Bài tập tích phân rất hay

Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay Bài tập tích phân rất hay

Trang 1

Cơng thức tính nguyên hàm:

( ) ( ) ( )

3 +1

2 VD

2 x 2

VD

1 0du=C

2 du=u+C

x+1 u

3 u du= +C x+1 d x+1 = +C

e 1 u

3.1 udu= +C e 1 d e 1 = +C

4 du=ln u +C d sinx+

α

α +

−

→

∫

VD

1 =ln sinx+1 +C

5 e du=e +C e d lnx+1 =e +C

6 cosudu=sinu+C cos 2x-4 d 2x-4 =sin 2x-4 +C

7 sinudu=-cosu+C sin e x d e x =-cos e x +

→

∫

2 2

C 1

8 du=tanu+C cos u

1

9 du=-cotu+C sin u

∫

Cần nhớ: Vi phân du=u'.dx dx=du với u là hàm số theo biến x

u'

Ví dụ:

( ) ( )

/ /

1

1 d 2x-1 2x 1 '.dx 2dx dx d 2x 1

2

2 d sinx sinx dx cosxdx

3 d x 1 x 1 dx 3x dx

Bài 1: Tính các tích phân sau:

( )

2

1

d x 1 2x

d sin x

+

2

0

2

0

d x 1

d 2sin x 3

π

+

( )1 ( ) (1 ) ( )3 4

0 4

0

π

Trang 2

1 0 1 0 1

0

1

0

1

1 I= dx ta nhân lượng liên hợp

x+2 x 1 dx

2 x 2 2 x 1

⇒

∫

( ) ( ) ( )

3

0

2

0 0

I sin x ln cosx dx

sin x

cosx

π

=



=

∫

2

0 0

0

I x.cosx.sin xdx x sin 2xdx x.sin 2xdx

1

2

π

 =

∫

( )

0 0 0 0

1 I= x.sin 2x.cos2xdx

2 I= x 1 cosx.sin x dx

3 I= x 1 sin x.cosxdx

4 I= x cos2x.sin2x 2 dx

5 I= 1 x 1 sin x.cosx dx

π 4

π 2

π 4

+

−

∫

1 0 1 0 4 0

1

∫

( )

6

1 I= cosx ln sin x dx

2 I= cosx 1 ln sin x x dx

π 2 π

π 2

∫

Trang 3

2

0

I cosx ln 1 cosx dx

sin x

1 cosx

π

−



∫

1

0

2

1 0

I 2 t costdt

dv costdt v sin t

I 2t.sin t 2 sin tdt 2sin1 costπ 2sin1 2 cos1 2

=

= ⇒ =

 = ⇒ =



∫

2

0 0

0

du dx

u x

1

dv cos2xdt v sin 2x

2

π π

=



=

∫

2 6

0

2 Chuù yù

2

6

0

I x.cos x.sin xdx

du dx

u x

dv cos x.sin xdx

π

=



=

⇒

π 3

∫

2 0 2 3

1 I sin x ln 1 sin x dx

2 I ππcosx ln 1 cosx dx

∫

( )

2 0 2 0

1 I sin xdx

2 I cosx.sin sin x dx

3 I e dx I x ln 1 x dx

4 I cosx ln 1 sin x dx

5 I sin x ln 2 cosx dx

π

=

∫

2 2 0

2 2

0

2 2

0

1 I x.sin xdx

2 I x sin x 1 dx

3 I x cos 2x 1 dx

π

=

∫

2 2 0

2 4

0

2 4 0

1 I x.sin x.cosxdx

2 I x 1 sin x.cosx dx

3 I x.cos 2x.sin 2xdx

π

=

∫

Trang 4

( ) ( )

( )

=

+

= −



∫

2 x 1

2 0

1

x e

x 2

Bài 13 Tính các tích phân sau:

2 x

0

2

x

1

I x e dx

du 2xdx

u x

I x e 2 xe dx

v e

dv e dx

I e 2 xe e dx =e-2 e-e =e-2

1

1 1

=



∫

Chú ý: Ta có thể đặt

x

u e

dv sinxdx

 =

 =

 rồi giải tương tự.

x 0

I e sin xdx

u sin x du cosxdx

I e sin x e cosxdx e cosx dx

u cosx du sin xdx

π

=

∫

1

I I e 1 2I e 1 I e 1

2

Chú ý: Ta có thể đặt

x

u e

dv sinxdx

 =

 =

 rồi giải tương tự.

