Đề thi học sinh giỏi

Chứng minh rằng giá trị của các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x, y, z: P Câu 2.. d.Từ 1 điểm A bất kì thuộc tia MQ và nằm ở miền ngoài đờng tròn O, kẻ AB và AC là các tiếp tuyến

Trang 1

huyện trực ninh năm học 2005 -2006

Môn Toán lớp 9

Thời gian làm bài 120 phút

Bài 1: ( 3 điểm)

Cho x2 x 2x x 2 x 1( )

A

−

a.Rút gọn A

b.Tìm x để A đạt giá trị nhỏ nhất

Bài 2: ( 4 điểm) Giải hệ phơng trình:

2







Bài 3: ( 4 điểm)

Cho phơng trình x2 - 2(m -1)x + m - 3 = 0

a.Chứng minh rằng với mọi m phơng trình luôn có nghiệm

b.Tìm một hệ thức liên hệ giữa các nghiệm mà không phụ thuộc vào m

c.Xác định m sao cho phơng trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối

Bài 4: ( 7 điểm)

Cho đờng tròn (O ; R), M là một điểm nằm ngoài đờng tròn Qua M kẻ hai tiếp tuyến MA, MB của đờng tròn (O ; R) ( A, B là các tiếp điểm) Một đờng thẳng d qua M cắt đờng tròn (O) tại hai điểm C và D ( C nằm giữa M và D) Gọi I là trung điểm của

CD Đờng thẳng AB cắt MO, MD, OI theo thứ tự tại các điểm E, F, K

a.Chứng minh rằng OE OM = OK OI = R2

b Khi đờng thẳng d không đi qua O Chứng minh OECD là tứ giác nội tiếp

c Cho biết R = 10cm; OI = 6cm; MC = 4cm Tính MB?

Bài 5: ( 2 điểm)

Cho p = abc là số nguyên tố Chứng minh rằng phơng trình a2 + bx + c = 0 không

có nghiệm hữu tỷ

đề chính thức

Trang 2

phòng GD- đt

huyện trực ninh đề thi chọn học sinh giỏi

năm học 1998- 1999

Câu 1 Cho 3 số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 999 Chứng minh rằng

giá trị của các biểu thức sau đây không phụ thuộc vào x, y, z:

P

Câu 2 Cho biểu thức:

A

a.Tìm giá trị thích hợp của x?

b Rút gọn A

c Chứng minh : A ≤1

d Tính giá trị của A biết x= 4− 7 − 4+ 7 + 2

Câu 3 Giải hệ phơng trình:

x y z 2

4x 9y 25z 108

+ + =



 − − = −





Câu 4 Cho đờng tròn (O; R) và (O’; r) tiếp xúc ngoài tại M Kẻ 1 tiếp tuyến chung ngoài NP ( N∈( )O ;P∈( )O' )

a.Tính góc NMP và tính NP?

b.Gọi Q là giao điểm của PM với đờng tròn (O) (Q khác M) Chứng minh rằng : ba điểm N, O, Q thẳng hàng

c.Tính MN? MP?

d.Từ 1 điểm A bất kì thuộc tia MQ và nằm ở miền ngoài đờng tròn (O), kẻ

AB và AC là các tiếp tuyến của đờng tròn (O) ( B và C là các tiếp điểm) Chứng minh rằng: Khi điểm A di động trên tia MQ ( ở miền ngoài (O) thì đờng tròn ngoại tiếp tam giác ABC luôn đi qua 2 điểm cố định

đề chính thức

Trang 3

huyện trực ninh năm học 1997- 1998

Bài 1 Rút gọn biểu thức sau:

b B= 4+ 5 3 5 48 10 7 4 3+ − +

Bài 2 Giải phơng trình:

2x+ 4x 1− + 2x− 4x 1− = 6 Bài 3 Cho 3 số dơng x, y, z thỏa mãn điều kiện xy + yz + zx = 1 Tính giá trị biểu thức:

Bài 4 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số sau:

y= x 3 4 x 1+ − − + x 15 8 x 1+ − −

Bài 5 Cho đờng thẳng d, trên d lấy 2 điểm phân biệt M và N Kẻ tia Nx d⊥ Trên tia

Nx lấy một điểm O sao cho NO = 1/2MN Tia MO cắt đờng tròn (O; ON) ở A và

B ( M và O nằm ở 2 phía của A) Đờng tròn (M; MA) cắt MN ở C

a Chứng minh: AB2 = MA MB

b Chứng minh : MC2 = CN MN

c Qua O kẻ đờng thẳng vuông góc với AB, cắt d ở E Từ M và E kẻ các tiếp tuyến

MP và EQ với đờng tròn (O), ( P và Q là các tiếp điểm khác N) Chứng minh rằng : MP EQ = 1/4PQ2

d Dựng đờng tròn tiếp xúc với đờng thẳng d tại M và tiếp xúc với đờng tròn (O)

đề chính thức

Trang 4

phòng GD- đt

năm học 1999- 2000

Câu 1 Cho biểu thức :

2

A

=

a Rút gọn biểu thức A

b Tính giá trị của A biết:

b

Bài 2 Giải phơng trình:

1

2

Bài 3 Cho a, b, c là ba số dơng thỏa mãn: a + b = c Chứng minh rằng:

4 a + 4 b > 4 c Bài 4 Cho hình thang vuông ABCD ( Â = D = 900) Tia phân giác của góc C đi qua trung điểm I của AD

a Chứng minh rằng BC là tiếp tuyến của đờng tròn (I; IA)

b Gọi H là tiếp điểm của BC với đờng tròn tâm I nói trên, K là giao điểm của AC

và BD Chứng minh: KH //DC

c Kẻ đờng thẳng vuông góc với DA tại I, cắt BC tại E Nối DE Gọi F là giao điểm của tia AB và tia DE Chứng minh:

2 AD AB.BF

4

=

d Dựng đờng tròn tiếp xúc với DC tại C và tiếp xúc với đờng tròn (I; IA)

phòng GD- đt

năm học 2001- 2002

đề chính thức

Trang 5

Câu 1: ( 4 điểm)

Rút gọn biểu thức:

2 2

a a

Câu 2: ( 4 điểm)

a Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên k 1≥ ta có:

b.Chứng minh rằng:

2 3 2 4 3+ + + + n 1 n < ∀ ∈ ≠

+

Câu 3: ( 3 điểm)

Cho ba số x, y, z thỏa mãn:

3 3 3

2 2 2

 + + =







Tính tích P = xyz

Câu 4: ( 6 điểm)

Cho đờng tròn (O; R) và đờng thẳng d cố định ( d ngoài (O)) Gọi A là chân đ-ờng cao hạ từ O xuống d Từ một điểm E trên d kẻ các tiếp tuyến EP, EQ với (O) Dây cung PQ cắt OA tại Ivà cắt OE ở K Gọi B là giao điểm thứ hai của AP với (O; R) Tiếp tuyến của (O) tại B cắt đờng thẳng d tại C

a Chứng minh các điểm O, A, B, C cùng thuộc một đờng tròn

b Chứng minh: AC = AE

c Chứng minh: OI OA = R2

d Khi điểm E di động trên d thì K chuyển động trên đờng nào? Vì sao?

Câu 5*: ( 3 điểm)

n

2 3

Chứng minh rằng: an có giá trị là một số nguyên với mọi n N∈

phòng GD- đt

năm học 2002- 2003

Trang 6

Bài 1: Cho phơng trình ẩn x:

− − ữữ − = >

a Chứng minh rằng phơng trình luôn có 2 nghiệm phân biệt Với điều kiện nào của a, b thì 2 nghiệm đó là hai số đối nhau

b Gọi x1, x2 là hai nghiệm của phơng trình Hãy tính: 2 2

1 2

Q= x +x theo a, b

c Chứng minh Q≥2

d Giả sử trong hai nghiệm x1, x2 có một nghiệm lớn hơn 1 và một nghiệm nhỏ hơn 1 Chứng minh: a 1

b >4 Bài 2:

Cho P x= 2 +y2 +2z2 +t2 với x, y, z, t là các số không âm Hãy tìm giá trị nhỏ nhất của P và các giá trị tơng ứng của x, y, z, t biết:

2 2 2





− + =



Bài 3:

a Với x 2≥ , chứng minh: x 2 x 2 1− − ≥ Tìm x để đẳng thức xảy ra

x 2 x 2− − + x + −3 4 x − =5 3 Bài 4:

Cho hình vuông cạnh a Trên cạnh AD; CD lấy M, N sao cho góc BMN = 450

BM và BN cắt AC lần lợt tại E, F

a Chứng minh rằng: 5 điểm M, E, F, N, D cùng thuộc một đờng tròn

b Chứng minh rằng: S∆BMN =2S∆BEF

c Gọi H là giao điểm của MF và NE, I là giao điểm của BH và MN Tính BI theo a

d Xác định vị trí của M, N sao cho diện tích tam giác MDN lớn nhất Tìm giá trị lớn nhất đó

Bài 5

Cho hai thùng nớc với dung tích lớn tùy ý và hai cái gáo có dung tích 2 lít và

2− 2lít Hỏi có thể dùng 2 cái gáo đó để chuyển một lít nớc từ thùng này sang thùng kia đợc không?Tại sao?

