Ôn tập Toán 11 học kỳ II

Tìm thiết diện của mp P và hình chóp.. b, Gọi M' là trung điểm cuả SB, mặt phẳng ADM' cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?. a Tửứ caực chửừ soỏ treõn, coự theồ thaứnh laọp ủửụùc bao

A

- Chứng minh quy nạp:

1, 12 + 22 + 33 + + n2 =

6

1 + 2 1

n

2, 13 + 23 + 33 + + n3 =

2

2

1 + )

(n

n

B - Cấp số nhân - cấp số cộng

Bài 1: Tìm x để: 1 + sinx, sin2x , 1 + sin3x

Theo thứ tự lập thành cấp số cộng

Bài 2: Cho 3 số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21 Nếu thêm 2, 3, 9 lần lợt vào số thứ

nhất, số thứ hai, số thứ 3 tạo thành một cấp số nhân Tìm 3 số đó

Bài 3: Cho 3 số dơng có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt 1 đơn vị ở số

hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ 3 ta đợc một cấp số cộng Tìm 3 số đó

Bài 4: Tính: A = 3 + 33 + 333 + + 2004 ố 3

33 3

s

  

B = 5 + 55 + 555 + + ố 5

55 5

n s

  

Bài 5: Tính: M = 0,5 + (0,5)2 + + (0,5)n +

N = 1 +

10

1

+ 2

10

1

+ + n

10

1

+

Bài 6: Cho ABC Các góc A, B, C theo thứ tự tạo thành cấp số nhân với công bội q = 2.

a, Tìm các góc của ABC

b, Chứng minh: bc = c2 - a2

c, a2 + b2 + c2 = 7R2

Bài 7: Cho ABC có tan

2

A

, tan

2

B

, tan

2

C

theo thứ tự lập thành cấp số cộng Chứng minh cosA, cosB, cosC theo thứ tự cũng lập thành cấp số cộng

Bài 8: Cho ABC có cot

2

A

, cot

2

B

, cot

2

C

theo thứ tự lập thành cấp số cộng

Chứng minh: Ba cạnh a, b, c theo thứ tự cũng tạo thành cấp số cộng

Bài 9: Chứng minh: U1 = 2 + 3

U2 = 1, U3 = 2 - 3 Tạo thành cấp số nhân Tính S2005

Bài 10: Cho x, 3, y theo thứ tự lập thành cấp số nhân và x4 = y 3.Tìm x, y

Bài 11: Cho 0 < a <

4

π

Chứng minh : 1 – tan a + tan2 a - tan3 a +

) sin(

cos

a

a





4 2

2



Biết các số hạng ở vế trái thạo thành cấp số nhân

c - Giới hạn:

Bài 1: Giới hạn dãy số: Tìm:

2 1

1 +

4 3

1 + 3 2

1

. + +

) ( + 1

1

n

b, lim (

1 + 3 +

+ + 3 + 2 + 1

3

2 2

2 2

n n

n

)

c, Cho (Un) xác định bởi U1 = 2 (n  1)

Un + 1 =

2

1 +

n

U

Chứng minh dãy số có giới hạn Tìm giới hạn đó

Bài 2: Giới hạn hàm số.

Tìm giới hạn:

a,

1

x

lim

2 4 5

2

2 3









x

x x

2

2

x

x x x

lim



 

c,

2 3

2 1

1

x

x x

x

lim





x

x x x

lim

  

e,

2

lim

x

x x x

 

 

) g)

h) i)

k) l)

m) n)

Bài 3:Tính giới hạn của hàm số.

   

 

2

4 2

2

2 3

Bài 4:

a, Tìm a để f(x) liên tục trên R

f(x) =

2

6 5

2







x x

b, Cho f(x) =

8

2 3

3 2







x

x

Biện luận về tính liên tục của hàm số trên R

d, Tìm m để hàm số liên tục tại x = 3

3

) 2 5 (







x

Bài 5 Chứng minh rằng phơng trình:

a) 3x3 + 2x - 2 = 0 có ít nhất một nghiệm

b) 4x4 + 2x2 - x - 3 = 0 có ít nhất 2 nghiệm phân biệt trên khoảng (-1; 1)

