Định lý chuyển động của khối tâm Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm mang khối lượng của toàn hệ chịu tác dụng của vector chính ngoại lực tác dụng lên hệ.. Định lý biến thiê
Trang 1I Định lý chuyển động của khối tâm
Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm mang khối
lượng của toàn hệ chịu tác dụng của vector chính ngoại lực tác
dụng lên hệ.
II Định lý biến thiên động lượng
Đạo hàm theo thời gian vector động lượng Q của cơ hệ bằng vector
chính của ngoại lực tác dụng lên hệ
III Định lý biến thiên moment động lượng
Đạo hàm theo thời gian moment động lượng của cơ hệ đối với một
tâm (trục) bằng moment chính của ngoại lực tác dụng lên cơ hệ
đối với tâm (trục) đó.
IV Định lý động năng
Đạo hàm động năng của cơ hệ bằng tổng công suất ngoại và nội
lực đặt vào cơ hệ.
52
Định lý:
Khối tâm của cơ hệ chuyển động như một chất điểm mang khối lượng của toàn hệ chịu tác dụng của vector chính ngoại lực tác dụng lên hệ.
Trường hợp
Tổng ngoại lực tác dụng lên hệ bằng 0 thì khối tâm của hệ đứng yên hoặc chuyển động thẳng đều.
∑
k
W
const V
W
e
k = → = → =
Trường hợp
Theo phương x, khối tâm C của hệ đứng yên hoặc chuyển
hay
tâm của vật) thứ k tại thời điểm t bất kỳ và thời điểm t = 0.
của vật) thứ k theo trục x.
I ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (2)
∑ e = 0
kx
Fr
∑
k k k N
M const t
x m
k 1m k(x k(t) x k( 0 )) 0
const V
m M V F
W M F W
k k kx Cx
e kx x
C e
k
∑k N=1m kξk = 0
Định lý chuyển động khối tâm giúp giải thích một số hiện tượng:
* Hiện tượng súng giật khi bắn
* Hiện tượng không thể bước đi trên mặt phẳng trơn láng.
Bài toán:
tìm dịch chuyển của các vật rắn còn lại
vi phân chuyển động của khối tâm
(phản lực) tác dụng lên cơ hệ
VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (3)
Trang 2VD 1: Hai vật nặng A, B có khối lượng lần lượt là m 1 , m 2nối
với nhau bằng dây mềm khối lượng không đáng kể và không
giãn như hình vẽ Lăng trụ D tựa trên mặt sàn nằm ngang và
nhẵn Ban đầu cơ hệ đứng yên Tìm di chuyển của lăng trụ D
khi vật A trượt xuống theo mặt nghiêng 1 quãng đường s. [1]
VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (1)
A B
D
60 o
m 2
m 1
m 3
Xét cơ hệ gồm 3 vật: m 1 , m 2 , m 3
Ngoại lực tác dụng lên cơ hệ: P 1 , P 2 , P 3 , N
, ban đầu hệ đứng yên
x Ccủa hệ không đổi
VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (2)
∑ e = 0
kx
Fr
A B
P 2
P 3
N
P 1
x
s
s s.cos60 o
x
x x
x x
m
s m
s m
3 3
3 2
2
3 0 1
1
: :
60 cos :
ξ
ξ ξ
ξ ξ
+
=
+
=
s m m m
m m
s m m
m m m
m s
m s
m m
o x
o x
x x
x o
k k kx
3 2 1
2 1
3
2 1
3 3 2 1
3 3 3 2 3 1
3 1
60 cos
) 60 cos ( ) (
0 )
( ) 60 cos ( 0
+ +
+
−
=
⇔
+
−
= +
+
⇔
= + + + +
⇔
=
∑=
ξ
ξ
ξ ξ ξ
ξ
x
3
ξ
Trái dấu với s m 3 dịch sang trái
57
VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (3)
VD 2: Sàn nằm ngang nhẵn, A, B có khối lượng lần lượt là m 1 , m 2 OA
= AB = r , vỏ động cơ có khối lượng m 3 Biết tay quay OA quay đều
quanh O với vận tốc góc ω Biết ban đầu hệ đứng yên và piston ở vị trí
xa nhất về bên trái.
a) Xác định chuyển động ngang của vỏ động cơ và áp lực thẳng đứng của
động cơ lên sàn.
b)Nếu động cơ được bắt vít chặt xuống nền, tìm áp lực và lực cắt ngang
của động cơ lên bulong, bỏ qua lực căng ban đầu của bulong.
c)Nếu động cơ được bắt chặt vào dầm đàn hồi khối lượng không đáng kể
có độ cứng k , viết phương trình vi phân chuyển động của động cơ.
