giáo án tự chọn toán 9

giáo án tự chọn toán 9 tham khảo

Buổi 26

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẰNG PHƯƠNG PHÁP THẾ

a) ab’ – a’b 0: hệ có nghiệm duy nhất

b) ab’ – a’b 0: hệ vô nghiệm hoặc vô số nghiệm

II Bài tập

Bài 1: Vẽ hai đường thẳng (d1): x + y = 2 và (d2): 2x + 3y = 0 Hỏi đường thẳng

(d3): 3x + 2y = 10 có đi qua giao điểm của (d1) và (d2) không ?

Bài 2: Giải các hệ phương trình sau:

Bài 4: Tìm giá trị của a và b để hai đường thẳng (d1): và

(d2): cắt nhau tại điểm M(2; - 5)

Bài 5: Giải các hệ phương trình sau:

(I) hoặc (II)

Giải (I) ta được nghiệm (x; y) = (1; - 3)

Giải (II) ta được nghiệm (x; y) = (3; 1)

Buổi 27

GÓC Ở TÂM SỐ ĐO CUNG LIÊN HỆ GIỮA CUNG VÀ DÂY

I Kiến thức cần nhớ

*/ Góc ở tâm Số đo cung

- Góc có đỉnh trùng với tâm đường tròn được gọi là góc ở tâm

- Số đo của cung nhỏ bằng số đo góc ở tâm chắn cung đó

- Số đo của cung lớn bằng 3600 trừ đi số đo cung nhỏ

- Số đo của nửa đường tròn bằng 1800

- Trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

+ Hai cung được gọi là bằng nhau nếu chúng có số đo bằng nhau

+ Trong hai cung, cung nào có số đo lớn hơn được gọi là cung lớn hơn

-Nếu C là một điểm trên cung thì: sđ = sđ + sđ

*/ Liên hệ giữa cung và dây

- Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

+ Hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau

+ Hai dây bằng nhau căng hai cung bằng nhau

- Với hai cung nhỏ trong một đường tròn hay hai đường tròn bằng nhau:

+ Cung lớn hơn căng dây lớn hơn

+ Dây lớn hơn căng cung lớn hơn

- Nếu hai tam giác có hai cạnh tương ứng bằng nhau từng đôi một nhưng các góc xen giữa không bằng nhau thì cạnh thứ ba không bằng nhau và cạnh nào đối diện với góc lớn hơn là cạnhlớn hơn

2

O'

I O

A

AI AI

AI AI

II Bài tập

Bài 1: Cho tam giác OAO’ vuông cân ở A Vẽ hai đường tròn bán kính OA và O’A cắt nhau tại

điểm thứ hai I (Khác điểm A)

a) Tứ giác OAO’I là hình gì ? Vì sao ?

b) Tính số đo cung nhỏ và cung lớn của mỗi đường tròn

c) Có nhận xét gì về các cung nhỏ và cung lớn của mỗi đường tròn trên ?

Bài 2: Cho tam giác cân ABC (AB = AC) Trên tia đối của tia BA lấy điểm D Vẽ đường tròn

tâm O ngoại tiếp tam giác BCD

a) So sánh số đo các cung , và

b) Kẻ OI, OH, OK lần lượt vuông góc với DC, DB, BC So sánh các đoạn OI, OH, OK

Bài 3: Cho tam giác ABC, AB < AC Vẽ đường tròn đường kính BC cắt AB, AC lần lượt ở E

và D Chứng minh BD < CE

Bài 4: Cho đường tròn (O) có hai dây AB, CD vuông góc với nhau Gọi M là trung điểm của

BC Chứng minh rằng OM = AD

Bài 5: Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 10cm Một đường thẳng song song với AB

và cách AB 3cm, cắt nửa đường tròn tại C và D (C thuộc )

a) Tứ giác ACDB là hình gì ?

b) Tính độ dài AC, CD, DB

Bài 6: Cho đường tròn tâm O, đường kính AB, dây CD song song với AB (C thuộc cung )

