PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2 Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN Ví dụ 1: [ĐVH].
Trang 1PHƯƠNG PHÁP ĐẶT ẨN PHỤ GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH – P2
Thầy Đặng Việt Hùng – Moon.vn VIDEO BÀI GIẢNG và LỜI GIẢI CHI TIẾT CÁC BÀI TẬP chỉ có tại website MOON.VN
Ví dụ 1: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2 2 2
+ + + =
+ + − = −
Hướng dẫn giải:
Ta xét hai khả năng:
2
=
= ⇒ + = ⇔
= −
x
x ⇒hệ có nghiệm (0; 0); (–2; 0)
+) Nếu y≠0,
2
2
2
5
2
+ + + =
⇔
+
+ − = −
x x
x y y
HPT
x x
x y y
, đặt
2
2
3
= − = − =
= + −
x x
u y
v x y
- Với
2
2
+ − = −
x x
y
x y
- Với
2
2
3
3 3
= − = −
=
+ − =
x x u
y v
x y
hệ vô nghiệm
Vậy hệ phương trình đã cho có 4 nghiệm (x; y) là: (0; 0) ; (–2; 0); (1; 1) và (–6; 8)
Ví dụ 2: [ĐVH] Giải hệ phương trình
∈
Hướng dẫn giải:
Ta có,
2 2
x y xy xy HPT
x y x y xy
⇔
Đặt
Nhận thấy a = 0 không thỏa mãn, đặt b = ka ta được
2
6
1 12 (1 12 ) 36
k
+ + =
Từ đó ta tìm được
a b
= = ⇒ ⇔ ⇒
Vậy hệ đã cho có hai nghiệm
+ + + =
+ + + = −
Hướng dẫn giải:
Đặt
2 2
4
+ = −
+ =
x y a
x y b
Trang 2Ta có hệ phương trình
4
= −
x y
a b
Ví dụ 4: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2
2
2 2
1
xy
Hướng dẫn giải:
2 2
1 1
− + =
x y xy xy
x y xy x y xy
x y
x y
xy xy
2
2 2
(1 )
11 ( 2 ) 12
1
− =
=
xy
x y
y x xy
x y
xy
Thay vào ta được nghiệm của hệ là x = y = 1
Ví dụ 5: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2 2
− + + =
+ + − + =
Hướng dẫn giải:
+) Xét y = 0 không thỏa mãn hệ
2
2
0
(
1
+ =
− = −
−
+
x
a b
a b x
x y
y
y
Ví dụ 6: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2 2
3
+ − =
+ + + =
Hướng dẫn giải:
3 11
3
=
≤
=
t t
t
3
=
Ví dụ 7: [ĐVH] Giải hệ phương trình
4 2 2
Hướng dẫn giải:
Trang 3Hệ pt
Đặt
2
1 2
= −
= −
+ = ⇔ + − =
45
uv
+ = −
=
⇔
1 3
u v
= −
=
1
u
v
=
= −
3
u
v
= −
=
Kết luận: Hệ phương trình có 3 nghiệm: (2;1), (-2;1), (0;5)
+ + − =
− =
Hướng dẫn giải:
2
= +
u x y
v x y Điều kiện u≥0 Khi đó ta có
2
4
−
=v u
y
Hệ đã cho trở thành 28 (1)
+ =
− =
u v
v u u
Từ (1) ⇒ v = 8 – u Thay vào (2) ta được (8− −u u2)u= ⇔4 u3+u2−8u+ =4 0
− + − −
⇔ u− u + u− = ⇔ =u u= u=
Đối chiếu điều kiện u≥0 ta có 3 17
2
− −
=
u không thoả mãn
+) Với u = 2 ta có
5
1
2
=
x
+) Với 3 17
2
− +
=
8 17 2
3 17
x
y
Vậy tập nghiệm của hệ phương trình là 5;1
2
,
3 17
4
Cách 2:
Đặt
2
2
2
1
= + ⇒
=
=
u u v
u x y
x u v
uv
v y
− + − −
→ +u u + = u⇔ −u u + u− = ⇔ =u u= u=
Đến đây việc tìm nghiệm như cách giải trên
Cách 3:
Đặt
2 2
2
4
4 2
− = − ⇒ =
= +
u v y y
v x y
Khi đó ta có hệ 28 (1)
+ =
− =
u v
v u u
Giải hệ này tương tự như cách 1
Trang 4Ví dụ 9: [ĐVH] Giải hệ phương trình
Hướng dẫn giải:
Hệ đã cho tương đương với
x xy y y x
x xy y x y
+ − = −
TH1: y=0⇒x=0
TH2: y≠0, đặt t x x ty
y
= ⇔ = thay vào hệ:
2 2
2 2
y t t y t
y t t y t
− + = −
+ − = −
Từ (1) và (2) ta được
2
3 2 2
1
2 3
3
t
t t t
t t
= ±
− + = − ⇔ − − + = ⇔