1



=

e 2 1

2

1 1

e

2 I ln xdx

1

du 2 ln x dx

x

1

x

3 I 1 ln x dx 3 I 1 ln x xdx

=



∫

1 I x e dx I x e dx

2 I πx sin xdx I πx cosxdx

Trang 5

( )

/

2

2 2

1

2

3

2

1

u ln 1

x v 3

+

=



∫

( )

e

2 e

e

1

v

x 1



=

∫

2

2 0

1 1

2 2 0 0

2

u ln

2



−

+

∫

1 2 0

1 3

2 8

e

2 1

2 e

1



=

∫

Bài 20: Tính các tích phân:

2 3

2 2 2

3 3 2

sinx

sin x

1 cosx

π π

2



=

−

∫

Trang 6

2

1 I=∫πxsin xdx= xsin x.sinxdx∫π =∫πx 1 cos x sinxdx− =∫πx.sinxdx−∫πxcos x.sinxdx

x

∫

Cách 1:

t 2

e

2

9

ln x 4

ln t 1 t e

ln t 4 5

+

= ⇒ =



x

2

5 2

9

ln t 4

ln t 1 t e

ln t 4 5

ln t 4 25

+ +

−

+

= ⇒ =



0

2

π

sinx cosx

cosx sinx sinx.sinx-cosx.cosx dx sin x cos x dx cos2x dx 2cos2x dx

1

2 2cos2x dx

sin2x

−

d sin2x

Trang 7

( )

0

2

1 I 1 x dx x=sint dx=costdt x=0 t=0, x=1 t=

2

I 1 sin t costdt cos t costdt cos t costdt cos tdt

1 1 cos2t dt 1 1 2cos2t+cos 2t dt 1 3 4cos2t+cos4t dt

π

∫

3

π 16

1

0

1 I x 4 x dx x=2sint dx=2costdt t - ,

2 2 Khi x=-1 t= , x= 2 t=

I 4sin t 4 1 sin t 2costdt= 16.sin t.cos tdt=4 sin 2tdt=2 1-cos4t dt= =

2 I x 1 x dx

−

π π

π

∫

3 I=∫ x 9 x dx 4 I− =∫ x 16 x dx−

cosx-sinx cosx+sinx cos2xdx cos x sin x

4

π

3

cos2xdx I

sinx+cosx+2

π

2

I=∫ 9x 6x− +x dx

1 2 0

0

2 I x x 1 dx

3 I x 1 x dx

−

∫

0

1

2 x x 1 1

1 I 9 3 dx

−

+

−

∫

Trang 8

2

1 1

sin x+cos x sin x + cos x sin x+cos x 2- sin x.cos x 1 sin 2x

2

2 I= cos2x si

− π

∫

0

1

n x cos x dx 1 sin 2x cos2xdx

2

t sin 2x dt 2 cos2xdx Khi x=0 t=0, x= t 1 I 1 t

∫

0

1

I cos x.sin2xdx cos x.2sin x.cosxdx cos x.sin xdx

t=cosx dt=-sinxdx Khi x=0 t=1, x= t 0 I 2 t dt t

π

∫

0 3

1

∫

2

2 2

4 2

1

3 5

0

1 t=tanx dt= dx Khi x=0 t=0, x= t 1

π

0

cos2x

sin 2x cos2x

π

=

+

∫

Bài giải

0

sin 2x

sin 2x cos2x

π

=

+

∫

0

Đặt t=sin2x

8

−

1 1

8

I J ln 2

4

π





 − =



∫

0

4

I I

π

Trang 9

2 2 2

2

x

v cotx

sin x

π



3π

∫

1 0

2

3

2

3 ln

sin x 1-cos x

1 t=cosx dt=-sinxdx Khi x= t , x= t 0

3

x cosx

2 I dx 3

cos x

π

0

−

+

=

3

2

1 I x.cot xdx x cot x 1 1 dx

v cotx-x dv=cot x 1 1

cosx

sinx

d sinx

sinx

π

2

=

4 4

ln sinx

2 I x.tan xdx 3 I 1 x cot xdx 4 I x cot x 1 dx 5 I 1 2x 1 tan x dx

π

π π

4

( )

2 4

2 0

2 4

2 0

1 I dx t=tanx+1, tanx=t-1, dt= dx, x=0 t=1 x= t 2

cos x tan x 1

tan x 1

cos x 3tan x 1

π

+

−

=

+

∫

2 2

4

2 0

4

cot x 2

sin x 1 cot x

sin x 7cot x 1 cos x 2 4 tan x

π π

π

−

=

+

−

∫

Trang 10

( )

2

2 2

Khi x=1 t= 2, x=2 t=3

3

t 1 t

+

x

2 2

Khi x=0 t= 2, x=ln2 t= 3

t 1 t

( )

x 0

x

1 I dx t=1+e dt e dx dx , x=0 t=1 x=ln2 t=3

t=1+e dt e dx, e t 1, x=0 t=1 x=ln2 t=3

dt

I= I=

t

−

∫

( )

1 1 dt

1 = t 1 t− − ÷ =

Định dạng
Số trang	10
Dung lượng	337,5 KB