Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án) Bài tập tích phân (có đáp án)
Trang 1TÍCH PHÂN LUYÊN THI ĐẠI HỌC
Bài 1: Cho tích phân ( ) ( 2 )
0
x t t
I x =∫ e +e dt− Tính I(x) khi x=ln2 ĐS: ( ) 3ln2 ln2ln2
2 2
I x
e
Bài 2: Tìm các giá trị của a thuộc đoạn [2;3] sao cho ( 2)
0a cos x+a dx=sina
2
a= π ∨ =a + π −
Bài 3: Giải phương trình tln 4 0
e
x dx x
∫ ĐS: t=e, t=e-9
Bài 4: Tìm các giá trị a, b sao cho hàm số f x( ) a2 b 2
x x
= + + thỏa điều kiện:
( )
1 1 2
1
2
2 3ln 2
f
f x dx
= − ÷
1 3
a b
=
= −
Bài 5: Tìm a để ( 2 )
1a 3x +4x−2 dx≥ −1 a
∫ ĐS: 2− ≤ ≤ − ∨ ≥a 1 a 1
Bài 6 : Tính các tích phân sau
1 2
2 2 0
1 I=
6 a
a
dx x
π
=
−
0
I=∫ 4 x dx− = π.
0
0
I=∫ 2 3x dx− Bài 7: Tính các tích phân sau.
1
2 2
2 0
x
2
π
= −
−
0
2
3
x dx
Bài 8: Tính các tích phân sau.
0
1
4
a
π
+
2
1
x
π
+
3
4 3 2 0
1
x
=
+
0
1
x
=
+
Bài 9: Tính các tích phân sau.
2
2
0 2
1
1
32 2 4
x
+
2
2
0 2
1 2
x
=
+
3
4
3
32 16
x
+
Bài 5: Tính các tích phân sau.
1
1
−
π
π 3
Trang 23 1 2
0
1
π 3
+ +
2=
3
2 tant 4
3 2 2
1
=
Bài 6: Tính các tích phân sau.
2
2 1
x
x
+
=
+
4
dx I
x x
+
2 4 0
ln
I
x
−
+
∫
3 2
1 2 2013 0
3 3
4
0
1
4 I= 5 I= x 1
x.lnx.ln lnx
8 3sinx+cosx+3
sinx+2cosx+3
e
x dx
π
π
−
= π −
2 2 2
0
9 I=∫ 1−x −x 1−x dx
Bài 7: Tính các tích phân sau.
3
3
2
4 0
1 I= x- 2 I=
ln 1
x x 1
m
3 I= ln 1+tanx , x= , ln ln ln
x x
π
−
∫
( )
2
2 0
1 2 0
4 I= 5 I=
x-10
2
6 I= xsin cos 4sin os 3sin
35
x x-1
7 I= 8 I
4
dx x
π
+
−
−
∫
3 0
xsinx
= cos x dx
π
∫
Bài 3: Tính các tích phân sau.
0 2 t anx osxdx
0 sin os
2 2
1
1 2
x
x
−
−
= ∫ + ÷
3 0
2
osx osx os
x
4 4
2
osx sin x sin
x
x
π
∫
Bài 4: Tính các tích phân sau.
3
−
2 ln 2
0 x x 2
I =∫ e +e− − dx, chú ý: a m >a n khi m>n
0
sin 4
x
π
=
+
3 1
2
0 8 4
x dx I
x
=
−
∫
5
3 2 1
2 0
=
1
0
1
=
∫
Trang 37 2
6
1 sinx+cosx
x c
π
2 3 6 6
sin os
x
π π
=∫
0
osx sinx+cosx
c
π
0 t an
Bài 5: Tính các tích phân sau.
1
1
5 0
1 1
x
x
−
=
+
1
dx I
=
∫
3 3 2
0
1
=
+
0
ln
x
+
=
∫
5
3 1
2
x
x x
=
2
2 0
3
1
x x x
e e
e
+
=
+
∫
7 Tìm A, B sao cho f(x)= sin x Bπ + thỏa ( ) 2 ( )
0
' 1 2, f x 4
f = ∫ dx=
8 Tìm A, B sao cho f(x)= Asin2x+B thỏa ( ) 2 ( )
0
' 0 4, f x 3
f = ∫ π dx=
9 Cho ( ) 4
0
3 4sin
2
t
f t = x− dx
2
kπ ∈
¢ .