Từ đó suy ra hệ có 4 nghiệm là (0;0);(1;1);( 1;1); 7 ; 3
43 43
−
Ví dụ 10: [ĐVH] Giải hệ phương trình
4 2 2
Hướng dẫn giải:
Hệ pt
⇔
− + − =
Đặt
2
u x
v y
= −
ta có hệ phương trình
uv u v uv u v
3 1
u v
=
⇔
= −
hoặc
1 3
u v
= −
=
Giải ra ta được các nghiệm của hệ là (2; 1), (–2; 1), (0; 5)
2
∈
ℝ
x y
Hướng dẫn giải:
Đặt t= 2x−1,t≥0 Hệ phương trình trở thành ( ) ( )
( )2 ( )
t y ty
t y t
y yt t t y ty
⇔
Từ (1) và (2) suy ra ( )2 ( )
0
2
t y
t y t y
t y
− =
− + − = ⇔
− = −
+) Với t = y thay vào (1) ta được t = y = 2
5
2
t= ⇒ x− = ⇔ =x , nghiệm của hệ là 5; 2
2
2
y= +t thay vào (1) ta được 4 2 6 13 0 3 61
4
t + − = ⇔ =t t − +
3 61
16 4
y y
t
x x
−
− +
=
− =
Vậy nghiệm của hệ phương trình đã cho là ( ) 5 43 3 61 3 61
x y
=
Trang 5Ví dụ 12: [ĐVH] Giải hệ phương trình
3 2 2
7
4
(x y, ∈ℝ)
Hướng dẫn giải:
Điều kiện: x≥ −2;y≥ −2
2
7 (1) 2
1
4
− =
Thế (1) vào (2) ta được phương trình
2
2
u
u
=
=
2
2
4
−
Ví dụ 13: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2
=
Hướng dẫn giải:
Điều kiện:
2
0 0
+ >
− >
x+y + xy= x+y +xy ( )3 ( ) ( )
x y x y xy x y xy
⇔ + − + − + + =
x y x y xy x y
⇔ + + − − + − = ⇔(x+y)−4 (x+y)(x+ + −y 4) 2xy=0
( ) 2 2 ( )
0
>
⇔ + − + + + =
⇔(x+y)− = ⇔ = −4 0 y 4 x
Thay vào phương trình ta được
( )
2
2 =x 4 x
− −
6 0
x x
= − =
⇔ + − = ⇔ ⇔
Ví dụ 14: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2 2
3
8 16
3 0
+ + − =
xy
Hướng dẫn giải:
Trang 6( ) 2 2 ( )
2 2
+ =
2
1
x
=
+ + =
x y
∈
− + − − − =
Hướng dẫn giải:
Đặt
2 2
5 5
y
= − − = =
=
− + =
Ví dụ 16: [ĐVH].Giải hệ phương trình sau
2
+ − − =
Hướng dẫn giải:
Đặt: u x y
= +
= −
⇔
2
3 (2) 2
uv
4
uv
=
+ =
Vậy nghiệm của hệ là: (x; y) = (2; 2)
Ví dụ 17: [ĐVH] Giải hệ phương trình
48 24
Ví dụ 18: [ĐVH] Giải hệ phương trình
+ − + =
+ − + =
Ví dụ 19: [ĐVH] Giải hệ phương trình
Ví dụ 20: [ĐVH] Giải hệ phương trình
Ví dụ 21: [ĐVH] Giải hệ phương trình
5
Trang 7Hướng dẫn: Đặt u= +x y v2; =xy
Ví dụ 22: [ĐVH] Giải hệ phương trình
1 2
= + +
Ví dụ 24*: [ĐVH] Giải hệ phương trình
2 2
BÀI TẬP TỰ LUYỆN:
Bài 1: Giải hệ PT
4
3
2
− = −
+ = + +
Bài 3: Giải hệ PT
2 4
Bài 4: Giải hệ PT
2 4
Bài 5: Giải hệ PT
1 1
Bài 7*: Giải hệ PT
2
5
1
x
+
+ =
4
4
+ + + =
+ + − =
+ + + =
( ) ( )
2 2
3 3
+ − =
− + =
( )
1
Bài 14: Giải hệ PT
2 2 2 2
1 2
12
Bài 16: Giải hệ PT ( )
x x
Bài 17: Giải hệ PT
2 2
3
1
+ + =
+ − =
xy
Trang 8Bài 18: Giải hệ PT 2 2
4
4
+ + + =
Bài 19: Giải hệ PT
1
4
+ + + =
+ + + =
xy
2 2
Bài 22*: Giải hpt sau:
2
2
2 4 18
x
y
Bài 23: Giải hệ pt sau:
2
=
− +
= + +
3
5
xy y x
xy y x
Bài 25: Giải hệ PT
+ + + =
3
3 7
3
Bài 28: Giải hệ PT
=
− +
−
=
− +
−
−
5 2 6 2
2 2
2 4
y x y x
y x y
x
Bài 29: Giải hệ PT
= +
− +
= + +
+
4 )
(
12 )
(
2 2 2
2
2 2 2
2
y x xy y x
y x xy y x
Bài 30: Giải hệ PT
1
Bài 31: Giải hệ phương trình
3 4
1
Bài 32*: Giải hệ phương trình
0
+ =
+ + + =
2
Bài 34*: Giải hệ phương trình
3
2 3
Nếu làm hết số bài này, khi đi thi Đại học, 100% các em sẽ tủm tỉm cười!