Bài 6: a, Chứng minh phơng trình: x7 + 5x5 + x3 - 1 = 0 có nghiệm x  (0,1)

b, Chứng minh: x.sinx = 0 có nghiệm trên (3,4)

D - Hình học:

Bài 1.Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và D,

AD = DC =

2

1

AB, mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy

a)Gọi I là trung điểm AB CM: CI // (SAD)

b)CMR: (SAC)  (SBC)

c)Điểm M thuộc đoạn AB, mp (P) qua M // (SAD) Tìm thiết diện của mp (P) và hình chóp

Bài 2 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình thoi tâm O và SA = SC, SB = SD

a)CM: SO  (ABCD)

b)Gọi I, K lần lợt là trung điểm AB, BC CM: IK // (SAC), (SIK)  (SBD)

c)Gọi mp (P) chứa IK và // với SO Tìm thiết diện của (P) và hình chóp CM: (P)  BD Bài 3 Cho hình chóp S.ABCD đáy ABCD là hình bình hành, AB = 2a, AD = a,

DSAB vuông cân tại A M là một điểm trên AD với AM = x (0 < x < a), (P) là mp qua

M, // (SAB)

a) mp (P) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?

b) Tính diện tích thiết diện theo a và x

Bài 4.Cho tứ diện ABCD, gọi I, J lần lợt là trung điểm AC, BC

Trên BD lấy K sao cho BK = 2KD

a)Tìm giao điểm E của CD và (IJK) CM: DE = DC

b)Tìm giao điểm F của AD và (IJK) CM: FA = 2FD

c)CMR: FK // (ABC)

Bài 5.Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ Gọi I, K, G lần lợt là trọng tâm các tam giác ABC, A’B’C’, ACC’ CMR: a)mp(IKG) // mp(BB’CC’)

b)Xác định thiết diện của của lăng trụ cắt bởi mp(IKG)

c)mp(A’KG) // mp(AIB’)

Bài 6: Cho hình chóp SABCD đáy ABCD là hình thang vuông tại A và B.

AB = BC = a, AD = 2a, SA = a.Hai mặt bên (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với mặt đáy Gọi E là trung điểm của AB.

a, Chứng minh các mặt bên của hình chóp là các tam giác vuông.Tính khoảng cách giữa AB và SD

b, Gọi M' là trung điểm cuả SB, mặt phẳng (ADM') cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì ? Tính diện tích thiết diện

c, Tính góc giữa SC và (ABCD), tính góc nhị diện cạnh CD

Bài 7: Cho 3 tia Ox,Oy,Oz không đồng phẳng, với góc phẳng ở đỉnh xoy = 60o, yoz = 90o, zox = 120o.Trên ox, oy, oz lần lợt lấy A, B, C sao cho OA = OB = OC = a

a, Chứng minh ABC vuông tại B

b, Tính đờng cao của tứ diện kẻ từ O

c, Xác định tâm, bán kính mặt cầu ngoại tiếp OABC

Bài 8: Cho hai nửa đờng thẳng chéo nhau Ax, By hợp với nhau một góc 60o, AB = a là đoạn vuông góc chung của Ax và By Trên Ax, By lần lợt lấy C, D sao cho AC = 2a, BD = a Gọi () là mặt phẳng chứa By song song với Ax, E là hình chiếu vuông góc của c/()

a, Chứng minh CD  By

b, Chứng minh năm điểm A, B, C, D, E cách đều một điểm cố định Tính khoảng cách

từ 5 điểm trên đến điểm cố định đó

c, Tính độ dài đoạn vuông góc chung của CE và AD

Bài 9: Cho tứ diện SABC có góc ABC = 1 vuông, AB = 2a, BC = a 3

SA  (ABC) ; SA = 2a, M là trung điểm của AB

a, Tính góc giữa 2 mặt phẳng (SBC) và (ABC)

b, Tính đờng cao AK của  AMC

c, Tính tg biết  là góc giữa (SMC) và (ABC)

d, Tính khoảng cách từ A tới mặt phẳng (SMC)