BÀI TẬP TÍCH PHÂN
1/
3 1
2
x
x x
=
2 1 15
1
1 DS: I= 3 3 1 2 2
3
dx I
∫
3 4 6
2 5 3 9 os
DS: I=
c xdx I
x
π π
+
4 DS: I=2ln
3 1
dx I
=
+
2
2
DS: I=-ln 2 3 3 1
dx I
−
3 1
1 DS: I=- ln2+2ln 2 1
3 1
dx I
+
( )
2 1
2 0
3 DS: I= ln
3
e dx
I
+ −
=
2
2 0
3
DS: I= 1+e 1 1
x x x
e e
e
+
+
3
2 0
1
4 4 4 DS: I= ln 5 2 2 1
2
x x
9/ 01 DS: I=2-ln3
1 2x ln2
dx
I =
+
Trang 410/ 2 sin 2 3
0
e-2 sinx.cos DS: I=
2
x
π
2 0
DS: I= ln 7 4 3
x x
c x
0
3 4sin
2
t
f t = x− dx
2
kπ ∈
¢ .
0
' 1 2, f x 4
f = ∫ dx= ĐS: , B=2
2
A= −π
0
' 0 4, f x 3
f = ∫ π dx= ĐS: 2, B= 3
2
A=
π
1 a + −4 4a x+4x dx
2
3
dx I
x x
=
+
2 5
dx I
x x
=
+
∫
dx I
x x
= +
dx I
=
+
∫
Trang 5BÀI TẬP TÍCH PHÂN
2 2
2 0
2 2
1 1
0 0
1 u=ln x+ 1+x
1 x
1 x
=
∫
∫
1
0
0 0
du dx u=x
2
=
3 4e
x x
1
−
∫
1 1 2x 1
1 1
du dx u=x
x
2
−
=
∫
2x
1 2x
2x
1 2x
2x
e
−
−
−
2 2
2 2
x 0
t t t
x
2 e
u=t
dv= e e dt
e
−
−
+
∫
e
2
2 x+lnx 2 x ln x 2 x ln x log x
2 x+2lnx 2 x 2 ln x 2 x ln x 2 2 x
Trang 6( 2 )
3
d x 1
+
Cách 2: Đổi biến đặt t=x2+1
1 x+e 1 x e x x
e t
1
=
=
∫
2
xdx
x 1 x
+ −
2
2
-1
2x
t=1 cos x dt 2cosx.sinxdx sinx.cos x sinx.cosx.cos x
t=cosx dt=-sinxdx
e
13 I=
⇒
⇒ =
x x 3ln 2 3ln 2
2 2
t 1
=
−
−
+
∫
1
2
dx
x 1+ x
∫
2
2
2 2
x
x ln x 1
+
+
Trang 7BÀI TẬP ÔN THI ĐẠI HỌC Bài 1: Tính tích phân:
1 I 12x2ln 1 1 dx
x
0
∫
6
3 ln
π π
0 sin os
3
Bài 2: Tính tích phân:
2 0
ln
+
0
2
3 1 3 2
0
1 2
x
0
2 sinx.cos
2
Bài 3: Tính tích phân:
4 2 0
1
9 2 3
π
3 1 2
0
4ln 2 2ln 3
3 1 8
0 1 16
x
x
π
+
∫
Bài 4: Tính các tích phân sau:
0
x=ln3+
x
=
0
ln18
x
−
Bài 5: Tính tích phân sau:
1 01 3
3
ln 2
dx I
x
π
+
Cần nhớ:
, =n -4mp<0
+
2 0
ln
c
x
π
4 1
1
1
+
∫
3 1
+
x
Bài 6: Tính các tích phân
1
2 1 2 0
1
1 ln 3
+ +
3 2
2 1
3
2 0
1 2ln 2 1
x
x
+
2 3
1
12 1
x x
π
−
∫
Trang 8Bài 7: Tính các tích phân
9
x x
+
1
x x
+
+
∫
3
2 2 2 2
1 1
x