Qua M là điểm chính giữa cung kẻ các dây ME, MF sao cho ME // AC, MF // BD Chứng minh rằng

a) Tam giác MEF cân

b) Tam giác MEF và hình thang ABCD có diện tích bằng nhau

III Hướng dẫn

Bài 1:

a) Tứ giác OAO’I là hình vuông

b) Tứ giác OAO’I là hình vuông

DB DC BC

_ _

O

K

H I

O

I D

C B

A

M

O

E D

C

B A

I

H N

F

M

O E

D C

B A

= BF AE

AD BE

H O

D C

B A

= AE MC

= FB MD

= MD

MC

= BD AC

= MF

ME

c) Hai đường tròn (O) và (O’) bằng nhau vì có bán kính bằng nhau Do đó

- Cung nhỏ của đường tròn (O) = cung nhỏ của đường tròn (O’)

- Cung lớn của đường tròn (O) = cung lớn của đường tròn (O’)

Bài 2:

a) Tam giác cân ABC cân ở A nên

=> nên trong tam giác BCD có BD < CD và

Gọi I là điểm đối xứng với B qua AC, F là điểm đối

xứng với C qua AB, ta có ,

Từ (1) và (2) => => OID = FHO => FH = OI; ID = OH (3)

Mà SABDC = (OB + DI).OI

SMEF = (MO + OH).FH

Bài 5: Tìm giá trị của m để nghiệm của hệ phương trình

cũng là nghiệm của phương trình 3mx - 5y = 2m + 1

5

Bài 6: Nghiệm chung của ba phương trình đã cho được gọi là nghiệm của hệ gồm ba phương

trình ấy Giải hệ phương trình là tìm nghiệm chung của tất cả các phương trình trong hệ Giải các hệ phương trình sau:

b) Hệ phương trình vô nghiệm

c) Hệ phương trình vô nghiệm

Bài 5: Giải hệ ta được

Thay giá trị của x, y vào phương trình 3mx - 5y = 2m + 1 tìm được m = 1

Bài 1:Một ca nô dự định đi từ A đến B trong một thời gian đã định Nếu vận tốc ca nô tăng 3

km/h thì ca nô đến nơi sớm hơn 2 giờ Nếu vận tốc ca nô giảm 3km/h thì ca nô đến nơi chậm 3 giờ Tính chiều dài khúc sông AB

Bài 2: Một ca nô chạy trên sông trong 7 giờ, xuôi dòng 108km và ngược dòng 63km Một lần

khác, ca nô đó cũng chạy trong 7 giờ, xuôi dòng 81km và ngược dòng 84km Tính vận tốc riêngcủa ca nô và vận tốc của dòng nước (biết vận tốc riêng của ca nô và vận tốc của dòng nước trong cả hai lần là như nhau)

Bài 3: Quãng đường AB gồm một đoạn lên dốc dài 4km, một đoạn xuống dốc dài 5km Một

người đi xe đạp từ A đến B hết 40 phút và đi từ B về A hết 41 phút (vận tốc lên dốc và vận tốc xuống dốc lúc đi và về như nhau) Tính vận tốc lúc lên dốc và lúc xuống dốc

Bài 4: Một ca nô xuôi khúc sông dài 40km rồi ngược khúc sông ấy hết 4 giờ rưỡi Biết thời gian

ca nô xuôi 5km bằng thời gian ca nô ngược 4km Tính vận tốc của dòng nước

Dạng toán phần trăm

Bài 1: Hai trường A và B của một thị trấn có 210 học sinh thi đỗ vào lớp 10, với tỉ lệ trúng

tuyển 84% Tính riêng thì trường A đỗ 80%, trường B đỗ 90% Tính xem mỗi trường có bao nhiêu học sinh lớp 9 dự thi

Bài 2: Hai tổ sản xuất phải làm được 900 sản phẩm trong một thời gian quy định Do tổ một

làm vượt mức kế hoạch 20%, tổ hai làm vượt mức kế hoạch 30% nên hai tổ làm được 1130 sản phẩm Tính số sản phẩm mỗi tổ làm theo kế hoạch

