Phương trình vô tỷ nâng cao

Thử lại ta thấy thoă mãn phương trình đã cho , đó là nghiệm duy nhất... Vậy phương trình dã cho có nghiệm duy nhất x=4.Bài 18... Vậy phương trình đã cho vô nghiệm .Bài 23.. x= + thoả mã

NGUYỄN NGỌC NHÂN

TÀI LIỆU CHUYÊN TOÁN PHƯƠNG TRÌNH

( DÀNH CHO HỌC SINH LỚP 10 )

QUẢNG BÌNH , THÁNG 1 NĂM 2012

Bài 1 Giải phương trình : x+3 x+ =7 4 x+80 (1)

Vậy x= 1 Thử lại ta thấy thoă mãn phương trình đã cho , đó là nghiệm duy nhất

Bài 2 Giải phương trình : x+ +3 3x+ =1 2 x+ 2x+2 (2)

f x − h x = k x − g x sau đó bình phương ,giải phương trình hệ quả.

Bài 3 Giải phương trình :

3

21

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= ±1 3

Bài 4 Giải phương trình : (4x−1) x2+ =1 2x2+2x+1

HƯỚNG DẪN GIẢI

Vậy phương trình đã cho có 2 nghiệm x= ± 7

Bài 7 Giải phương trình : x3 −1= x2 +3x−1

Bài 8 Giải phương trình : 2 2

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x= ±2

Bài 9 Giải phương trình : 2x2+5x− =1 7 x3−1 (9)

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm x= ±1

Bài 12 Giải phương trình : x2+ +x 12 x+ =1 36 (12)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Vậy phương trình dã cho có nghiệm duy nhất x=4.

Bài 18 Giải phương trình : x3−2x2+6x+ =3 4 5x−1 (18)

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1

Bài 19 Giải phương trình : 2 2

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 23 Giải phương trình : 5x2−14x+ −9 x2− −x 20 5= x+1.

x= + thoả mãn , đó là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 24.Giải phương trình : x= 2−x 3− +x 3−x 5− +x 5−x 2−x

22

Nhân vế theo vế các phương trình của hệ ta có : (u v v w w u+ ) ( + ) ( + =) 30, chia từng phương trình của

Bài 29 Giải phương trình : 3 x+ +1 3 x2 = 3 x+ 3 x2+x

HƯỚNG DẪN GIẢI +) x=0, không phải là nghiệm

+) x≠0, ta chia hai vế cho x : 3 1 3 3 3 1 ( 3 )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x =1

Bài 35 Giải phương trình : x2 +10x+21=3 x+3+2 x+7 −6 (35)

Dể dàng nhận thấy x= 2là nghiệm duy nhất của phương trình

Bài 38 Giải phương trình sau: x2 +12 5 3+ = x+ x2+5

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 3

Bài 40 Giải phương trình sau : 2x2+ + +x 9 2x2− + = +x 1 x 4

Tiếp tục giải ta sẽ tìm được các nghiệm của phương trình

Bài 42 Giải phương trình : 2 2 9

21

51

 , giải hệ này ta tìm được

( ; ) (2;3) (3;2)x y = = Tức là nghiệm của phương trình là x∈{2;3}

2

4

11

22

Trừ hai vế của phương trình ta được (x y x y− )( + ) 0=

Giải ra ta tìm được nghiệm của phương trình là: x= +2 2

Kết luận: Nghiệm của phương trình là {1− 2; 1+ 3}

HƯỚNG DẪN GIẢI

Điều kiện 5

4

x≥ −

Ta biến đổi phương trình như sau: 4x2 −12x− =2 2 4x+ ⇔5 (2x−3)2 =2 4x+ +5 11

Đặt 2y− =3 4x+5 ta được hệ phương trình sau:

2 2

2 2 2

Mặt khác : 0= −(1 2a b+ + −) (1 2b c+ + − + = − + +) (1 2c a) 3 (a b c)

Vì a b c, , là các số nguyên dương nên a b c= = =1

Ngược lại a b c= = =1 thoả mãn điều kiện bài toán

Bài 55 Giải phương trình : 9( 4x+ −1 3x− = +2) x 3.

HƯỚNG DẪN GIẢI

Điều kiện 2

3

x≥

2

x = vào PT ta có: m= 2+ 4 8.Với m= 2+ 48, ta chứng minh PT có nghiệm duy nhất Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:

x x

+ + + ≥

Bài 57 Giải phương trình : 2x3− +x2 32x3− + =3x 1 3x+ +1 3 x2+2 (57)

HƯỚNG DẪN GIẢI

Tập xác định : D = R

(57) ⇔2x3− +3x 3 2x3− + =3x 1 x2+ +1 3 x2+2.

Xét hàm số f t( ) = +t 3t+1 Khi đó ta có : f (2x3−3x) (= f x2+1) Ta chứng minh hàm số f t( ) đồng biến trên R Thật vậy : ∀t t1; 2∈R t: 1<t2 thì ( ) ( ) ( ) (3 3 )

Nên f t( )1 < f t( )2 Suy ra f t( ) đồng biến trên R

Theo tính chất của hàm đơn điệu ta có : 2x3−3x=x2+ ⇔1 2x3− −x2 3x− =1 0

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương duy nhất x=3 ; y=1 ; t =2 ; z=4

Bài 59 Tìm nghiệm nguyên dương của phương trình (x>2y):

Như vậy phương trình được viết lại : (x+7y x) ( +3y x y x) ( + ) ( −2y x) ( −3y) =11.7.5.2.1

Ta nhận thấy y=0 không thoả mãn phương trình vì x5 ≠770 ∀ ∈x Z

Vậy phương trình đã cho có nghiệm nguyên dương duy nhất ( x y; ) =(4 ; 1)

Bài 60 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x3+ y3 =3xy+3

Giải ra ta được các nghiệm : (1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 1 ; 2 ; 2 ; 1− ) (− ) ( ) ( )

Bài 61 Giải phương trình sau : 3( ) (2 ) 3( ) (2 ) ( )3

12

Như vậy : VT < ≤1 VP Vậy phương trình đã cho vô nghiệm

Bài 63 Tìm nghiệm nguyên của phương trình : x30(x30 +y4) = y2002 (63)

HƯỚNG DẪN GIẢI (63) 60 30 4 2002 ( 30 4)2 8( 1994 )

Giả sử phương trình có nghiệm nguyên dương (x y z, , ).