x x
−
−
+
=
+
5 3 3
2 0
5 1
x
+
+
∫
Bài 8: Tính các tích phân
x
−
−
+ + +
−
∫
3
1 2
2
1
12
−
π
2
ln 5
ln 2
20 3 1
x
x
e
e
−
∫
Bài 9: Tính các tích phân
1 ln 2
2
x
0
3 1
16
∫
0 4
0
osx
c
Bài 10: Tính các tích phân
0 os os4xdx=0
π
π
3
4
3 0
9 6 4 2 sinx+cosx+2
c
+
0
ln 2
Bài 11: Tính các tích phân
2 0
2 1 3ln
x
3 2
2 0
sin
1
x
+
∫
0
ln 3
+
∫
0
ln
∫
0
sin 3
2 3ln 2 osx+1
x
c
π
2 0
x
+
∫
Bài 12: Tính các tích phân
4
4 0
4sin
2 ln
x
3 2
2 0
ln 2
x
π
+
∫
3
4
2 0
6 sinx+2cosx
π
0
osx
1
c
∫
5
2
2 3
27 1-cosx
c
2
2
1
32 2 4
x
π
+
∫
Trang 9Bài 13: Tính các tích phân
4
4 1
3 sin os
c
π π
2 6
0
x
∫
0 tan
π
0
2 tan
4 3
∫
0
1
1
e−
−
∫
Bài 14: Tính các tích phân
π
1 3 9
2 5
0
1 5
x x
+
−
∫
2 0
sinx cos
x
x
π +
2
ln ln
e e
x dx x
=∫
1 2 0
3
x
+
=
+
1
1
e−
−
∫
Bài 15: Tính các tích phân
4 0
sin 2
x
x
+
4 0
sin 2
1
x
+
∫
Bài 16: Tính các tích phân
2 2
3 0
2ln 2 32
4
x
x
+
−
3
x
−
∫
3 I= 12 ( 3 )
ln
1 dx
+
0
1 3
∫
0
2
1 2
2ln
3 3
x
dx
−
3 3 2 0
ln
x dx x
π
= + +
∫
2 0
x
c
π
+
2 0
+
∫
9 I= 2
0
ln 2
x
dx
1
3 3
1
6
−
−
π
=
∫
2ln 3 1
+
2
2 0
3
1+e 1 1
x x x
e e
e
+
+
∫
1 2x ln2
dx
I =
+
2 1
2 0
4
x
x
−
∫
15
3 6 0
ln
x
x
π
1
2 0
ln
x
+
∫
Trang 1017 I =
1
2
dx
1
0
1
x
x
+ +
∫
2 3
1
x
2 1
ln
1 ln
+
∫
4
0
tan ln(cos )
21
cos
π
x
21
3
6
cotx
sinx.sin x
4
π
π
+
∫
22
3 2 2 1
log
1 3ln
e
x
=
+
1 2
2
4
dx x
x I
24 =3ln∫2 +
0 (3 e x 2)2
dx
0 (x sin 2 ) cos 2x xdx
π +
∫
25 I x dx
x
4
0
+
=
0
1
2 ln 1 1
+
x
27 I=
1
3 1
0
x
e +dx
6
2 2 1 4 1
=
I
29 I= 1 ( )
1 ln
+
+
∫e x x
xe dx
cos 0
sin sin 2
π
31 I=
4 3
4
1
1
( + 1)
2
ln ln
∫
e e
dx
x x ex
33 I=4
2 0
2
1 tan
π
x
8 2 3
1 1
− +
∫
35 I= 2 x5 x2 x dx2
2
( ) 4
−
2
1∫ −7 +12 ∫1 ++
01
1
dx x x
3
2 0
sin cos 3 sin
π
+
∫
Trang 11TÍCH PHÂN HÀM HỮU TỶ - VÀ HÀM LƯỢNG GIÁC
ax
bx c
β α
=
+ +
∫
TH 1: Tam thức ax2+ + bx c có nghiệm kép.