phòng GD- đt

năm học 2002- 2003

Trang 7

Thời gian làm bài 120 phút Bài 1: Cho:

x 1

x 2

= − − + + + ữ   + − ữữ

−

a Rút gọn A, B

b Với giá trị nào của x thì A + B = 0

Bài 2 Cho hệ phơng trình:

2 x y 0



 + =



a Giải hệ phơng trình với m = -1

b Xác định m để phơng trình có nghiệm

Bài 3 Cho p là một số thực sao cho x2 -3px - p = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2

a Tìm một hệ thức giữa x1, x2 khôngphụ thuộc vào p

b Chứng minh rằng: 3p x1 + x22 - p > 0

c Tìm giá trị nhỏ nhất của:

2 1

1 2

A 3p x + x -3 p p

Bài 4.Từ điểm A ngoài (O; R) kẻ hai tiếp tuyến AB, AC với đờng tròn (B, C là các tiếp

điểm) Qua điểm M thay đổi trên cung nhỏ BC kẻ tiếp tuyến thứ 3 cắt tiếp tuyến AB,

AC lần lợt tại P và Q BC cắt OP và OQ lần lợt tại E, F Chứng minh rằng:

a Chu vi tam giác APQ không đổi khi M thay đổi trên cung nhỏ BC

b Tứ giác PQEF là tứ giác nội tiếp

c Tỉ số EF

PQ không phụ thuộc vào vị trí điểm M Tính tỉ số đó khi góc BAC bằng

600

phòng GD- đt

năm học 2004- 2005

Trang 8

Bài 1 Tính:

biết 2x2 −3x 17+ − 2x2 −3x 5 2+ =

Bài 2 Cho hệ phơng trình:

mx 4y 10 m

x my 4



 + =



a Giải và biện luận hệ phơng trình

b Chứng minh rằng : khi hệ phơng trình có nghiệm (x; y) duy nhất thì M(x; y) luôn thuộc một đờng thẳng cố định

Bài 3 Cho phơng trình : 2 ( )

x +2 k 2 x 3k 10 0− − + =

a Tìm k để phơng trình có nghiệm

b Giả sử x1, x2là nghiệm của phơng trình đã cho Tìm giá trị nhỏ nhất của P

=x12+x22

c Với các giá trị nguyên nào của k thì phơng trình đã cho có nghiệm là một số nguyên

Bài 4 Cho (O1), (O2) cắt nhau tại A, B Tiếp tuyến chung của 2 đờng tròn trên nửa mặt phẳng bờ O1O2 chứa điiểm B có tiếp điểm theo thứ tự là E, F Qua A kẻ cát tuyến song song với EF cắt đờng tròn (O1) tại C, cắt (O2) tại D, CE cắt DF tại I Chứng minh rằng:

a IA vuông góc với EF

b Tứ giác IEBF nội tiếp

c AB đi qua trung điểm của EF

d Qua A kẻ một cát tuyến thứ 2 C’AD’ cắt (O1) tại C’, cắt (O2) tại D’ Chứng minh: góc ∠C AB' = ∠DAB

sở GD- đt

tỉnh nam định đề thi chọn học sinh giỏi

năm học 2002- 2003

Trang 9

Câu 1: Rút gọn biểu thức:

A

Câu 2: Gọi a, b là 2 nghiệm của phơng trình bậc hai: x2 - x-1 =0

Chứng minh rằng:

3 3

2 2 4 4

2001 2001 2003 2003

= + + +

là những số nguyên và chia hết cho 5

Câu 3: Cho hệ phơng trình:

2







a Giải hệ phơng trình khi m= 7

b Tìm m để hệ có nghiệm

Câu 4: Cho hai vòng tròn (C1), (C2) tiếp xúc ngoài tại T Hai vòng tròn này nằm trong vòng tròn (C3) và tiếp xúc với (C3) tơng ứng tại M, N Tiếp tuyến chung tại T của (C1), (C2) cắt (C3) tại P PM cắt (C1) tại điểm thứ hai là A và MN cắt (C1) thứ hai là B PN cắt (C2) tại điển thứ 2 là D và MN cắt (C2)tại điểm thứ hai C

a Chứng minh rằng : ABCD là tứ giác nội tiếp

b Chứng minh các đờng AB, CD, PT đồng quy

Câu 5: Một ngũ giác có tính chất tất cả các tam giác có 3 đỉnh là 3 đỉnh liên tiếp của

một ngũ giác đều có điện tích bằng 1 Tính diện tích của ngũ giác đó

Tiêu đề	Đề thi học sinh giỏi
Trường học	Phòng GD-ĐT Huyện Trực Ninh
Chuyên ngành	Toán
Thể loại	Đề thi
Năm xuất bản	2005-2006
Thành phố	Trực Ninh

Định dạng
Số trang	9
Dung lượng	217,5 KB