Dạng toán về công việc, về vòi nước (chung – riêng)

Bài 1: Hai người làm chung một công việc thì sau 16 giờ sẽ xong việc Nếu người thứ nhất làm

một mình trong 3 giờ và người thứ hai làm một mình trong 6 giờ thì cả hai người làm được công việc Tính thời gian mỗi người làm một mình xong toàn bộ công việc

Bài 2: Hai vòi nước cùng chảy vào một bể không có nước thì sau 1 giờ 30 phút sẽ đầy bể Nếu

mở một mình vòi 1 trong 15 phút khoá lại rồi mở tiếp vòi 2 trong 20 phút thì cả hai vòi chảy được bể Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể

Bài 3: Hai tổ cùng làm chung một công việc thì trong 12 giờ thì xong Nhưng hai tổ cùng làm

trong 4 giờ thì tổ (I) đi làm việc khác, tổ (II) làm nốt trong 10 giờ thì xong công việc Hỏi mỗi

tổ làm riêng trong bao lâu thì xong công việc ?

Bài 4: Hai vòi nước chảy vào một bể không có nước Nếu cho vòi thứ nhất chảy trong 3 giờ rồi

khoá lại, sau đó cho vòi thứ hai chảy tiếp vào bể 8 giờ nữa thì đầy bể Nếu vòi thứ nhất chảy vào bể trong 1 giờ rồi mở thêm vòi thứ hai chảy tiếp trong 4 giờ nữa thì được bể Tính thời gian mỗi vòi chảy một mình đầy bể

Dạng toán về diện tích

Bài 1: Một mảnh đất hình chữ nhật có chiều dài lớn hơn chiều rộng 3m Nếu tăng chiều dài

thêm 2m và giảm chiều rộng 1m thì diện tích mảnh đất không đổi Tính chiều dài và chiều rộng ban đầu của mảnh đất

7

Bài 2: Một miếng đất hình chữ nhật Nếu tăng chiều rộng thêm 2m và chiều dài thêm 2m thì

diện tích tăng thêm 60m2, nếu giảm chiều rộng đi 3m và chiều dài đi 5m thì diện tích giảm đi 85m2 Tính kích thước miếng đất

II Hướng dẫn

Dạng chuyển động

Bài 1:Gọi vận tốc dự định của ca nô là x km/h, thời gia dự định đi khúc song AB là y giờ, thì

khúc sông AB dài xy km (x > 3, y > 2)

Theo đầu bài ta có hệ phương trình:

Giải hệ phương trình ta được x = 15, y = 12 (tmđk) => Khúc sông AB dài 15.12 = 180km

Bài 3: Gọi vận tốc lên dốc và xuống dốc theo thứ tự là x và y km/h (x > 0, y > 0)

Theo đầu bài ta có hệ phương trình

Bài 1: Gọi số học sinh của trường A và trường B dự thi theo thứ tự là x và y

Số học sinh của cả hai trường là 210 = 250

Theo đầu bài ta có hệ phương trình:

Dạng toán về công việc, về vòi nước (chung – riêng)

Bài 1: Gọi thời gian người thứ nhất làm một mình xong công việc là x giờ (x > 16)

thời gian người thứ hai làm một mình xong công việc là y giờ (y > 16)

Ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình ta được x = 24; y = 48 (tmđk)

Bài 2: Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x giờ (x > )

thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là 9 giờ (y > ) Ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình ta được x = 3,75 = 3 giờ 45 phút, y = 2,5 = 2 giờ 30 phút

Bài 3: Gọi thời gian tổ (I) làm một mình hoàn thành công việc là x giờ (x > 12)

thời gian tổ (II) làm một mình hoàn thành công việc là y giờ (y > 12)

Ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình ta được x = 60; y = 15 (tmđk)

Bài 4: Gọi thời gian vòi 1 chảy một mình đầy bể là x giờ (x > )

thời gian vòi 2 chảy một mình đầy bể là 9 giờ (y > 0 ) Ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình ta được x = 9; y = 12