B i 10: ài 10: Cho hỡnh chúp tứ giỏc đều S.ABCD; cạnh bờn và cạnh đỏy bằng a

Gọi O là tõm đỏy và I là trung điểm của CD Tớnh:

a) Khoảng cỏch từ S đến CD

b) Khoảng cỏch từ O đến (SCD)

c) Khoảng cỏch giữa AB đến SI

d) Khoảng cỏch giữa AB đến (SCD)

Bài 11:Cho góc tam diện vuông Oxyz Trên Ox, Oy, Oz lấy lần lợt các điểm A, B, C có

OA = a, OB = b, OC = c (a,b,c>0)

1 CMR tam giác ABC có ba góc nhọn

2 Gọi H là trực tâm tam giác ABC Hãy tính OH theo a, b, c

3 CMR bình phơng diện tích tam giác ABC bằng tổng bình phơng diện tích các mặt còn lại của tứ diện OABC

Bài 12:Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, cạnh SA vuông góc với đáy Độ dài các cạnh AB=a, AD=b, SA=2a Gọi M là trung điểm của SA

A) Mặt phẳng (MBC) cắt hình chóp theo thiết diện là hình gì?

b) Tính diện tích thiết diện ấy.

E.Tổ hợp –Xác Suất

Bài 1.Từ các số 1,2,3,4,5,6,7 Hỏi :

a) Có thể lập đợc bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau

b) Có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn có 4 chữ số khác nhau

c) Có thể lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau và không lớn hơn số 456

d) Có thể lập đợc bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau trong đó phải có mặt 2 chữ số 1 và 2 Bài 2 Cho 2 đờng thẳng d1 , d2 song song nhau.Trên d1 lấy 9 điểm phân biệt,

trên d2 lấy 12 điểm phân biệt

Hỏi có thể lập đợc bao nhiêu tam giác có các đỉnh là 3 điểm trong 21 điểm trên ?

Bài 3 Cho 4 đờng thẳng song song nhau và 5 đờng thăng khác cũng song song nhau đồng thời vuông góc với 4 đờng thẳng trên Hỏi có bao nhiêu hình chữ nhật đợc sinh ra từ các đờng thẳng trên ?

Bài 4.Cho đa giác lồi có n cạnh.Hỏi đa giác đó có bao nhiêu đờng chéo ?

Bài 5.Từ các số 0,1,2,3,4,5,6,7.Hỏi có thể lập đợc bao nhiêu số có 10 chữ số trong đó chữ số 6 xuất hiện đúng 3 lần còn các chữ số khác xuất hiện đúng 1 lần.?

Bài 6.Từ 10 số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 Hỏi có thể lập đợc bao nhiêu số có 6 chữ số khác nhau , sao cho các số tạo thành đều phải có mặt số 0 và số 1?

Bài 7 Cho 7 chửừ soỏ :1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

a) Tửứ 7 chửừ soỏ treõn, coự theồ thaứnh laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ tửù nhieõn, moói soỏ goàm 5 chửừ soỏ khaực nhau?

b) Trong caực soỏ noựi ụỷ a), coự bao nhieõu soỏ chaỹn?

c) Trong caực soỏ noựi ụỷ a), coự bao nhieõu soỏ trong ủoự nhaỏt thieỏt phaỷi coự maởt chửừ soỏ 7? Bài 8 Cho 6 chửừ soỏ: 1, 2, 3, 4, 5, 6

a) Tửứ caực chửừ soỏ treõn, coự theồ thaứnh laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ tửù nhieõn goàm 5 chửừ soỏ khaực nhau?

b) Trong caực soỏ noựi treõn coự bao nhieõu soỏ leỷ?

Bài 9 Cho 5 chửừ soỏ 0,1, 3, 6, 9

a) Tửứ 5 chửừ soỏ aỏy, coự theồ laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ tửù nhieõn goàm 4 chửừ soỏ khaực nhau?

b) Trong caực soỏ noựi treõn coự bao nhieõu soỏ chaỹn?

c) Trong caực soỏ noựi treõn coự bao nhieõu soỏ chia heỏt cho 3?

Bài 10 Cho 6 chửừ soỏ 0,1, 2, 3, 4, 5

a) Tử ứ caực chửừ soỏ treõn coự theồ thaứnh laọp ủửụùc bao nhieõu soỏ tửù nhieõn goàm 5 chửừ soỏ

b) Trong caực chửừ soỏ treõn coự bao nhieõu soỏ chaỹn ?

c) Trong caực chửừ soỏ treõn coự bao nhieõu soỏ coự maởt chửừ soỏ 0?

Bài 11 Xeựt caực soỏ tửù nhieõn goàm 4 chửừ soỏ khaực nhau laọp neõn tửứ caực chửừ soỏ 1, 2, 3 vaứ 4, Hoỷi coự bao nhieõu soỏ :a) ẹửụùc taùo thaứnh

b) Baột ủaàu bụỷi chửừ soỏ 1?

c) Khoõng baột ủaàu baống chửừ soỏ 2? .

Bài 12 Xeựt caực soỏ tửù nhieõn goàm 5 chửừ soỏ khaực nhau laọp neõn tửứ caực chửừ soỏ 1, 3, 5, 7, 9 Hoỷi trong caực soỏ ủoự coự bao nhieõu soỏ :

a) Baột ủaàu bụỷi 19? b) Khoõng baột ủaàu bụỷi 135?

Bài 13 Tỡm n sao cho:

a) A C n 1 48

n

2

n  

n

3 1 n

4 n



 



c)

n

6

n

5

n

1

C

1

C

1



1 n 3

2 n









1 n

1 n





Bµi 14 Giải các phương trình:

a) P x 2 P3 x 8

x

2

2

7 C C

x 2 x 1

x   

Bµi 15.Giải các phương trình:

2 x 2

1 x 3

1

3

2 C

4 x

2 1 x

1

7 C

1 C

1









Bµi 16 Giải phương trình n 2

n

3

n C

Bµi 17 Giải phương trình An3  2 Cn4  3 An2

Bµi 18.Giải hệ phương trình: 



 12 A

6 C

y y

Bµi 19 Giải hệ phương trình:

















1 y x

y x

1 y x 2

y x C C

C 3 C

5

Bµi 20 Tính hệ số của số hạng chứa x3trong khai triển của:

7 4

3 ( 3 x 1 ) ( x 1 ) )

1 x 2 ( )

x

(

Bµi 21.Khai triển của

n

x

1











 có tổng các hệ số của 3 số hạng đầu là 28 Tìm số hạng thứ 5 của khai triển đó

Bµi 22.Tìm số hạng không chứa x trong khai triển của:

10

x

1 x











Bµi 23.Tìm hai số hạng chính giữa trong khai triển:(x3 – xy)15

Bµi 24.Tìm số hạng không chứa x trong khai triển:

12

x

1

x 





 Bµi 25.Tìm hệ số của số hạng chứa x8 trong khai triển:

).

3 n ( 7 C

C : biết x

x

3 n 1 n 4 n

n 5











Bµi 26.Đa thức P(x) = ( 1+x) 9 + (1+x) 10 + … + (1+x) 14 có dạng khai triển là

P(x) = a0 + a1x1 + a2x2 + … + a14x14 Tính hệ số a9 Kết quả:3003

Bµi 27.Tìm n biết trong khai triển ( x + 21 ) n thành đa thức đối với biến x, hệ số của x6 bằng bốn lần hệ số của x4

Bµi 28.Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển nhị thức 1 12

Bµi 29.Tìm số hạng không chứa ẩn x trong khai triển : (x2+ x3

1

)10 Bµi 30 Chứng minh rằng:

a) C0

n+… +C n

n



b) C1

n= n2n-1

n

3 n

2 n

1 n

0

Bµi 32.Tính T= 0 1 2 2 3 3 4 4 5 5

5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 5

C  C  C  C  C  C Bµi 33.Trong mét tỉ cã 7 nam vµ 5 n÷ Chän ngÉu nhiªn 2 ngêi T×m x¸c suÊt sao cho 2 ngêi

c) có ít nhất một ngời là nữ d) có đúng một ngời là nữ

Bài 34 Có 5 bạn nam và 5 bạn nữ xếp ngồi ngẫu nhiên quanh tròn

Tính xác suất sao cho nam nữ ngồi xen kẽ

Bài 35 Xếp ngẫu nhiên3 ngời đàn ông, 2 ngời đàn bà và một đứa bé vào ngồi trên 6 cái ghế xếp thành hàng ngang.Tính xác suất sao cho:

a)Đứa bé ngồi giữa 2 ngời đàn bà

b) Đứa bé ngồi giữa 2 ngời đàn ông

Bài 36.Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất 2 lần.tính xác suất sao cho:

a)Tổng số chấm của hai lần gieo là 6

b)ít nhất một lần gieo xuất hiện mặt một chấm

Bài 37.Một lớp có 45 học sinh.Trong đó có 28 em học khá môn toán và có 20 em học khá môn văn.Chọn ngẫu nhiên ra 3 học sinh Tính xác suất sao cho:

a) 3 học sinh chọn ra học khá cả 2 môn toán và văn

b)3 học sinh chọn ra chỉ học khá môn toán và không có em nào học khấ môn văn

F ẹAẽO HAỉM

Bài1) Duứng ủũnh nghúa tớnh ủaùo haứm cuỷa caực haứm soỏ:

a) y = f(x) = cosx b) y = f(x) = x|x1|

 taùi x0 = 0

Bài 2) Cho haứm soỏ y = f(x) = x33x2+1, coự ủoà thũ (C)

a) Tỡm f’(x) Giaỷi baỏt phửụng trỡnh f’(x)  0

b) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) taùi ủieồm coự hoaứnh ủoọ baống 3

Bài 3) Cho (C) : y = f(x) = x4-2x2

a) Tỡm f’(x) Giaỷi baỏt phửụng trỡnh f’(x) > 0

b) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn cuỷa (C) :

1 Taùi ủieồm coự hoaứnh ủoọ baống 2

2 Taùi ủieồm coự tung ủoọ baống 3

3 Bieỏt tieỏp tuyeỏn song song vụựi d1 : y = 24x+2007

4 Bieỏt tieỏp tuyeỏn vuoõng goực vụựi d2 : y = x 10

24

1

Bài 4) Vieỏt phửụng trỡnh tieỏp tuyeỏn vụựi (P): y = f(x) = x2-2x-3 ủi qua M1(5;3)

Bài 5 ) Tỡm ủaùo haứm caực haứm soỏ

a) y = ( x3 – 3x + 2 ) ( x4 + x2 – 1 )

b) y =

1 x x

x x

2 3







c) y = ax2pxbxq c







Bài 6) Tỡm ủaùo haứm caực haứm soỏ :

a) y = ( 5x3 + x2 – 4 )5 b) y = sin2 (cos 3x)

c) y = tan ( 2x+3)

d) y = tan2x sinx e) y = tan

2

x

g) y = cot ( 5x2 + x – 2 ) h) y = cot2 x + cot2x

Bài 7) Tớnh ủaùo haứm cuỷa haứm soỏ

f(x) = 





 0 x neỏu x

0 x neỏu x

2 3

taùi ủieồm x0 = 0 Bài 8) Chửựng minh raống :

a) Vụựi y= 3 +

x 5

( x  0), ta coự xy’ + y = 3

b) Với y = x sin x, ta có : xy – 2 ( y’ – sin x ) +xy” = 0

Bµi 9) Chứng minh các đẳng thức đạo hàm:

a) Cho hàm số y =sin1 3sinx x.coscos3xx





Chứng minh rằng: y’' = -y d) Cho y = xx 43





Chứng minh rằng : 2(y’)2 = (y-1)y’’

e) Cho y = 1 3

Bµi 10) Cho f(x) =

x sin 1

x cos

2 2

4 ( ' f 3 ) 4

Bµi 11) Giải phương trình : f’(x) = 0 biết rằng:

a) f(x) = cos x +sin x + x

b) f(x) = 3 sin x  cos x  x

Bµi.12) Giải bất phương trình f(x) < 0 với f(x) = 31x3-2x2+ 

Bµi13) Cho các hàm số f(x) = sin4x + cos4x; g(x) = cos 4 x

4 1

Chứng minh rằng : f ’(x) = g’(x), xR

Bµi 14) Tìm vi phân của hàm số sau tại điểm đã chỉ ra:

a) f(x) = x cosx tại x0 = 3

Bµi15) Tìm vi phân của mỗi hàm số:

a) f(x) = x 2 1

 b) f(x) = sinxx