B
A O ω
58
VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (4)
VD 2: Dạng bài toán 1 (câu a), 3 (câu b), 2 (câu c)
Các ngoại lực tác động lên cơ hệ: P 1 , P 2 , P 3 , N
Gọi x 01 , x 02 , x 03 , x 0C lần lượt là vị trí khối tâm của m 1 , m 2 , m 3
và của cả hệ tại thời điểm t = 0.
Tại thời điểm t:
3
3
(1 cos ) ( )
(1 cos )
2 (1 cos ) ( )
2 (1 cos )
x
x x
x
t
ζ
ζ
φ
φ
=
1 424 3
1 424 3
B
A O ω
P 2
P 1
P 3 N
ϕ
Trang 3a)Xác định chuyển động ngang của vỏ động cơ
Tại thời điểm t:
1
3
0
(cos 1)
N
k k
k
x
x
m
ξ
+
∑
3
cos( ) 1
x
t
Đây chính là phương trình chuyển động ngang của vỏ động cơ (gốc của
tọa độ ζ x3 tại vị trí khối tâm của vỏ động cơ lúc t = 0 s).
VD 2: Dạng bài toán 1 (câu a), 3 (câu b), 2 (câu c)
60
a) Xác định áp lực thẳng đứng của động cơ lên sàn
Tại thời điểm t: chọn góc tọa độ ngay tại vị trí ban đầu của khối tâm của cả hệ (x 0C =0 )
C
x
m m
ϕ
=
+
⇒
3
C
m
y
+
=
VD 2: Dạng bài toán 1 (câu a), 3 (câu b), 2 (câu c)
VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (6)
a) Xác định áp lực thẳng đứng của động cơ lên sàn
0
0
3
3
2
(1 c o s )
s in
C
C
x
y
y
ϕ ζ
⇒
1 4 4 42 4 4 43
1 4 4 4 2 4 4 4 3
2 2
2
( )
y C
e
d
ζ
&&
&&
Tồn tại phản lực của nền nên vỏ động cơ không rời khỏi nền ⇒ζy3 =0
2 1
sin( )
N m m m g
m m m
ω ω
+ +
VD 2: Dạng bài toán 1 (câu a), 3 (câu b), 2 (câu c)
1 2 3
1
N
m r
∃ <
VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (6)
VD 2: Dạng bài toán 1 (câu a), 3 (câu b), 2 (câu c)
b) Khi vỏ động cơ được cố định: ζ 3= 0
Tại thời điểm t:
3 3
1 01 2 02 3 03 1 2
(1 cos ) ( )
2 (1 cos ) ( )
(1 cos ) 2 (1 cos )
2
(1 cos )
x
x
x C
C
t
x
ζ
ζ
φ ω
φ φ ζ
φ
=
1 424 3
1 424 3
B
A O ω
P 2
P 1
P 3 N
x T
Nbl
Trang 4VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (7)
VD 2: Dạng bài toán 1 (câu a), 3 (câu b), 2 (câu c)
b) Khi vỏ động cơ được cố định: ζ 3= 0
Tại thời điểm t:
) cos(
2
) cos 1 ( 2
2 3 2 1
2 1
2 2
3 2 1
2 1
t r
m m m
m m
x
t dt
d r m m m
m m
x
C
C
ω ω
ω
+ +
+
=
⇒
− +
+
+
=
⇒
&
&
) cos(
) 2
(
) cos(
2 )
(
) cos 1 ( 2
2 2 1
2 3 2 1
2 1 3 2 1
2 2
3 2 1
2 1
t r
m m
T
T t r
m m m
m m m m m T x M F
MW
t dt
d r m m
m
m m
x
C e
kx
Cx
C
ω ω
ω ω ω
+
=
⇒
= +
+
+ +
+
⇒
=
⇒
=
− +
+
+
=
⇒
∑ &
&
Để tìm áp lực lên bu long ta làm tương tự với: C
e
ky M y
F = &
∑
64
VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (6)
VD 2: Dạng bài toán 1 (câu a), 3 (câu b), 2 (câu c)
c) Khi động cơ được cố định vào dầm đàn hồi
ω Chọn gốc tọa độ ngay tại
vị trí cân bằng tĩnh của tâm vỏ động cơ y03=0
2 2
3
( )
C
d
ζ
Các lực ngoài: Trọng lực
Lực đàn hồi:
Pr= m +m +m gr
Fr = − ∆ +k y r k∆ = m +m +m
y
2
2
1 2 3
sin( ) (
sin( )
e
MW F My P F
m r t m m m
k
m k
m
ω ω
+
∑ &&
&&
&&
65
VD – ĐỊNH LÝ CHUYỂN ĐỘNG CỦA KHỐI TÂM (8)
VD 3:
Một tấm đồng chất ABD có hình
dạng là tam giác vuông cân (cạnh
AB = 12 cm) được đặt thẳng đứng
tựa đỉnh A trên mặt ngang nhẵn
không ma sát Người ta thả cho tấm
phẳng đổ xuống dưới tác dụng của
trọng lực Hãy xác định quỹ đạo của
điểm M nằm chính giữa cạnh bên
BC Chú ý, trong suốt thời gian
chuyển động, điểm A luôn tựa trên
mặt ngang
B
A
D
M
B
66
1 Một số khái niệm và định nghĩa:
Động lượng của chất điểm:
Động lượng của cơ hệ:
Sử dụng vận tốc của khối tâm C (V C )
• M: Khối lượng của cơ hệ
• V C: Vận tốc khối tâm của cơ hệ
∑=
= N
k m k V k Q
1 r r
II ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (1)
V m
r
Vr
m
∑ =
=
k k k
V M Q
1
r r
r
Trang 52 Định lý:
Đạo hàm theo thời gian vector động lượng Q của cơ hệ bằng
vector chính của ngoại lực tác dụng lên hệ:
Hay (dạng hữu hạn):
Trong đó:
∑
k
F dt
Q
∑∫
=
0
0
1
t t
e
k dt F Q
:
1
0
∫t
t
e
k dt
Fr
e
e k
d
dt d
dt
∑
0
e k
F = →Q=const
Trường hợp
68
Định luật bảo toàn động lượng giúp giải thích một số hiện tượng:
*Tàu thủy hoặc máy bay chuyển động nhờ chân vịt hoặc cánh quạt của
máy bay
* Chuyển động bằng phản lực của máy bay và tên lửa trong chân không theo phương ngang
Bài toán:
0
e
F = →Q =const
∑ur Hình chiếu vector chính lực ngoài lên một trục nào đó (trục x) bằng không hình chiếu của động lượng lên trục đó (trục x) được bảo toàn:
VD1: Hai người A và B đang đứng ở hai góc của chiếc bè,
khối lượng của mỗi người lần lượt là m A = 85 kg và m B = 55
kg Ban đầu tất cả đều đứng yên Khi họ nhận thấy bè bị đứt
neo, người A lập tức đi về phía người B với vận tốc 0.6 m/s so
với bè Biết khối lượng của bè là 140 kg, xác định: a) Vận tốc
của bè nếu người B đứng yên; b) Vận tốc của người B phải đi
về phía người A là bao nhiêu để bè đứng yên (Bỏ qua sức cản
của nước)
VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (2)
VD1:m A = 85 kg; m B = 55 kg; V A/b= 0.6 m/s
a) V B/b = 0, V b= ?;
b) V b = 0, V B= ?
Ngoại lực tác dụng:
P A , P B , P b , N
Động lượng theo phương x được bảo toàn.
o Ban đầu hệ đứng yên:
o Khi chuyển động:
VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (3)
P b
N
V A/b
0
0x =∑m k V kx=
Q
∑ re = 0r
kx
F
0 0
1x =∑m k V kx =m A V Ax+m B V Bx+m b V bx =Q x =
Q
b A b B A
A bx
b A A bx b B A
bx b bx B bx b A A bx b B Bx bx b A Ax
V m m m
m V
V m V
m m m
V m V m V V m V V V V V V
/ /
/ /
/
) (
) (
0 )
(
;
+ +
−
=
⇒
−
= +
+
⇒
= +
+ +
⇒ +
= +
= a)
Trang 6VD1: m A = 85 kg; m B = 55 kg; V A/b= 0.6 m/s
b) V b = 0, V B= ?
VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (4)
0 )
( ) (
0 /
⇒
= +
+
bx b bx b B B bx b A A
bx b Bx B Ax
A
V m V V m V V m
V m V m V
m
s m V
m
m V
V m V
m
b A B
A b
B
b B B b A
A
/ 927 0 6 0 55 85 0
/ /
/ /
−
=
−
=
−
=
= +
⇒
Dấu (-) chỉ hướng chuyển động của người B ngược với người
A
72
VD2: Một viên đạn nặng 30 gam đang bay theo phương
ngang với vận tốc 450 m/s thì găm vào khối B có khối lượng
3 kg Sau khi va chạm, khối B trượt trên xe trượt C đến khi nó chạm vào vách cuối của xe Biết va chạm giữa B và C là va chạm mềm, hệ số ma sát động giữa B và C là 0.2 Giả thiết thời gian va chạm giữa A và B là rất ngắn có thể bỏ qua xung của lực ma sát giữa B và C trong giai đoạn va chạm này Bỏ
qua ma sát giữa xe và sàn Xác định:
VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (3)
a) Vận tốc của A&B sau
va chạm lần 1 b) Xác định vận tốc của
3 kg
30 kg
450 m/s
F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013
a) Vận tốc của A&B ngay sau va chạm:
VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (6)
0
V
m A
1 ) (m A+m B V
s m V
m m
m V
V m m V
m
B A
A B
A
3 03 0
03 0 )
(
+
= +
=
⇒ +
=
+
b) Vận tốc cuối cùng của cả hệ:
s m V
V m m m
m m V
V m m m V
m
m
C B A
B A C
B A B
A
/ 41 0 46 4 30 3 03
.
0
3 03
0
) (
)
(
2
1 2
2 1
= +
+
+
==
⇒
+ +
+
=
⇒ +
+
=
+
VD3:Cho cơ hệ gồm vật có trọng lượng P 1đặt trên mặt phẳng nghiêng
của lăng trụ có trọng lượng P 2 Góc nghiêng của mặt lăng trụ với mặt
ngang là α Ban đầu vật P 1nằm yên tương đối trên mặt lăng trụ, trong
khi lăng trụ thì trượt sang phải với vận tốc V 0 Bất chợt vật P 1 trượt xuống với vận tốcu = at so với lăng trụ Xác định vận tốc V của lăng trụ.
Bỏ qua ma sát giữa lăng trụ và mặt ngang.
VD - ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN ĐỘNG LƯỢNG (4)
u
V
P 1
P 2
N
α
Q xbảo toàn
∑ re = 0r
kx
F
{
1
cos
x
V x x
α α
o
1 0
cos
x x
P
V V
P
Q
= +
+
Trang 71 Một số khái niệm và định nghĩa:
Moment động lượng của chất điểm đối với 1 tâm (tâm O)
L kO tùy thuộc vào vị trí tâm O
Moment động lượng của chất điểm đối với 1 trục
k k k k k k
kO q r q m r V
Lr (r ) =r ×r = r × r
k
qr
k
Vr
m k O
k
r
r
) ( ,
) ( )
(
) ( ,
) ( )
(
) ( ,
) ( )
(
k xy xy k xy k O k
kz
k zx zx k zx k O k
ky
k yz yz k yz k O k
kx
q hc q q M q
L
q hc q q M q
L
q hc q q M q
L
r r
r r
r
r r
r r
r
r r
r r
r
=
±
=
=
±
=
=
±
=
76
1 Một số khái niệm và định nghĩa (cont’d):
Moment động lượng của cơ hệ đối 1 tâm
Moment động lượng của cơ hệ đối với 1 trục
hay
Vật rắn quay quanh trục cố định:
∑
= kO( k)
∑
∑
∑
=
=
=
) (
) (
) (
k kz z
k ky y
k kx x
q L L
q L L
q L L
r r r
r r r
r r r
∑ ∆
∆ = L k (q k)
ωr
r
∆
∆ = J L
2 Định lý:
Đạo hàm theo thời gian moment động lượng của cơ hệ đối với
một tâm (trục) bằng moment chính của ngoại lực tác dụng lên
cơ hệ đối với tâm (trục) đó
Vật rắn quay quanh trục cố định
III ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (3)
∑
= O( k e)
dt
L
∆ = M k (F k e)
dt
L
dt
d J dt
L d J
ω
r r
r
r
∆
∆
∆
k
k F M dt
d
r
ω
Phương trình vi phân chuyển động quay của vật rắn
quanh trục cố định
Dạng vi phân:
78
r Tại tâm đĩa có một chất điểm có khối lượng m 2 Ban đầu cơ hệ đang quay đều với vận tốc góc ω0quanh trục (Δ) qua tâm O của đĩa và vuông góc với mặt đĩa Sau đó, chất điểm m 2di chuyển theo phương bán kính của đĩa và dừng lại ở trung điểm của bán kính đó Xác định vận tốc góc của cơ hệ tại thời điểm trên.
VD – ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (1)
ω0
r
(Δ )
Hệ gồm đĩa và chất điểm Ngoại lực: trọng lực // trục (∆)
2
2
( ) 0 1
0 2
e
k k dL
M F L const dt
L m r
r r
L m r m
ω
∆
∆
∆
∑
r
1 0
1 2
4 4
m
ω ω
⇒ =
+
Trang 8VD – ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (4)
VD 2: một đĩa tròn bán kính r khối lượng m, có thể quay quanh trục ∆
đi qua đường kính Một chất điểm có khối lượng m0 có vận tốc u tới
đính chặt vào đĩa theo phương vuông góc với mặt phẳng đĩa ,cách trục
đĩa một đoạn b<r Tính vận tốc góc của đĩa.
F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013
m 0
∆
2
( ) 0
1 ( ) ( )
4
e
k k
dL
M F L const
dt
L m bu
L m b b mr
∆
∆
∆
∑
r
0
0
4 4
m bu
⇒ Ω =
+
80
VD – ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (3)
VD 3: Một bánh xe hình tròn bán kính r có bán kính quán tính là ρ được thả không vận tốc đầu.
Giả sử bánh lăn không trượt Xác định
(a) Vận tốc tâm bánh xe tại thời điểm t (b) Hệ số ma sát là bao nhiêu để xe không trượt
F Beer, E R Johnston Jr., D Mazurek, Vector of Mechanics for Engineers, Statics & Dynamics, McGraw-Hill, 2013
0
2
e
P o kP k
mV r J mgt r
V
r
=
∑
2
0
sin ( )
e
o
r
ω
ρ
+
∑
P F.t
N.t mg t
β O
I ω
m
V
Pβ
a)
b)
Để xe không trượt
2
sin
cos
r
ρ
< ⇒ <
+
2
sin
r g
β
+
2
2 2
tan
s
F
µ
ρ
+
VD – ĐỊNH LÝ BIẾN THIÊN MOMENT ĐỘNG LƯỢNG (4)
Tham khảo: Ví dụ 12.6 ~ 12.8 trong giáo trình [1]
2 / 3
=
d f
Thiết lập phương trình vi phân
chuyển động của cơ hệ, xác định
gia tốc của vật A sức căng dây
của ròng rọc.
khối lượng không đáng kể, không giãn và không trượt trên ròng
rọc Hệ số ma sát trượt động giữa vật A và mặt nêm là
tính đối với trục quay của nó là 0.8r.
Vật A có thật sự tự trượt xuống được không?