Dạng toán về diện tích

Bài 1: Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh đất ban đầu lần lượt là x và y (m) (x > 0, y > 1)

Ta có hệ phương trình

Giải hệ phương trình ta được x = 8, y = 5

Bài 2: Gọi chiều dài và chiều rộng mảnh đất ban đầu lần lượt là x và y (m) (x > 5, y > 3)

- Số đo góc nội tiếp bằng nửa số đo cung bị chắn

- Trong một đường tròn:

+ Các góc nội tiếp bằng nhau chắn các cung bằng nhau

+ Các góc nội tiếp cùng chắn một cung hoặc chắn các cung bằng nhau thì bằng nhau

+ Góc nội tiếp chắn nửa đường tròn là góc vuông

+ Góc nội tiếp (nhỏ hơn hoặc bằng 900) có số đo bằng nửa số đo của góc ở tâm cùng chắn một cung

*/ Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung:

Góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung là góc có đỉnh nằm trên đường tròn và một cạnh là tiếp tuyến còn cạnh kia chứa dây cung của đường tròn đó

Số đo góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung bằng nửa số đo cung bị chắn

*/ Trong một đường tròn, góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn một cung thì bằng nhau.

Bài 2: Từ một điểm A nằm ngoài đường tròn (O) Kẻ hai tiếp tuyến AB, AC (B, C là tiếp điểm).

Gọi M là trung điểm AC Đoạn thẳng MB cắt đường tròn tại K (khác B) Tia AK cắt đường tròntại D (khác K) Chứng minh rằng BD // AC

Bài 3: Hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A và B Qua A vẽ cát tuyến CAD với hai đường

tròn ( C (O), D (O’))

a) Chứng minh rằng khi cát tuyến quay xung quanh điểm A thì có số đo không đổi

b) Từ C và D vẽ hai tiếp tuyến với đường tròn Chứng minh rằng hai tiếp tuyến này hợp với nhau một góc có số đo không đổi khi cắt tuyến CAD quay xung quanh điểm A

Bài 4: Từ một điểm M cố định ở bên ngoài đường tròn (O) ta kẻ một tiếp tuyến MT và một cát

tuyến MAB của đường tròn đó

a) Chứng minh rằng ta luôn có MT2 = MA.MB và tích này không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến MAB

b) Khi cát tuyến MAB đi qua tâm O, tính bán kính của đường tròn nếu MT = 20cm,MB = 50cm

Bài 5: Từ điểm M nằm ngoài đường tròn (O), vẽ hai tiếp tuyến MA, MB và cát tuyến MCD với

đường tròn (O) Gọi I là giao điểm của AB và CD Chứng minh rằng:

Bài 6: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Tia phân giác của góc BAC cắt (O) tại D

Đường tròn (D; DB) cắt AB, AC lần lượt tại Q, P Chứng minh AO ⊥

PQ10

) )

/ /

M

O F E

C B

A

= CE BE

R

=

Bài 8: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Lấy điểm M bất kì trong tam giác, các tia

AM, BM, CM cắt đường tròn tại I, K, H Chứng minh:

IHK ABC

c) Ta có và nên AEB ACF (g.g)

=> hay AB.AC = AE.AF (1)

có giá trị không đổi

=> có giá trị không đổi, không phụ thuộc vào

vị trí của cát tuyến CAD khi cát tuyến đó quay xung

quanh điểm A

11

B

A

T M

S

R O

B A

T M

I O

C

A D

= (1) (củng chắn cung nhỏ CA của (O))

= (2) (củng chắn cung nhỏ DA của (O’))

Vì cát tuyến MAB kẻ tuỳ ý nên ta luôn có MT2 = MA.MB

không phụ thuộc vào vị trí của cát tuyến MAB

b) Gọi bán kính của (O) là R

BD = IB

12

S

I

K H

M O

C B

GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN TRONG ĐƯỜNG TRÒN.

