N u ếu  

3d3

5ln

2 22

x

C x

Câu 22 Tính th tích kh i tròn xoay để viết ố ược gọi là nguyên hàm của hàm ạn c t o thành khi quay hình ph ng ẳng  H đ c gi i h n b i cácược gọi là nguyên hàm của hàm ới mọi ạn ởi hai mặt phẳng vuông góc với trục

đười ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ng yf x , tr c ục trên Ox và hai đười ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ng th ng ẳng x a  , x b xung quanh tr c ục trên Ox

A. ln x C2  B

21ln

F 

 

A F x cosx sinx3 B F x  cosxsinx3

C F x  cosxsinx1 D F x  cosxsinx1

Câu 30 Tìm nguyên hàm c a hàm s ủa hàm ố   

Câu 31 Cho hàm s ố f t liên t c trên   ục trên K và , a b K , F t là m t nguyên hàm c a   ộc ủa hàm f t trên K Ch n  ọi là nguyên hàm của hàm

0cos d

π

0cos d

π

0cos d

Câu 35 Di nệu là tích S c a hình ph ng gi i h n b i đ th các hàm s ủa hàm ẳng ới mọi ạn ởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ồ thị hàm số ịnh trên ố yex x, tr c tung và đục trên ười ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ng

th ng ẳng x0,x đ c tính theo công th c:1 ược gọi là nguyên hàm của hàm ứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên

Câu 36 Tính th tích ể viết V c a ph n v t th gi i h n b i hai m t ph ng vuông góc v i tr c ủa hàm ần tính ật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ể viết ới mọi ạn ởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ặt ẳng ới mọi ục trên Ox t i ạn x a ,

x b a b  có di n tích thi t di n b c t b i m t ph ng vuông góc v i tr c ệu là ếu ệu là ịnh trên ắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục ởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ặt ẳng ới mọi ục trên Ox t i đi m cóạn ể viết

Câu 37 Cho hình ph ng ẳng  D đ c gi i h n b i các đ ng ược gọi là nguyên hàm của hàm ới mọi ạn ởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ười ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên x  , 0 x  , 1 y 0 và y 2x1 Th tíchể viết

V c a kh i tròn xoay t o thành khi quay ủa hàm ố ạn  D xung quanh tr c ục trên Ox được gọi là nguyên hàm của hàmc tính theo công th c?ứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên

Câu 38 Cho hàm s ố yf x  liên t c và có đ th nh hình bên G i ục và có đồ thị như hình bên Gọi ồ thị như hình bên Gọi ị như hình bên Gọi ư ọ tất cả các nguyên hàm của hàm số D là hình ph ng gi i h n ẳng giới hạn ới hạn ạn

b i đ th hàm s đã cho và tr c ởi đồ thị hàm số đã cho và trục ồ thị như hình bên Gọi ị như hình bên Gọi ố ục và có đồ thị như hình bên Gọi Ox Quay hình ph ng ẳng giới hạn D quanh tr c ục và có đồ thị như hình bên Gọi Ox ta đ ược khối c kh i ố tròn xoay có th tích ể tích V đ ược khối c xác đ nh theo công th c ị như hình bên Gọi ức

3

2 1

1

d3

d

Câu 39 Cho hàm s ố yf x  liên t c trên ục và có đồ thị như hình bên Gọi  và có đ th nh hình vẽ bên ồ thị như hình bên Gọi ị như hình bên Gọi ư Hình

ph ng đ ẳng giới hạn ược khối c đánh d u trong hình vẽ bên có di n tích là ất cả các nguyên hàm của hàm số ệu lưu hành nội bộ

0

e dx

Câu 42 Di n tích c a hình ph ng ệu lưu hành nội bộ ủa hàm số ẳng giới hạn  H đ c gi i h n b i đ th hàm ược khối ới hạn ạn ởi đồ thị hàm số đã cho và trục ồ thị như hình bên Gọi ị như hình bên Gọi

s ố yf x , tr c hoành và hai đ ục và có đồ thị như hình bên Gọi ường THPT Tân Phong – Tài liệu lưu hành nội bộ ng th ng ẳng giới hạn x a  , x b

a b (ph n tô đ m trong hình vẽ) tính theo công th c: ần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức: ậm trong hình vẽ) tính theo công thức: ức

Câu 43 Cho hàm s ố yf x( ) có đ th nh hình vẽ Di n tích hình ồ thị như hình bên Gọi ị như hình bên Gọi ư ệu lưu hành nội bộ

ph ng ph n tô đ m đ ẳng giới hạn ần tô đậm trong hình vẽ) tính theo công thức: ậm trong hình vẽ) tính theo công thức: ược khối c tính theo công th c nào? ức

f x x



Câu 44 Cho hàm s ố y  x có đ th ồ thị hàm số ịnh trên  C G i ọi là nguyên hàm của hàm D là hình ph ng gi i h n b i ẳng ởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ạn ởi hai mặt phẳng vuông góc với trục  C , tr c hoành và haiục trên