VD: Tính tích phân:
0
1
=
+ +
0
1
=
+ +
∫
3
( )
ln 3
2
ln 2
x
e
=
− +
2 0
osx
c
x
π
=
∫
VD: Tính các tích phân sau:
3
1
=
− +
x
e
=
+ +
∫
0
2x
=
− +
2 0
osx
c
x
π
=
∫
TH3: Tam thức ax2 + + bx c vô nghiệm
VD: Tính các tích phân sau: Chú ý: u là một hàm số bậc nhất theo biến x, còn m là một số thực
x
π
+
2
1
π
− +
∫
1
1
−
π
+ +
2 0
1
π 3
+ +
∫
Dạng 2: 2a'x+b'
ax
bx c
β α
=
+ +
∫
Cần nhớ: x 0 là nghiệm kép, có thể mở mũ 3 hoặc 4…
VD: Tính tích phân sau:
0
x
+
=
+ +
3 1
2 0
3
x
=
+ +
0
3 1
1
x
x
−
+
=
+
∫
o Cần nhớ : m và n là hai nghiệm đơn, và có thể mở rộng ra 3 hoặc 4 nghiệm đơn……
VD: Tính tích phân sau:
x
−
+
=
− +
x
+
=
− −
2 2
x
=
− +
∫
Trang 12 Chú ý: Các bài sau ví dụ cho trường hợp mẫu số toàn là nghiệm đơn (3 nghiệm đơn)
3
2 0
1
x
−
+
=
2 0
1
−
+ +
=
∫
Chú ý: Các bài sau ví dụ cho trường hợp mẫu số có nghiệm đơn và có nghiệm kép
2
1
=
+
2
1
x
+
=
−
∫
7
2 1
2 0
1
x
+
=
2 1
3 0
1
x
+
=
∫
VD: Tính các tích phân sau:
2 0
ln 3
x
+ +
1
ln 2
x
−
+ +
∫
3
2 1 2 0
1
1 ln 3
+ +
0
x
−
=
+ +
∫
TÍCH PHÂN HÀM LƯỢNG GIÁC Dạng 1: bsinm osn
a
Dạng 2: sin n
os
m b a
x
Phương pháp:
• Trường hợp 1: m là số lẻ, n chẵn.
o Ta phân tích sinm x = sinm−1x sinx
o Ta đặt t=cosx
• Trường hợp 2: n là số lẻ, m số chẵn
o Ta phân tích c osnx c = osn−1x c osx
o Ta đặt t=sinx
• Trường hợp 3: m và n cùng lẻ
o Ta phân tích sinx hoặc cosx
o Ta đặt t=cosx hoặc t=sinx
• Trường hợp 4: m và n đều chẵn.
o Ta dùng công thức hạ bậc
o Đưa về hàm theo tanx hoặc cotx Đổi biến với t=tanx hoặc t=cotx
• Các công thức lượng giác thường áp dụng:
Các hằng đẳng thức lượng giác cơ bản : Công thức nhân đôi :
Trang 13• sin2α +cos2α =1
• tan sin
cos
α α
α
= ( với
π
sin
α α
α
= ( với ∀ ≠x kπ ,k ∈ Z )
2
1
cos
α
α
+ = ( với
π
2
1
sin
α
α
+ = ( với ∀ ≠x kπ ,k ∈ Z )
• tan cotα α =1 ( với
2
kπ α
• sin 2x=2sin cosx x
• sin cos 1sin 2
2
• cos 2x=cos2x−sin2x
• cos 2x=(cosx−sinx) (sinx+cosx)
cos 2x=2cos x−1
• cos 2x= −1 2sin2x
BÀI TẬP ÁP DỤNG Bài 1: Tính các tích phân sau:
0
8 sin os
315
π
3 2 2 6
x
π π
π
32
Bài 2: Tính các tích phân sau:
0
sin 4
ln 2
x
π
+
π
2
3
2 3 6 4
x
π
2 3 8 4
os sin
x
π π
= ∫
Bài 3: Tính các tích phân sau:
4
π
6
c
π
∫
4 6
1 sin osx
x c
π π
3 6
1 osx.sin
π π
= ∫
6
1
os sin x
π π
6
1
os x.sin
π π
= ∫
Trang 14BÀI TẬP LUYỆN TẬP Bài 1: Tính các tích phân sau.
2 0
3
dx x
+
+
2
ln 4
e e
x dx
3 I= 5
0
2
2
1 2
1
x x
dx
+
∫
Bài 2: Tính các tích phân sau.
1 I= 3
3 0
x c dx x
2 0
ln 2 1
x
dx
3 I= 2 3 sin2
2
π
= −
5 3 3
2 0
5 1
dx x
+
∫
2 1
ln
dx
x
∫
7 I=
1 2 0
x
x
+
1
2 0
2
x
x e dx x
+ +
∫
4 1
4
+