GÓC CÓ ĐỈNH Ở BÊN NGOÀI ĐƯỜNG TRÒN

I Kiến thức cần nhớ:

Số đo góc có đỉnh nằm bên trong đường tròn bằng nửa tổng số đo hai cung bị chắn

Số đo góc có đỉnh nằm bên ngoài đường tròn bằng nửa hiệu số đo hai cung bị chắn

II Bài tập:

Bài 1: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) Kẻ dây DM song song với dây BC sao cho

DM cắt đoạn AC ở F và O, M nằm ở hai nửa mặt phẳng đối nhau bờ AC Gọi E là giao điểm của đường thẳng BC và AM

a) Chứng minh tam giác ABD đồng dạng với tam giác AEC, tam giác ABE đồng dạng với tam giác ADC

b) Chứng minh tam giác AFD đồng dạng với tam giác AMB

Bài 2: Cho tam giác ABC (AC < AB) nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R Đường phân giác

trong và ngoài của góc A cắt đường thẳng BC theo thứ tự tại D, E và AD = AE

Hãy tính AB2 + AC2 theo bán kính R của đường tròn tâm O

Bài 3: Cho tứ giác ABCD có bốn đỉnh thuộc đường tròn (O) Gọi M, N, P, Q lần lượt là điểm

chính giữa các cung AB, BC, CD, DA Chứng minh rằng MP ⊥

NQ

Bài 4: Cho tam giác ABC cân tại A nội tiếp đường tròn (O) Lấy M thuộc tia đối của tia BC

Gọi I là giao điểm của MA với đường tròn, K là giao điểm của CI với AB Chứng minh rằng

AC2 = AI.AM

Bài 5: Cho hai đường tròn (O) và (O’) cắt nhau tại A, B sao cho Lấy điểm M thuộc đường tròn

(O) Kẻ MA, MB cắt đường tròn (O’) tại C và D (A nằm giữa M và C; B nằm giữa M và D) Chứng minh rằng khi M di động thì độ dài CD không đổi

=>

=> ABD AEC (g.g)

14

F

D M

B E

D

M

K I

C B

M

A

O S

=>

Lại có => AFD AMB(g.g)

Bài 2:

Gọi AD cắt đường tròn tại M Kẻ đường kính BF

Ta có ADE vuông cân tại A nên

=>

0

452

Mà chung nên AMC ACI (g.g)

Mà không đổi, »AB

không đổi nên sđ»CD

=> độ dài CD không đổi

Buổi 34

GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH CÓ CHỨA THAM SỐ

I Bài tập:

Bài 1: Cho hệ phương trình (I)

Với giá trị nào của m thì hệ phương trình (I) có nghiệm duy nhất ? Vô nghiệm ? Hệ có thể có vô

số nghiệm được không ?

Bài 2: Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình với a = 2

b) Tìm các giá trị của a để hệ phương trình có nghiệm duy nhất

Bài 3: Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình với m = - 2

b) Tìm các giá trị của m để hệ phương trình có nghiệm duy nhất mà x và y đều là số nguyên

Bài 4: Cho hệ phương trình

a) Giải hệ phương trình với m = 3

b) Tìm các giá trị nguyên của m để hệ phương trình có nghiệm x > và y < 0

16

Bài 5: Cho hệ phương trình hai ẩn x, y với m là tham số:

1) Giải hệ phương trình với m = -

2) Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, xét hai đường thẳng có phương trình (1) và (2)

a) Chứng minh rằng với mọi giá trị của m, đường thẳng (1) đi qua điểm cố định B và đường thẳng (2) đi qua điểm cố định C

b) Tìm m để giao điểm A của hai đường thẳng thoả mãn điều kiện góc BAC vuông Tính diện tích tam giác ABC ứng với giá trị đó của m

II Hướng dẫn:

Bài 1:

Xét

( ) ( )

1 2

m

⇔ ≠ −

Để hpt có nghiệm duy nhất thì (d1) // (d2)