đười ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ng th ng ẳng x  , 2 x  Th tích c a kh i tròn xoay t o thành khi quay 3 ể viết ủa hàm ố ạn D quanh tr cục trên hoành được gọi là nguyên hàm của hàmc tính b i công th c:ởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên

x

3 2 2d

x

3 2 2d

Câu 47 Cho hàm s ố f x liên t c trên   ục và có đồ thị như hình bên Gọi , có đ th nh hình vẽ G i ồ thị như hình bên Gọi ị như hình bên Gọi ư ọ tất cả các nguyên hàm của hàm số S là di n ệu lưu hành nội bộ

tích hình ph ng đ ẳng giới hạn ược khối c gi i h n b i đ th hàm s ới hạn ạn ởi đồ thị hàm số đã cho và trục ồ thị như hình bên Gọi ị như hình bên Gọi ố f x , tr c hoành và  ục và có đồ thị như hình bên Gọi

tr c tung Kh ng đ nh nào sau đây đúng? ục và có đồ thị như hình bên Gọi ẳng giới hạn ị như hình bên Gọi

Câu 49 Cho hình ph ng ẳng  H gi i h n b i đ th hàm s ới mọi ạn ởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ồ thị hàm số ịnh trên ố y x23x 2, tr c hoành và hai đục trên ười ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ng

A 4 B 5 C 7 D 1.

M C Đ 2 ỨNG DỤNG Ộ 1

Câu 1 H t t c các nguyên hàm c a hàm s ọ tất cả các nguyên hàm của hàm số ất cả các nguyên hàm của hàm số ả các nguyên hàm của hàm số ủa hàm số ố  

1 21

2 2 1d

x x

2 3

13

Câu 4 H t t c các nguyên hàm c a hàm s ọ tất cả các nguyên hàm của hàm số ất cả các nguyên hàm của hàm số ả các nguyên hàm của hàm số ủa hàm số ố  

21

Câu 8 Bi t ếu F x  là m t nguyên hàm c a ội bộ ủa hàm số   1

Câu 9 Tính di n tích hình ph ng t o thành b i parabol ệu là ẳng ạn ởi hai mặt phẳng vuông góc với trục y x 2,

đười ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ng th ng ẳng yx2 và tr c hoành trên đo n ục trên ạn 0;2

(ph n g ch s c trong hình vẽ ần gạch sọc trong hình vẽ ạch sọc trong hình vẽ ọc trong hình vẽ )

Câu 10 Phát bi u nào sau đây là đúng?ể viết

Ta có:

a a

tr c ục trên Ox ta được gọi là nguyên hàm của hàmc kh i tròn xoay có th tích là:ố ể viết



43



1615



 2

V y ật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục P  4

Câu 17 Nguyên hàm F x c a hàm s  ủa hàm ố  

   V y ật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục S 4ln 2 e 5 

Câu 19 M t v t chuy n đ ng v i v n t c ộc ật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ể viết ộc ới mọi ật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ố v t   1 2sin 2 m/st  Quãng đười ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ng v t di chuy n trongật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ể viết

kho ng th i gian t th i đi m ả các nguyên hàm của hàm số ời ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ừ thời điểm ời ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ể viết t0 s  đ n th i đi m ếu ời ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ể viết  

3s4



3 4 0

S 

C

3974

S 

D

93712

ab 

14

ab 

18

ab 

18

d d1

2

x x

P 

23

11

b 

,

143

c 

nên

163

P a b c   

Câu 24 Cho hàm s ố f x xác đ nh trên   ị như hình bên Gọi \  2 th a mãn ỏa mãn  

3 12

x x

Do đó f  2  f 3 12.

2cos2

L i gi iời ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ả các nguyên hàm của hàm số

Ch n ọi là nguyên hàm của hàm C

43

a

.Câu 27 Tính th tích kh i tròn xoay để viết ố ược gọi là nguyên hàm của hàm ạn c t o thành khi quay hình ph ng gi i h n b i đ th hàm sẳng ới mọi ạn ởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ồ thị hàm số ịnh trên ố

23



417



87

 (đvtt)

V yật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục I (x2)e x 3(x1)e xC ( 2x1)e xC

Câu 30 Cho F x( ) sin 2 x là m t nguyên hàm c a hàm s ội bộ ủa hàm số ố f x e( ) x Tìm nguyên hàm c a hàm s ủa hàm số ố

V yật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục I 2cos 2x sin 2x C

Câu 31 Cho F x( )x2 là m t nguyên hàm c a hàm s ội bộ ủa hàm số ố f x e( ) 2x Tìm nguyên hàm c a hàm s ủa hàm số ố

2( ) x

I  

1

ln 2 8

I  

1 3ln 2 8



1112

45

d3

x I

1d

Ta có

1

2 0

d3

x I

2 0

3 1 tan

d

3 1 tan

t t t

3d

.2

2

a

, b  , 1 c  2

x y x

a b c

u u

u x



2 2

1

12

3

u

u u u



2 2 1

x



H ướng d n ng ẫn gi i ảng nguyên hàm và vi phân

Ch n ọ nguyên hàm của hàm số C

42

0

a

b C a

a b C

2 2

a b

23

I  tdt

2 2 1

23

149

x

Đ i c n: ổi dấu thì: ật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục x1 t1; x e t2

2 1

2dt3

t

1

29

9



Câu 55 Choyf x , y g x   là các hàm s có đ o hàm liên t c trên ố ạn ục trên 0;2 và     

sindcos

1d

th c ứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên a b c  ?

L i ờng gặp gi i ảng nguyên hàm và vi phân

Ch n ọ nguyên hàm của hàm số D

 21

2 0

1d1

2

1

x x x

V y ật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục a b c   2

Câu 59 Cho tích phân

V y ta đật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ược gọi là nguyên hàm của hàmc a1;b 2

 1

d93

, trong đó ,a b   và C là h ng s b t kì M nh đ nàoằng: “Mọi hàm số liên tục trên ố ất cả các nguyên hàm của hàm số ệu là ều có nguyên hàm trên



L i ờng gặp gi i ảng nguyên hàm và vi phân

Ch n ọ nguyên hàm của hàm số C

0d

L i gi iời ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ả các nguyên hàm của hàm số

Ch n D ọi là nguyên hàm của hàm

2 1d

a b

5d7

2 2

0 0

Câu 4 Cho hàm s ố yf x  th a mãn ỏa mãn f x'( ) 2xf x  2xex2, x R

    và f  0  T t c các1 ất cả các nguyên hàm của hàm số ả các nguyên hàm của hàm số nguyên hàm c a ủa hàm số

51

T gi thi t, ta có ừ thời điểm ả các nguyên hàm của hàm số ếu x x 1  f x  f x  x2x   

1

a 

và

32

0d

Câu 12 Cho hàm s ố f x có đ o hàm trên   ạn  th a mãn ỏa mãn f x  2020f x  2019.x2019.e2020x v i m i ới hạn ọ tất cả các nguyên hàm của hàm số

x   và f  0 2020. Tính giá tr ị như hình bên Gọi f  1

H ướng ng d n gi i ẫn ảng nguyên hàm và vi phân

I 

H ướng ng d n gi i ẫn ảng nguyên hàm và vi phân

Ch n C ọ nguyên hàm của hàm số

Cách 1: (Dùng công th c – D ng 2) ức đổi biến số: ạng 1:



I

4 75



I

1 25

x x x

t

 

dd

x t x

 3

4 2

1

ln2

Giá tr c a ịnh trên ủa hàm b ngằng: “Mọi hàm số liên tục trên

V y ật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục

Câu 18 Cho hàm s ố có đ o hàm trên ạn th a ỏa

4

74

Do nên

V y ật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục

Câu 20 Cho hàm số xác đ nh và liên t c trênịnh trên ục trên th a mãnỏa

f x dx

1

ln 2

2

ln 22

12

Câu 22 Cho hàm s ố liên t c trên ục trên  th a mãn ỏa Tính tích

phân ta được gọi là nguyên hàm của hàmc k t qu :ếu ả các nguyên hàm của hàm số

Câu 23 Suy ra Cho hàm số liên t c trên ục trên th a mãnỏa

V y ật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục

Câu 24 M t ô tô đang ch y v i t c đ ộc ạn ới mọi ố ộc thì người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên i lái đ p phanh, t th i đi m đó ô tô chuy nạn ừ thời điểm ời ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ể viết ể viết

đ ng ch m d n đ u v i ộc ật thể giới hạn bởi hai mặt phẳng vuông góc với trục ần tính ều có nguyên hàm trên ới mọi , trong đó là kho ng th i gian tính b ng giây, kả các nguyên hàm của hàm số ời ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên ằng: “Mọi hàm số liên tục trên ể viết

t lúc b t đ u đ p phanh H i t lúc đ p phanh đ n khi d ng h n, ô tô còn di chuy n baoừ thời điểm ắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục ần tính ạn ỏa ừ thời điểm ạn ếu ừ thời điểm ẳng ể viết nhiêu mét

0d

52

134

x

f x

x x x