BAI TAP TOAN 12 HKI FULL DAIHINH

điệu trên khoảng K.Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị đi lên từ trái sang phải Nếu hàm hàm số nghịch biến trên K thì đồ thị đi xuống từ trái sang phải B- BÀI TẬP: Vấn đề 1: Xét sự đồ

PHẦN I: GIẢI TÍCH CHƯƠNG 0: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CẦN ÔN LẠI

P x x

a

ìïï = + ïïï

1

x c x a

é =êê

ê =ê

 Nếu a b c- + =0

thì phương trình có nghiệm:

1 2

1

x

c x

a

é êê

ê êë

=-5 Dấu của nghiệm số:

ax +bx c+ = a¹

 Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt

000

P S

P S

ìï D ³ïïï

P S

P S

ìï D ³ïïï

Û íïï <>

ïïî

 Phương trình có 2 nghiệm cùng dấu

00

 Phương trình có 2 nghiệm trái dấu Û P< 0

III Dấu của đa thức:

1 Dấu của nhị thức bậc nhất:

“Phải cùng, trái trái”

6 Dấu của tam thức bậc hai:

cùng dấu a

cùng dấu a 0 trái dấu a 0

“Trong trái, ngoài cùng”

7 Dấu của đa thức bậc ³ 3: Bắt đầu từ ô bên phải cùng dấu với hệ số a của

số mũ cao nhất, qua nghiệm đơn đổi dấu, qua nghiệm kép không đổi dấu

IV Điều kiện để tam thức không đổi dấu trên R

é = +ê

u a

p p

8 Bất phương trình:

= Û í

ï =ïî

9 Bất phương trình:



2

000

B A

A

A B

ìï ³ïïï

( )'x n =n x n '

“anh bạn ăn cơm bằng chén”

CHƯƠNG I: ỨNG DỤNG ĐẠO HÀM ĐỀ KHẢO SÁT VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA

điệu trên khoảng K.

Nếu hàm số đồng biến trên K thì đồ thị

đi lên từ trái sang phải

Nếu hàm hàm số nghịch biến trên K thì

đồ thị đi xuống từ trái sang phải

B- BÀI TẬP:

Vấn đề 1: Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số

Phương pháp: Để xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y= f x( )

, ta thựchiện các bước như sau:

 Từ bảng biến thiên kết luận các khoảng đồng biến, nghịch biến của hàm số

1 Xét sự đồng biến, nghịch biến của các hàm số sau:

-=+

l)

12

x y

x

-=-

m)

111

14

x y x

-=-

c)

2 2

11

j) y x= 3- x

k)

225

x

=-

u)

216

x y

0

y y

a

ìï D £ïï

0

y y

a

ìï D £ïï

cx d

+

=+

cx d

-=

+

có dấu phụ thuộc vào dấu của tử

 Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định

=

-a Nghịch biến trên từng khoảng xác định

b Đồng biến trên từng khoảng xác định

15.Định m để hàm số:

a

22

x m y

x m

+

=- đồng biến trên từng khoảng xác định

c)

33

mx y

x m

-=+

nghịch biến trên từng khoảng xác định

16.Tìm m để các hàm số sau luôn đồng biến trên R

:a

mx y

x m

+

=+

nghịch biếntrên khoảng (- ¥ ;1)

-21.(*)Tìm tất cả các giá trị của tham số m để hàm số

 Nếu hàm số f x( )

đạt cực đại (cực tiểu) tại 0

x

thì0

được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số

và được ký hiệu là () hay (), còn điểm

0 0; ( )0

M x f x

được gọi

là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

 Các điểm cực đại và điểm cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) và được gọi chung là cực trị của hàm số.

'( ) 0''( ) 0

'( ) 0''( ) 0

'( ) 0''( ) 0

'( ) 0''( ) 0

'( ) 0''( ) 0

00

y y

00

y y

a

ìï D £ïï

Û íï

¹ïïî

b x

a

é =êê

-ê =ê

 Hàm số có 3 cực trị Û

Phương trình y =' 0

có 3nghiệm phân biệt Û

Phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt

khác 0

02

b a

Phương trình (2) vô nghiệm hoặc có nghiệm kép

bằng 0

02

b a

.c)Có hai cực trị

27.Định m để các hàm số sau có 2 cực trị:

khi x =1

.b) Với a, b vừa tìm được hãy xác định các khoảng đơn điệu và cực trị của hàm số

y= x - m+ x + m +m x+

(ĐHTS – 1999)c)

Vấn đề 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên 1 đoạn

Phương pháp: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số y= f x( )

trên 1đoạn [ ; ]a b

-=-

trên đoạn [0;2]

i)

41

2100

y= - x

trên đọan [ 8;6]

-l)

225

…

Tìm tập xác định

Tính đạo hàm y'

Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, so sánh và kết luận

2 Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

50. Tìm các giá trị của tham số m để giá trị nhỏ nhất của hàm số

2( )

Chú ý: Đối với hàm số phân thức hữu tỷ

( )( )

x

+

=-

c)

11

x y x

+

=-

d)

22

x y

x

=+

x y

x

=-

f)

71

x y x

- +

=+

g)

x y x

-=-

h)

7 1

y x

=

-51. Tìm tất cả các tiệm cận của đồ thị hàm số sau:

x y

x

=+

b)

x y x

-=+

c)

1

x y x

-=-

d)

21

y x

=+

2

29

x y

x

-=-

x

-=-

b) Tìm các điểm trên (C) sao cho điểm đó cách đều các đường tiệm cận của (C)

§5 KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ A- KIẾN THỨC CƠ BẢN:

Các bước chung khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số:(6 dấu *)

∗ Tập xác định:

∗ Giới hạn (và tiệm cận đối với hàm phân thức

ax b y

cx d

+

=+

cx d

+

=+

Nhận xét về chiều biến thiên và cực trị

∗ Bảng giá trị:(5 điểm đối với hàm bậc 3, bậc 4; 6 điểm đối với hàm phân thức

ax b y

cx d

+

=+

)

Chú ý: Đối với hàm bậc ba, nếu phương trình y =' 0

vô nghiệm thì khi lập

bảng giá trị ta giải phương trình y ='' 0

để tìm điểm 0

x

là điểm chính

giữa của bảng giá trị (điểm M x y0( 0; 0)

được gọi là điểm uốn của đồ thị)

' 0

y =

cónghiệm kép

' 0

y =

vônghiệm

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị các hàm số bậc ba sau:

3

2 3 43

x y x

+

=-

b)

1 2

x y

x

-=-

c)

2

x y

x

- +

=+

d)

1

x y

+

=-

f)

44

y x

=-

g)

2

x y x

x y x

-=+

§6 MỘT SỐ BÀI TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN KHẢO SÁT HÀM SỐ

I SỰ TƯƠNG GIAO CỦA HAI ĐỒ THỊ

Vấn đề 1 : Tìm giao điểm của hai đường.

1 Tìm giao điểm của hai đường :

a

1( ) :

và ( ) :d y=- +x 1a)

3 2( ):C y x= - x - 5x+6

và ( ):d y=4x- 3b)

3( ):C y x= - 12x+16

và

2( ):P y=4x - 8x

và

2( ):P y x= - 4x+3

d)

3 2( ) :C y x= - x - x+8

cắt trục hoành tại bốn điểm phân biệt.

53. Chứng minh đồ thị các hàm số sau luôn cắt nhau tại 2 điểm phân biệt vớimọi giá trị của m

x y

x

-=-

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho.

aa) Tìm tất cả các giá trị của tham số m

để đường thẳng2

( ):P y x= - 2x+3

tại 2 điểm phân biệt

ab) Đường thẳng d qua A(1;2)

có hệ số góc m cắt đồ thị

( ):C y x= - 2x + +x 2

tại 3 điểm phân biệt

Vấn đề 3: Dùng đồ thị biện luận theo tham số m số nghiệm của phương trình.

ï =ïî

 Bảng kết quả :

( )

Lưu ý: Nếu bài toán chỉ yêu cầu tìm các giá trị của m để phương trình có đúng

3 nghiệm, 4 nghiệm,… ta không cần lập bảng kết quả như trên mà chỉ cần chỉ rõ

các trường hợp thỏa đề (Dựa vào đồ thị ta thấy (C) và (d) cắt nhau tại đúng 3 điểm, đúng 4 điểm …)

56. Cho hàm số

y x= - x+

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

ac) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m

số nghiệm củaphương trình:

x - x+ - m=

ad) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m

số nghiệm củaphương trình:

af) Dựa vào đồ thị (C), tìm m để phương trình

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

ah) Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo tham số m

số nghiệm củaphương trình:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

ai) Dựa vào đồ thị (1), biện luận theo tham số m

số nghiệm củaphương trình

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

aj) Biện luận theo tham số m

số nghiệm của phương trình:

-a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) củ-a hàm số

ak) Biện luận theo tham số m

số nghiệm của phương trình:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

al) Tìm điều kiện của m

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

am) Tìm điều kiện của m

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến khi biết hoành độ tiếp điểm 0

a Tại các giao điểm của (C) với trục hoành

an) Tại điểm có hoành độ bằng 4

ao) Biết tiếp tuyến có hệ số góc k =- 3

ap) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=9x+2013

aq) Biết tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng

1 20143

a Tại điểm có hoành độ bằng 2

.ar) Tại điểm có tung độ bằng 3

as) Biết tiếp tuyến song song với đường thẳng y=24x+2007

65. Cho hàm số:

31

x y x

+

=+

:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

at) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y =2

+

=-

:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

au) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trụctung

67. Cho hàm số:

3 3 2 2

y=- x + x +

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

av) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm A -(0; 2)

.aw) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) biết tiếp tuyến song song vớiđường thẳng 9x- 4y- 4 0=

-=-

:

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

ax) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm M(2;1)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

ay) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm 0

x

là nghiệmcủa phương trình f x =''( ) 0

71. Cho hàm số

11

x y x

-=+

a Viết phương trình tiếp tuyến D

của (C) tại điểm M -(0; 1)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

az) Gọi A là điểm thuộc đồ thị (C) có hoành độ bằng 4, viết phương trình tiếptuyến với đồ thị (C) tại điểm A

73. Cho hàm số

1

x y x

+

=+

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng - 3

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

ba) Biện luận theo m

số nghiệm của phương trình

x - x + x- + =m

.bb) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục tung.bc) Tìm giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [ 2;6]-

bg) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có hoành độ bằng 2.

78. Cho hàm số

11

x y x

-=+

.bj) Tìm các giá trị của tham số m để phương trình sau đây có nhiều hơn 2nghiệm:

81. Cho hàm số

y= x + x

-a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) củ-a hàm số.

bn) Biện luận theo m

số nghiệm của phương trình

2x +3x +2m=0

.bo) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại giao điểm của (C) với trục hoành.bp) Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đườngthẳng y=12x- 1

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) biết tiếp tuyến song song với đường thằng

x y x

+

=-

có đồ thị (C)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

b (*)Viết phương trình tiếp tuyến của (C) kẻ từ điểm

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C)

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với trục hoành

c Dùng đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình

CHƯƠNG II: HÀM SỐ LŨY THỪA, HÀM SỐ MŨ VÀ HÀM SỐ LƠGARIT

§1 LŨY THỪA

A KIẾN THỨC CƠ BẢN:

I Lũy thừa với số mũ nguyên:

1 Lũy thừa với số mũ nguyên dương: Cho a là 1 số thực tùy ý, n là 1 số nguyên

dương, ta định nghĩa:

n nthừasố

a = 144424443a a a

n a

: lũy thừa bậc n của a, a gọi là cơ số, n là số mũ

86.Lũy thừa với số mũ nguyên âm: Với a ¹ 0

b

b =

n n a khi n leû a

a khi n chaün

ìïï

=íïïî

a = a a> mÎ nÎ n³

Lưu ý:

1

n n

IX Tính chất của lũy thừa với số mũ thực:

Lũy thừa với số mũ thực có đầy đủ các tính chất của lũy thừa với số mũ

nguyên Ngoài ra:

F =

g)

( )5 54 82

d)

3 2 6

b b b

a)

3 1 12

32

x+ =

b)

4 3

I Khái niệm lôgarit:

1 Định nghĩa: Cho hai số dương

b a a

=

5)

log ( ) loga bc = a b+loga c

(lôgarit của tích bằng tổng các lôgarit)

logc

a

c

b b

X Lôgarit thập phân và lôgarit tự nhiên:

 Lôgarit thập phân là lôgarit cơ số 10 10

a) 3

log 27

b)

1 9log 3

c)

3 2

1 3

1log

81

d)

2 log 516

e)

5 log 31

92.Tính giá trị biểu thức sau

1log

3

94.Tính

,

1 3

y x=

,2

a =

nguyên dương)

x

y= ÷æöçç ÷ç ÷è ø÷

R

D =

 Tập giá trị: T = +¥(0; )

 Khi a >1

hàm số đồng biến, khi 0< <a 1

hàm số nghịchbiến

 Nhận trục hoành làm tiệm cận ngang

 Đồ thị:

Chú ý:

Hàm số lũy thừa Biến thiên Không đổi

Hàm số mũ Không đổi Biến thiên

 Nhận trục tung làm tiệm cận đứng

 Đồ thị:

XIII Đạo hàm của hàm số lũy thừa, mũ, lôgarit.

y= x+

f)

2ln( 5 6)

e y e

=-

i)

2 2

-k)

ln1

x y

y= x - x+ e

f)

2(sin cos ) x

-=+

e y

=+

=

trên đoạn

3[1; ]e

§4 PHƯƠNG TRÌNH MŨ VÀ PHƯƠNG TRÌNH LÔGARIT

100 Một số phương pháp giải phương trình mũ:

a Phương pháp đưa về cùng cơ số: Với a >0

Lưu ý:

1

x x

XIV Phương trình lôgarit:

Lưu ý đặt điều kiện:

loga b

xác định

001

b a a

ìï >

ïïï

Û íï >

ï ¹ïïî

1 Phương trình lôgarit cơ bản: Với a >0

và a ¹ 1

, ta có:

a x b= Û x a=

101 Một số phương pháp giải phương trình lôgarit:

a Phương pháp đưa về cùng cơ số: Với a >0

 Nếu f x >( ) 0

thì

2logaéëf x( )ù =ûn 2 log ( )n a f x

 Nếu f x ¹( ) 0

thì

2logaéëf x( )ù =ûn 2 log ( )n a f x

 Chỉ dùng các biến đổi sau đây khi f x( ) 0, ( ) 0> g x >

-i)

2

3

5 6 12

BAÁT PHÖÔNG TRÌNH MUÕ

1 Giải các bất phương trình sau:

+

³-

c)

2 log0,8(x + + <x 1) log0,8(2x+ 5)

d)

1 3

3 1

2

x x

5log log 3

I Quan hệ song song:

1) Hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng đồng phẳng và không có điểm

chung

2) Đường thẳng d song song với mặt phẳng ( )a

không nằmtrong ( )a

song song với một đường thẳng d'

nằmtrong ( )a

d' d

üïË

ïïï Þýïï

3) Hai mặt phẳng song song với nhau nếu mặt phẳng này chứa hai đường thẳng cắt

nhau cùng song song với mặt phẳng kia

M b

ïïï

ïïïïþ

P P

II Quan hệ vuông góc:

üï

và đường thẳng a

nằm trong mặt phẳng( )a

Khi đó, điều kiện cần và đủ để a

3) Hai mặt phẳng vuông góc với nhau nếu mặt này chứa một đường thẳng vuông góc

a

b

üï

üï

1) Góc giữa hai đường thẳng: Góc giữa hai đường thẳng a và b là góc giữa hai

đường thẳng cắt nhau a’ và b’ lần lượt song song (hoặc trùng) với a và b

là O.

- Vì AH ⊥( )α

nên hìnhchiếu của A trên ( )α

3) Góc giữa hai mặt phẳng: Là góc giữa hai đường thẳng lần lượt nằm trong 2 mặt

phẳng, cùng vuông góc với giao tuyến

d I

( )a

và ( )b

mà cùngvuông góc với giao tuyến d

 Khi đó góc giữa hai mặt phẳng

( )a

và ( )b

bằnggóc giữa hai đường thẳng a và b

IV Khoảng cách:

110 Khoảng cách giữa hai đường thẳng chéo nhau: Bằng độ dài đoạn vuông

góc chung của hai đường thẳng đó

MN đượcgọi là đoạnvuông gócchung của haiđường thẳng a

ïï = + ïî

“Sao đi học, cứ khóc hoài, thôi đừng khóc, có kẹo đây”

S= AB AC

c) Tam giác đều:

2 34

hoặc .sin

S= AC BD

4) Các tính chất đặc biệt của các hình:

 Trong tam giác vuông, đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông có độ dàibằng ½ cạnh huyền

12

• Đường cao đi qua tâm của đáy

• Các mặt bên là các tam giác cân bằng nhau và hợp với đáy các góc bằngnhau

• Các cạnh bên hợp với đáy các góc bằng nhau

Chú ý :

(i) Tứ giác đều là hình vuông, ta thường vẽ là hình bình hành có tâm là giaođiểm của 2 đường chéo.

(ii) Đối với tam giác đều ta vẽ tam giác thường có tâm là giao điểm hai đường

trung tuyến

(iii) Tứ diện đều là tứ diện có tất cả các cạnh đều bằng nhau

2) Hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy:

Chú ý : Giả thiết bài toán có thể cho một trong hai dạng sau:

(i) SA^(ABCD)(ii) (SAB)

3) Hình chóp có một mặt bên vuông góc với đáy: thì đường cao của mặt bên đó sẽ

vuông góc với mặt đáy

Chú ý :

(i) Cơ sở của hình trên là: “Hai mặt phẳng vuông góc với nhau, nếu đường thẳng nào nằm trong mặt phẳng này và vuông góc với giao tuyến thì cũng

sẽ vuông góc với mặt phẳng kia”

(ii) Đường cao SH của DSAB

chính là đường cao của hình chóp nên vẽ

SH thẳng đứng

(iii) Thường bài toán cho “ ∆SAB

là tam giác đều là nằm trong mặtphẳng vuông góc với đáy” ta trình bày như sau:

- Gọi H là trung điểm AB

II Tỉ số thể tích của khối chóp: Cho khối chóp tam giác S.ABC Trên ba đường thẳng

SA, SB, SC lần lượt lấy 3 điểm A’, B’, C’ khác với S

Ta có:

' ' '

= ' ' '

B SAC ABC

C SAB SAB

V

d A SBC

S V

d B SAC

S V

d C SAB

S

Trong đó: V A SBC. =V B SAC. =V C SAB. =V S ABC.

IV Hình lăng trụ - khối lăng trụ:

Thể tích khối lăng trụ bằng diện tích đa giác đáy nhân với chiều cao