Đặt x x d= 0 ; y= y d0 với d =( )x y, Thế vào phương trình ta có:

y x y



⇔  =  Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là 1; 4

Bài 68 Giải phương trình: x2−3x+3.5= (x2−2x+2) (x2−4x+5)

2 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho 2 số dương ( x2 −2x+2) và ( x2 − 4 x + 5 )

Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất x = 3

x x





 (Vô lý) Vậy phương trình vô nghiệm

Bài 70 Giải phương trình: 2 2

Bài 72 Giải phương trình:3( )2 3( )2 2

y y

y y

27.32

2

x + =

6 6

4 4 4 6

4

27

1.5x

1x

13

x3

x3

xx

−

≥

−+

01xx

01xx

2 2

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có :

2

2xx2

11xx1x

x

2

xx2

11xx1

x

x

2 2

2

2 2

2

++

−

=+++

−

≤+

+

−

+

=+

−+

xx2x

x1

Điềukiện: 0 x 1 < ≤ Phương trình đã cho 1 x 1 2x 12 (*)

x x c b cx

bx a

+

+ +

a b 2

a b x

a b x b a

−

(Với a + 2 < b ) 2) 3 3 x2 − x + 2001 −3 3 x2 − 7 x + 2002 −3 6 x − 2003 =3 2002

2002

2001 x

c x a x b

a c a a

b x c x b c a c c

b x a x

−

−

−

− +

1978 1

1 x

1 x

1

x

1

4 3 2

1

−

= + + +

−

= +

−

= +

−

2 x z 2 z z

2 z y 2 y y

2 y x 2 x x

2 4

5

2 4

5

2 4

= + +

8 xyz

z y x 8 z y

210 x

= +

2 m y

x

256 y

1 x

3

28 x 24 x

+ + +

+

= + +

= +

+

1 y x

z y z y

y x x

z z

y

y

x

1 z y

x

29) x3 − 3 x2 + 2 ( x + 2 )3 − 6 x = 0

z

c

xy a x

c

y

b

xz c z

+ + +

+

= +

+ +

n 3 8 x

8 x 8 x

n x

x x

n 2

1

n 2

1

34) Cho hệ phương trình:

1 b

; bn 1 b x

n x

n

1

i

2 i

x e d d x c b

3 2 y

x

1 y 3 2

−

−

= +

x 17 y 8 y xy 8 x

49 xy

3 x

2 2

2 3

+

−

= +

+

−

= +

1 z x 2 1 z

z

1 y z 2 1 y

y

1 x y 2 1 x

x

3 2

3 2

3 2

2 1 3

3 3

3

2 2

3

1

= +

2 x

y

2 y

2 y x

3 k

3 k

=

++ +

1 1 x

1 x

−

=

− +

−

=

− +

−

0 27 z 27 z

9

x

0 27 y 27 y

9

z

0 27 x 27 x

9

y

2 3

2 3

2 3

52) ( 30 x 4 x ) 2004 ( 30060 x 1 1 )

2

+ +

= +

= +

2004 x

4 z

x

30

2004 z

4 y

z

30

2004 y

4 x

d) 7 x 7 x

28

9 x

+

= +

= +

= +

x x z

z

2

z z y

y

2

y y x

x

2

2 2 2

+

−

=

− + +

2121 4

30 y 2001

x

2121 2001

y 4 30

= + +

8

1 xyz

4

3 xz yz

xy

2

3 z y

y 5 6

x 3 5

y

x

5

x 9 y x x

y x x

2 2

2 2

74)

6

5 1 x 4 x

1 x 3 x 1 x

2

x

1 x

x

2

2 2

2

= + +

+ + + + +

+ +

x 3

10 x

2

− +

−

+

HƯỚNG DẪN GIẢI 100 BÀI PT & HPT

−

= +

−

= +

−

3 x 64 z 48 z

12

2 z 64 y 48 y

12

1 y 64 x 48 x

12

3 2

3 2

3 2

G/s (x; y; z) là nghiệm của hệ phương trình trên thì dễ thấy ( y; z; x); (z; y; x) cũng là nghiệm của hệ do đó có thể giả sử :

x = max{x; y; z}

Từ 12 x2 − 48 x + 64 = 12 ( x2 − 4 x + 4 ) + 16 ≥ 16

2 y 16

⇒

Tương tự x ≥ 2 ; z ≥ 2

= +

+

= +

2001 5

19

2001 5

19

2001 5

19

y y 1890 x

z

x x 1890 z

y

z z 1890 y

x

Ta đi cm hệ trên có nghiệm duy nhất x = y = z

Giả sử (x,y,z) là nghiệm của hệ ⇒ − − −( x; y; z) cũng là nghiệm của hệ

47

2

=+

VD:Giải hpt:

Giải:

Từ đó suy ra hệ có nghiệm (1;1