12

Tương tự với đường thẳng (2) ta có C(- 1; 2)

Vậy đường thẳng có phương trình (1) luôn đi qua điểm cố định B(0; -2) và đường thẳng có phương trình (2) luôn đi qua điểm cố định C(- 1; 2)

b) Hệ số góc của hai đường thẳng đã cho là k1 = m, k2 = m – 2

ta có góc BAC vuông nên m(m – 2) = - 1 => m = 1

khi đó đường thẳng (d1): y = x – 2, (d2): y = - x + 1 cắt nhau tại A

- Trong một tứ giác nội tiếp, tổng số đo hai góc đối diện bằng 1800

- Tứ giác có hai đỉnh kề nhau cùng nhìn cạnh chứa hai đỉnh còn lại dưới một góc thì nội tiếp được đường tròn

18

Bài 1: Cho ba đường tròn cùng đi qua một điểm P Gọi các giao điểm khác P của hai trong ba

đường tròn đó là A, B, C Từ một điểm D (khác điểm P) trên đường tròn (PBC) kẻ các tia DB,

DC cắt các đường tròn (PAB) và (PAC) lần lượt tại M và N Chứng minh ba điểm M, A, N thẳng hàng

Bài 2: Cho hai đoạn thẳng AC và BD cắt nhau tại E Biết AE.EC = BE.ED Chứng minh bốn

điểm A, B, C, D cùng nằm trên một đường tròn

Bài 3: Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), hai đường cao BB’ và CC’ Chứng minh:

a) Tứ giác BCB’C’ là tứ giác nội tiếp

b) OA vuông góc với B’C’

Bài 4: (định lí Ptôlêmê)

Trong một tứ giác nội tiếp thì tích hai đường chéo bằng tổng của tích các cặp đối diện

Bài 5: Cho đường tròn (O) và đường thẳng xy không cắt đường tròn (O) Gọi A là hình chiếu

của O trên xy Qua A vẽ một cát tuyến không đi qua O cắt đường tròn tại B và C Tiếp tuyến tại

B và C cắt xy lần lượt tại M và N Chứng minh rằng:

a) Các tứ giác OCNA, OBAM là các tứ giác nội tiếp

b) AM = AN

Bài 6: Cho tứ giác ABCD, hai đường chéo AC và BD vuông góc với nhau tại O Qua O kẻ OE,

OF, OG, OH lần lượt vuông góc với AB, BC, CD, DA Chứng minh tứ giác EFGH là tứ giác nội tiếp

Bài 7: Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn (O) và điểm M trên cung CD Gọi E, F, G, H lần

lượt là hình chiếu của M trên AB, BC, CD, DA Chứng minh:

a) Tam giác MEF đồng dạng tam giác MHG

· · · · 180 0

MAP PAN+ =PBD PCD+ =

19

S E

D

C B

A

x

O C'

B'

D

C B

S

y x

1 1

1 C

B

M A

N

O

O H

G

F E

M D

C

B A

Vậy tứ giác OCNA nội tiếp đường tròn

+ Trên nửa mặt phẳng bờ OM có 2 điểm

A và B cùng nhìn đoạn OM dưới một góc

bằng => 4 điểm O, B, A, M cùng thuộc một đường tròn

Vậy tứ giác OBAM nội tiếp đường tròn

b) Theo phần a ta có:

tứ giác OCNA nội tiếp đường tròn => (2 góc nt cùng chắn cung AO)

tứ giác OBAM nội tiếp đường tròn => (cùng bù với )

mặt khác VOBC

cân tại O =>

=> = => OMN cân tại O => ON = OM

Bài 6:

Các tứ giác AEOH, BEOF, CFOG, DGOH là các tứ giác

nội tiếp vì có tổng các góc đối diện bằng 1800

HEF HGF+ = OAD ODA+ + OBC OCB+ = + =

Vậy tứ giác EFGH là tứ giác nội tiếp

Bài 7:

21

Bài 4: Giải hệ phương trình:

Bài 5: Giải hệ phương trình: