Suu tam - Toan 4

Quy tắc so sánh nghiệm 4.. So sánh một số với các nghiệm 6.. So sánh hai số với các nghiệm 7.. Bài tập tham khảo 1... + Chương IV: Phương trình và bất phương trình bậc hai1 Phương trình

2 Dạng bài tập 1

3 Quy tắc so sánh nghiệm

4 Bài tập 2 và bài 9

5 So sánh một số với các nghiệm

6 So sánh hai số với các nghiệm

7 Bài tập 8 - đáp số

8 Bài tập tham khảo 2

9 Bài tập tham khảo 1

+ Chương IV: Phương trình và bất phương trình bậc hai

1 Phương trình bậc hai

2 Hệ phương trình bậc hai

3 Bất phương trình bậc hai

4 Hệ bất phương trình bậc hai

5 Định lí đảo về dấu của tam thức bậc

hai

6 Phương trình và bất phương trình quy

về bậc hai

Định lí đảo về dấu của tam thức bậc hai Định lí đảo -ứng dụng

So sánh nghiệm

Định lí Cho tam thức bậc hai f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) và một

số thực α Nếu af( α ) < 0 thì tam thức có hai nghiệm phân biệt x1, x2 (x1 < x2) và x1 < α < x2.

Hệ quả 1 Điều kiện cần và đủ để phương trình bậc hai

f(x) = ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có hai nghiệm phân biệt

x1, x2 (x1 < x2) là tồn tại số α sao cho af( α ) < 0.

Hệ quả 2 Cho tam thức f(x) = ax2 + bx + c (a ≠ 0) và hai số

α , β sao cho α < β Điều kiện cần và đủ để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm, trong đó một nghiệm nằm trong khoảng ( α ; β ) nghiệm kia nằm ngoài đoạn [ α ; β ] là: f( α ).f( β ) < 0.

Dạng 1: Chứng minh phương trình bậc hai ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

có nghiệm.

Điều kiện cần và đủ để phương trình f(x) = ax 2 + bx + c = 0 (a ≠ 0)

có 2 nghiệm phân biệt là (một trong các điều kiện sau):

1. ∆ = b 2 - 4ac > 0

2. ∃ α ∈ R : af(α) < 0

3. ∃ α, β ∈ R, (α<β) : f(α)f(β) < 0

Bài tập1: Chứng minh phương trình:

(x - 1)(x - 2) + (x - 2)(x - 3) + (x - 3)(x - 1) = 0

có hai nghiệm phân biệt

D¹ng 2: So s¸nh sè thùc α víi c¸c nghiÖm cña tam thøc

f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0).

C¸ch gi¶i:

af(α)

(-) (0) (+)

x1 < α < x2 α lµ mét

nghiÖm ∆ > 0

α ∉ [x1 ; x2] 2

S

α

−

(-) (+)

x1 < x2 < α α < x1 < x2

(∆ = 0 so s¸nh α víi -b/2a)

Bài tập2: Không giải phương trình, hãy so sánh số -1 và 3 với các

nghiệm của phương trình sau:

2x2 - 9x + 6 = 0

b) Phương trình có hai nghiệm phân biệt đều lớn hơn 1 c) Phương trình có một nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 1) còn nghiệm kia nằm ngoài đoạn [-1 ; 1]

(m + 1)x2 + 2(m - 2)x + 2m - 12 = 0

Xác định m để:

a) Phương trình có hai nghiệm trái dấu

(m2 + 1)x2 - 2(m + 2)x - 2 = 0

Đáp số:

f(x) = (m2 + 1)x2 - 2(m + 2)x - 2

2

2

* ( 3)

S m m

m

+ +

− − =

+















Phương trình có hai nghiệm phân biệt và:

-3 < x1 < x2

> 0, ∀ m

> 0, ∀ m

> 0, ∀ m

> 0, ∀ m

* a = m2 + 1

* f(-3) = 9m2 + 6m + 19

* ∆’ = 3m2 + 4m + 6

Bài tập. Tìm m để phương trình: x4 - 5x2 + 3m - 1 = 0

có 4 nghiệm phân biệt ?

Bài tập tham khảo: Tìm các giá trị của m để bất phương trình: 3x2 + 2(3 - m)x + 5 - 2m < 0

thoả mãn với mọi x ∈ [1 ; 3]

Cách giải:

- Xét tam thức f(x) = 3x 2 + 2(3 - m)x + 5 - 2m.

Để bất phương trình 3x 2 + 2(3 - m)x + 5 - 2m < 0 thoả mãn với mọi x ∈ [1 ; 3]

⇔ tam thức f(x) = 3x 2 + 2(3 - m)x + 5 - 2m âm với mọi x ∈ [1 ; 3]

Gọi ∆ là biệt số của tam thức.

+ Nếu ∆ ≤ 0 thì f(x) ≥ 0, ∀ x ∈ R ⇒ ∆ ≤ 0 không thoả mãn yêu cầu bài toán + Nếu ∆ > 0 khi đó f(x) có hai nghiệm x1, x2 và f(x) < 0, ∀ x ∈ (x1 ; x2).

Vậy để f(x) < 0, ∀ x ∈ [1 ; 3] ⇔ x1 < 1 < 3 < x2

3 (1) 0f < f (1) 0 < 14 4 − m< 0

⇔  ⇔  ⇔  ⇔ >m 25

Tr hîp VÞ trÝ α so víi nghiÖm §iÒu kiÖn

1 x1 < α < x2 af( α) < 0

2

af S

α α

=





 >





2

af S

α α

=





 <





4 α < x1 < x2

0

2

af S

α α



∆ >

 >





 >



α



∆ >

Tr hîp VÞ trÝ α , β so víi

nghiÖm

§iÒu kiÖn

1 x1 < α < β < x2 2

3

4

So s¸nh 2 sè α, β (α < β) víi nghiÖm tam thøc

f(x) = ax 2 + bx + c (a ≠ 0)

( ) 0 ( ) 0

af af

α β

<





α < x1 < β < x2 ( ) 0

( ) 0

af af

β α

<





x1 < α < x2 < β ( ) 0

( ) 0

af af

α β

<





α < x1 < x2 < β

0

af af

S

α β

∆ >







 < <